幾何類問題解決淺見中考數(shù)學(xué)規(guī)律探索型

1、中考數(shù)學(xué)規(guī)律探索型（幾何類）問題解決淺見長旺中學(xué) 明道銀中考數(shù)學(xué)規(guī)律探索型問題的解決體現(xiàn)了新課程下數(shù)學(xué)中考命題的新嘗試，是近幾年來中考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要敏銳的觀察力、嚴(yán)密的邏輯推理能力和一定的計(jì)算能力。為培養(yǎng)這方面的能力，本人以幾何圖形的問題為例，從哪些方面來觀察思考，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用規(guī)律從特殊到一般和從一般到特殊的辦法來解決幾何類規(guī)律探索型問題。一、 規(guī)律明顯 數(shù)數(shù)看看定有發(fā)現(xiàn)例1、如圖，每一幅圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)，第2幅圖中有3個(gè)，第3幅圖中有5個(gè)，則第n幅圖中共有 個(gè)。第1幅第2幅第3幅第n幅解析：方法 ：一數(shù)。在數(shù)字中發(fā)現(xiàn)。在開始的幾幅圖中把所要的問題

2、分別數(shù)字記載，如1、3、5、7 、 ，發(fā)現(xiàn)奇數(shù)規(guī)律排列，猜想最終結(jié)果為2n-1 ；二看。發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律和結(jié)果數(shù)字規(guī)律。直接由圖序排列發(fā)現(xiàn)大小菱形逐次各自多1，得出所要的結(jié)果是：1、1+2、1+2+2、1+2+2+2、 ，再發(fā)現(xiàn)是1加上若干個(gè)2 組成，2的多少與序列號少1，于是得1+2（n-1）即2n-1 。例2、觀察下列圖形及圖形所對應(yīng)的算式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算1+8+16+24+8n（n是正整數(shù)）的結(jié)果為 （ ）。1+8=?1+8+16=?1+8+16+24=?解析：是圖形規(guī)律與數(shù)字規(guī)律結(jié)合的問題，與上述比較多了個(gè)數(shù)字條件規(guī)律，探究數(shù)字規(guī)律結(jié)果。方法：在開始的幾幅圖中發(fā)現(xiàn)圖形及圖形所對應(yīng)的算

3、式之間的關(guān)系，即：圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是圖形所對應(yīng)的算式的數(shù)值結(jié)果；然后可直接由圖形的規(guī)律發(fā)現(xiàn)結(jié)果或在數(shù)字形式（原式或變形式或運(yùn)算結(jié)果）發(fā)現(xiàn)結(jié)果。如在圖形的規(guī)律發(fā)現(xiàn)結(jié)果為3、5、7、的平方；在原式數(shù)字形式發(fā)現(xiàn)結(jié)果為1加上若干個(gè)含8的倍數(shù)的項(xiàng)的和，于是變形為1+8（1+2+3+ + n ）;在運(yùn)算結(jié)果數(shù)字規(guī)律9、25、47、81 中發(fā)現(xiàn)為3、5、7、 、的平方。歸納方法：這類給定的圖形或數(shù)字規(guī)律及尋找的數(shù)字規(guī)律容易發(fā)現(xiàn)，通過一看二數(shù)三變的方法即可解決問題。練習(xí)1、用正三角形、正四邊形和正六四邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第二個(gè)圖案開始，每個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)都比上一個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)多4

4、個(gè)則第n個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)為 。 第一個(gè)圖案第二個(gè)圖案第三個(gè)圖案練習(xí)2、如圖9，在銳角內(nèi)部，畫1條射線，可得3個(gè)銳角；畫2條不同射線，可得6個(gè)銳角；畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角；照此規(guī)律，畫n條不同射線，可得銳角 個(gè)練習(xí)3、在圖（1）中，A1、B1、C1分別是ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，在圖（2）中，A2、B2、C2分別是A1B1C1的邊B1C1、C1 A1、 A1B1的中點(diǎn)，按此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)共有 個(gè)。練習(xí)4、在ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上的任意一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)O某學(xué)生在研究這一問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如下的事實(shí)：(1)當(dāng)時(shí)，有 (如圖1)；(2)當(dāng)時(shí)

5、，有 (如圖2)；圖1 圖2 圖3 圖4(3)當(dāng)時(shí)，有 (如圖3)；在圖4中，當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用n表示的一般結(jié)論，并給出證明(其中n是正整數(shù))。說明：證明時(shí)按照幾何的探究思路和方法。ADBADCFEBADA1A2A3B1B2B3練習(xí)5、如圖，ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點(diǎn)A1、B1，則四邊形A1ABB1的面積為，再分別取A1C、B1C的中點(diǎn)A2、B2，A2C、B2C的中點(diǎn)A3、B3，依次取下去利用這一圖形，能直觀地計(jì)算出_ 二、 規(guī)律隱含 算算數(shù)量待發(fā)現(xiàn)BACDA1A2例3、如圖，在ABC中，AABC與ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得A1；A1BC與A1CD的平分線相

6、交于點(diǎn)A2，得A2； ；A2009BC與A2009CD的平分線相交于點(diǎn)A2010，得A2010，則A2010 解析：（一）A1 = A1CD - A1BD ，A1BC = ABCA1CD = ACD = （A +ABC ） A1 = A又A2 = A2CD - A2BD ，A2CD =ACD = （A +ABC ） ，A2BC = ABCA2 = A同理，得A3 = A ；A4 = A ；A5 = AnAn = A2010A2010 = A歸納方法：利用三角形的內(nèi)角和或外角和的性質(zhì)及角平分線性質(zhì)，采取從特殊到一般解決問題的數(shù)學(xué)思想，逐次探究出A1 ；A2 ；A3 ； ；An 的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)一定的

7、數(shù)量規(guī)律，猜測結(jié)論。解析：（二）nAn = AnCD - AnBD ，AnBD = ABCnnAnCD = ACD = （A +ABC ） nAn = A2010A2010 = A歸納方法：利用三角形的內(nèi)角和或外角和的性質(zhì)及角平分線性質(zhì)，采取從一般到特殊解決問題的數(shù)學(xué)思想，先探究出一般情況下的的結(jié)果：nAnBD = ABCnnAnCD = ACD = （A +ABC ） 再利用外角和的性質(zhì)探究出一般情況下的的結(jié)果：An = AnCD - AnBD最后進(jìn)行代入計(jì)算，即得規(guī)律性的結(jié)果。練習(xí)1如圖，n+1個(gè)上底、兩腰長皆為1，下底長為2的等腰梯形的下底均在同一直線上，設(shè)四邊形P1M1N1N2面積為S

8、1，四邊形P2M2N2N3的面積為S2，四邊形PnMnNnNn+1的面積記為Sn，通過逐一計(jì)算S1，S2，可得Sn = .AN1N2N3N4N5P4P1P2P3M1M2M3M4ABCA1A2A3A4A5C1C2C3C4C5練習(xí)2、如圖，已知RtABC中，AC=3，BC= 4，過直角頂點(diǎn)C作CA1AB，垂足為A1，再過A1作A1C1BC，垂足為C1，過C1作C1A2AB，垂足為A2，再過A2作A2C2BC，垂足為C2，這樣一直做下去，得到了一組線段CA1，A1C1，C1A2，A2C2，AnCn，則AnCn 。 練習(xí)ns3、如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個(gè)正方形 ACEF，再以對

9、角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，（n為正整數(shù)），那么第8個(gè)正方形的面積 . OA1S2S3S4練習(xí)4、如圖，過上到點(diǎn)的距離為1，3，5，7，的點(diǎn)作的垂線，分別與相交，得到圖所示的陰影梯形，它們的面積依次記為則 ABCDBEDAC（第19題圖）三、 坐標(biāo)規(guī)律 數(shù)形貫穿 龐雜難發(fā)現(xiàn)例4、如圖，P1是反比例函數(shù)在第一象限圖像上的一點(diǎn)，點(diǎn)A1 的坐標(biāo)為(2，0)，若P1O A1 、P2 A1 A2 、Pn An-1 An均為等邊三角形，則An點(diǎn)的坐標(biāo)是 解答思路：1、在等邊三角形P1O A1中，易

10、得點(diǎn)P1（1 ，3） 從而求的其反比例函數(shù) 2、在等邊三角形Pn An-1 An中，記An的坐標(biāo)為（an ,0）過點(diǎn)Pn做PnHx軸于點(diǎn)H，則PnH =3An-1 An = 3（an - an-1 ）OH = OAn-1 + An-1 An = an-1+ （an - an-1 ）= （an + an-1 ）3、寫出點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為（an + an-1 ） ，3（an - an-1 ） 22代入其反比例函數(shù)得 an - an-1 = 44、作賦值計(jì)算2222a0 = 0 ；a1 = 222a1 = 4 ；a2 = 8 ；a3 = 12 ；a4 = 16 ；A5 = 20 ；a6 = 24；a1

11、= 2= 21 ；a2 = 22 ；a3 = 23 ；a4 = 2 4；A5 = 25 ；a6 = 26； ；an = 2n An點(diǎn)的坐標(biāo)是(2n , 0 ) 歸納方法：這個(gè)問題如果采取從特殊到一般辦法來解決，至少要求得A2、A3、A4、這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，方可發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，這樣雖然思維量小些，但運(yùn)算量大；于是采取從一般到特殊的辦法來解決，雖然思維量大一些，但運(yùn)算量小，能準(zhǔn)確得出最終規(guī)律。但是要根據(jù)問題的情形而定。練習(xí)1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得，第個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

12、。 練習(xí)2、如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是正方形，A（1，-1）、B（-1，-1）、C（-1，1）、D（1， 1）.曲線AAAA叫做“正方形的漸開線”，其中AA、AA、AA的圓心依次是點(diǎn)B、C、D、A循環(huán)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 。 練習(xí)3、如圖15，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3PnAn1An都是等腰直角三角形，點(diǎn)P1、P2、P3Pn都在函數(shù)(x 0)的圖象上，斜邊OA1、A1A2、A2A3An1An都在x軸上。則點(diǎn)An的坐標(biāo)是 。練習(xí)4、如圖7所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函數(shù)y=（x0）的圖象上，OP1A1，P2A1A2，P3A2A3PnAn1

13、An都是等腰直角三角形，斜邊OA1，A1A2An-1An，都在x軸上，則y1+y2+yn= 。練習(xí)5、如圖11，若第一個(gè)正方形OABC的頂點(diǎn)B，第二個(gè)正方形ADEF 的頂點(diǎn)E，.第n個(gè)正方形的頂點(diǎn)P都在函數(shù)（）的圖象上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ， ）. 練習(xí)6、如圖15，點(diǎn)A、A、A、A、A為x軸的正半軸上的點(diǎn)，O A= AA= AA=AA=1，分別以A、A、A、A、A為直角頂點(diǎn)作RtOAB、RtAAB、RtAAB、RtA AB，它們的面積分別記為S、S、S、S，且S=1；雙曲線恰好經(jīng)過點(diǎn)B、B、B、B。（1）求雙曲線和直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）填空：S=_，S=_；（3）若直線BO交雙曲線于

14、另一點(diǎn)P，有三位同學(xué)在研究直線AB、直線AB、直線AB這系列直線時(shí)，有如下發(fā)現(xiàn)：小明說：“我發(fā)現(xiàn)直線AB經(jīng)過P點(diǎn)”小亮說：“我發(fā)現(xiàn)直線AB和直線AB都經(jīng)過P點(diǎn)”小王說：“我發(fā)現(xiàn)直線AB和直線AB、直線AB都經(jīng)過P點(diǎn)”請問：上述三位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，誰的發(fā)現(xiàn)更準(zhǔn)確？并給予說明。Oyx(A)A1C112BA2A3B3B2B1練習(xí)7、正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如圖所示的方式放置點(diǎn)A1，A2，A3，和點(diǎn)C1，C2，C3，分別在直線(k0)和x軸上，已知點(diǎn)B1(1，1)，B2(3，2)， 則Bn的坐標(biāo)是 yxOC1B2A2C3B1A3B3A1C2練習(xí)8、如圖所示，已知：點(diǎn)， 在內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在邊上，作出的等邊三角形分別是第1個(gè)，第2個(gè)，第3個(gè)，則第個(gè)等邊三角形的邊長