縱向數(shù)學(xué)化：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必由之路

1、縱向數(shù)學(xué)化：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必由之路一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門比較成熟的學(xué)科，以至于人們往往以“數(shù)學(xué)化”的程度來評判其他學(xué)科的成熟程度。“數(shù)學(xué)化”既是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的目的，也是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的之手段。弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)化分橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化兩種。橫向數(shù)學(xué)化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數(shù)學(xué)化是“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”。一般人們將橫向數(shù)學(xué)化理解為將現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)建立聯(lián)系；縱向數(shù)學(xué)化則常理解為是建立抽象的數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，常常包含著抽象和形式化。 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很多數(shù)學(xué)概念。作為用數(shù)學(xué)語言和符號揭示事物本質(zhì)屬性的思維形式，概念學(xué)習(xí)相對比較抽象，縱向數(shù)學(xué)化是不可避免的。但實(shí)際教學(xué)中往往過多依

2、賴于具體的直觀，縱向數(shù)學(xué)化受重視的程度還不夠。甚至我們已經(jīng)過多地注重了橫向數(shù)學(xué)化，而導(dǎo)致了學(xué)習(xí)過程中對縱向數(shù)學(xué)化的下意識回避，其直接后果就是學(xué)生對于所學(xué)的內(nèi)容缺乏深刻的理解，無法建構(gòu)起整體的聯(lián)系。事實(shí)上，課程改革重視橫向數(shù)學(xué)化，并不代表可以忽略縱向數(shù)學(xué)化，從發(fā)展思維的角度看，縱向數(shù)學(xué)化有更重要的價值。一、小學(xué)生需要縱向數(shù)學(xué)化嗎小學(xué)生的思維特點(diǎn)是以形象思維為主。學(xué)生在理解抽象的知識時，由于受心理因素的影響容易遇到一些學(xué)習(xí)障礙，比如辨認(rèn)困難，缺乏空間想象力等。此時，設(shè)計合理的生活情境，給學(xué)生提供具體的材料，具有將兒童思維從生活引入學(xué)科的作用。那么小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有沒有縱向數(shù)學(xué)化呢？以加法為例，兩

3、只小猴分別摘了8個桃和5個桃，一共摘了多少個桃？類似的問題可以被抽象為：8和5合起來是幾？這屬于橫向數(shù)學(xué)化。接著列出算式85，考慮加法怎么算就是縱向數(shù)學(xué)化中算法的問題。隨著學(xué)生的學(xué)力增長，數(shù)學(xué)化是可以從橫向進(jìn)一步往縱向深入的。從下面的案例中我們可以看到，縱向數(shù)學(xué)化有時候更能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。教學(xué)圓的認(rèn)識，教師出示信封中的一個圓和一些直邊的圖形，詢問學(xué)生能否從這一堆平面圖形中把圓“摸”出來。學(xué)生當(dāng)然說“能”，教師便引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么”，讓學(xué)生比較圓和直線圖形的邊的特征，建立圓是曲線圖形的概念。接著，教師又從信封中取出不規(guī)則的曲線圖形和橢圓，讓學(xué)生繼續(xù)“摸”。學(xué)生判斷能摸出并準(zhǔn)確地說出依據(jù)，體

4、會這些圖形“凹凸不平”“不均勻”等不同于圓的特質(zhì)，突顯了圓“飽滿”“均勻”的特點(diǎn)。學(xué)生在這個過程中根本沒有實(shí)際動手去摸，但是很明顯地，他們的感受是深刻的，思維是理性的?？梢?，現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)踐操作能為學(xué)生理解概念提供有效的感知基礎(chǔ)，但不是唯一的途徑。分析、抽象對于小學(xué)生來說存在一定的難度，但某種程度上，也正是這種難度讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變得有意義了。更進(jìn)一步說，在幾何學(xué)中的知覺表象空間并不等于幾何空間。奧地利數(shù)學(xué)家和心理學(xué)家恩斯特·馬赫指出：人們的空間感覺的系統(tǒng)與歐氏空間是不同的。幾何空間在一切地方和在一切方向都是同一性質(zhì)的，是無邊界的和無限的。視覺空間是有邊界的和有限的，而且它的廣延在不同方向

5、是不同的， “天穹頂”就是一個極好的例子。法國著名數(shù)學(xué)家昂利·彭加勒也認(rèn)為，通過感覺和表象掌握的空間是與幾何學(xué)家所掌握的空間完全不相同的。這些精通感官或生理心理學(xué)的數(shù)學(xué)家都否認(rèn)了知覺表象空間與幾何空間的一致性。因為“幾何學(xué)原理并不是經(jīng)驗的事實(shí)。”同時，實(shí)驗心理學(xué)在這方面為上述觀點(diǎn)也提供了可信的證據(jù)。因此，縱向數(shù)學(xué)化即使在小學(xué)階段也是有價值的。二、合理認(rèn)識抽象的地位靜態(tài)地看，概念是知識的基本單位；動態(tài)地看，概念是思維的基本單位。對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，概念的形成、理解與掌握是最基本的、起著基石性作用的認(rèn)知活動，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“基礎(chǔ)工程”。幾何概念是抽象的。荷蘭范·希爾夫婦針對平面圖

6、形的認(rèn)識提出如下的幾何思維水平：水平1為直觀化；水平2為描述/分析；水平3為抽象/關(guān)聯(lián)；水平4為演繹/形式化推理；水平5為嚴(yán)密/元數(shù)學(xué)。學(xué)生通過思維水平的進(jìn)步，從直觀化水平不斷地提高到描述、分析、抽象和演繹等復(fù)雜水平。這實(shí)際上也說明了從直觀辨認(rèn)到探索特征是符合兒童的認(rèn)知規(guī)律的。因此概念的形成不可能停留在直觀感知的水平上，必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象思維。有這樣一道習(xí)題：至少要用多少塊棱長為1厘米的小正方體才能拼成一個較大的正方體？教師在發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生無從下手時，便啟發(fā)學(xué)生先拼一拼，再數(shù)一數(shù)。學(xué)生通過動手操作，發(fā)現(xiàn)至少要用8塊。如果教學(xué)就此結(jié)束，那么操作是表面的；但是如果老師在學(xué)生通過操作得出8塊后，趁勢

7、引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：為什么會是8塊？學(xué)生則可能體會到因為沿著長、寬、高各都擺了2塊，每層都要擺2×2=4(塊)，要擺2層，所以是4×2=8(塊)，進(jìn)而認(rèn)識到這里的每個“2”分別代表的是正方體的棱長，總塊數(shù)等于正方體棱長的立方。教師引導(dǎo)學(xué)生驗證：這個發(fā)現(xiàn)究竟對不對呢？需要驗證。假如要拼一個棱長為3厘米的正方體，至少需要多少塊這樣的小正方體？盡管一些學(xué)生還是依賴動手拼，但許多學(xué)生已開始借助表象，進(jìn)行想象并抽象成算式：3×3×3=27（塊）。在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)追問：假如要拼一個棱長為a厘米的正方體（a為自然數(shù)），一共需要多少塊這樣的小正方體？你能想象出拼成的

8、圖形嗎？這樣的教學(xué)由特殊到一般，及時把學(xué)生的感性認(rèn)識上升到理性，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成和抽象思維的發(fā)展。無獨(dú)有偶，D. Tall有關(guān)從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究表明：雖然幾何最初是以感知的對象為對象的，并且是以圖像型為基礎(chǔ)的，但它的進(jìn)一步發(fā)展有一個語言和概念推演的轉(zhuǎn)化過程，直至幾何的完全形式化。 許多數(shù)學(xué)概念在小學(xué)階段是相對淺顯、模糊、表述不完善的（其中當(dāng)然有考慮小學(xué)生的年齡以及心理特征的原因）。小學(xué)階段未必能夠讓學(xué)生完整理解純抽象的概念，但是利用縱向的數(shù)學(xué)化活動適當(dāng)作抽象的訓(xùn)練和學(xué)習(xí)，為“純數(shù)學(xué)的研究”作準(zhǔn)備則是有可能的。三、我們需要什么樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程如果說過去的數(shù)學(xué)教學(xué)在某種程

9、度過于重視結(jié)果而忽視了過程，那么當(dāng)下的教學(xué)既要重視結(jié)果，也要重視過程。這并不是結(jié)果是可有可無的。實(shí)際上，任何學(xué)習(xí)都是有階段性的，在某一階段，學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)會經(jīng)歷一些過程，同時得到一些結(jié)論。弗賴登塔爾認(rèn)為這樣的結(jié)論在高一層學(xué)習(xí)中又作為繼續(xù)學(xué)習(xí)的常識和基礎(chǔ)。這些結(jié)論會“再一次被提煉、組織，而凝聚成新的法則，新的法則又成為新的常識，如此不斷地螺旋上升，以至于無窮”。教學(xué)分?jǐn)?shù)除法的時候，教師出示例題9/20÷3/5，教學(xué)預(yù)設(shè)是學(xué)生聯(lián)系上節(jié)課分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的知識進(jìn)行遷移。然而一個學(xué)生說9÷3/20÷5=3/4，但其給出的理由是：“分?jǐn)?shù)乘法是分子乘分子，分母乘分母，除法應(yīng)該也可以

10、啊?！庇谑?，教師又寫出一個算式：3/5÷2/3，學(xué)生仍然采用這樣的算法：3/5÷2/3=18/30÷2/3=18÷2/30÷3=9/10。顯然，學(xué)生的想法是合理的，也是正確的，只是與教科書上希望他們掌握的方法不一致。弗賴登塔爾指出：“數(shù)學(xué)教育本身是個過程，不僅是傳授知識，更要在過程中讓學(xué)生親身實(shí)踐而抓住其發(fā)展規(guī)律，學(xué)會抽象化、形式化的方法?！睂?shí)際上，如果教師愿意在課堂上拿出一些時間，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)研究這個問題，就會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解題的原理就是顛倒相乘的法則，因為：a/b÷c/d=acd/bcd÷c/d=ad/bc。教師完全可以肯定學(xué)生思路正確，并引導(dǎo)他們在課堂上從數(shù)理的角度得出這樣的結(jié)論，這不正是“學(xué)生通過自己的努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造”成為教育內(nèi)容的一部分么？而且這樣的結(jié)論是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，構(gòu)造巧妙的探索。思維質(zhì)量的提高，才能讓課堂的對話真正精彩。柏拉圖談及數(shù)學(xué)思