2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二項(xiàng)式定理(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理專心-專注-專業(yè)1二項(xiàng)式定理(ab)n_(nN*)，這個(gè)公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理(ab)n的二項(xiàng)展開式共有_項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)_(k0，1，2，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的_叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tk1表示，即_通項(xiàng)為展開式的第_項(xiàng)2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CC，CC，CC，_，CC.(2)增減性與最大值二項(xiàng)式系數(shù)C，當(dāng)_時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)_時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)_取得最大值當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)_和_相等，且同時(shí)取得

2、最大值(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和(ab)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于_，即CCCCC_.二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即CCCCCC_.自查自糾1CanCan1bCankbkCbnn1CCankbkTk1Cankbkk12(1)CC(2)kkCnCn Cn(3)2n2n2n1 (2016·四川)設(shè)i為虛數(shù)單位，則(xi)6的展開式中含x4的項(xiàng)為()A15x4 B15x4 C20ix4 D20ix4解：由題可知，含x4的項(xiàng)為Cx4i215x4.故選A. (2017·全國卷)(1x)6展開式中x2的系數(shù)為()A15 B20 C30 D35解：

3、(1x)6展開式的通項(xiàng)Tr1Cxr，所以(1x)6的展開式中x2的系數(shù)為1×C1×C30，故選C. (2017·全國卷)(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A80 B40 C40 D80解：原題即求(2xy)5中x2y3與x3y2系數(shù)的和，即為C·22·(1)3C·23·(1)240.故選C. (2016·全國卷)(2x)5的展開式中，x3的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫答案)解：展開式的通項(xiàng)為Tr125rCx，令53，得r4，故所求系數(shù)為2C10.故填10. (2016·天津)的展開式中x7的系數(shù)為

4、_(用數(shù)字作答)解：二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為Tr1C(x2)8r(1)rCx163r，令163r7，r3，所以x7的系數(shù)為(1)3C56.故填56.類型一求特定項(xiàng)(1)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A40 B20 C20 D40解：令x1，可得a12，a1，的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為C22(1)3，x項(xiàng)的系數(shù)為C23，所以(2x)5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為C22(1)C2340.故選D.【點(diǎn)撥】令x1可得所有項(xiàng)的系數(shù)和；在求出a的值后，再分析常數(shù)項(xiàng)的構(gòu)成，便可解得常數(shù)項(xiàng)(2)(2015·安徽)的展開式中x5的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫答案)解：由題意，二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)為Tr1C(x3

5、)7rCx214r，令214r5，得r4，則x5的系數(shù)是C35.故填35.(3)(2017·浙江)已知多項(xiàng)式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_，a5_解：a4為含x的項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式定理，a4C×12×C×22C×13×C×216，a5是常數(shù)項(xiàng)，a5C×13×C×224.故填16；4.【點(diǎn)撥】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng)可依據(jù)條件寫出第r1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)可由某項(xiàng)得出

6、參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其系數(shù)(1)已知在的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則含x2項(xiàng)的系數(shù)為_解：通項(xiàng)Tr1CxxCx，因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r5時(shí)，有0，得n10.令2，得r2，所以含x2項(xiàng)的系數(shù)為C.故填.(2)(2016·北京)在(12x)6的展開式中，x2的系數(shù)為_(用數(shù)字填寫答案)解：展開式的通項(xiàng)Tr1C·16r·(2x)rC(2x)r.令r2得T3C·4x260x2，即x2的系數(shù)為60.故填60.(3)(2015·全國卷)(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A10 B20 C30 D60解：在

7、(x2xy)5的5個(gè)因式中，2個(gè)取x2，剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取x，其余因式取y，故x5y2的系數(shù)為CCC30，故選C.類型二展開式的系數(shù)和問題在(2x3y)10的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)各項(xiàng)系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；(5)x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與x的偶次項(xiàng)系數(shù)和解：設(shè)(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各項(xiàng)系數(shù)和為a0a1a10，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a0a2a10，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a1a3a5a9，x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a1a3a5a9，x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，

8、故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和為CCC210.(2)令xy1，各項(xiàng)系數(shù)和為(23)10(1)101.(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為CCC29，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為CCC29.(4)令xy1，得a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，所以奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為；得2(a1a3a9)1510，所以偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為.(5)x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a1a3a5a9；x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為a0a2a4a10.【點(diǎn)撥】“賦值法”普遍運(yùn)用于恒等式，是一種處理二項(xiàng)式相關(guān)問題比較常用的方法對形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b

9、，cR)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x1即可；對形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5.(1)(2017浙江溫州模擬)在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為()A15 B45 C135 D405解：由題意64，n6，Tr1Cx6r3rCx，令63，得r2，則x3的系數(shù)為32C135.故選C.(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a

10、9)239，則實(shí)數(shù)m的值為_解：令x2，得a0a1a2a9(4m)9，令x0，得a0a1a2a3a9(m2)9，所以有(4m)9(m2)939，即m26m50，解得m1或5.故填1或5.(3)設(shè)a0a1xa2x2a2nx2n，則(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2_.解：設(shè)f(x)，則(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)f(1)·f(1)·.故填.類型三系數(shù)最大項(xiàng)問題已知(x2)2n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x1)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求的二項(xiàng)

11、式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)解：由題意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，所以2n32(負(fù)值舍去)，解得n5.(1)由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即C252.所以T6C(2x)5C258 064.(2)設(shè)第r1項(xiàng)的系數(shù)最大，因?yàn)門r1C(2x)10rC210rx102r，所以得 即解得r，因?yàn)閞N，所以r3.故系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，第4項(xiàng)為T4C27x415 360x4.【點(diǎn)撥】(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)：如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)(第項(xiàng)與第1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大(2)求展開式系數(shù)最大項(xiàng)：如求

12、(abx)n(a，bR)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，列出不等式組從而解出r，即得展開式系數(shù)最大的項(xiàng)已知的展開式中第3項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解：(1)易知n5，故展開式共有6項(xiàng)，其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、第四兩項(xiàng)所以T3C·(3x2)290x6，T4C·(3x2)3270x.(2)設(shè)展開式中第r1項(xiàng)的系數(shù)最大Tr1C·(x)5r·(3x2)rC·3r·x，故有即解得r.因?yàn)閞N，所以r4，即展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大T5C·x·(3

13、x2)4405x.類型四整除問題與求近似值問題(1)已知2n2·3n5na能被25整除，求正整數(shù)a的最小值；(2)求1.028的近似值(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)解：(1)原式4·6n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，顯然正整數(shù)a的最小值為4.(2)1.028(10.02)8CC·0.02C·0.022C·0.0231.172.【點(diǎn)撥】(1)利用二項(xiàng)式定理解決整除問題的關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本思路是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只需證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被

14、另一個(gè)式子整除因此，一般將被除式化為含有相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開，此時(shí)常采用“配湊法”“消去法”結(jié)合整除的有關(guān)知識來處理注意：0余數(shù)<除數(shù)(2)整除問題和求近似值是二項(xiàng)式定理中兩類常見的應(yīng)用問題，整除問題中要關(guān)注展開式的最后幾項(xiàng)，而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開式的前幾項(xiàng)(1)設(shè)aZ，且0a<13，若512 016a能被13整除，則a()A0 B1 C11 D12解：512 016a(521)2 016a522 016C×522 015×(1)C×52×(1)2 015(1)2 016a能被13整除，只需(1)2 016a1a能被13整除即可因?yàn)?

15、a<13，所以a12.故選D.(2)設(shè)nN*，n1，求證33n26n1能被676整除證明：33n26n127n26n1(261)n26n126nC26n1C26n2C262C26C26n1262676而26n2C26n3C26n4C為整數(shù)故33n26n1能被676整除類型五特殊“三項(xiàng)式”(可化為二項(xiàng)式)的展開式求展開式中的常數(shù)項(xiàng)解法一：原式， 所以 (1|x|)6的展開式中|x|3的系數(shù)C(1)320就是原式展開式中的常數(shù)項(xiàng)解法二：將原式化為，利用二項(xiàng)式定理求解解法三：將原式看成三個(gè)|x|2相乘，常數(shù)項(xiàng)只可能由|x|··(2)和(2)3構(gòu)成，可利用計(jì)數(shù)原理分成兩類再求

16、和故所求為C·C·(2)C·(2)320.【點(diǎn)撥】三項(xiàng)式的展開式問題，通?？捎媒夥ǘ癁槎?xiàng)式問題，或者用解法三化為計(jì)數(shù)問題(2015·江西模擬)若(x2ax1)6(a>0)的展開式中x2的系數(shù)是66，則sinxdx的值為_解：由題意可得(x2ax1)6的展開式中x2的系數(shù)為CCa2，故CCa266，所以a2或a2(舍去)故sinxdx(cosx)|1cos2.故填1cos2.1二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)主要用于求二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)和系數(shù)，在運(yùn)用公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：(1)Cankbk是第k1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)(2)求展開式的一些特殊項(xiàng)，通常都是由題意列出方程求

17、出k，再求所需的某項(xiàng)(有時(shí)需先求n)計(jì)算時(shí)要注意n，k的取值范圍及它們的大小關(guān)系(3)求展開式的某一項(xiàng)的系數(shù)，先要準(zhǔn)確地寫出通項(xiàng)，特別要注意符號問題，然后將通項(xiàng)中的系數(shù)和字母分離2要注意二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)與某一項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別在(ab)n的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)；但當(dāng)a，b的系數(shù)不是1時(shí)，系數(shù)最大的項(xiàng)的位置就不一定在中間，需要利用通項(xiàng)公式，根據(jù)系數(shù)的增減性具體討論而定3對三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開問題，應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題解決)，轉(zhuǎn)化的方法通常為集項(xiàng)、配方、因式分解，集項(xiàng)時(shí)要注意項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合的合理性和簡捷性4二項(xiàng)式定理的應(yīng)用方法(1)“賦值法”和“構(gòu)

18、造法”是解決二項(xiàng)展開式中“系數(shù)和”問題的基本思路，也是證明有關(guān)組合數(shù)恒等式的重要方法(2)“配湊法”和“消去法”是解決“整除性問題”或“余數(shù)問題”的重要方法(3)整除問題要關(guān)注的是展開式的最后幾項(xiàng)，求近似值問題關(guān)注的是展開式的前幾項(xiàng)(4)有些不等式的證明問題，也常借助二項(xiàng)式定理進(jìn)行“放縮”處理(5)要注意二項(xiàng)式定理的逆用，它常用于有關(guān)化簡和求值問題1在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為()A32 B32 C24 D24解：通項(xiàng)Tr1Cx4r(2)r·xC(2)rx4，令40r3.故所求為32.故選A.2(2015·南昌質(zhì)檢)在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是()

19、A7 B7 C28 D28解：由題意可知n8，Tr1C(1)rC·x8.令8r0，得r6，×(1)6C7.故選B.3(2017·廣西聯(lián)考)若二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為m，則(x22x)dx()A. B C D.解：因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr1CCx123r，令123r0，得r4，所以mC3，所以(x22x)dx(x22x)dx|，故選D.4(2016·貴州模擬)在二項(xiàng)式(x2x1)(x1)5的展開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)是()A25 B5 C5 D25解：因?yàn)?x2x1)(x1)x31，所以原式可化為(x31)(x1)4.故展開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)為C(

20、1)3C415.故選B.5從的展開式中任取一項(xiàng)，則取到有理項(xiàng)的概率為()A. B. C. D.解：的展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C()20kCx5k，其中k0，1，2，20.而當(dāng)k0，4，8，12，16，20時(shí)，5k為整數(shù)，對應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以從的展開式中任取一項(xiàng)，取到有理項(xiàng)的概率為P.故選B.6若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，則log2(a1a3a5a11)等于()A27 B28 C7 D8解：令x1得a0a1a2a1228，；令x3得a0a1a2a3a120，.得2(a1a3a11)28，所以a1a3a1127，所以log2(a1a3a11)7.故選C.7(

21、2016·上海)在的二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于_解：因?yàn)樗许?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，所以2n256，所以n8，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr1C()8r·(2)rCxr，令r0，得r2，所以T3112.故填112.8(2016·山東)若的展開式中x5的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)a_解：因?yàn)門r1C(ax2)5rCa5rx10r，所以由10r5r2，因此Ca5280a2.故填2.9求證：32n28n9能被64整除(nN*)證明：因?yàn)?2n28n932·32n8n99·9n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C·8C·1)8n99(8nC8n1C82)9·8n98n99×82(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n所以32n28n9能被64整除10已知二項(xiàng)式.(1)若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)