初中數(shù)學(xué)千題解——最值問題100題(詳解版)

1、IB圖4.1D圖4.21.如圖3.1所示，在 RtABC中，/A=30 °, AB=4，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn) P為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PD的最小值為（)A. 3B. 2 2A.2、3A. 4岳C-BAD圖3.11.解延長BC至點(diǎn)B'，使BCBC，連接BP、B'A，如圖4.1所示， AC垂直平分BB , b'aBA , AC 平分 B'AB./ CAB 30b'aB 60 ,ABB'為等邊三角形.點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，- PBPB , PB PD PB' PDBD ,當(dāng)且僅當(dāng)B'、P、D在同一直線上時(shí)，如圖4.2所示，P

2、B PD取得最小值.在 Rt ADB'中，AD - AB 2 , B AB 60 ,二 b'd AD tan603AD 2、3 ,2 f故答案是C.思路點(diǎn)撥：這是典型的將軍飲馬”型線段和最值問題，利用對(duì)稱法將動(dòng)線段構(gòu)造至動(dòng)點(diǎn)P所在直線的兩側(cè)；根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短”找到最小值位置，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可拓展 若點(diǎn)D為邊AB上任意一定點(diǎn)，則依舊可以根據(jù)勾股定理和60°特殊角計(jì)算B'D的長度；若點(diǎn)D是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則 B'D將變?yōu)橐粭l動(dòng)線段，利用 垂線段最短”可確定最值位置還是在中點(diǎn)處12如圖3.2所示，在矩形 ABCD中，AB=5，AD=3，動(dòng)點(diǎn)P滿

3、足S pab 矩形abcd，則點(diǎn)P到AB兩點(diǎn)3距離之和PA+PB的最小值為.2. 解令點(diǎn)P到AB的距離為d.點(diǎn)直線作點(diǎn)S PAB S目形ABCD = 35=5= d I332 !1P為到AB距離為2的直線l1、12上的點(diǎn).li、I2關(guān)于AB對(duì)稱，因此選其中一條進(jìn)行計(jì)算 B關(guān)于直線li的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BC、B'P、5，二 dAB'，如圖4.3所示, PA PB PA PB' AB',當(dāng)且僅當(dāng)A、P、B'三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，如圖4.4 所示.在 Rt ABB'中，AB 5 , BB' 2d 4 , AB' ._ 2 . _

4、441 ,故PA PB的最小值是41 .0434.4思路點(diǎn)撥：這是典型的 將軍飲馬”型線段和最值問題.根據(jù)題目中中給出的面積關(guān)系，可判斷點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線（或稱為 隱線”；利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)B',再運(yùn)用線段公理獲得不等式；根據(jù)勾股定理計(jì)算最值A(chǔ)B .13. 如圖3.3所示，在矩形ABCD中，AD=3，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，AE=1，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足S pabS矩形abcd，3則DP . EP的最大值為.DCA EB圖3.33.解令點(diǎn)P到AB的距離為d.1 'S pab 3 S矩形ABCD，d 2， 點(diǎn)P在到AB距離為2的直線h、I?上，如圖4.5 所示.作點(diǎn)E關(guān)于直線

5、h的對(duì)稱點(diǎn)E',連接E'D并延長交直線h于點(diǎn)P,連接EP,如圖4.6所示， E'P EP.當(dāng)點(diǎn)P在直線h上時(shí)，|DP EP DP E'P E'D，當(dāng)且僅當(dāng) D、E'、P三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值ED1I2 .當(dāng)點(diǎn)P在直線l2上時(shí)，DP EP ED，當(dāng)且僅當(dāng)D、E、P三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，如圖4.7所示.在 RtAADE 中，AD 3，AE DP EP ED .10 ,當(dāng)點(diǎn)P為DE的延長線與直線1 , DE32 12.10 ,的交點(diǎn)時(shí)有最大值 710 .5圖4.5思路點(diǎn)撥：解法如題2,需要找出滿足條件的點(diǎn) P所在的 隱線”這里兩條直線均要考慮（因?yàn)閳D形不

6、對(duì)稱）由于兩邊之差小于第三邊，在共線時(shí)取得最大值，故遵循同側(cè)點(diǎn)直接延長，異側(cè)點(diǎn)需對(duì)稱后再延長 ”的規(guī)律，分別計(jì)算最大值并進(jìn)行大小比較 .特別說明 筆者認(rèn)為這里的最大值只能取一個(gè)值.改編此題的目的是讓大家不要忽略矩形外的隱線”畢竟題中敘述點(diǎn) P時(shí)用的是 平面內(nèi)”而非 矩形內(nèi)”.21 .1, 1，則AB在x軸的兩側(cè),4. 已知y二Jx2 _ 2x_- 2 Jx2 _ 2x丄2，貝廿y的最小值為 4解原式 x 1 20 1 2. x 1 20建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P x,0 , A 1,1 , B PA,PB.2 2 2 2 y x 10 1. x 101當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，y值最小， ymin

7、 AB 思路點(diǎn)撥：若將式子看作函數(shù)， 對(duì)于初中生來說解題難度較大PA PB AB ,2 2.若換個(gè)角度，將每一個(gè)根式都看作是兩點(diǎn)間的距離（距離公式是平面直角坐標(biāo)系中的勾股定理），則將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何最值模型一一兩點(diǎn)之 間線段最短5已知 y 二J(x_3)2 “9_ J(x_1)2-4，則 y 的最大值為 5解原式 x 3 20 3 2. x 1 20 2 2 .建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P x,0 , A 3,3 , B 1,2 ,/22i 22 PA . x 30 3, PB _ x 102,2222 y . x 30 3, x 10 2 PA PB AB ,當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)

8、P在AB延長線上時(shí)y值最大， ymax AB . 5.思路點(diǎn)撥：閱讀題目時(shí)需觀察清楚?！被颉鼻胁豢擅つ肯鹿P本題與題4形式相似，解法相近，但是又有所不同將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的兩條線段的差；利用三邊關(guān)系中的兩邊之差小于第三邊，共線時(shí)取等找到最大值.6. 如圖3.4所示，在等腰 Rt ABC中，/ BAC = 90 ° AB = AC, BC = 4貶，點(diǎn)D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn), 連接CD，以AD為直徑的圓交 CD于點(diǎn)E,則線段BE長度的最小值為 .A解：連接AE,取AC得中點(diǎn)F，連接EF，如圖4. 8 所示/ AD是圓的直徑/ AED = 90°/ AEC = 90

9、76;1- EF = - AC= 2 2點(diǎn)E的軌跡為以點(diǎn)F為圓心的圓?。▓A的定義） BE 汩F EF當(dāng)且僅當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，如圖4. 9 所示在 RtAABF 中，AF = 2, AB = 4 BF = . AF2 + AB2 = -. 22+ 42 = 2 5 ,- BE min = BF EF = 25 2思路點(diǎn)撥閱讀題目時(shí)要找到三條關(guān)鍵信息：點(diǎn)E為圓周上一點(diǎn)，AD所對(duì)的圓周角是90°, / DEC是平角，連接AE后就找到了定弦定角（或斜邊上的中線），若一個(gè)角的度數(shù)和其所對(duì)的一條線段均為定值，則這個(gè)角的頂點(diǎn)的軌跡為圓 （根據(jù)題目需求判斷是否需要考慮兩側(cè)）.因此判斷出

10、點(diǎn)E的軌跡是圓（不是完整的圓，受限于點(diǎn) D的運(yùn)動(dòng)范圍）.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知B、E、F三點(diǎn)共線時(shí)BE取得最小值.7. 如圖3.5所示，正方形 ABCD的邊長是4，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接 CE ,過點(diǎn)B作BG丄CE 于點(diǎn)G,點(diǎn)P時(shí)邊AB上另一動(dòng)點(diǎn)，則 PD + PG的最小值為 .AD解：取BC得中點(diǎn)F，連接GF，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D ；連接D'P、D'A,如圖4.10所示. DP = D'P/ BGC = 90°點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)1-GF = BC = 2 2/ PD + PG= PD'+ PGM） G又 D G+ GF R F PD + PG

11、+ GF F GF如圖4. 11所示，當(dāng)且僅當(dāng) D、P、G、F四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.根據(jù)勾股定理得 D F =42 + 62 = 2 13 PD + PG的最小值為 2 .13 2PEG1D'ADBF C2思路點(diǎn)撥不難發(fā)現(xiàn)/ BGC = 90。是個(gè)定角，因此點(diǎn) G的軌跡為以BC為直徑的圓（部分），可以通過斜邊上 的中線構(gòu)造長度不變的動(dòng)線段，再利用三邊關(guān)系求解.&如圖3.6所示，在矩形 ABCD中，AB = 2, AD = 3，點(diǎn)E、F分別為邊 AD、DC上的點(diǎn)，且 EF = 2, 點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn) P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，貝U PA + PG的最小值為 .解：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)

12、稱點(diǎn)A '，連接A 'B、A P、DG,如圖4.12 所示 PA '= FA PA+ PG= PA '+ PG/ ADC = 90° EF = 2 “ 1 DG = - EF = 1/ PA'+ PG + DG 冰'D PA'+ PG 承 D DG如圖4. 13所示，當(dāng)且僅當(dāng) A、P、G、D四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立 根據(jù)勾股定理得A D = AA2+ AD2 = 2AB 2 + AD2 = 5 PA+ PG的最小值為 4.A'A'思路點(diǎn)撥與題7的已知條件是相似的，解法幾乎一致，抓住核心條件，線段EF始終不變，線段EF所

13、對(duì)的角為直角，因此斜邊上的中線DG始終不變，從而判斷出點(diǎn) G的軌跡圖形為圓利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將線段和最小值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離最小值問題，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最值求解.9.在平面直角坐標(biāo)系中，A(3, 0), B(a, 2), C(0, m), D(n, 0)，且m2+ n2 = 4，若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，貝U AB + BE的最小值為()A. 3B. 4C. 5D. 25解： C(0, m), D(n, 0), m2 + n2= 4, CD2= 4, CD = 2在RtCOD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn) OE = 1,即點(diǎn)E在以0為圓心，1為半徑的圓上.作圖4. 14,連接OE，過點(diǎn)A作

14、直線y= 2的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A B、A O A ' ,4) AB + BE= A B + BE = A 'B+ BE + EO EO 承 O EO如圖4.15所示，當(dāng)且僅當(dāng) A、B、E、O四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)勾股定理得 A O= - 32+ 42 = 5 AB + BE的最小值為4AA思路點(diǎn)撥 根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式1線，OE = - CD (定值)；根據(jù)圓的定義可知點(diǎn)2m2 + n2= CD2,得到CD的長度；由已知條件判斷出 OE為斜邊上的中 1E的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、- CD為半徑的圓；利2用對(duì)稱的性質(zhì)將線段和的最值問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最

15、值問題.10 .如圖3.7所示，AB = 3 , AC = 2,以BC為邊向上構(gòu)造等邊三角形BCD，貝U AD的取值范圍為解：以AB為邊向上作等邊 ABE，連接DE，如圖4. 16 所示 AB = BE, CB = BD，/ ABC=Z EBD = 60° / CBE 在AABC和AEBD中AB BE,/ ABE / EBD,CB BD, AABCAEBD(SAS)DE = AC= 2點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，2為半徑的圓. AE ED <AD 海 + ED如圖4. 17和圖4. 18所示，當(dāng)且僅當(dāng) A、E、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值 1<AD <5E*CA思路點(diǎn)撥這樣理

16、解AB= 3, AC = 2這個(gè)條件：固定一邊 AB，/ CAB可以自由變化，因此點(diǎn) C的軌跡是以 點(diǎn)A為圓心、2為半徑的圓通過構(gòu)造全等圖形找出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡禾U用圓外一點(diǎn)到圓周上的距離最值來解決冋題.拓展 本題的解法較多，對(duì)于 定點(diǎn)+動(dòng)點(diǎn)”的最值問題，探究動(dòng)點(diǎn)的軌跡圖形時(shí)直接的方法.11.如圖3.8所示，AB=3 , AC=2，以BC為腰（點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)）向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，則AD的取值范圍為;圖3.8解答：以AB為腰做等腰直角 ABE （/ ABE=90° ,連接DE,如圖4.19所示,圖 4.19 AE=v2AB=3v2，/ ABC=Z EBD=90° -Z

17、 CBE ,在 AABC 和 AEBD 中 ?= ?Z ?Z ?= ? ABC EBD ( SAS) ED=AC=2點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn) E為圓心、2為半徑的圓 AE ED <AD <AE+ ED如圖4.20和圖4.21所示，當(dāng)且僅當(dāng) A, E, D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值,圖 4.21DCA 3v2 2*D <3/2 + 2D的運(yùn)動(dòng)軌跡上，再利用圓外一點(diǎn)到思路點(diǎn)撥：解題方法基本同上題，也是通過構(gòu)造全等圖形找出點(diǎn) 圓周上的距離最值來解決問題12如圖3.9所示，AB=4, AC=2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，貝U AD的取值范圍為,AEB (/ AEB=90°，

18、連接 DE，如圖 4.22 所示,圖 4.22 / ?/ ?45 ° / ? ABCs ebdV為半徑的圓E、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值A(chǔ)E=#AB=2 v2，/ EBA= / CBD=45 °? ? =v2? ?-DE= AC=v2點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn) E為圓心、AE ED AD <AE+ ED如圖4.23和圖4.24所示，當(dāng)A、圖 4.23圖 4.24 v2<AD <3/2思路點(diǎn)撥：與前面兩題不同的是，由于旋轉(zhuǎn)中心不再是等腰三角形頂角的頂點(diǎn)，因此構(gòu)造全等圖形變 成構(gòu)造相似圖形，從而找出點(diǎn) D的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓周上的距離最值來解決問題13如圖3.10

19、所示，AB=4, AC=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點(diǎn)P,使AD=PD，貝U PB的取值范圍為 ,? ?= = A/2 ?_"厶圖 3.10解答：以AB為底邊構(gòu)造等腰直角 AEB (/AEB=90°，連接DE，如圖4.25所示,/ ?/ ?45 ° / ? ABC EBD DE=乎AC=v2點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn) E為圓心、V2為半徑的圓延長AE 至點(diǎn)Q,使AE=EQ，連接PQ、BQ,/ AD=DP , DQ=2DE=2邁如圖4.23和圖4.24所示，當(dāng)A、E、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值/ BE 垂直平分 AQ,. AB=BQ/ QAB=45

20、°ABQ 為等腰直角三角形， BQ=AB=4-BQ PQPBBQ+ PQ如圖4.26和圖4.27所示，當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最值圖 4.26圖 4.27 4- 2 v2<PB <4+ 2 v2思路點(diǎn)撥：注意到點(diǎn) P的產(chǎn)生與中點(diǎn)有關(guān)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)D捆綁”在一起，故可通過構(gòu)造中位線來判斷點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，再利用圓外一點(diǎn)到圓周上的距離最值來解決問題14. 如圖3.11所示，正六邊形 ABCDEF的邊長為2,兩頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，則頂點(diǎn) D到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離的最大值和最小值的乘積為 ；解答：取AB的中點(diǎn)G，連接DG、0G，如圖4.28所示,1/ AOB= / x

21、Oy=90° / OG=-AB=1 , 連接DB、OD DCB為等腰三角形/ C=120° ,DBC=30° DB= v3DC=2 v3,/ DBA=120° - 30° =90° _ 2在 RtDGB, GB=1,. DG = V? ?= V（2 擊）+ 12 =- DG OGOD+ DG當(dāng)且僅當(dāng)0、G、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值D、G在點(diǎn)O同側(cè)時(shí)取得最大值，在點(diǎn) 0異側(cè)時(shí)取最小值，如圖4.29所示,圖 4.29 V13 1<0D <M3 + 1 OD的最大值和最小值乘積為 （V13- 1）（ v13 + 1） =12思路點(diǎn)撥

22、：這個(gè)是 墻角”型問題，類似于梯子在墻角滑動(dòng)，將墻角變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，這樣移動(dòng)的范圍能擴(kuò)大到負(fù)方向；利用 墻角”產(chǎn)生的直角，以及 AB邊長不變的特點(diǎn)，作出 AB的中點(diǎn)G,禾U用斜 邊上的中線 0G和位置固定的兩點(diǎn) D、G來構(gòu)造兩條大小不變、位置變化的線段 0G、DG;利用兩邊 之和與兩邊之差得到 0D的最大值和最小值；另辟蹊徑：利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，我們假設(shè)正六邊形是不變的，坐標(biāo)系可以繞著正六邊形運(yùn)動(dòng)；利用/ AOB=90° AB=2，判斷出點(diǎn) 0的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)圓，如圖 4.30所示，02圖 4.30利用圓外一點(diǎn)到圓周上的距離最值解得OD的最大值和最小值；讀者可以自行計(jì)算驗(yàn)證15.

23、 如圖3.12所示，AB=4,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，O O的半徑為1，點(diǎn)P是O O上一動(dòng)點(diǎn)，APBC是以PB為直角邊的等腰直角三角形（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針方向排列），貝U AC的取值范圍為；解答：如圖4.31所示，以O(shè)B為腰向上構(gòu)造等腰直角 AOBQ，連接OP、CQ、AQ ；圖 4.31在等腰直角OBQ和等腰直角 ABPC中,?禰？ V2,Z QBO=45°-CQ= v2/ CBQ=45 -Z QBP= / PBO，： CBQs pbo? v2? ?= 2點(diǎn)C在以點(diǎn)Q為圓心，"為半徑的圓上, / OQ=OB=OA=2, Z QOB=90° AQ= V? ?=2 v2A

24、Q QCACAQ+ QC如圖4.32和圖4.33所示，當(dāng)且僅當(dāng)P圖 4.32圖 4.33 v2<AC<3v2思路點(diǎn)撥：由于APBC形狀固定，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、C到點(diǎn)B的距離之比始終不變，這是比較典型的位似 旋轉(zhuǎn)，也可理解為點(diǎn) P、C捆綁”旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn) C的軌跡與點(diǎn)P的軌跡圖形相似，相似比為 V2:1;利用相似找出動(dòng)點(diǎn) C軌跡的圓心，AC的最值即定點(diǎn) A到定圓上一動(dòng)點(diǎn)的距離的最值16. 如圖3.13所示，O O的半徑為3, RtABC的頂點(diǎn)A、B在O O上，Z B= 90 °點(diǎn)C在O O內(nèi)，且3tanA=-.當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OC的最小值為（）4A. 2C. 3d.5

25、4答案：連接 OB,過點(diǎn)B向下作BD丄OB，取BD = 4 OB，連接AD，如圖4.34所示.3/ CBA =Z OBD = 90° /-Z OBC= 90° / OBA =Z DBA.CB = OB = 3，/ OCBDAB ,/ OCAB BD 4AD AD辺D OA= OB2 BD2 OA = 2,當(dāng)且僅當(dāng)0、A、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值, / OC= 3 AD >3 X2= 3 .442D圖 4.34思路點(diǎn)撥又是比較典型的位似旋轉(zhuǎn)問題，我們利用相似的性質(zhì)將OC的最值問題轉(zhuǎn)化為 AD的最值問題通過旋轉(zhuǎn)型相似構(gòu)造 RtOBD,其中Z OBD = 90° /

26、ODB =/ CAB,因此點(diǎn)D為定點(diǎn)另外，由OCB DAB得到OC和AD之間的固定比例， 從而可利用AD的最值求解 OC的最值.AD的最值即為圓外一 點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最值 .另辟蹊徑根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°找到直徑AD，而Z ACD = 180°Z ACB為定值，因此由定弦定角得出點(diǎn) C的軌跡為圓弧，可根據(jù)圖 4.35所示計(jì)算OC的最小值.圖 4.3517. 如圖3.14所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Q(3，4)，點(diǎn)P是以Q為圓心、2為半徑的O Q上一動(dòng)點(diǎn),A(1 , 0), B( 1, 0)，連接 FA、PB,貝U FA2+ PB2的最小值是 .y*XBOA咬圖 3.

27、14答案：連接 OP、QP、OQ,如圖4.36所示設(shè)P(x, y).根據(jù)兩點(diǎn)距離公式得PA2= (x- 1)2+ y2, PB2= (x+ 1)2+ y2,PA2 + pb2= 2x2 + 2y2 + 2= 2(x2 + y2) + 2.OP= x2 y2 ,. OP2= x2+ y2,. PA2+ PB2= 2OP2+ 2,要求PA2 + PB2的最小值，即求 OP2的最小值，也就是求 OP的最小值，.OP辺Q PQ, 如圖4.37所示，當(dāng)且僅當(dāng) O、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，OP= 5 2= 3,. PA2 + PB2= 2OP2+ 2>2X23+ 2= 20.圖 4.36思路點(diǎn)撥根

28、據(jù)PA2+ PB2這樣的形式，產(chǎn)生兩個(gè)聯(lián)想，一是勾股定理，二是坐標(biāo)公式.要使用勾股定理，就得 把PA和PB構(gòu)造為兩條直角邊，在題圖中難以實(shí)現(xiàn)，所以轉(zhuǎn)而利用坐標(biāo)公式表達(dá)，我們便發(fā)現(xiàn)PA2+PB2與OP2的聯(lián)系，而 OP的最小值即圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最小值弦外之音 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然點(diǎn) P在動(dòng)，但OP始終是ABP邊AB上的中線，且 AB是個(gè)定值，我們 可以直接利用中線長公式得到 PA2 + PB2= 2OP2+ 膽，接下來的計(jì)算和上面是一致的 .公式的應(yīng)用有4助于對(duì)思路的拓展，因此學(xué)有余力的同學(xué)可以自行推導(dǎo)中線長公式（僅用勾股定理即可）.18. 如圖3.15所示，兩塊三角尺的直角頂點(diǎn)靠在一起，

29、BC= 3, EF = 2, G為DE上一動(dòng)點(diǎn).將三角尺DEF繞直角頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)一周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，B、G兩點(diǎn)的最小距離為 .AD答案：在 Rt ADEF 中，CE = 2，/ CDE = 30° . DF = 2, DE = 4.如圖4.38所示，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CGmax= DF = 2 3 ,DE43 CGW2 3.當(dāng)CG = 3時(shí)，以C為圓心、 在ADEF旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn) 因此，當(dāng)BG恰好重合時(shí)，CG為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)B.G會(huì)經(jīng)過點(diǎn)B.BG取得最小值為0.圖 4.38D(G')思路點(diǎn)撥這是個(gè) 特別”的題，點(diǎn)G是DE上一動(dòng)點(diǎn)，因此在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，點(diǎn) G的軌跡不是

30、線而是面，這 個(gè)面的形狀為以點(diǎn) C為圓心、分別以 CGmin和CGmax為半徑的同心圓環(huán)，點(diǎn) B也在這個(gè) 面軌跡”中, 因此BG的最小值為0.19. 如圖 3.16 所示，在 Rt AABC 中，/ ABC = 90 ° / ACB = 30 ° BC = 22 , AADC 與 AABC 關(guān)于 AC 對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且 DE = CF , BE、DF相交于點(diǎn)P,貝U CP的最小值 為（）A.1 B. 3 C.3D.2DBF C圖 3.16答案：連接BD，如圖4.39 所示./ ADC 與 AABC 關(guān)于 AC 對(duì)稱，/ ACB = 30

31、76; BC = CD，/ BCD = 60° BDC 是等邊三角形， BD = CD，/ BDC = Z BCD = 60°.在 ABDE 和 ADCF 中，BD = CD，/ BDC =Z BCD , DE = CF , BDE也DCF(SAS,./ BED = Z DF C./ BED + Z PEC = 180°PEC + Z DFC = 180°/ DCF +Z EPF = Z DCF +Z BPD = 180°./ DCF = 60°BPD = 120°./點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持/ BPD = 120°點(diǎn)P的

32、運(yùn)動(dòng)路徑為以 A為圓心、AB為半徑的120°的弧.當(dāng)C、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，CP能取到最小值，如圖 4.40所示， CPAC- AP= 2，即線段CP的最小值為2.BFC圖 4.39CB404 圖思路點(diǎn)撥需要熟悉等邊三角形中的常見全等圖形因?yàn)辄c(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持/ BPD = 120° BD又是定長，所以點(diǎn)P的路徑是一段以點(diǎn) A為圓心的弧，于是將 CP的最小值轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最小 值.20. 如圖3.17所示，sinO= 3，長度為2的線段DE在射線OA上滑動(dòng)，點(diǎn)C在射線0B上，且0C =55, 則CDE周長的最小值為.答案：過點(diǎn) C作CC'/ DE且CC&

33、#39;= DE，連接C'E,如圖4.41所示， 四邊形CC'ED為平行四邊形， C'E = CD.作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn) C，連接CE、CD、CC,. CE = CE, CD + CE= C'E + CE = C'E+ C' 'E毛C",當(dāng)且僅當(dāng)C'、E、C"三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，如圖4.42所示./ CC"關(guān)于OA對(duì)稱， OA垂直平分 CC", CC" = 2CF = 2OC siO = 6.在 RtCC'C"中，C'C" = CC'2

34、 CC 2 = 2 10, CDE周長的最小值為 2 10 + 2.B CO圖 4.41B CB 4.42°思路點(diǎn)撥因?yàn)镈E為定值，所以CDE周長的最小值問題轉(zhuǎn)變?yōu)?CD + CE的最小值問題.似 飲馬”非 飲馬” 注意觀察，這是一定兩動(dòng)問題 .利用平移將動(dòng)線段 DE壓縮”為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；軸對(duì)稱后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段 最短找到最小值線段，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可解決問題21、如圖3.18所示，在矩形 ABCD中，AB=6, MN在邊 AB上運(yùn)動(dòng)，MN= 3, AP= 2, BQ=5，貝U PM+MN+NQ 的最小值是。圖MIEIInnni解：作QQ MN 3，作點(diǎn)Q關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接

35、PQ，連接Q M、Q M，作Q"H DA于點(diǎn)H ,如圖4.43所示， 四邊形MNQ'Q為平行四邊形，Q'M Q”M ,PM NQ MNPM Q'M 3 PQ" 3，如圖4.44所示，當(dāng)P、M、Q"三點(diǎn)共線時(shí)，PM Q”M取得最小值。Q'q"關(guān)于 AB 對(duì)稱，Q'q" 2BQ 10, AH=BQ= 5， PH=AP+AH= 2+5=7。在 RtAPH Q”中，HQ" AB QQ=3，PQ"PH 2 HQ”2. 72 32. 58， PM+MN+NQ 的最小值為 3+、58。思路點(diǎn)撥：作

36、QQ' / AB，使得QQ' MN 3，作點(diǎn)Q'關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)Q'',連接PQ'',當(dāng) P、M、Q"三點(diǎn)共線時(shí)，PM+MN+NQ 的值最小。作 Q''H DA，利用勾股定理求出 PQ”即可解決問 題。22、如圖3.19所示，在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB=90°, AB= 6, D為AB的中點(diǎn)，E為CD 上的點(diǎn)，且 CE=2DE, PQ為AB上的動(dòng)線段，PQ= 1 , F為AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接 EQ、FP,貝U EQ+FP 的最小值為。B圖Nig解：所示，如圖4.46所示，當(dāng)且僅當(dāng) E'

37、、 P、F三點(diǎn)共線且 E''衛(wèi)AC時(shí)取到最小值。當(dāng) E''衛(wèi)AC時(shí)，設(shè)E' E'' 與AD的交點(diǎn)為G,E''與AD的交點(diǎn)為H，如圖4.47所示。t E'與E'關(guān)于AB對(duì)稱，E'' G=E G=ED=,AG=2，/ A=45°,/ FHA= / E'' HG=°, HG=E' G= , AH=AG HG= 1。在等腰直角 AAFHFH=遼，E'' H=2 , E'' F=E' ' H+F2過點(diǎn)E作EE&

38、#39; / PQ，取EE' =PQ=1,作點(diǎn)E'關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E'，'連接E'P E'',P如圖4.45 四邊形 EE' PQ為平行四邊形，E' P=E ',P E' P=EQ EQ+FP=E P+FP=E' P+FP E'',F和 HGE '中，AH= 1, HG= 1 ,£=2 , 當(dāng) E''衛(wèi) AC 時(shí),2e'取得最小值為鼻2。28B圖447思路點(diǎn)撥: 度來找最小值。 題也要將線段作EE'/PQ ,取EE'=PQ,構(gòu)

39、造平行四邊形，將EQ+FP的長度轉(zhuǎn)化為E'P+ FP的長作對(duì)稱點(diǎn)，構(gòu)造 將軍飲馬”模型，再利用 垂線段最短”求出最小值。與題21類似，本 PQ壓縮”為一個(gè)點(diǎn)，屬于平移后求垂線段長度的問題。23、如圖是邊BC、CD上的線段, 值為3.20所示，在正方形 ABCD中，AB=4, E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，MN和PQ分別 MN=PQ= 1，依次連接 EM、NP、QF、EF，則六邊形 EMNPQF周長的最小解：分別過點(diǎn)E、F作BC、CD的平行線，截取EE =FF' =MN=PQ,作點(diǎn)E'關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E'， 點(diǎn)F'關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F'，'連

40、接E'N E''、NF'R F'', P如圖4.48所示， 四邊形EE' NM和四邊形 FF' PQ為平行四邊形，EM=E N , FQ=F'P。點(diǎn)E'、E'關(guān)于BC對(duì)稱，N為BC上的點(diǎn)，E' N=E'：N同理，F(xiàn)' P=F' '。1六邊形 EMNPQF 的周長=EM+MN+NP+PQ+FQ+EF ，其中 MN、PQ、EF 為定值， 要求周長最小值即求 EM+NP+FQ 的最小值。t EM+NP+FQ=E N+NP+F ' P E'' F如圖4

41、.49所示， 當(dāng)E'、'N、P、F'四點(diǎn)共線時(shí)取到最小值。建立如圖4.50所示的坐標(biāo)系，由題意得點(diǎn) E的坐標(biāo)為(0,2) ,E'(1 , 2), E''(1, 2)。同理可得 F' (6,3),E''F'。T AE=AF= 2,EF= J2思路點(diǎn)撥：本題中有兩條定線段平移，那我們就仿照上兩題的方法平移兩次即可。分別構(gòu)造平行四邊形EE NM和平行四邊形FF' PQ將六邊形EMNPQF的周長最小值問題轉(zhuǎn)化為 E'' N+NP+F '的最小值問題（屬于 郵差送信”問題），依舊作出對(duì)稱點(diǎn)，根

42、據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求出最小值。這里求解 最小值時(shí)用到了平面直角坐標(biāo)系，這是偷懶”的一種計(jì)算方法，相當(dāng)于在平面直角坐標(biāo)系的背景下應(yīng)用勾股定理，亦可根據(jù)勾股定理求解 E' F。與題21,題22相比，本題是兩次平移后的 兩點(diǎn)之間距離” 問題。24、如圖3.21所示，在矩形 ABCD中，AB= 2, BC= 4, E、F分別為 AD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且 EF丄 AC,連接 AF、CE,貝U AF+CE的最小值為 。圖£21解：過點(diǎn) C作CG/ EF，且CG=EF，連接FG、AG,如圖邊形， EC=FG。在圖4.52中，過點(diǎn)B作BH / EF , 四邊形EF 丄 AC,AABCHAB ,

43、 BH : AC=EF :AC=AB :BC。綜上所述，為定點(diǎn)，AF + CE=AF + FG AG ,如圖4.53所示，當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)取到最小值。2、5，在 RtMCG 中，AG= . AC2 CG2中,圖4,力4.51所示， 四邊形ECGF為平行四BFEH為平行四邊形， EF=BH。':CG 丄 AC 且 CG=EF= 5 , G在矩形ABCD思路點(diǎn)撥：本題要求兩條線段和的最小值，而對(duì)分開的兩線段不易判斷最值的問題，所以需要將它們合并起來，可采用的方法是全等轉(zhuǎn)換，我們這里使用的是平移變換。將線段CE平移至以點(diǎn)F和另一個(gè)固定點(diǎn)G為端點(diǎn)的線段位置，即可根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決最

44、小值問題。25、如圖 3.22 所示，在？ABCD 中，AD= 7, 剪開，將ABE沿BC方向平移到ADCF的位置,AB= 2.3，/ B= 60°, E是邊BC上任意一點(diǎn)，沿 AE得到四邊形AEFD，則四邊形AEFD周長的最小值為y解：如圖AD=EF ,最小值。4.54所示，將ABE平移，ABEDCF ,四邊形 AEFD 的周長=2AD + 2AE= 14+ 2AE。0=3,圖 4.54AE=DF , BE=CF。在?ABCD 中, AD=BC ,如圖4.55所示，當(dāng)AE丄BC時(shí)，AE取得四邊形AEFD周長的最小值=14+ 6=20。思路點(diǎn)撥：四邊形 長的最小值問題轉(zhuǎn)化為AEFD依

45、舊是一個(gè)平行四邊形，周長等于2 (AD + AE),故將四邊形 AEFD周AE的最小值問題。根據(jù) 點(diǎn)到直線，垂線段最短”即可解決問題。26. 如圖1所示，在 RtABC中，/ BAC = 90° AB = 4, AC= 3，點(diǎn)D、E分別是 AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上(均不與端點(diǎn)重合)，DG / EF 將BDG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180 °將CEF繞點(diǎn)E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,拼成四邊形 MGFN，則四邊形 MGFN周長I的取值范圍是 .圖126.解：由題意得 ABGD也AAMD , / M = Z DGB , AM/ BG,四邊形MGFN為平行四邊形， 1 =

46、 2 ( GF + GM).GF = MN = BG + CF = BC- GF ,1 5GF = BC =2 2/ GM = 2DG , 當(dāng)DG取得最小值時(shí)，四邊形 MGFN的周長最??；同理，當(dāng) DG取得最大值時(shí)，四邊形 MGFN周 長最大如圖1和圖2所示，當(dāng)DG丄BC時(shí)，DG取得最小值；若點(diǎn) G與點(diǎn)B重合，貝U DG取得最大值圖1圖2當(dāng)DG丄BC時(shí),/ B是公共角， BDG sABCA , - BD : BC= DG : AC,6<DG v 2,549-卻v 135思路點(diǎn)撥：四邊形MGFN為平行四邊形，而 GF為定值，所以將周長的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為線段DG ( EF)的取值范圍問題，

47、當(dāng) DG丄BC時(shí)DG取得最小值；由于點(diǎn) G、F與端點(diǎn)均不重合，因此最大值取不到27. 如圖1所示，在 Rt AABC中，/ ACB = 90° CD丄AB.若CD = 3，貝U Szabc的最小值為 圖127解：取AB的中點(diǎn)E,連接CE，如圖1所示,CE= AB.2/ CD 丄 AB,. CEKD ,AB >2D = 6,當(dāng)且僅當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)取到最小值， Smbc的最小值為9.思路點(diǎn)撥CD為定值，則當(dāng)AB最小時(shí)，Szabc取得最小值 根據(jù) 斜邊上的中線等于斜邊的一半 ”和 垂線段最短 找到當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，AB取得最小值為2CD.直角三角形中斜邊上的中線是一個(gè)比較容易被忽

48、略 的知識(shí)點(diǎn)，尤其是在需要主動(dòng)去構(gòu)造的時(shí)候28. 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為圓心、2為半徑畫O O, P是O O上一動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn) P作O 0的切線與x軸相交于點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)A,則線段AB的最 小值是.28.解：取AB的中點(diǎn)Q,連接圖1 “ 1-0Q = AB.2/ 0POQ,1AB 俎P,2 AB >4即AB的最小值為4,此時(shí)AAOB為等腰直角三角形.思路點(diǎn)撥要求AB的最小值，只需取 AB的中點(diǎn)，求出斜邊上的中線的最小值，根據(jù)垂線段最短”，AB的最小值在0P與斜邊上的中線重合時(shí)取到 .29.如圖1所示，在矩形 ABCD 中,AB、BC、AD、DC

49、分別交于點(diǎn)BC = 8, AB= 6,經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)D的兩個(gè)動(dòng)圓均與 AC相切，且與 G、H、E、F，貝U EF + GH的最小值是 .圖129.解：設(shè)切點(diǎn)為 N，連接0D、ON，作出DM，如圖1所示.AC邊上的高圖1 / / ADC = 90° EF 為O O 的直徑，AC= , 62 82 = 10， EF = OD + ON »M，當(dāng)且僅當(dāng)切點(diǎn)為點(diǎn) M時(shí)EF取到最小值，2|s：adc6 8EF min= DM = = 4.8.AC 10矩形為中心對(duì)稱圖形， 同理，GHm n= EF min = 4.8，-(EF + GH)min= 96恩路點(diǎn)撥雖然目標(biāo)式是 EF + G

50、H的組合形式，但是觀察后發(fā)現(xiàn)兩個(gè)線段可獨(dú)立求解最值由于矩形為中心對(duì)稱圖形，因此EF和GH的最小值顯然是相等的，于是將問題轉(zhuǎn)化為求EF的最小值，注意到 EF是圓的直徑，根據(jù) 垂線段最短”，可知圓的最短直徑是 ACD斜邊上的高線30.如圖1所示，在 AABC中，/ C= 90° AC= 4, BC= 3點(diǎn)D、E分別為 AC、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且 DE = 3，以DE為直徑作O O,交AB于M、N，貝U MN的最大值為 .30.解：過點(diǎn) 0作0G丄AB，連接ON、CO,如圖1所示,1 3-ON = r = DE =2 21-GN = GM = MN .2ON為定值，故當(dāng) OG取最小值時(shí)，GN

51、取得最大值，即 MN在 RtOGN 中，GN2= ON2-OG2,其中 取得最大值.過點(diǎn)C作CH丄AB.在 RtAABC 中，AC= 4, BC = 3,二 AB = 5.G11T Saabc= AC BC= 一 CH AB,22“ 12二 CH =CO + OG,5 OG 芒3 = 25210 GNmax = (3)2 ( 9 )2 = 6 ,Y 210512 MN max= 2GNmax=.5思路點(diǎn)撥MN上的垂徑最短時(shí)，MN取得最大值，根據(jù) 垂線段最短DE為定值，即O O的半徑為定值，故當(dāng)弦 找出0G最短時(shí)垂足的位置.31.如圖3.28所示，在Rt ABC中， A點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

52、90得到點(diǎn)90 , AB 3 , P'，連接 CP',解：如圖4.62所示，過點(diǎn)P'作PE' AC于點(diǎn)E，則 A由題意可得DP P'D , PDP' 90 , ADP EP'D在厶DAP和厶P'ED中ADP EP'DADPP'EDDP'DAP P'ED(AAS)二 P'E AD 2 CP' P'E當(dāng)AP DE 2，即點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，CP' P'E 2 ,線段CP'的最小值為2oCAC 4，D為AC的中點(diǎn)，P為AB上的動(dòng) 則線段CP'的最小值為

53、P'ED 90C32.如圖3.29所示，已知 MON 30 , B為OM上一點(diǎn)，P為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，連接 CP，將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到CE，連接BE。若AB 4，則 BE的最小值為BA ON于點(diǎn)A ,四邊形ABCD為正方形,BPc-E圖 3.29解：連接 在正方形 由題意得BCEPD，如圖4.64所示 ABCD 中，CD BC， PC CE，DCP 90BCD 90。PCE 90BCP在厶BCE和厶DCP中BC CDBCE DCPCE CP BCE DCP (SAS) BE PD 如圖4.65所示，當(dāng)PD 在 Rt AOB 中， O OA 3AB 4.3N在 Rt ODP 中，PD BE的最小值為2.3OM時(shí),30PD取得最小值11-OD _(0A222AD) 2 3 2,N33.已知梯形 ABCD中，AB 3，BC 4。若P為線段AB上任意一點(diǎn)，延長 PD到點(diǎn)作口 PCQE，如圖3.30所示，則對(duì)角線 PQ的最小值為 AD/BC ,AB BC，ADE，使DE 2PD，再以PE、PC為邊oQB圖 3.30DFCQ圖 4.66圖 4.67圖 4.6830，點(diǎn)P是射線CPMMNAB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，cos解：如圖4.66所示/ PE/CQ , 2PD DE PFD QFCDFPDPF 1FCCQFQ 311PFPQ,DF -DC44即F為DC的四等分點(diǎn)（定點(diǎn)）如圖4.