2020-2021學(xué)年中考數(shù)學(xué)壓軸題的滿分攻略-幾何計(jì)算域說(shuō)理計(jì)算問(wèn)題

1、幾何計(jì)算說(shuō)理與說(shuō)理計(jì)算問(wèn)題【真題典藏】1. (2007年上海市第24題)參見(jiàn)考典 35 梯形的存在性問(wèn)題第 1題，如圖1.2. (2008年上海市第24題)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn).二次函數(shù) y=x2+bx + 3的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1,0),頂點(diǎn)為B.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn) B的坐標(biāo)；(2)如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0) , AEXBC,垂足為點(diǎn)E,點(diǎn)D在直線AE上，DE= 1 ,求點(diǎn)D的 坐標(biāo).圖1圖23. (2010年上海市第24題)如圖3,已知平面直角坐標(biāo)系 xOy ,拋物線y=- x2 + bx+c過(guò) 點(diǎn) A(4,0)、B(1,3).(1)求該拋物線的表達(dá)

2、式，并寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)記該拋物線的對(duì)稱軸為直線1,設(shè)拋物線上的點(diǎn) P(m,n)在第四象限，點(diǎn) P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為E,點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為 F,若四邊形 OAPF的面積為20 ,求m、n的值.1 - t fa j7 O 1 2 3 J圖34. (2012年上海市第24題)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y = ax2+6x+ c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4, 0)、B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在線段OC上，OD = t，點(diǎn)E在第二象限，/1ADE = 90 , tan DAE 一，EF± OD,垂足為 F. 2(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)求線段EF、

3、OF的長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示)；(3)當(dāng)/ ECA = /OAC時(shí)，求t的值.我們用三種方法證明第 1題( 2007年上海市第24題)的第(2)題DC/ AB:方法一，由于點(diǎn)B(a,b)在雙曲線4y工上，所以bDE xA因?yàn)?DB xB1生些a CA yA4£1包一，所以4 aDE CE，因此DC/AB.DB CA這里依據(jù)“三角形一邊的平行線判定定理推論”方法二，因?yàn)閠an CDE E- 在f tan DE xE aABE BlyA VeXb Xe所以 CDE ABE,因此 DC/AB.方法三，如圖6,由反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)，知4AOC與ABOD的面積相等.圖5中的 ADC與圖6中

4、的 AOC的面積相等,圖 5中的 BCD與圖6中的 BOD的面積CD的,相等，經(jīng)過(guò)等量代換，圖 5中的 ACD與 BCD的面積相等.因?yàn)檫@兩個(gè)三角形是同底因此它們是同底等高的三角形，所以DC/AB.巾y圖5圖6其中方法一和方法二是通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理，方法三是說(shuō)理證明.D的坐標(biāo)是幾何計(jì)算.第2題（2008年上海市第24題）的第（2）題求點(diǎn)2,22準(zhǔn)備動(dòng)作：yx2 2x 3 （x2 2x 1 4） （x 1）2 4 .羅列點(diǎn)：A（ 1,0） , B（1,4） , C（4,0）.畫(huà)圖：先畫(huà)直線 BC,過(guò)點(diǎn) A向BC畫(huà)垂線，垂足為 E.拿起圓規(guī)，以E為圓心，1長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，圓與直線 AE有幾個(gè)交點(diǎn)？這就

5、是行動(dòng)體現(xiàn)思想，你 畫(huà)圖的過(guò)程已經(jīng)體現(xiàn)了分類討論思想，點(diǎn)D有兩個(gè)（如圖7）.試問(wèn)有必要畫(huà)拋物線嗎？解題的過(guò)程反復(fù)用到數(shù)形結(jié)合思想一一不要問(wèn)為什么一一拿來(lái)就用.示范一下：2)作FFIx粕，。開(kāi)li粕,轉(zhuǎn).垂足分別為匕 乩 BF 4在 B1A5CF 中.BF - 4,BC- 1二 sinZBCF - BC 5AE 4在 Rt4月C1 中 *- 5j sin - 一 1 4 , AC 5 W 9412當(dāng)3 時(shí)，在 Rt/VIDH 中.=- AD = - , AH = - AD =,5555OH. 才4：T RL-.4 rrir- .-A/.).<-A/)I .5|當(dāng)DE-L在5時(shí)|:.OU =

6、.4/7-1 = 3. aZ),(13).注意標(biāo)志性語(yǔ)句的引領(lǐng)作用，體現(xiàn)書(shū)寫(xiě)的層次性，吸引閱卷老師的注意力.2)題,第3題（2010年上海市第24題）的第（1）題做完之后停一停，確認(rèn)無(wú)誤之后再作第（ 否則就是徒勞無(wú)益.第（1）題用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，無(wú)需畫(huà)圖.拋物線的表達(dá)式為 y=x2+4x,對(duì)稱軸為直線 x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）.第（2）題的最大障礙就是畫(huà)示意圖了，事實(shí)上，無(wú)需畫(huà)出拋物線，如圖 8,只要順次畫(huà)出點(diǎn) A、 對(duì)稱軸、點(diǎn)P的大概位置（在點(diǎn) A的右下方）、點(diǎn)E、點(diǎn)F,就可以直觀感受到，四邊形 OAPE是等 腰梯形，四邊形 OAPF是平行

7、四邊形.說(shuō)理是關(guān)鍵的一步：VO。入E與P都X拋物線的對(duì)稱一對(duì)稱:二四邊形OAPE是等概梯 1 OA EP.ZE-ZP,YE。1夫尸岫對(duì)稱.二AOEF是等腰二坨形，ZE-ZOFE.，NCFE - /P, OF AP.二四邊形&4PF是平仃四邊形.平行四邊形 OAPF的底邊OA=4是確定的，高是點(diǎn) P至ij x軸的距離，用點(diǎn) P的縱坐標(biāo)表示為 -n,列方程4 n = 20容易求的n = 5.解方程m2 + 4m= 5,會(huì)得到m有兩個(gè)解，根據(jù)題目 條件“點(diǎn)P（m,n）在第四象限”舍去不合題意的解.如果不用上述幾何說(shuō)理的方法，我們也可以根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行說(shuō)理：V因?yàn)槲倚模┡cE關(guān)于直線1=己而

8、稱，二呼4一日】?jī)?nèi)）.| 丁因?yàn)镕與史關(guān)于1軸對(duì)稱，:即6）, .PF=OA=4.又PF/ OA,二四造形是平行四邊脛這個(gè)說(shuō)理方法的最大困難是用m表示點(diǎn)F的坐標(biāo)（4-m,n）.圖8第4題（2012年上海市第24題），DE和AD橫看成嶺側(cè)成峰，DE ： AD = 1 ： 2,既是RtAADE的兩條直角邊的比，也是兩個(gè)相似的DEF和AADO的斜邊比.第（1）題求得拋物線的解析式y(tǒng)=- 2x2+6x+ 8,與y軸交于點(diǎn)C（0 , 8）.已知/ADE=/ EFD= 90 ,所以/ DEF與/ ADO 者B是/EDF的余角.因此/DEF= / ADO .所以DEF ADO .因此 RL 空AO DO1

9、, ，于TE倚到DF 2 , EF t .所以O(shè)F2DEADDFEF 1T 2圖9圖10第（3）題難在示意圖怎么畫(huà)？在森林中認(rèn)識(shí)樹(shù)木：當(dāng)/ECA = / OAC 時(shí)，如果延長(zhǎng) CE與x軸交于點(diǎn)M,根據(jù)等角對(duì)等邊，那么 MAC是等腰三角形,MA = MC .這樣我們作 AC的垂直平分線先找到點(diǎn) M,在MC的適當(dāng)位置畫(huà)一個(gè)點(diǎn) E,這樣示意圖就畫(huà)好了.如圖10,設(shè)AC的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M,那么MA = MC , / MCA = / MAC .ECA = /OAC 時(shí)，點(diǎn) E 在 MC 上.由于因此A AO cosA -ACAC2MA - 2AO1 AC2一，而 OA =4, OC =8, MA

10、10 .所以 MO =6.所以AC 475.AD 2第（2）題，如圖9,在RtAADE中，已知tan DAE 1,所以把11t由EF/ MO ,得解得更CF,即/8 « 2) MO CO 68考典40幾何計(jì)算說(shuō)理與說(shuō)理計(jì)算問(wèn)題1 .如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y = ax2+6x+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(4, 0)、B(- 1,0),1與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在線段 OC上，OD = t，點(diǎn)E在第二象限，/ ADE=90 , tan DAE ,2EFL OD,垂足為F.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)求線段EF、OF的長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示)；(3)當(dāng)/ ECA = /OAC時(shí)，

11、求t的值.2 .如圖2,已知 ABC中，/ ACB = 90。，點(diǎn)P到/ACB兩邊的距離相等，且 PA = PB.(1)先用尺規(guī)作出符合要求的點(diǎn)P (保留作圖痕跡，不需要寫(xiě)作法)，然后判斷 ABP的形狀,并說(shuō)明理由；(2)設(shè)PA=m, PC=n，試用m、n的代數(shù)式表示 ABC的周長(zhǎng)和面積；CD CD(3)設(shè)CP與AB交于點(diǎn)D,試探索當(dāng)邊 AC、BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，CD CD的值是否發(fā)生變化,AC BC若不變，試求出這個(gè)不變的值，若變化，試說(shuō)明理由.3 .在 ABC 中，/ BAC = 90 , ABvAC , M 是 BC 邊的中點(diǎn)，MN ±BC 交 AC 于點(diǎn) N.動(dòng) 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)

12、沿射線BA以每秒J3厘米的速度運(yùn)動(dòng).同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)N出發(fā)沿射線NC運(yùn)動(dòng)， 且始終保持MQ XMP.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒(t>0).(1) 4PBM與4QNM相似嗎？以圖3為例說(shuō)明理由；(2)若/ ABC =60 ° , AB 4褥厘米.求動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；設(shè) APQ的面積為&平方厘米)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)探求BP2、PQ2、CQ 2三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖 3為例說(shuō)明理由.圖34.在RtAABC中，AB=BC = 4, / B= 90 ° ,將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊 AC的中 點(diǎn)M處，將三角板繞點(diǎn) M旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別與邊 AB、BC

13、或其延長(zhǎng)線上交于 D、E兩 點(diǎn)(假設(shè)三角板的兩直角邊足夠長(zhǎng) )，如圖4、圖5表示三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的兩種情形.(1)直角三角板繞點(diǎn) M旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) BE=時(shí)， MEC是等腰三角形；(2)直角三角板繞點(diǎn) M旋轉(zhuǎn)到圖1的情形時(shí)，求證：MD = ME；(3)如圖6,若將直角三角板的直角頂點(diǎn)M在斜邊AC上移動(dòng)，設(shè) AM ： MC = m ： n(m、n為正數(shù))，試判斷MD、ME的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.圖4圖5圖6DE 1AD 2已知/ADE=/ EFD= 90 ,所以/ DEF與/ ADO 者B是/EDF的余角.因此/DEF= / ADO .所以DE巾 ADO .因此RL 空AO DO1于是得到DF

14、2 , EF -t ,所以O(shè)F2DEADDFEF 1T 2口1到圖1(3)如圖2,設(shè)AC的垂直平分線與 x軸交于點(diǎn)那么 MA = MC , / MCA =當(dāng)/ ECA = /OAC 時(shí)，點(diǎn)E在MC上.AO 由于cosA -AC因此MA應(yīng) 2AO1 AC2一 ,而 OA =4, OC =8, MA10 .所以MO = 6.所以AC 475.EF/ MO ,得EFMOCFCO1t即 2 8 (t 2)解得考典40幾何計(jì)算說(shuō)理與說(shuō)理計(jì)算問(wèn)題21 . (1) y= 2x +6x+ 8.1(2)如圖1 ,在RtAADE中，已知tan DAE 1,所以22.(1)求作點(diǎn)P的作圖痕跡如圖3所示. PAB是等

15、腰直角三角形，證明如下:PMXAC , PNXBC,垂足分別為 M、N.因?yàn)辄c(diǎn)P在/ACB的平分線上，所以 PM=PN.又因?yàn)?PA=PB,所以 RtAAPMRtABPN (HL),因此/ 1=/2.又因?yàn)? 2與/BPM互余，所以/ 1與/BPM互余，即/ APB=90 .所以 PAB是等腰直角三角形.(2)如圖4,在等腰直角三角形 PAB中，PA=m,所以AB=J2m.在等腰直角三角形 MPC中，PC = n，所以CM =n.由 RtAAPMRtABPN,得 AM =BN.所以 CA + CB = 2CM =嫄 n .因此 ABC 的周長(zhǎng)=AB + CA +CB= J2m + J2n. A

16、BC的面積可以這樣割補(bǔ)：qeQ1-212Sa abc - s 正方形 mpnc 一 S pab n m .222 DE(3)如圖5,作DEAC ,DF，BC,垂足分別為 E、F,那么四邊形 CEDF是正方形，CD=2 DF.BD y DE AD BA x y ' BC AB CD CD .2.設(shè) AD=x, BD = y.兩式相加，得空匹1 .于是得到x yAC BC3 .(1)如圖6, / B與/ 1都是/ C的余角，所以/ B=Z 1 ./ BMP與/ NMQ 都是/ PMN的余角，所以/ BMP = Z NMQ .所以 PBMA QNM .(2)當(dāng)/ ABC = 60。時(shí)，/ C

17、 = 30。，的 c 0M 43.NM由 PBMAQNM ,得.BM- -BP-.NM NQ而已知BM = CM,所以空石.NQ因?yàn)锽P 73t ,所以NQ=t.因此點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒 1厘米.在 RtAABC 中，/ B=60° , AB 473 ,所以 AC =12, BC 8M.在 RtA CMN 中,BC 40,/ C = 30 ,所以 CN = 8 .因此 AN = 4, AQ =4+t.如圖 7,當(dāng) P在 BA 上時(shí)，0WtW4, AP 4J3 J3t.此時(shí) S 1AP AQ 1(4J3 J3t)(4 t)12 8vs.222-如圖8,當(dāng)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí),t>

18、4, AP 73t 473 .此時(shí) S 1AP AQ 1(的 473)(4 t) t2 8瓜222圖6圖7圖8(3)如圖9,過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交BM的延長(zhǎng)線于P',那么aCP'是直角三角形， P' Q2=P' C2+CQ2.因?yàn)?P' CAB, M 是 BC 的中點(diǎn)，所以 BP= CP' , PM=P' M.所以QM垂直平分PP' , PQ = P' Q.于是得到PQ2=BP2+CQ2p-第(3)題容易想到代數(shù)方法，通過(guò)計(jì)算得到結(jié)論:PQ2 AP2 AQ2 (4 a/3 石)2 (4 t)2 4t2 16t 64,BP2

19、 (舊)2 3t2, CQ2 (12 4 t)2 t2 16t 64 .所以 PQ2=BP2 + CQ2.4 . (1) 0, 2, 4 2拒或 4 272 .(2)如圖 10, MGDMHE, MD = ME.(3)如圖11, AGM 和AMHC都是等腰直角三角形，RtAAGM RtAMHC .MGMAmMDMGm因此 .又因?yàn)镸GD MHE,所以 一.MHMCnMEMHn后敘一、這不是一本中考的試題集，這是一本關(guān)于中考解題策略的書(shū)，如敘家常二、本書(shū)分三部分，我們把每一部分概論中的第一句話摘錄如下：簡(jiǎn)單題錯(cuò)失一道將悔恨不已，因此要加強(qiáng)簡(jiǎn)單題的準(zhǔn)確性訓(xùn)練簡(jiǎn)答題丟失一步將滿分無(wú)望，因此要加強(qiáng)簡(jiǎn)答題的規(guī)范性訓(xùn)練壓軸題多練一道就自信一分，因此要加強(qiáng)壓軸題的規(guī)律性訓(xùn)練三、我們摘錄每一部分的高頻詞語(yǔ)和經(jīng)典語(yǔ)句：第一部分的高頻詞語(yǔ)有：粗心，不要口算，即刻回頭檢查第二部分的經(jīng)典