2009屆東臺中學高三第一學期期末數(shù)學考試試題

1、分別給出命題：甲：函數(shù) f (x)的值域為(一 1, 1 )； 乙：若 X1豐X2,則一定有 f(X1)工 f(X2)；丙：若規(guī)定f1(X)=f (X), fn(X)=f(fn(x),貝Vfn(x)你認為上述三個命題中正確的個數(shù)有2 29._過定點P(1,2)的直線在x軸與y軸正半軸上的截距分別為a、b,則 4a b的最小值為 _10._ 若直線y = 2a與函數(shù)y =|ax-1|(a 0且a=1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是2009屆江蘇省東臺中學高三第一學期期末數(shù)學考試試題卷、填空題：1設集合M二卄COS2a2 若sin：-nI 4丿x x =sin ，n乏Z3， 貝U cos：亠

2、sin：=)2，則滿足條件PU3,遲2 2二M的集合 P 的個數(shù)是21、13.設 A=(8182,83), B=b2，記 A o B=maxab,a2b2,a3b3,若 A=(x1,x+1,1), B=x- 2J-1丿且Ao B=x 1，則x的取值范圍為 _ 。3已知 0 為直角坐標系原點,4x 3y -25 _ 0P、Q 的坐標滿足不等式組x-2y，2_0，則cos. POQ的x-1 _ 0最小值為_4設 A , B 是x軸上的兩點，點 P 的橫坐標為 2,且PA二PB,若直線則直線 PB 的方程是_14. 設 A 為銳角三角形的內角，a 是大于 0 的正常數(shù)，函數(shù) y=一1a的最小值是 9

3、,cosA 1 - cos A貝 U a =_二、解答題15.已知f (x) = ax33x2- x 1，a R.(1)當a=3時，求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)如果對-xR不等式(x)乞4x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.5.已知函數(shù)f (x)在x=1 處的導數(shù)為 1,貝U_x)=_6若兩個函數(shù)的圖象經(jīng)過若干次平依后能夠重合，則稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出下列三個函數(shù)：仏x =sin x cosx,為“同形”函數(shù)2 27.橢圓ax - by=1與直線y =1 - x交于 A、B 兩點，過原點與線段,則a=2 bAB 中點的直線的斜率為16.在厶 ABC 中，a,b,c分別為角 A、B、

4、C 的對邊,2228bca - c b，a=3, ABC 的面積為 6,58.次研究性課堂上，老師給出函數(shù)f(X)二1+|x|x(xR)，三位同學甲、乙、丙在研究此函數(shù)時D ABC 內任一點，點 D 到三邊距離之和為 do求角 A 的正弦值；求邊 b、c；求 d 的取值范圍1 n |x|a、11. “已知數(shù)列an餐為等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，若存在正整數(shù)m,n mn，使得Sm=Sn，貝 Vsm十=。，類比前面結論，若正項數(shù)列bn 為等比數(shù)列， -12. Rt ABC 中,斜邊 AB=1,E 為 AB 的中點,CD 丄 AB,則(CACD)(CACE)的最大值為 _ .19某市環(huán)保部門通過研

5、究多年來該地區(qū)的大氣污染狀況后，建立了一個預測該市一天中的大氣污 染指標 f(t)與時間 t (單位：小時)之間的關系的函數(shù)模型：11JTf (t)= g(t)+a+2a, t 引 0,24)，其中，g(t)=?si n(云卩18)代表大氣中某類隨時間t 變化的典型3污染物質的含量；參數(shù)a 代表某個已測定的環(huán)境氣象指標，且a，0,上。4求 g(t)的值域；求 M (a)的表達式；若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過2.0,試問：若按給定的函數(shù)模型預測，該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會超標？請說明理由。18.已知直線(1 4k)x -(2 -3k)y -(3 12k) =0(kR)所經(jīng)過

6、的定點F恰好是橢圓C的一個焦點,且橢圓C上的點到點F的最大距離為 8.(1) 求橢圓C的標準方程；(2) 已知圓O : x2 y2=1，直線l : mx ny = 1試證明當點P(m, n)在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線I被圓O所截得的弦長的取值范圍.320.已知函數(shù)f(x) = x -3ax(a R)(1) 當a=1時，求f (x)的最小值；(2)若直線y m 0對任意的m，R都不是曲線y二f (x)的切線, 求a的取值范圍(3)設g(x) =| f(x)|,x -1,1，求g(x)的最大值F(a)的解析式。17.已知：正方體ABCD-A1B1C1D1,(I)求證：B1D1_

7、 AE； (n)求證:(川)求三棱錐A-BDE的體積.AA1=2, E 為棱CC1AC/平面BQE；的中參考答案: E、F是CC、BB1的中點，CE_B1F,四邊形BFCE是平行四邊形，CF/ B1E .7 分 E, F是CC、BB1的中點，二EF/BC,1,2116.f1x , f2x1. 4 2.323.-23.-24.x y -5=05.27.8. 3 9.3210.1(0,)11.它的前n項乘積為Tn,若Tm二Tn,貝VTm .n= 12221213. 1,1+ .2 14.42715.解： (1)當a = -3時,f (x): =-3x33x2-x 1,(2)-xR不等式f (x)乞

8、4x恒成立，即-xR不等式3ax26x-1豈4x恒成立,又AC平面ACF,AC/面BQE.10 分R不等式3ax22x -1 _0恒成立.當a =0時，R 2x - 1_(不恒成立;(出)S，AB-1 AB A2.12 分1當a：0 時，-x R不等式3ax22x -1乞0恒成立，即厶=4 12a冬0,a.321當a 0時，-xR不等式3ax22x-0不恒成立.綜上，a的取值范圍是(-:：，-.322,28bc b2 c2-a244316 .解：(1)a c bcos Asi nA -52bc 555VA_BDE18解:113(2) SABCbcsin A bc 6 , be=20225,2

9、2 2由bc a 4及be=20 與a=3 解得 2bc 5b=4, c=5 或 b=5,c= 41 1 2CES.ABDCE15 分(1)由(1 4k)x-(2 -3k)y- (3 12k) = 0(k R)，得(x_ 2y_ 3) k(4x 3y-12)= 0,x 2 y 4 0 x?則由,解得 F ( 3,0 ) 設橢圓C的方程為占4x+ 3y- 12 0a丨c = 3丄a = 52IIx2a 8，解得b = 4所以橢圓C的方程為 一-2 2252 21162廿1(a b 0),則1設 D 到三邊的距離分別為 x、y、z，則SABCSSW6+4y蘭12,12 1 、d=x+y+z=+-(

10、2x+y)又 x、y 滿足xX0,55y =0,2 2亠m n22(2)因為點P(m, n)在橢圓C上運動，所以1m，nI : mx + ny =1的距離d1c1= r.所以直線I與圓O恒相交J m2+ n2從而圓心O到直線畫出不等式表示的平面區(qū)域得:12 , d : 4又直線I被圓O截得的弦長為L = 2= r2- d2二17. (I)證明：連結BD，則BD/B1D1,. 1 分卜冷=2；=-25m 16/ ABCD是正方形，AC _ BD . CE_ 面ABCD,CE _ BD. 又ACCE二C,.BD_ 面ACE. 4 分/ AE面ACE,BD _ AE,-BP AE. 5分由于0乞m2

11、乞25,所以1 m216乞25,則L二15.6,252519.解：g(t)的值域為0,-2f/(x) - -9x2，6x -1 - _(3x -1)2_0 , f(x)在R上是減函數(shù)即直線I被圓O截得的弦長的取值范圍是L參考答案: E、F是CC、BB1的中點，CE_B1F,又BC/AD,EF/AD.四邊形ADEF是平行四邊形，.AF/ED, AF CF =C,Bn ED = E,平面ACF/面B1DE.(n)證明：作BB1的中點 F,連結AF、CF、EF.盒1當 a (7,3時，M (a) =3a12 420.解：(1V-當 a =1 時，f當x(-1,1)時，.f (x)在(-1,1)上單調

12、遞減，在(_：,一 1,1,:)上單調遞增.f(x)的極小值是f(1)=2(2)；f (x)=3x 3a _ _3a,.要使直線x y 0對任意的R都不是曲線1y =f(x)的切線，當且僅當 一1” -3a時成立，.a :-3(3)因g(x) =| fx)|=|x3-3ax|在-1,1上是偶函數(shù)，故只要求在0,1上的最大值1當a空0時，f(x)_0,f(x)在0,1上單調遞增且 f(0)=0,. g(x) = f(x)F(a) = f (1)=1 _3a.2當a 0時，g(x)斗 f (x) |=(ii)當0：. a：1,即 0 : a :1當f (1) =1 3a空0,即 a：1時，3g(x) =| f (x)-f (x),-f (x)在0,、a上單調遞增，在a,1上單調遞減,F(a)二f( . a) =2a . a； 2 當f (1) =1 -3a0,即0 a：13(i)當 - f (、a) _ f (1) = 1 -3a,即 0：a _ 丄時,F (a) = f (1)二 1 - 3a 4當-fg fxr即4a1時F-fd爲1M (a)=57a6衛(wèi)0,刁1_ 7 33a , a -(,312 410 分上+ 52；12612所以若按給定的函數(shù)模型預測, 該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不會超標。15 分9 1 23: 2 .4 312(x)二 3x2-3,令 f (x)