9.7方向?qū)?shù)與梯度

1、9.7 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度教學(xué)要求教學(xué)要求：理解理解方向?qū)?shù)和梯度的概念；方向?qū)?shù)和梯度的概念；并并掌握掌握它們的計(jì)算方法它們的計(jì)算方法. .實(shí)例實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？

2、問(wèn)題的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出偏導(dǎo)數(shù)表示的是函數(shù)沿著坐標(biāo)軸方向的變化偏導(dǎo)數(shù)表示的是函數(shù)沿著坐標(biāo)軸方向的變化率，而現(xiàn)實(shí)生活中還需要研究函數(shù)沿某一指率，而現(xiàn)實(shí)生活中還需要研究函數(shù)沿某一指定方向的變化率定方向的變化率-方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義oyxl 函數(shù)在某一方向上的變化率，稱為函數(shù)在該方向函數(shù)在某一方向上的變化率，稱為函數(shù)在該方向上的上的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)。與與 l 同方向的單位向量為同方向的單位向量為則射線則射線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為),cos,c

3、os( le,|0tPP 設(shè)設(shè)),(yxP t ),(000yxP coscos00tyytxx動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從沿方向沿方向 l 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) P 時(shí)，函數(shù)產(chǎn)生的增量時(shí)，函數(shù)產(chǎn)生的增量0P),(),(00yxfyxfz ),()cos,cos(0000yxftytxf 稱之為函數(shù)在稱之為函數(shù)在 l 方向上的增量。方向上的增量。 tz 稱之為函數(shù)在稱之為函數(shù)在 l 方向上的平均變化率。方向上的平均變化率。如果極限如果極限存在存在l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 coscos00tyytxx),(),(00yxfyxfz ),()cos,cos(0000yxftytxf 的比值的比值它與它與tPP |

4、0tyxftytxf),()cos,cos(0000 ,0PP 令令,0 t即即tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 oyxl),(yxP t ),(000yxP 則稱它為則稱它為 f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處沿方向處沿方向 l 的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。0P記為記為),(00yxlf 問(wèn)題問(wèn)題1：方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系？：方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系？問(wèn)題問(wèn)題2：函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在的條件是：函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在的條件是什么？如何計(jì)算方向?qū)?shù)？什么？如何計(jì)算方向?qū)?shù)？oyxl),(yxP t ),(000yxP 如果極限如果極限存在，存在， 則稱它

5、為則稱它為 f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn)處沿方向處沿方向 l 的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 0Ptyxftytxft),()cos,cos(lim00000 方向?qū)?shù)就是函數(shù)在點(diǎn)方向?qū)?shù)就是函數(shù)在點(diǎn) 處沿方向處沿方向 l 的變化率。的變化率。0PtyxftytxfLfLfLPyxfztyxftytxftyxyxt),()cos,cos(lim,),(),()cos,cos(lim100000),(),(0000000000 即即導(dǎo)數(shù)，記為導(dǎo)數(shù)，記為的方向的方向沿方向沿方向在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)存在，則稱該極限為函存在，則稱該極限為函：如果極限：

6、如果極限定義定義注注：1. 方向?qū)?shù)表示的是函數(shù)沿某一方向的變化率方向?qū)?shù)表示的是函數(shù)沿某一方向的變化率2. 方向?qū)?shù)是一個(gè)數(shù)方向?qū)?shù)是一個(gè)數(shù)問(wèn)題問(wèn)題2：函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在的條件是：函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在的條件是什么？如何計(jì)算方向?qū)?shù)？什么？如何計(jì)算方向?qū)?shù)？函數(shù)沿任意方向函數(shù)沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在，且的方向?qū)?shù)存在，且),(00yxlf 其中，其中，是是 l 的方向余弦。的方向余弦。證明：證明：其中其中定理：定理：如果如果 z = f (x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微，則可微，則),(000yxP cos),(cos),(0000yxfyxfyx )cos,(co

7、s le,00 yyyxxx oyxl0P),(yxP x y t,coscos tytx22yxt 考慮函數(shù)在方向考慮函數(shù)在方向 l 上的增量上的增量tz 令令),(00yxlf 證明：設(shè)證明：設(shè)其中其中,00 yyyxxx oyxl0P),(yxP x y t,coscos tytx22yxt ),(),(00yxfyxfz ),(),(0000yxfyyxxf yyxfxyxfyx ),(),(0000 )( o cos),(cos),(0000tyxftyxfyx )(to cos),(cos),(0000yxfyxfyx tto )( ,0 t cos),(cos),(0000yxf

8、yxfyx 計(jì)算可微函數(shù)方向?qū)?shù)的步驟計(jì)算可微函數(shù)方向?qū)?shù)的步驟),(00yxlf （1）確定給定方向）確定給定方向 l 的方向余弦：的方向余弦：即與即與 l 同方向的單位向量。同方向的單位向量。（2）計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)）計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)（3）利用公式計(jì)算）利用公式計(jì)算),(00yxlf 或或)cos,(cos le),(),(0000yxfyxfyx cos),(cos),(0000yxfyxfyx sin),(cos),(0000yxfyxfyx 解：解：, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz )0,1(lz.22 方向方向 l 即為即為l 的方向余弦即為與的方向余弦即為與 l 同方向的單位向量

9、同方向的單位向量)01, 12( PQ)1, 1( | PQPQel )1, 1()1(1122 )21,21( ; 1)0 , 1(2)0 , 1( yexz又又)21(2211 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知 sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)）當(dāng)4 時(shí)，時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值2;22),(yxyxyxf 例例2 求函數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)（在點(diǎn)（1，1）沿與）沿與 x 軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射線 l 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù), 并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)Р?wèn)在怎樣的方向

10、上此方向?qū)?數(shù)有數(shù)有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？ cos)2()1 , 1(yx ,sin)2()1 , 1( xy 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知 sincos),4sin(2 22),(yxyxyxf 例例2 求函數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)（在點(diǎn)（1，1）沿與）沿與 x 軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射線l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù), 并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)Р?wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?數(shù)有數(shù)有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零

11、？）等于零？ cos)2()1 , 1(yx ,sin)2()1 , 1( xy 故故（2）當(dāng)當(dāng)45 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最小小值值2 ;解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知 sincos),4sin(2 22),(yxyxyxf 例例2 求函數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)（在點(diǎn)（1，1）沿與）沿與 x 軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射線l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù), 并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)Р?wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?數(shù)有數(shù)有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？ co

12、s)2()1 , 1(yx ,sin)2()1 , 1( xy 故故（3）當(dāng)）當(dāng)43 和和47 時(shí)，時(shí)，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù) u = f ( x , y , z ) ,它在點(diǎn)它在點(diǎn)處沿方向處沿方向的方向?qū)?shù)定義為的方向?qū)?shù)定義為),(0000zyxP)cos,cos,(cos le ),(000zyxlftyxftztytxft),()cos,cos,cos(lim000000 如果如果 u = f ( x , y , z ) 在點(diǎn)在點(diǎn)處可微，則處可微，則),(0000zyxP),(000zyxlf cos),(cos),(000000zyxfzyxfyx c

13、os),(000zyxfz 例例3 求求zxyzxyzyxf ),(在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1 , 1(沿方沿方其中其中l(wèi)的方向角分別為的方向角分別為,45,60 l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù), ,向向解解l同向的單位向量同向的單位向量與與le60cos,45cos,60cos .21,22,21 因?yàn)楹瘮?shù)可微分因?yàn)楹瘮?shù)可微分, ,且且)2 , 1 , 1(xf)2, 1 , 1()(zy , 3 )2 , 1 , 1(yf)2, 1 , 1()(zx , 3 )2 , 1 , 1(zf)2, 1 , 1()(xy . 2 .60 故故)2, 1 , 1(lf 212223213 ).235(21 解：解

14、：對(duì)于封閉的曲面，上述兩個(gè)法向量中，一個(gè)指向?qū)τ诜忾]的曲面，上述兩個(gè)法向量中，一個(gè)指向曲面的外側(cè)，另一個(gè)則指向曲面的內(nèi)側(cè)。曲面的外側(cè)，另一個(gè)則指向曲面的內(nèi)側(cè)。令令, 632),(222 zyxzyxF則曲面上任意一點(diǎn)則曲面上任意一點(diǎn) P ( x , y , z ) 處的法向量可取為處的法向量可取為 對(duì)于封閉的二次曲面，對(duì)于封閉的二次曲面，指向外側(cè)，指向外側(cè)，則指向內(nèi)側(cè)，則指向內(nèi)側(cè)，2122)86(1yxzu n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例4 設(shè)設(shè)是曲面是曲面 在點(diǎn)在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)n在此處沿方向在此處沿方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).),

15、(zyxFFFn ),(1zyxFFFn ),(2zyxFFFn 令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故又又;146 2122)86(1yxzu n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例4 設(shè)設(shè)是曲面是曲面 在點(diǎn)在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)n在此處沿方向在此處沿方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).解：解：)1, 1, 1(| ),(zyxFFFn )2, 6, 4( )1, 3, 2(2 的方向余弦，即與的方向余弦，即與 同方向的單位向量為同方向的單位向量為nn)1, 3, 2(141 le)c

16、os,cos,cos( )1 , 1 , 1(|xu)1 , 1 , 1(22866yxzx ;148 PPzyxzu22286 .14 故故.711 )1, 3, 2(141 le又又;146 PPyxzxxu22866 ),1, 3, 2(2 n)cos,cos,cos( 2122)86(1yxzu n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例4 設(shè)設(shè)是曲面是曲面 在點(diǎn)在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)n在此處沿方向在此處沿方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).PPyxzyyu22868 PPzuyuxunu)coscoscos( 解：解：定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(y

17、xfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)DyxP ),(，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念三、梯度的概念 沿不同方向的方向?qū)?shù)一般來(lái)說(shuō)是不同的。沿不同方向的方向?qū)?shù)一般來(lái)說(shuō)是不同的。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：方向?qū)?shù)中有沒(méi)有最大的？如果有，是沿方向?qū)?shù)中有沒(méi)有最大的？如果有，是沿哪個(gè)方向？哪個(gè)方向？并稱并稱為為 z = f ( x , y ) 在在 D 內(nèi)的梯度場(chǎng)。內(nèi)的梯度場(chǎng)。leyxgra

18、df ),(00,cos| ),(| leyxgradf 00梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系)cos,(cos le設(shè)設(shè)是是 l 的方向余弦，的方向余弦，),(00yxlf ,cos| ),(| 00yxgradf,cos1 當(dāng)當(dāng),時(shí)時(shí)即即0 ),(00yxlf 為最大值。為最大值。| ),(|00yxgradf cos),(cos),(0000yxfyxfyx 結(jié)論結(jié)論函數(shù)在梯度方向上的方向?qū)?shù)最大，函數(shù)在梯度方向上的方向?qū)?shù)最大，或者說(shuō)函數(shù)在梯度方向上的增加速度或者說(shuō)函數(shù)在梯度方向上的增加速度（變化率）最快（最大）。（變化率）最快（最大）。 22| ),(| yfxfyxgrad

19、f lf max 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)GzyxP ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(

20、kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為 0.例例8 求函數(shù)求函數(shù)xyzzxyu 32哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大? ? 最大值是多少最大值是多少? ?在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 1(0P處沿處沿解解由由xu yu zu 得得, 00 Pxu, 10 Pyu從而從而)(0gradPu,2 , 1 , 0 )(0gradPu410 . 5 于是于是u在點(diǎn)在點(diǎn)0P處沿方向處沿方向2 , 1 , 0的方向?qū)?shù)最大的方向?qū)?shù)最大, ,最大值是最大值是. 5. 20 Pzu,2yzy ,2xzxy ,32xyz gr

21、advCgraduCvCuCgradvuCC212121)()1(, 為可微函數(shù)，則有為可微函數(shù)，則有為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，設(shè)設(shè)梯度的運(yùn)算法則：梯度的運(yùn)算法則：ugradvvgraduuvgrad )()2()0()3(2 vvugradvvgraduvugradgraduufufgrad)()()4( 作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題8-7: 1, 4, 5, 7討討論論函函數(shù)數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0

22、,0(yz yyy |lim0故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在.思考題解答思考題解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn))2 , 1(到點(diǎn)到點(diǎn) )32 , 2( 的方向的方向?qū)?shù)為的方向的方向?qū)?shù)為_(kāi)._.2 2、 設(shè)設(shè)xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(g

23、radf_._.3 3、 已知場(chǎng)已知場(chǎng),),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場(chǎng)的梯度場(chǎng)的梯度方向的方向?qū)?shù)是方向的方向?qū)?shù)是_._.4 4、 稱向量場(chǎng)稱向量場(chǎng)a為有勢(shì)場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng), ,是指向量是指向量a與某個(gè)函數(shù)與某個(gè)函數(shù) ),(zyxu的梯度有關(guān)系的梯度有關(guān)系_._.練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 設(shè)設(shè)vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxM處處沿沿點(diǎn)點(diǎn)的的向向徑徑0r的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), ,問(wèn)問(wèn)cba,具具有有什什么么關(guān)關(guān)系系時(shí)時(shí)此此方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函數(shù)二、求函數(shù))(12222byaxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2,2(ba處沿曲線處沿曲線 12222 byax在這點(diǎn)的