高中數(shù)學(xué)易錯、易混、易忘問題集錦

1、高中數(shù)學(xué)易錯、易混、易忘問題集錦1 .在應(yīng)用條件AU B=B A AB=A A£b時，易忽略A是空集的情況 .2 .求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則3 .判斷函數(shù)奇偶性時，易忽略檢驗(yàn)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱4求反函數(shù)時，易忽略求反函數(shù)的定義域.5.函數(shù)與其反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論：f 1（b） a f（a） b6,原函數(shù)在區(qū)間-a,a上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)y f 1（x）也單調(diào)遞增；，一一一 一 ，一 1但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào).例如：y .x7,根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范格式是什么？（取值，作差，判正負(fù). ）8求函數(shù)單調(diào)性時，易錯誤

2、地在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號“U”和“或”；單調(diào)區(qū)間不能 用集合或不等式表示.9用均值定理求最值（或值域）時，易忽略驗(yàn)證“一正二定三等”這一條件bb b10 .你知道函數(shù)y ax -（a 0,b 0）的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在（，一和七一，） xa a或上單調(diào)遞增；在A。）和（。，羽上單調(diào)遞減）這可是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)?。ㄆ湓?第一象限的圖像就象“，”，特命名為：對勾函數(shù)）11 .解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1）字母底數(shù)還需討論呀12 .用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性.13用判別式判定方程解的個數(shù)（或交點(diǎn)的個數(shù)）時，易忽略討論二次項(xiàng)

3、的系數(shù)是否為0尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略14 .等差數(shù)列中的重要性質(zhì)：若 m+n=p+q則am an ap aq;（反之不成立） 等比數(shù)列中的重要性質(zhì)：若m+n=p+qU aman apaq（反之不成立）15 .用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比q = 1的情況16 .已知Sn求a時，易忽略n= 1的情況.17 .等差數(shù)列的一個性質(zhì)：設(shè) Sn是數(shù)列 an的前n項(xiàng)和， 4 為等差數(shù)列的充要條件是：Sn an2 bn （a, b為常數(shù)）其公差是 2a.18 .你知道怎樣的數(shù)列求和時要用“錯位相減”法嗎？（若cn anbn其中 0J是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求g的前n項(xiàng)的和）“，一、一一

4、 ，11119你還記得裂項(xiàng)求和嗎？（如 ）n（n 1） n n 120 .在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、 余切函數(shù)的定義域了嗎？你注意到正弦函數(shù)、 余 弦函數(shù)的有界性了嗎？21 .你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降哥公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊八1 .(l | | r,S扇形lr)tan sin cos0這些統(tǒng)稱為 42角.異角化同角，異名化同名，高次化低次）22 .你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎?23 .在三角中，你知道1等于什么嗎?2_ 2_ 2._2(1 sin cossectantan cot1的代換）常數(shù)“1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用24 .反正弦、反余弦、

5、反正切函數(shù)的取值范圍分別是,0,（-,-）2 22 225*0與實(shí)數(shù)0有區(qū)別，0的模為數(shù)0,它不是沒有方向，而是方向不定 0可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直26, a 0,則ab 0,但ab 0不能彳#到a 0或b 0二a b有ab 0,27* a b時，有a c b c*反之a(chǎn) c b c不能推出a b28. 一般地 a (b c) (a b) c .29. 在 ABC 中，AB sin A sin B30*使用正弦定理時易忘比值還等于2R a:b:c sin A: sin B : sin C31在求不等式的解集、定義域及值域時，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示；不能用不等式32.兩

6、個不等式相乘時,必須注意同向同正時才能相乘 ，即同向同正可乘；同時要注意“同號可倒”LaVbVo-a ba b33*分式不等式上合 >慎1H 0）的一般解題思路是什么？（移項(xiàng)通分、零點(diǎn)分段） 乳X）34.解指對不等式應(yīng)該注意什么問題？（指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的真數(shù)大于35.在解含有參數(shù)的不等式時,怎樣進(jìn)行討論？（特別是指數(shù)和對數(shù)的底 Q營V1或口 > 1 ）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是36.常用放縮技巧:11111112n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n37*解析幾何的主要思想：用代數(shù)的方法研究圖形的性質(zhì),主要方法：坐標(biāo)法，38用直線的

7、點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線的方程時，易忽略斜率不存在的情況.39.用到角公式時，易將直線l1,l2的斜率k1,k2的順序弄顛倒*40直線的傾斜角、心也 的角、與0的夾角的取值范圍依次是0, ）,（0, ）,（0,-*41函數(shù)的圖象的平移、方程的平移以及點(diǎn)的平移公式易混:sinxsin(x -)sinxy y 27&y軸向上平移2sin x,即 ysin x 2Dysinxx 2x7&x軸縮短到原來的sin2x4)ysin x1x x27&x軸伸長到原來的1sin - x2sin xy 2y7&y軸縮短到原來的2ysin x,即 y1-一 sin x2sin x,即 y

8、 2sin x1y 2y7&y軸伸長到原來的1-y sin x2點(diǎn)的平移公式：點(diǎn) P（x,y）按向量a=（h, k）平移到點(diǎn)P/ （x/, v 則x/= x+ h, y/ = y+ k*42 .定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式是什么？（起點(diǎn)，中點(diǎn)，分點(diǎn)以及工值可要搞清）43 .對不重合的兩條直線4工+片尸+G = °, % ： 4大+3口了+= o,有A邑-A5.；+52 =0.（在解題時，討論k后利用斜率k和截距b ）44*直線在坐標(biāo)軸上的截距可正，可負(fù)，也可為45.處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：（1）點(diǎn)到直線的距離；（2）直線方程與圓的46.47.方程聯(lián)立，判別式 一般來說，前者更

9、簡捷.處理圓與圓的位置關(guān)系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形48.49.50.51還記得圓錐曲線的兩種定義嗎？解有關(guān)題是否會聯(lián)想到這兩個定義？ 2,2,2cabb一還記得圓錐曲線方程中的 a,b,c,p, 一, 一的息義嗎？acca在利用圓錐曲線統(tǒng)一定義解題時，你是否注意到定義中的定比的分子分母的順序？離心率的大小與曲線的形狀有何關(guān)系？（圓扁程度，張口大?。┑容S雙曲線的離心率是多少?52*在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零？判別式ANO的限制.（求交點(diǎn)，弦長，中點(diǎn)，斜率，對稱，存在性問題都在A &g

10、t;0下進(jìn)行）,53,橢圓中，注意焦點(diǎn)、中心、短軸端點(diǎn)所組成的直角三角形（ a, b, c）54* 通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短的弦.（想一想在雙曲線中的結(jié)論？）55你知道橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a, b, c之間關(guān)系的差異嗎？56.如果直線與雙曲線的漸近線平行時 ，直線與雙曲線相交，只有一個交點(diǎn)；如果直線與拋物 線的軸平行時，直線與拋物線相交，只有一個交點(diǎn).此時兩個方程聯(lián)立，消元后為一次方程 57.經(jīng)緯度定義易混經(jīng)度為二面角，緯度為線面角.58.求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角二面角時，如果所求的角為90。，那么就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法59*線面平行的判定

11、定理和性質(zhì)定理在應(yīng)用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談；面 面平行的判定定理易把條件錯誤地記為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩 條相交直線分別平行”而導(dǎo)致證明過程跨步太大60*作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、三垂線法、垂面法）三垂線法：一定平面，二作垂線，三作斜線，射影可見.61.求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、等體積法、換點(diǎn)法、向量法）62求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補(bǔ)法、等積變換法）63+兩條異面直線所成的角的范圍：0°< “ <90°直線與平面所成的角的范圍：0o< “卻0°二面角的平面角的取值范

12、圍：0° < a 180 °64二項(xiàng)式（a b）n展開式的通項(xiàng)公式中a與b的順序不變*65*二項(xiàng)式系數(shù)與展開式某一項(xiàng)的系數(shù)易混，第r + 1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C：66 .二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式中系數(shù)最大項(xiàng)易混.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為中間一項(xiàng)或兩項(xiàng); Tr 1Tr.展開式中系數(shù)最大項(xiàng)的求法為用解不等式組來確定r .Tr 1 Tr 267 .解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合68 .解排列組合問題的規(guī)律是：相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位 問題優(yōu)先法；定序問題倍縮法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法； 至多至少

13、問題間接法或看為若干個恰好 一69 .二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生k次的概率與二項(xiàng)分布的分布列三者易記混.通項(xiàng)公式：Tr i C；an rbr （它是第r + 1項(xiàng)而不是第r項(xiàng)） .事件A發(fā)生k次的概率：Pn（k） C； pk（1 p）n k.B 蚌火電 qLJ 咂 n, p 力其中 k=0,i,2,3,n,且 f p+q=i 70*常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:sin x +C' 0； (xn)' nxn 1 ； (sin x)' cosx； (cos x)1(In x) (log a x)x1loga e. xx x(e )1 e(ax)'

14、ax In a ./ 、u(uv) u v uv ; vu v uv2，vf (u(x)fuux高中數(shù)學(xué)易錯點(diǎn)匯總1 .在應(yīng)用條件 AUB=B, AAB = A時，易忽略 A是空集的情況。2 .求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則，尤其是在與實(shí)際生活相聯(lián)系的應(yīng) 用題中，判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)也要判斷函數(shù)的定義域，求三角函數(shù)的周期時也應(yīng)考慮定義域。3 .判斷函數(shù)奇偶性時，易忽略檢驗(yàn)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，優(yōu)先考慮定義域?qū)ΨQ。4 .解對數(shù)不等式時，易忽略真數(shù)大于0、底數(shù)大于0且不等于1這一條件。5 .用判別式法求最值（或值域）時，需要就二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論，易忽略其 使用的條件

15、，應(yīng)驗(yàn)證最值。6 .用判別式判定方程解的個數(shù)（或交點(diǎn)的個數(shù)）時，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為 0。尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略。7 .用均值定理求最值（或值域）時，易忽略驗(yàn)證“一正（幾個數(shù)或代數(shù)式均是正數(shù)） 二定（幾個數(shù)或代數(shù)式的和或者積是定值）三等（幾個數(shù)或代數(shù)式相等）”這一條件。8 .用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性。9 .求反函數(shù)時，易忽略求反函數(shù)的定義域。10 .求函數(shù)單調(diào)性時，易錯誤地在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號“U”和“或”；單調(diào) 區(qū)間不能用集合或不等式表示，而應(yīng)用逗號連接多個區(qū)間。11 .用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比q=1的情況。12 .已知Sn求an時，易忽略

16、n = 1的情況。13 .用直線的點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線的方程時，易忽略斜率不存在的情況；題目告訴截距相等時，易忽略截距為 0的情況。14 .求含系數(shù)的直線方程平行或者垂直的條件時，易忽略直線與x軸或者y軸平行的情況。15 .用到角公式時，易將直線 L1、L2的斜率k 1、k 2的順序弄顛倒；使用到角公式或 者夾角公式時，分母為零不代表無解，而是兩直線垂直。16 .在做應(yīng)用題時，運(yùn)算后的單位要弄準(zhǔn)，不要忘了 “答”及變量的取值范圍；在填 寫填空題中的應(yīng)用題的答案時 ，不要忘了單位。應(yīng)用題往往對答案的數(shù)值有特殊要求，如許多時候答案必須是正整數(shù)。17 .在分類討論時，分類要做到“不重不漏、層次分明，

17、進(jìn)行總結(jié)”。18 .在解答題中，如果要應(yīng)用教材中沒有的重要結(jié)論，那么在解題過程中要給出簡單的證明，如使用函數(shù)y=x+ 1的單調(diào)性求某一區(qū)間的最值時，應(yīng)先證明函數(shù)y=x+ 1的單調(diào)xx性。19 .在求不等式的解集、定義域及值域時，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示；不能用 不等式表示。20 .兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能相乘 ，即同向同正可乘；同時要注意“同 號可倒”即 A>B>0, 0< - < 1 oa b21 .分組問題要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題易忘除以 n!。同時還要注意區(qū)分是定向分組還是非定向分組；分配問題也注意區(qū)分是平均分配還是

18、非平均分配，同時還要注意區(qū)分是定向分配還是非定向分配。22 .已知4ABC中的兩個角 A、B的正余弦值，求第三個角 C的正余弦值，易忘第三 個角C有解的充要條件是 cosA+cosB>0,這是由三角形內(nèi)角和為 180 °決定的。23。如果直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，只有一個交點(diǎn)；如果直線與 拋物線的軸平行時，直線與拋物線相交，只有一個交點(diǎn)。此時兩個方程聯(lián)立，消元后為一次方 程。即直線與雙曲線或者拋物線只有一個交點(diǎn)時，包括相切和上述情況。24 .求直線與圓、圓錐曲線相交弦問題用韋達(dá)定理時，求出字母系數(shù)后，應(yīng)代入判別式中檢驗(yàn)。25 .求兩條異面直線所成的角、直線與

19、平面所成的角和二面角時，如果所求的角為90 °那么就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法。26 .二項(xiàng)式(A +B)n展開式的通項(xiàng)公式中 A與B的順序不變。27 .使用正弦定理時易忘比值還等于2R,即 =J =2Rsin A sin B sinC28 .恒成立問題不要忘了主參換位以及驗(yàn)證等號是否成立。29 .概率問題要注意變量是否服從二項(xiàng)分布。從而使用二項(xiàng)分布的期望和方差公式求 期望和方差。30 .面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個 平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行”而導(dǎo)致證明過程跨步太大，正確的判定方法是：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平

20、行于另一個平面，那么這兩個平面平行。31 .函數(shù)的圖象的平移、方程的平移以及點(diǎn)的平移公式易混：(1)函數(shù)的圖象的平移為“左 +右-，上+下-"；如函數(shù)y = 2x+4的圖象左移2個單 位且下移3個單位得到的圖象的解析式為y=2 (x+2) +4 3。即y=2x+5 。(2)方程表示的圖形的平移為“左+右-,上-下+” ；如直線2x -y+4=0 左移2個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為2(x+2)-(y +3)+4=0 。即y=2x+5 。(3)點(diǎn)的平移公式：點(diǎn) P(x,y)按向量=(h , k)平移到點(diǎn)P' (x' , y'),則x' =x+

21、h ,y，= y+ k 。32 .橢圓、雙曲線 A、B、c之間的關(guān)系易記混。對于橢圓應(yīng)是A2-B2= c 2,對于雙曲線應(yīng)是A2+B2= C 2。33 . “屬于關(guān)系”與“包含關(guān)系”的符號易用混，元素與集合的關(guān)系用 aCA,集合與 集合的關(guān)系用A Bo34 . “點(diǎn)A在直線A上”與“直線 A在平面“上”的符號易用混，如： AA, A a.35 .橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上與焦點(diǎn)在y軸上的焦半徑公式易記混；橢圓和雙曲 線的焦半徑公式易記混。它們都可以用其第二定義推導(dǎo)，建議不要死記硬背，用的時候再根據(jù)定義推導(dǎo)。36 .兩個向量平行與與兩條直線平行易混，兩個向量平行(也稱向量共線)包含兩個向量重合，

22、兩條直線平行不包含兩條直線重合。37 .各種角的范圍:兩條異面直線所成的角0 < a 90Q直線與平面所成的角斜線與平面所成的角二面角 0 ° W a 180兩條相交直線所成的角11 至IJ 12 的角 0°< a< 180傾斜角0° << 180兩個向量的夾角 0銳角 0°< a< 90 °0° < a90 °0 < a< 90 °(夾角)0 < “對0°< a180高中數(shù)學(xué)易錯題舉例解析高中數(shù)學(xué)中有許多題目，求解的思路不難，但解題

23、時，對某些特殊情形的討論，卻很容 易被忽略。也就是在轉(zhuǎn)化過程中，沒有注意轉(zhuǎn)化的等價性，會經(jīng)常出現(xiàn)錯誤。本文通過幾個 例子，剖析致錯原因，希望能對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。加強(qiáng)思維的嚴(yán)密性訓(xùn)練。忽視等價性變形，導(dǎo)致錯誤。X>0y>0x + y>0 xy>0x>1y>2x + y>3 xy>2不等價。【例1】已知f(x) =ax +f(1) 0, 3f (2) 6,求f (3)的范圍。錯誤解法由條件得3 2aX 2一15X 2得831033a2343310即10 f (3)3433錯誤分析采用這種解法,忽視了這樣一個事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù) f(x) a

24、x -, b其值是同時受a和b制約的。當(dāng)a取最大(小)值時，b不一定取最大(小)值，因而整個 解題思路是錯誤的。f(1) a b正確解法由題意有b,解得:f(2) 2a 21a §2f(2)f 3a”3)2f(1), b 32f (1) f(2),b f (2) 5f (1).把f (1)和f(2)的范圍代入得39937.3在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有 牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。忽視隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果錯誤?！纠?】設(shè)、是方程x2 2kx k 6 0的兩個實(shí)根，則(1)2 (1)2的最小值是49(A)49(B) 8(C) 1

25、8(D)不存在4思路分析 本例只有一個答案正確，設(shè)了 3個陷阱，很容易上當(dāng)。2(1)2 (1)22(4(k利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：2 k,k 6,212 2)2 22(3、249一)一.4449有的學(xué)生一看到，常受選擇答案(4A)的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。原方程有兩個實(shí)根、，4k2 4(k 6) 0 k 2或k 3.當(dāng)k 3時，(1)2 (1)2的最小值是8；當(dāng)k 2時，(1)2 (1)2的最小值是18。這時就可以作出正確選擇，只有( B)正確。 2(2)已知(x+2) 2+ 4

26、=1,求x2+y2的取值范圍。錯解 由已知得 y 2=-4x2-16x-12,因此 x 2+y2=- 3x2- 16x - 12= - 3(x+ 8) 2+ 2833，當(dāng)x= 3時，x2+y2有最大值 號,即x2+y2的取值范圍是(一00,岑。分析 沒有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。事實(shí)上，由于(x+2) 2+ - =1(x+2) 2=1 - < 1-3<x<- 1,4''4'從而當(dāng)x=1時x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范圍是1, 28 。3注意有界性：偶次方 x2>0,三角函數(shù)iwsinxwi,指數(shù)函數(shù)ax>0

27、,圓錐曲線有界性等。忽視不等式中等號成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1, 求(a+ - ) 2+(b+ 1 ) 2的最小值。a b1 21 2 2 2112- 1錯解(a+) +(b+) =a+b+ 2+ 2 +4> 2ab+一+4>4 ab? +4=8,a ba bab . ab(a+ 1) 2+(b+ 1)2 的最小值是 8.a b分析上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2>2ab,第一次等號成立的條件是a=b=l ,2第二次等號成立的條件是 ab=,顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此， 8不ab是最小值。22

28、1122112112事實(shí)上，原式=a 2+b2+ f +f+4=( a 2+b2)+(丁 + f )+4=(a+b)2 - 2ab+( - + -)2-a2b2a2 b2a bV41=(1 2ab)(1+ )+4,a2b2a b 2 1 11111由 abw ()=一 倚：1 2abR1 一 =一, 且22 封 16, 1+ 2-2- =17,242 2 a ba b原式1x17+4-25 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時，等號成立)，222 (a +-)2 + (b + )2 的最小值是 。ab2不進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致錯誤【例4】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 2n 1 ,求an.錯誤解法an Sn Sn

29、1(2n1) (2n 11)2n2n12nl.錯誤分析顯然，當(dāng)n 1時，a1 S1321 11。錯誤原因：沒有注意公式 an Sn Sn1成立的條件是。Si (n 1)因此在運(yùn)用an Sn Sn1時，必須檢驗(yàn)n 1時的情形。即：anSn (n 2,n N)（2）實(shí)數(shù)a為何值時，圓x2y2 2ax22a 10與拋物線y1一 x有兩個公共點(diǎn)。2錯誤解法將圓x22ax a210與拋物線x聯(lián)立，消去y ,得 x2 (2a l)x21 0 (x0).因?yàn)橛袃蓚€公共點(diǎn)，所以方程有兩個相等正根，得2a丘、/口17解之得a8錯誤分析（如圖2-2- 1; 2 22）顯然，當(dāng)a0時,0.圓與拋物線有兩個公共點(diǎn)O一

30、負(fù)根；或有兩個相等正根。要使圓與拋物線有兩個交點(diǎn)的充要條件是方程有一正根、當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時，得解之,0. 17因此，當(dāng)a 或 1 a 1時，圓82axa2 10與拋物線1人 一 x有兩個2公共點(diǎn)。思考題：實(shí)數(shù)a為何值時，圓x22ax a221 0與拋物線y12x，（1）有一個公共點(diǎn)；（2）有三個公共點(diǎn)；（3）有四個公共點(diǎn)；（4）沒有公共點(diǎn)。以偏概全，導(dǎo)致錯誤以偏概全是指思考不全面， 遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案, 從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性?！纠?】設(shè)等比數(shù)列an的全n項(xiàng)和為Sn.若S3S62s9,求數(shù)列的公比q.錯誤解法S3S62s9,a1(1 q)為(1 q6

31、) 9 a(1 q9) 2,整理得q3(2q6 q3 1) = 0.由q 0得方程 2q6 q3 1 0.(2q3 1)(q31) 0, q錯誤分析在錯解中,由 a- q3)1 qai(1q6)9 ai(1q9)251 q1 q整理得q3 (2q6 q3 D =0 時，應(yīng)有 a10 和 q 1。在等比數(shù)列中，&0是顯然的，但公比q完全可能為1,因此，在解題時應(yīng)先討論公比q 1的情況，再在q1的情況下，對式子進(jìn)行整理變形。正確解法 若q 1 ,則有S3 3al,S6 6al,S9 9al.但a1 0 ,即得& S6 2s9,與題設(shè)矛盾，故q 1.369、又依題意S3 s6 2S9

32、曳（一q-） 曳（一q-）- 2 曳（一q-）1 q 1 q1 qq3（2q6 q3 D =0 ,即（2q3 1）（q3 1） 0,因?yàn)?q 1 ,所以 q3 1 0,所以3丘/口3 42q3 1 0.解得q .2說明 此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法， 根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失 2分。（2）求過點(diǎn)（0,1）的直線，使它與拋物線 y22x僅有一個交點(diǎn)。錯誤解法設(shè)所求白過點(diǎn)（0,1）的直線為y kx 1,則它與拋物線的交點(diǎn)為y kx 12 ，消去 y 得（kx 1）2 2x 0.整理得 k2x2 （2k 2）x 1 0.y 2x .一1 1直線與拋物線僅有一

33、個交點(diǎn)，0,解得k-.所求直線為y -x1.22錯誤分析此處解法共有三處錯誤：第一，設(shè)所求直線為 y kx 1時，沒有考慮k 0與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有 一個交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即k 0,而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。正確解法當(dāng)所求直線斜率不存在時，即直線垂直x軸，因?yàn)檫^點(diǎn)(0,

34、1),所以x 0,即y軸，它正好與拋物線 y2 2x相切。當(dāng)所求直線斜率為零時，直線為y = 1平行x軸，它正好與拋物線 y2 2x只有一個交點(diǎn)。y kx 1一般地，設(shè)所求的過點(diǎn)(0,1)的直線為y kx 1 (k 0),則 一y 2x2 2.11,k2x2(2k 2)x 1 0.令 0,解得 k = 2 , '所求直線為 y -x 1.1 綜上，滿足條件的直線為：y 1, x 0, y 1x 1.2章節(jié)易錯訓(xùn)練題1、已知集合 M = 直線 , N = 圓，則MA N中元素個數(shù)是A(集合元素的確定性)(A) 0(B) 0或 1(C) 0 或 2(D) 0 或 1 或 22、已知 A =

35、 x | x2+ tx + 1 = 0 ，若 AA R* =,則實(shí)數(shù) t 集合 T = 。 tt 2 (空集)3、如果kx2+2kx- (k+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 C(等號)(A) -Kk<0 (B)-1 < k<0 (C)-1<k<0 (D)1<k<04、命題A: x 1 <3,命題B : (x 2)(x a) v0,若A是B的充分不必要條件，則 a的取值范圍是C(等號)(A) (4,)(B) 4,(C) (, 4)(D), 45、若不等式x2logax<0在(0, 2 )內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 A(等號)

36、1 11(A) ,1)(B) (1, +)(C) ( - ,1)(D) (2 ,1) U(1,(2) i6、若不等式(1)na < 2 +-(-)一 對于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A(等號) 3333(A) -2, 2)(B) ( -2, 2 )(C) -3, 2 )(D) ( -3, 2 )7、已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足：f(1) 1;當(dāng)x 0時，f (x) 0;對于任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(x y) f (x) f(y)。證明：f(x)為奇函數(shù)。(特殊與一般關(guān)系)1 2x 8、已知函數(shù)f(x)= -,則函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間是。遞減區(qū)間(一，一1)和(一x

37、+ 11, + )(單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間)9、函數(shù)y = 9 log 0. 5 (x21)的單調(diào)遞增區(qū)間是 。 -娘，-1) (定義域)log 2(x+2) x>010、已知函數(shù)f ( x)=xx- 1<0f ( x)的反函數(shù)f 1(x)=2x2 x>1<x<1xx 1值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D(正確使用(漏反函數(shù)定義域即原函數(shù)值域)11、函數(shù) f ( x) = log 1 ( x 2 + a x + 2) 2 >0和4<0)(A) ( -272 ,2 V2 )(B) -2V2，2 平(C) ( 一 , 2小)U(2 也,+)(D) ( ,-272

38、U2 小,+)12、若x>0, y>0且x+2y=1,那么2x+3y2的最小值為B(隱含條件)(A) 2(B) 4(C) 3(D)043一， x4x 3 22、一13、函數(shù) y=x2 4x 3 的值域是。(一8, 2) U ( 2 ,1) U (1,+ oo)(定義域) xx 655一，,x.一, 一，,一、一14、函數(shù)y = sin x (1 + tan x tan 2 )的取小正周期是 C (te義域)(A) 2(B)15、已知f ( x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)=D(對數(shù)運(yùn)算)2316(A) w 23(C) 2(D) 3x 0,1) 時，f (x) = 2 x,則 f ( lo

39、g 1 23)(C)1623(D)23161處取得極值。16、已知函數(shù) f(x) ax3 bx2 3x在 x(1)討論f(1)和f ( 1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值;(2)過點(diǎn)A(0, 16)作曲線yf(x)的切線，求此切線方程。(2004天津)(求極值或最值推理判斷不充分 (建議列表)；求過點(diǎn)切線方程，不判斷點(diǎn)是否在曲線上。)17、已知 tan ( 3 )=5則tansin cos'3cos- 2sin(化18、若 3 sin 2 + 2 sin 2-2 sin齊次式)=0，則cos2 + cos2的最小值是.。萬(隱含條件)19、已知 sin + cos = 1 , 5(0

40、 ,)，則 cot3-4（隱含條件）20、在 ABC中，用a、b、c和A、B、C分別表示它的三條邊和三條邊所對的角，若a =2、2、則/ B = B（隱含條件）(A)12(B)6(C)或621、已知a>0 ,b>0 ,a+b=1,則(a +(b12,i i+ b ) 2的最小值是11(D)或121225 上.。-2 (三相等)22、已知(kZ),函數(shù) y = sin4，snq的最小值是23、22 sin-2-r-的最小值。 cos x錯解12-2sin x82- cos x22sin x82cos x8|sinxcosx|錯解22 y ( sin錯誤分析即 | tan x |16|

41、 sin 2x |. 2.一 sin x) x16,.8(2-cos xYmin 16.2、cos x)2.8 11 6 . 2.在解法1中，y 16的充要條件是2sin 2 x82cos-且 |sin2x| 1. x1一且|sinx| 1.這是自相矛盾的。2ymin16.在解法2中，y 1 6J2的充要條件是22sin x能的。sin2 x且一82 coscos2 x,即 sin2 x2,2cos x2<2,這是不可正確解法2csc22(1101018.其中，當(dāng)cot2 x28sec x2、一，.2、cot x) 8(1 tan x)_ ,22、2(cot x 4 tan x)2 2

42、. cot2 x 4 tan2 x4tan2x,即 cot2x 2時,y 18.ymin18.正確解法2取正常數(shù)k ,易得,2. . 2 、，8.2y (2- ksin x) (2 k cos x) ksin xcos x2 . 2k 2 , 8k k 6 2k k.其中“ ”取“=”的充要條件是2282212 ksin x且2 kcos x, 即 tan x 且k 18.sin xcos x221因此，當(dāng) tanx 1時，y 6 J2k k 18,ymin 18.24、已知 a1 = 1 ,an = an + 2 n 1(n >2)，貝 U an =。 2n 1(認(rèn)清項(xiàng)數(shù))25、已知

43、一9、a1、a2、- 1四個實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，一 9、b1、b2、b3、- 1五個實(shí)數(shù)成等比 數(shù)列，貝 U b2 (a2 - a1) = A(符號)(A) -8 (B) 8(C) -9(D) 98826、已知an是等比數(shù)列，3是其前n項(xiàng)和，判斷S, S2<S3-S2k成等比數(shù)列嗎？當(dāng)q = 1, k為偶數(shù)時，4 = 0 ,則Q, &kSk, S3kS2k不成等比數(shù)列；當(dāng)qw1或q = 1且k為奇數(shù)時，則 Sk, S2k-Sk, S3kS2k成等比數(shù)列。(忽視公比q = 1)27、已知定義在 R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列an滿足下列條件：a1a,anf(an 1)(n 2,3,4,)，a

44、2a1, f(an) f(a n1)= k(a nan 1)(n =2.3, ),其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)。(1)令bnan 1 an (n N*),證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)當(dāng)|k| 1時，求“m an。(2004天津)(等比數(shù)列中的0和1,正確分類討論)28、不等式 宿一(m23m)i < (m24m+ 3) i + 10成立的實(shí)數(shù) m的取值集合是 。3(隱 含條件)(1+i )(2+ i)29、i是虛數(shù)單位，(i4(-)的虛部為()C(概念不清)(A) -1(B) i(C) -3(D) -3 i30、實(shí)數(shù)m ,使方程x2 (m 4i)x 1 2mi

45、 0至少有一個實(shí)根。錯誤解法方程至少有一個實(shí)根，(m 4i)2 4(1 2mi) m2 20 0 m 2括，或 m275.錯誤分析實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。正確解法 設(shè)a是方程的實(shí)數(shù)根，則2， 一 一2， 一 、.一a （m 4）a 1 2mi 0, a ma 1 （4a 2m）i 0.a2 ma 1 0由于a、m都是實(shí)數(shù)，a ma 1 0,解得m 2.4a 2m 031、和a = （3, 4）平

46、行的單位向量是 ；和a = （3, 4）垂直的單位向量是O（3 , 1）或（3，: ） ；4 , 3 ）或（g ， 3 ）（漏 55555555解）32、將函數(shù)y= 4x 8的圖象L按向量a平移到L/,L/的函數(shù)表達(dá)式為 y= 4x,則向量a=。a = （h , 4h+8）（其中 h R）（漏 解）33、已知 a =1, b = v2,若 a b,求 a b。若 a , b 共向，則 a - b = | a | ?| b | = V2 ,若 a, b異向，則 a - b=-| a|?|b|=-V2° （漏解）34、在正三棱錐 A BCD中，E、F是AR BC的中點(diǎn)，EF±

47、DEL,若BC = a,則正三棱錐 A-BCD勺體積為。咚 / (隱含條件)35、在直二面角AB- 的棱AB上取一點(diǎn)P ,過P分別在 、 兩個平面內(nèi)作與棱成45°的斜線PC、PD,那么/ CPD勺大小為D(漏解)(A) 45(B) 60(C) 120(D) 60 或 120 36、如圖，在四棱錐 P-ABCD43,底面 ABCD正方形，側(cè)棱 PD1底面 ABCQ PD=DC E是 PC的中點(diǎn)，作 EF± PB交PB于點(diǎn)F。(1)證明PA/平面EDB(2)證明PBL平面EFQ(3)求二面角 C- PB- D的大小。(2004天津)(條件不充分(漏PA 平面EDB，DE 平面P

48、DC DEH EF = E等)；運(yùn)算錯誤，銳角鈍角 不分。)X 2237、若方程 + y = 1表示橢圓，則 m的范圍是。 (0, 1)U(1, + )(漏解)38、已知橢圓 + y 2 = 1的離心率為 坐,則m的值為。4或；(漏解)m2439、橢圓的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓短軸的一個頂點(diǎn)B與兩焦點(diǎn)F1、F2組成的三角形的周長為4 + 2 J3且/ F1B桎=2P則橢圓的方程是 。A + y 2 = 1或x 2+ y7 = 1(漏解)440、橢圓的中心是原點(diǎn) O,它的短軸長為2J2,相應(yīng)于焦點(diǎn)F (c, 0) (C 0)的準(zhǔn)線l與 x軸相交于點(diǎn)A, |OF|二2|FA| ,過點(diǎn)A的直

49、線與橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)。(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若OP OQ 0,求直線PQ的方程；(3)設(shè)AP AQ (1),過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M,證明FM FQ。(2004天津)(設(shè)方程時漏條件 a># ,誤認(rèn)短軸是b = 2。2 ；要分析直線 PQ斜率是否存在(有時也可 以設(shè)為x = ky + b)先；對一元二次方程要先看二次項(xiàng)系數(shù)為0否，再考慮 >0,后韋達(dá)定理。)41、已知雙曲線的右準(zhǔn)線為 x4,右焦點(diǎn)F (10,0),離心率e 2,求雙曲線方程。錯解12x 4, c 10, a2 40, b2 c22c a 60.故所求的雙曲線方程為1.4060

50、錯解2由焦點(diǎn)F (10,0)知c 10,e - 2, a 5,b2 c2 a2 75. a故所求的雙曲線方程為22土匕125 75錯解分析這兩個解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴中心在原點(diǎn)這個條件。法。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會產(chǎn)生錯誤解正解設(shè)P(x, y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為F(10,0)離心率e 2 ,由雙曲線的定義知(x 10)2 y2|x4|2.整理得_ 2(x 2)162L 1.48正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為(m,0),2a / m 4cc m 10c 2. a2.b222c2 a2 64 1648,故所求雙曲線

51、方程為(x 2)2162y481.42、求與y軸相切于右側(cè),并與。C： x22y 6x 0也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯誤解法如圖3 21所示，已知。C的方程為(x 3)2 y2 9.設(shè)點(diǎn)P（x, y）（x 0）為所求軌跡上任意一點(diǎn),并且。P與y軸相切于M點(diǎn),與。C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得|CP | | PM | 3,即 ?(x 3)2 y2x3,化簡得 y212x (x 0).錯誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以x軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以 y 0 （x 0且x 3）也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是y2= 12x（x>0）和y 0 （x 0且x 3）。因此,在求軌跡時，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性 和完備性。43、（如圖3- 2 2）,具有公共y軸的兩個直角坐標(biāo)平面和 所成的二面角y軸一等于60 .已知內(nèi)的曲線C的方程是y2 2px （p 0）,方