2018年數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(熱點(diǎn)難點(diǎn))專題77把握遞推關(guān)系解決數(shù)學(xué)歸納法問題

1、1專題 77 把握遞推關(guān)系解決數(shù)學(xué)歸納法問題考綱要求：1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.基礎(chǔ)知識回顧：1、數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1) (歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值no(noN)時命題成立；(2) (歸納遞推)假設(shè)n=k(kno,kN)時命題成立，證明當(dāng)n=k+ 1 時命題也成立.2 .數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示:應(yīng)用舉例：類型一、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明:【答案】詳見解析.【解析】試題分析：直接運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法對命題進(jìn)行證明即可得出所證的答案，其關(guān)鍵是第(n)的證明過程.試題解析：(I)當(dāng)n =1時

2、，左邊=1，右邊=1，所以上式成立；n2(n 1)24(n)假設(shè)當(dāng)n =k時等式成立，即13 2 3 33宀呼，那么當(dāng)2o2=(k.1)2k 4k 4 _(k 1) (k 2)2父(k 1)3=(k 1)2(k 1)42 2(k 1)(k1) 1，即當(dāng)k 1時，命題也成立.綜上所述，原命題成立.類型二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例 2、【2016 屆江蘇省清江中學(xué)高三上學(xué)期12.29 周練】已知fn(X)= (1一X)n, N”.2(1)若g(x) = f4(x) - 2f5(x) 3f6(x),求g(x)中含x項(xiàng)的系數(shù)；(2)若Pn是fn(x)展開式中所有無理項(xiàng)的系數(shù)和， 數(shù)列an是由各項(xiàng)都大于

3、 1 的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學(xué) 歸納法證明：Pn2 an 1) (1 a1)(1 a?)(1 an).【答案】(1)56；( 2)證明見解析.【解析】試題分析：(1)由已知更= (對+2歡力+3坨伍) =(1 +依+2(1+3(1 +%&幾 利用二項(xiàng)式定 理求出/項(xiàng)的系數(shù)；(2)由題青，7=2 .首先證明當(dāng)川=1時成立；假設(shè)n=fc時成立即Eg鬥十DX1十呦)(1十吋(1十代)成立，再證明當(dāng)“氏+1時也成立.試題解析：(1)解：g(x)二f4(x) 2f5(x) 3f6(x) =(1一x)42(1 .x)53(1 -x)6, g(x)中含x2項(xiàng)的系數(shù)為C：2C：3C；=110 45=56.(2

4、 )證明：由題意，Pn=2 心當(dāng)n =1時，只(印+1)=印+1，成立；假設(shè)當(dāng)n =k時，Pk(a1a ak1)(1 - a)1 a?)(1 - ak)成立，當(dāng)n二k1時，(1 y)(1 a?) (1 aQ(1 ak)- 2k4(a1a ak1)(1 ak 1)k _1=2akak 1da?比ak 1O()ak ha1a2ak(ak 1_1) _ak 1-1,即a1a2 akak 11- 耳比akak 1，132333-k3(k 1)3=43代入(*)式得(1 - a)1 a?)(1 aQ(1 ak 1) - 2k(ca2 akak!1)成立.綜合 可知，pi(a1a an1)(1 a1)(1

5、 a2p (V an)對任意n，N”成立.類型三、歸納一一猜想一一證明例 3、將正整數(shù)作如下分組：(1) ,(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21)，分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下，試猜測S+ S+ $+ d 1的結(jié)果， 并用數(shù)學(xué)歸納法證明.S= 1,S2= 2 + 3 = 5,S3= 4+ 5 + 6= 15,S= 7 + 8 +9+10 = 34,S5= 11+ 12+ 13+ 14+ 15 = 65,Ss= 16+ 17+ 18+ 19+ 20 + 21 = 111 ,解析：由題意知，當(dāng)n= 1 時，S=

6、 1 = 1 ;當(dāng)n= 2 時，S+S3= 16=2;當(dāng)n= 3 時，S+S3+S5= 81 = 3; 當(dāng)n= 4時，S+S3+S5+S= 256 =4;猜想：S+S3+ S+S2n1= n4.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1) 當(dāng)n= 1 時，S= 1 = 1，等式成立.(2) 假設(shè)當(dāng)n=k(kN)時等式成立，即S+S3+S5+S2k1=k4,那么，當(dāng)n=k+1 時，S+S3+ $+ Sk1+ Sk+1=k4+ (2k2+k+ 1) + (2k2+k+ 2) + (2k2.4.2.4.3.2.4+k+ 2k+ 1) =k+ (2k+ 1)(2k+ 2k+ 1) =k+ 4k+ 6k+ 4k+ 1

7、= (k+ 1),這就是說，當(dāng)n=k+ 1 時，等式也成立.根據(jù)(1)和(2)，可知對于任意的nN,S+S+S5+S2n1=n4都成立.點(diǎn)評：“歸納一一猜想一一證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式.其一般思路是：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用.其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式.方法、規(guī)律歸納：1、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)注意的問題(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，以及初始值no的值.由n=k到n=k+ 1 時，除考慮

8、等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n=k時的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明.2 .數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時步驟(1)和(2)4缺一不可，步驟(1)是步驟 的基礎(chǔ)，步驟 是遞推的依據(jù).3.在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第(1)步驗(yàn)算n=n0 的no 不一定為 1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值.實(shí)戰(zhàn)演練：1 .【山東省鄒城市第一中學(xué)2018 屆高三上學(xué)期期中考試】用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n n +2川|(n+n ) = 2n勺漢3工5勺卄(2n _ 1(2n +1)(n N尸時，從n =k至y n = k+1，等式的左邊

9、需要增乘的代數(shù)式是5B C空D2k 1 2k 2k 1k 1k 1【答案】D【解析】等式的左邊為伉+1）仗+2）心+花）肌=丘+1等式的左邊為(Jt+l +l)(jt+l + 2卜(疋+所以需要増乘的代數(shù)式是*）（2*嘰 皆心巳選A故選 C.A 2k 1*+12 .【吉林省乾安縣第七中學(xué) 2018屆高三上學(xué)期第三次模擬考試】用數(shù)學(xué)歸納法證明53n n- n u N2，,則當(dāng)n =k 1時，應(yīng)當(dāng)在=k時對應(yīng)的等式的兩邊加上（）3Ak31廣k32川k 133B. k31C.k 1D.【答案】A【解析】當(dāng)1 +2 +3|l| + k3+(k3+1 )+(k3+2 )+川+(k+1)，所以左邊增加的項(xiàng)

10、為333k31 k32川k 1，3 .【河北武邑中學(xué) 2017 2018 高三年級上學(xué)期第二次調(diào)研考試】用數(shù)學(xué)歸納法證明1 1 13川廠Tnn N*，n 1時，由nkk 1時不等式成立，推證n = k 1時，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（A. 2k4B2k-1C2kD.2k+1【答案】C1 1 1n=k時，左邊=12 32k-11 1 1 1當(dāng)n=k+1 時，左邊=1-廠 +飛+232k-12k【解析】 當(dāng)12k 1-1因?yàn)?2k，2k+1,kk+1 2 +2,，2 -1 是個首項(xiàng)為 2：公差為 1 的等差數(shù)列，共有2k項(xiàng),所以左邊增加了2k項(xiàng).6丄.蘭門一？的過程中，由n二k遞推到n = k 1時,2

11、n 241D.增加了，又減少了2（k +1）【答案】C【解析】+(jt+i)+(A7+i)=tm+rr2+m)i+i+2ji+i+2jt+2 故選【方法點(diǎn)睛】在用數(shù)學(xué)歸納法，從k項(xiàng)到k 1時，應(yīng)弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)，明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等.簡言之：兩個步驟、一個結(jié)論；遞推基 礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.5.【江蘇省儀征中學(xué) 2018 屆高三 10 月學(xué)情檢測】設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù).(1)證明：cosx isinx = cosnx isinnx;(2)結(jié)合等式 卩亠icosxsinx : 1cosxTisinx ,證明

12、:xnx1 +C：cosx +C：cos2x +.+C；cosnx =2ncosn-cos.22【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：1利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明。nn-nrr,.2由1可知|1cosx isinxCncosx isinxCncosrx isinrx,求得其實(shí)部，等式右r出r勻4.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等不等式左邊（A.增加了一項(xiàng)12(k 1)B.增加了一項(xiàng)-+-2k 12(k 1)1C.增加了，又減少了2k 12（k 1）試題分抓當(dāng)“時左邊二市十后石P新十呎左邊二濟(jì)r頁而nn7onnx nx . . nx=2 cos cos isin2 I 22丿x nx其實(shí)部為2ncn

13、 sc,o根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等，其實(shí)部也相等可得2 21 +C；cosx+C：cos2x + +Cncosnx=2ncosncos-.2 26 .【浙江省溫州市 2018 屆高三 9 月高考適應(yīng)性測試】_1_ l + anan+1已知數(shù)列中，( ).(1) 求證：；1(2) 求證：是等差數(shù)列；t_11亠94(3)設(shè)；一一二，記數(shù)列的前 項(xiàng)和為，求證：邊Q1 - cosx !亠isinx =fcos+2ISIn。込=2ncosnxcosxisin -22 2，則其實(shí)部也為xnx2ncosncos，由兩個復(fù)數(shù)相等，其實(shí)部也相等，即可證明2 21+cncosx + C：cos2x+，+ C：cos= 2

14、ncos必cos巴2 2解析：(1)當(dāng)n =1時，cosx is in x = cosx is inx,即證;k假設(shè)當(dāng)n二k時，cosx isinx coskx isinkx成立,cosx isinx二coskx isin kx cosx isinx=coskxcosxs inkxsin x 亠s inkxcosx sinxcoskx i二cos k 1 x is in k 1 x， 故命題對n =k +1時也成立，由得，(cosx + isinx)n=cosnx + isinnx；(2 )由(1)知,n n1 cosx isinxC：cosx isinxn=7 C：cosrx isin rx

15、，r=0其實(shí)部為1 C：cosx C；cos2x亠亠C：cosnx；電1 cosx i亠isinx2co 2lsicosV 222)-2ncosn- i cos isin 2( 2 2丿nn8.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析1一1+叫9【解析】試題分析：（1 ）利用數(shù)學(xué)歸納法可證明；（2 ）化簡人 + 1H+ 1 n2+ 3n + 2+ 1 n2+ 3n + 26-=- - - ddjj； 厶,先證明 ；,：匕 ，利用放縮法及等比數(shù)列求和公式可證結(jié)論.11t% =荃 件 1試題解析：（1）證明：當(dāng)時，滿足，1 _12,tT- anlT“ 叫+ 1= 5_ E r

16、1）假設(shè)當(dāng)（）時，則當(dāng)仏:U 時，一占u 1即時，滿足；1-anl所以，當(dāng)時，都有所以，數(shù)列笫提等差數(shù)列.二-2 十（說亠 1）（ 一 1） =- ?i - 1（3）由（2）知，na7i=,% + i -n + 1_ n2+ 3n + 2因此二+；J小厶 x +出當(dāng)時 心廣 +_ I?廠 + 門； + i.門-:S + 7;f.-二:叫+廠1 11n + 1_ 11可得&廠丄丿是等差數(shù)列；（3）由（2）從而可得（2由陷41=11寺,得竊般=盒,所以叫T+1 _ 1=匸打_1 =2_CLRCn+1-l虬丈+冊+26107數(shù)列滿足an- 5an彳=36n 18,n N，且q = 4.（1）寫出a

17、1的前 3 項(xiàng)，并猜想其通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想 .【答案】（1）an=6n-2（ 2）見解析【解析】試題分析：（1）由c =4,a2=10,a3=16，猜想an= 6n-2;試題解析：解：（1）a4,a2=10,a3=16，猜想an= 6n -2；（2）驗(yàn)證n = 1時成立；時，猜想成立，即有ak=6k -2，由ak+5ak*=36k +18,，及ak=6k -2，證得 題成立.（2）當(dāng)w = 1B寸00=4= 6x12成SZ；假設(shè)閃二上丘已川時，猜想成立即有a ak k=6k-2,=6k-2,由勺+5畋J =36疋+18八 及= = 6k6k 2 2? ?得勺+】=6疋+4

18、=6（丘+1）2,即當(dāng)兀二疋+1時猜想成立, 由可知,6=5 一2對一切正整數(shù)兀均成立8.給出四個等式：1 =1 ；1 -4 - - 1 2；1 -42 3；假設(shè)n二k,k Nn = k 1時成立，故命即 n 2 時，虬2矗+3n.顯然5W ，只需證明，即可.25、7=- -361 71 -4 9 -1 - 1 2 3 4猜測第n n N*個等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.112222n _1 2n _1【答案】1 -23 -4 -亠i 1一n=-1一1 2 3 n，證明詳見解析.【解析】試題分析：由歸納推理不難寫出第n nN*個等式.用數(shù)學(xué)歸納法證明：分兩步進(jìn)行，第一步驗(yàn)證n =1時等式成立，第二

19、步假設(shè)n=kk二N*時，等式成立，證明當(dāng)n1時等仍然成立即可.試題解析：第n個等式為：2222n_1_2n_11 -23 -4-1 _n=-1一1 2 3 n201匯(1 +1 證明：(1)當(dāng)n =1時，左邊=1=1,右邊=(-1 x一-;= 1,2左邊=右邊，等式成立(2)假設(shè)n =k k N*時，等式成立2 22 2k2kkk(k+1)即1 -2 +3-4+(-1) k=( 1)(1+2+3+k ) = (1 )-.則當(dāng)n =k 1時，1222+3242+ + (1$坯2+(1$(k+1 f(一曠 1 世磐+(_i)訛+護(hù)k=(k +1*k+1)1k當(dāng)n = k 1時，等式也成立根據(jù)(1)

20、、(2)可知，對于任何nN等式均成立.cx + d9.【江蘇省南通、揚(yáng)州、泰州 2017 屆高三第三次模擬考試】已知函數(shù)f0 xa = 0, ac-bd =0,ax + b設(shè)fnx為fn 4x的導(dǎo)數(shù)，n N*.(1)求f1x , f2x；12（2）猜想fnx的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【試題分析】（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識分別求解;想結(jié)論，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析推證:點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的證明與自然數(shù)有關(guān)命題的數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用該方法時，一定要驗(yàn)問，借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識直接求解；第二問歸納法推證時，借助（1）猜想的結(jié)論，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué) 歸納法

21、分析推證而獲證。10已知fnxx-1n-1kC：x-kn川-1ncmx-nn，其中x R,n N*,k N,k_n.（1）試求f1x,f2x,f3x的值;（2）試猜測fnx關(guān)于n的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論【答案】（1）f1x =1,f2Xi=2,f3x=6（2）fnx=n!【解析】試題分析：（1 ）根據(jù)對應(yīng)以及組合數(shù)公式展開化簡得 角度猜想fnx關(guān)于n的表達(dá)式，證明時注意利用性質(zhì)kC；=nC；：及C：，（2）依據(jù)題設(shè)條件及（1）的結(jié)論先猜解:（1）f1（x）0（x）彳熬著，f2（x）=f1cb + ad I-2a（bc-ad）=3.jax + b）cb ad3ax b（2）猜想fnX二二1n 1

22、n a7be ad n!*,nN.證明：當(dāng)n=1時，由（1）知結(jié)論正確;n舟ax b假設(shè)當(dāng)n =：k,kN時，結(jié)論正確，即有fkx二k _1k 1-1a be - ad k!k41ax bk dkiabead（ax+ bk=（一1）ak_lbe- ad k!k k（-1 ） a f be - ad ） （k +1） !k七ax b，所以當(dāng)n =k 1時結(jié)論成立，由得，對一切nN結(jié)論正確.證初始條件的成立與否，這是推證的基礎(chǔ)；其中從n二k,到n = k 1的臺階更是尤為重要。本題的第f1x,f2x,f3x的值；（2）從階乘13Cnk二進(jìn)行轉(zhuǎn)化：配湊成歸納假設(shè)的條件14試題解析：解：0 1(1)f1(x)=Gx_G (x_1 )= x_x+1=1；0 2 1222f2x =C2x -C2x -1 C2x -22 2 2x2-2 x -2x 1 x -4x 4 =2；0 3132333f3(x ) = C；x3C3(x1 ) f (x2 ) C；(x3)3333=x -3 x -13 x -2 - x -3 i；=6.(2)猜想:fnx=n!.所以kC：=nC：；.用數(shù)學(xué)歸納法證明