高三數(shù)學(xué)4幾種常見幾何體的性質(zhì)試題

1、4.幾種常見幾何體的性質(zhì)4.1正方體【例1】棱長為1的正方體AC1中，(1)證明：B1D 平面ACD1 ；(2)證明：平面ACD"/平面ACB；(3)求平面ACD1與平面AC1B的的距離.【解析】(1)連接BD ,由RB 平面ABCD , AC 平面ABCD ,所以BB AC ,又BDAC ,所以AC 平面B1BD，由0D 平面0BD ,所以BD同理BD CD1，故BD 平面ACD1 ；(2)由(1)證B1D平面ACD1 ,同理B1D 平面A1C1B ,所以平面 ACD1 /平面A1C1B ;(3)設(shè)B1D與平面ACD1、平面AC1B分別交于H,G,則H,G必是正 ACD1、正 A1

2、C1B的中心,運用等積法可求 D到平面ACD1的距離、B1到平面AC1B的距離均為盤，因為B1D J3 ,平面3ACD1與平面 AC1B的的距離為 HG【評注】棱長為a的正方體ABCD A1B1C1D1中，(1)共頂點的三條棱作為側(cè)棱構(gòu)成的直三棱錐中，頂點在 底面的射影恰為正方體相應(yīng)對角線的一個三等分點；(2)共頂點的三條棱作為側(cè)棱構(gòu)成的直三棱錐的高為-31 3a ,其體積是正方體體積的 -a3.36【變式】正方體是考查空間點、直線、平面位置關(guān)系的非常 重要的幾何模型.正方體AC1中，EF是AC、AD的公垂線，M是BB的中點，證明：(1) EF/D1B；(2) EF/面AC1M.【解析】(1)

3、如圖，只要證明 EF 面AC1DQ1B 面ACQ即可;(2)如圖，只要證明 DiB面ACiMD1B/OM面AC1M即可；4.2三棱錐底面三角形的外心.【例2】三棱錐A BCD中，點。為點A在平面BCD內(nèi)的射影，若AB AC AD ,求證：點O是【解析】連結(jié)OB,OC,OD,. AO 平面 BCD ,且 AB AC AD ,Rt ABO Rt ACO Rt ADO , OB OC OD, 故點。是底面三角形的外心.【評注】四面體A BCD中，(1)若各組對棱都相互垂直，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的垂心；(2)若三條側(cè)棱兩兩垂直，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的垂心；(3)若三

4、條側(cè)棱都相等，則點 A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的外心；(4)若三條側(cè)棱與底面所成的角都相等，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的外心;(5)若三個側(cè)面的斜高都相等，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的內(nèi)心；(6)若三個側(cè)面與底面所成的角都相等，則點A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的內(nèi)心.【變式1】正三棱錐的概念.卜面是關(guān)于三棱錐的四個命題： 面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐. 面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐. 棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正

5、三棱錐.其中，真命題的編號是 .(寫出所有真命題的編號)【解析】底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.可推出底面中心等于是棱錐頂點在底面的射影，所以是正確的；顯然不對，比如三條側(cè)棱中僅有一條不與底面邊長相等的情況，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐，但不是正三棱錐；底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等，說明頂點到底面三邊的距離(斜高)相等，根據(jù)射影長的關(guān)系，可以得到頂點在底面的射影(垂足)到底面三邊所在直線的距離也相等，由于在底面所在的平面內(nèi)，到底面三邊所在直線的距離相等的點有4個:內(nèi)心(本題的中心)1個、旁心3個，因此不能保證三棱錐是正三棱錐；側(cè)棱與底面所成的角相等，且M側(cè)

6、面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.是正確的.故答案：【變式2正四面體的性質(zhì).關(guān)于棱長為a的正四面體，有以下的命題：66正四面體的圖為h 出a ；正四面體的外接球的半徑為R 2a ；346正四面體的內(nèi)切球的半徑為 r -a12;正四面體的外接球的半徑是其內(nèi)切球的半徑的3倍;正四面體的相鄰兩個表面所成的角為正確的序號是【解析】設(shè)正四面體的高為 AH , H是BCD的重心,連接DH并延長交于 BC于M ,外接球的球心為O必在AH上，根據(jù)對稱性， O也是內(nèi)切球的球心，則OA,r OH ,相鄰兩個表面所成的角為1 _ 1AMH ,則由重心定理可知，MH -MD MA,33所以1 Q - co

7、s 一 ,正確;3在RtAMH 中，MA a,MH ma ,所以 AH26正確;在RtOMH 中，OM OA R,MH -a,OH6AH R a R,由勾股定理可求3R旦,4正確； 正確，答案為4.3直三棱錐【例3】在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè) ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則：AB2 AC2 BC2；若 ABC的兩邊AB、AC與斜邊成角分別為cos2cos21 拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可得到正確的結(jié)論：“設(shè)三棱錐A BCD中，三個側(cè)面 ABC、ACD、ABD兩兩相互垂直，則：則:棱錐A BCD中，個側(cè)面與底面的成角分別為【解析】過點A作

8、AEBC 于 E,連結(jié) DE ,則：BC DE ,1 八 2 一S BCD- BCDE4AB2- 2_ 2_2AC AE DA4 AB2DA24AC2DA2122BC2 AE24S2ABCS2ACDS2ABD 2故 S ABCS ACDS ABDS BCD :AB同理，易知：若三棱錐 A BCD中，三個側(cè)面與底面的成角分別為、，則:_222222 c、cos cos cos 1 (或 sin sin sin 2). 1【評注】側(cè)棱分別為a,b,c的直三棱錐的底面必是銳角三角形，其體積為-abc o6【變式】直角三角形中射影定理的推廣.在平面幾何中，直角三角形有射影定理：“設(shè) ABC的兩邊AB、

9、AC互相垂直，AH BC于H ,則：AB2=BH BC?！?類比到空間，可得到正確的結(jié)論：“設(shè)三棱錐P ABC中，三個側(cè)面PAR PBC、PAC兩兩相互垂直，則:【解析】側(cè)面積是它在底面投影的面積與底面積的等比中項，即S BCP S BCoS BCA .4.4 四直角三棱錐例 4 AB 的 Rt ABC 中，PA 平面ABC,AMPB 于 M , AN(1)證明:BC 平面PAC ;PB 平面AMN ;平面PBC 平面AMN ；(4)若PA AB 4, BPC ,求截面 AMN的面積的最大ABPM解析：(1)因為PA 平面ABC，則PA BC ,又BC AC ,所以BC 平面PAC .(2)由

10、 BC 平面 PAC，則 BC AN ,又 AN PC ,所以 AN 平面 PBC , AN PB ,又PB AM ,所以PB 平面AMN .(3)因為PB 平面AMN , PB 平面PBC,所以 平面PBC 平面AMN ；(4)由(1)知BC 平面 PAC , BC平面PBC ,所以平面PCB 平面PAC因為平面PCBI平面PAC PC , AN PC ,所以AN 平面PBC ,又MN 平面PBC ,所以AN MN ;又. PB 平面 AMN, MN 平面 AMN，.- PB MN,所以 MN 2 J2tan , AN 2衣,1 tan2c 1S MN AN 4tan2v1 tan24Jtan21 tan22 ,當(dāng)且僅當(dāng) tan火時，取得2等號，故截面 AMN的面積的最大值為 2.【評注】三棱錐P ABC的每一個面都是直角三角形，稱之為四直角三棱錐，A PB C AMN；P BC APCA; dpB an MN ； cos PBC cos PBAcos ABC.【變式】四直角三棱錐，蘊涵著棱錐的所有要素，是研究棱錐的特征幾何體.已知:BA