數(shù)學(xué)建模,,供水分配問題

1、供水分配問題一、摘要：本題要求討論出合理的災(zāi)區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)供水分配方案， 以確保民眾 的滿意度最大。 根據(jù)民政廳對各受災(zāi)區(qū)防旱救災(zāi)的文件要求， 在保證 民眾滿意度最大的同時，還更應(yīng)該注重統(tǒng)籌兼顧，公平分配，使各地 方各民眾都能夠達(dá)到最好的滿意度。 根據(jù)問題的要求， 可以建立兩種 數(shù)學(xué)模型，模型一通過建立線性函數(shù)，討論民眾的總體滿意度，運(yùn)用 LINGO軟件計算出給各鄉(xiāng)鎮(zhèn)分配水的數(shù)量，并借助 Excel 作圖分析； 模型二主要是在模型一的基礎(chǔ)上， 考慮各地方滿意度反應(yīng)一致， 運(yùn)用 標(biāo)準(zhǔn)差縮小分配落差， 建立線性函數(shù)模型， 可以計算出各地方滿意度 均達(dá)到 900/0 以上。建議采用模型二對災(zāi)區(qū)進(jìn)行供水分配。

2、關(guān)鍵詞： 統(tǒng)籌兼顧、線性函數(shù)、 LINGO軟件、 Excel 作圖、標(biāo)準(zhǔn)差、縮小分配落差、最優(yōu)分配額。二、問題重述與分析7 月份躍進(jìn)縣持續(xù)干旱少雨，全縣 5 個受災(zāi)鄉(xiāng)鎮(zhèn)出現(xiàn)了嚴(yán) 重旱災(zāi)，極大地影響民眾生活生產(chǎn)，縣里啟動緊急救災(zāi)預(yù)案，向各受 災(zāi)鄉(xiāng)鎮(zhèn)每日運(yùn)送生活用水 2000t，各鄉(xiāng)鎮(zhèn)每日基本用水需求量見表， 供水量與民眾需求量差別越大， 民眾越不滿意， 試制定合理的供水分 配方案，使民眾滿意度最大。鄉(xiāng)鎮(zhèn)12345需求量 t400600300500400圖表顯示各受災(zāi)區(qū)對供水量的需求各不相同，但總體需求 量大過了政府所能承受的供應(yīng)量， 如果只要求群眾滿意度最大， 則會 引起民眾爭議。 如何分配才使

3、得才能使得民眾滿意度最大。 在滿意度 最大的同時， 是否做到了統(tǒng)籌兼顧的原則， 怎樣做才是統(tǒng)籌兼顧的最 優(yōu)方案，民眾呼聲一致。因此，采用建立兩個數(shù)學(xué)模型取最優(yōu)方案。三、模型假設(shè)與變量說明1、假設(shè)各受災(zāi)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的受災(zāi)情況相同， 且需水量只與本地相關(guān)；2、假設(shè)表中數(shù)據(jù)真實有效，需水量無其他變動；3、假設(shè)民眾的滿意度只與供求差值有關(guān)；4、假設(shè)運(yùn)送的水均能到達(dá)民眾家中，無其他損耗因素；5、設(shè)向各地運(yùn)水量分別為 xi（ t），民眾不滿意度為 y，則民眾 滿意度為 Z=1-y。四、模型的建立與求解由問題中所給數(shù)據(jù)，我們得出以下約束條件：x1x2x3x 4x5 20000x14000x2600s.t. 20x3

4、3000x45000x5400由于問題中沒有給出關(guān)于實際供水量與民眾滿意度之間的關(guān)系， 所以民眾滿意度與實際供水量之間成正比關(guān)系：實際供水量民眾滿意度 Z K 100%需求量假設(shè) K 值等于 1；在整個受災(zāi)地民眾的不滿意度為：400x1600x2300x3500x 4400x5400 600 300 500 400 模型一 利用 LINGO軟件可求解（詳見附錄一） ，若使得整個受災(zāi)地民眾不滿 意度最低為 ymin 0.3333 ，民眾滿意度 Z1=0.6666x1 400x2 400x3 300x4 500x5 400各災(zāi)鎮(zhèn)實際供水量為：xi 400 400 300 500 400 ； i 1

5、,2,3,4,5由此可看出除了災(zāi)鎮(zhèn) 2，其余災(zāi)鎮(zhèn)實際供水量都等于需求量， 滿意度均為 100%，而災(zāi)鎮(zhèn) 2 滿意度則只有 66.67%，在這種不均衡的 情況下，必然引起災(zāi)鎮(zhèn) 2 民眾的強(qiáng)烈不滿。為了實現(xiàn)公平，縮小各災(zāi)鎮(zhèn)供水差異，因為各災(zāi)鎮(zhèn)災(zāi)情不同，所以，在通過建立模型二使各災(zāi)鎮(zhèn)民眾滿意度相差最小，則有：x11yx3x4400 5600 5300 5500 5x5y400 5模型二利用 LINGO軟件可求解 （詳見附錄二 ），整個受災(zāi)民眾不滿意度為 ymin 0.4545 ，民眾滿意度 Z2=0.5454x1 363.6364x2 545.4545x3 272.7273x4 454.5455x5

6、 363.6364各災(zāi)鎮(zhèn)實際供水量為：xi 4 363.6364 545.4545 272.7273 454.5455 363.6364 ； i 1,2,3,4,5應(yīng)用 Excel作圖（圖表 2）各鄉(xiāng)鎮(zhèn)滿意度圖表（ 2）圖表數(shù)據(jù)顯示： 各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的民眾滿意度均在 90%以上，而總體滿意度為 54.54%。通過對模型一和模型二的對比發(fā)現(xiàn)， 采用模型一送水方案可以 獲得整體的滿意度最大， 但不能夠滿足統(tǒng)籌兼顧的方針政策； 如果采 用模型二送水方案，則會有民眾滿意度 Z1-Z2=-0.1212，民眾總體滿 意度會降低，但能夠做到公平公正。綜合上述信息對比，建議采用模 型二對災(zāi)區(qū)進(jìn)行供水分配。五、模型的評

7、價與改進(jìn) 本文綜合考慮了送水分配對民眾滿意度和統(tǒng)籌兼顧建立了 兩個模型， 并計算出了相應(yīng)的供應(yīng)數(shù)據(jù)。 最后可將建立的數(shù)學(xué)模型運(yùn) 用到實際中去。具體有點有下：1、模型通用性強(qiáng)。模型建立在解決災(zāi)區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)送水問題基礎(chǔ)上，對 于很多物資配送等問題均實用，也可以運(yùn)用到多方經(jīng)濟(jì)投入的 優(yōu)化中。例如：多縣扶貧支助、救災(zāi)物資發(fā)放等。2、模型考慮全面。將民眾的滿意度和民眾切實的需求想結(jié)合，最 優(yōu)地解決了民眾滿意度與需求矛盾的關(guān)系?？梢缘弥?，在分析 問題時不能片面地追求單一結(jié)果。3、運(yùn)用線性函數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù) 學(xué)軟件求解，避免了繁雜的人工計算。但模型也有不足之處：其一，兩個模型都只能滿足

8、其中一個優(yōu)勢，解決了群眾最大滿意度，卻不能解決人性化的統(tǒng)籌兼顧；同 樣，解決了全面的需求落差小，卻不能達(dá)到最大滿意度。其二，模型 還有許多實際問題被忽略， 太過于理想化。 模型有待根據(jù)實際問題具 體改進(jìn)。六、參考文獻(xiàn) 【1】民政部辦公廳關(guān)于切實做好旱災(zāi)區(qū)群眾生活安排的緊急通 知， ?來源：法律教育網(wǎng) /59660.shtml ； 訪問時間 2012 年 5 月 30日【2】關(guān)于進(jìn)一步做好當(dāng)前旱災(zāi)救災(zāi)工作的緊急通知， 8235139.htm【 3】 ，線性規(guī)劃的模型建立?！?】標(biāo)準(zhǔn)差與平均值之間的關(guān)系，百度百科。5】數(shù)學(xué)建模，高等教育出版社，姜啟源， 2011年 2月七、附錄模型一用 LINGO

9、求解%建立方程式 min=(400-x1)/400+(600-x2)/600+(300-x3)/300+(500-x4)/500+(400-x5)/400;y=(400-x1)/400+(600-x2)/600+(300-x3)/300+(500-x4)/500+(400-x5)/400;x1+x2+x3+x4+x5=2000;bnd(0,x1,400); ！x1鄉(xiāng)鎮(zhèn) 1；bnd(0,x2,600); ！x2 鄉(xiāng)鎮(zhèn) 2；bnd(0,x3,300); ！x3 鄉(xiāng)鎮(zhèn) 3；bnd(0,x4,500); ！ x4 鄉(xiāng)鎮(zhèn) 4；bnd(0,x5,400); ！ x5 鄉(xiāng)鎮(zhèn) 5；%求最優(yōu)解LINGO12.0

10、 運(yùn)行結(jié)果Objective value:0.3333333Infeasibilities:0.000000VariableValueReduced CostX1400.0000-0.8333333E-03X2400.00000.000000X3300.0000-0.1666667E-02X4500.0000-0.3333333E-03X5400.0000-0.8333333E-03Y0.33333330.000000RowSlack or SurplusDual Price10.3333333-1.00000020.0000000.00000030.0000000.1666667E-02模型

11、二用 LINGO求解%建立方程式LINGO12.0運(yùn)行結(jié)果 min=abs(1-(x1/400)-y/5)+abs(1-(x2/600)-y/5)+abs(1-(x3/300)-y/5)+abs(1-(x4/500)-y/5) s(1-(x5/400)-y/5);y=(400-x1)/400+(600-x2)/600+(300-x3)/300+(500-x4)/500+(400-x5)/400; x1+x2+x3+x4+x5=2000;bnd(0,x1,400);bnd(0,x2,600);bnd(0,x3,300);bnd(0,x4,500);bnd(0,x5,400);%最優(yōu)解Objective value:0.000000Objective bound:0.000000VariableValueReduced CostX1363.63640.