圖形計(jì)算器-高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的利器

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 收稿日期：2012-06-18整理簡介：鄧軍民（1977-），男，湖南邵陽人，中學(xué)高級(jí)教師，廣州市十佳青年教師，主要從事數(shù)學(xué)教育與中學(xué)教學(xué)研究。圖形計(jì)算器高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的利器鄧軍民（廣東省廣州市第二中學(xué)）摘要：圖形計(jì)算器簡單易學(xué)、功能強(qiáng)大。利用圖形計(jì)算器進(jìn)行輔助教學(xué)，能有效地滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，能有效地呈現(xiàn)線性規(guī)劃問題的求解過程，能有效地解決數(shù)理統(tǒng)計(jì)的線性回歸分析問題，能有效地落實(shí)“算法初步”的教學(xué)過程，能有效地對(duì)含參問題進(jìn)行分類討論；利用圖形計(jì)算器讓學(xué)生在真實(shí)、具體的操作情境中豐富感知，在身臨其境中得到啟發(fā)，激活思維，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的成功，提高

2、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而也提高了高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。關(guān)鍵詞：圖形計(jì)算器；有效教學(xué)；數(shù)形結(jié)合；分類討論“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性”之所以成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育中一個(gè)新的熱點(diǎn)問題，主要是針對(duì)近年來在教學(xué)方法改革中出現(xiàn)的形式主義傾向以及“數(shù)學(xué)課堂效率不高”而提出的有效教學(xué)的“有效”，主要是指教師在一種先進(jìn)教學(xué)理念指導(dǎo)下經(jīng)過一段時(shí)間的教學(xué)之后，使學(xué)生獲得具體的進(jìn)步或發(fā)展；有效教學(xué)的“教學(xué)”，是指教師引起、維持和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的所有行為和策略。筆者認(rèn)為，圖形計(jì)算器是最能有效教學(xué)的利器，下面以Casio fx-CG 20圖形計(jì)算器的具體操作實(shí)例談?wù)剤D形計(jì)算器對(duì)高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的促進(jìn)作用。一、有效地滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)

3、思想數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、最值問題中，在求解復(fù)數(shù)和三角函數(shù)的問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，不僅直觀明了，容易發(fā)現(xiàn)解題的途徑，而且能夠避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題的過程中更能凸顯其優(yōu)越性，所以要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭取胸中有圖、見數(shù)想圖，以開闊自己的思維視野，提高自己的解題能力。例1 已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍探究：S1：按p6進(jìn)入動(dòng)態(tài)函數(shù)窗口，按iwr，輸入和的解析式；S2：按rw，把“動(dòng)態(tài)設(shè)定”設(shè)置為，步長為，再按eq，把“動(dòng)態(tài)速度”設(shè)置好，再按l回到“動(dòng)態(tài)變量”窗口，再按l進(jìn)入執(zhí)行狀態(tài)；

4、S3：不斷地按l，可見的變化對(duì)值域的影響以及對(duì)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響。顯示結(jié)果如圖1。（1） （2） （3）圖1由圖1可以很直觀地看到，當(dāng)?shù)闹涤驗(yàn)闀r(shí)，的圖象（拋物線）與軸剛好有交點(diǎn)，所以有，解得或，因此實(shí)數(shù)的取值范圍為【評(píng)注】此題要深刻理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，審題思路要清晰、嚴(yán)謹(jǐn)若的值域?yàn)?，說明其真數(shù)要取遍的任何數(shù)，所以一定要是的值域的子集，所以只需的圖象與軸有交點(diǎn)即可同時(shí)由此題我們還可以得到如下結(jié)論：若的定義域?yàn)?，則，解得這是一道易錯(cuò)題，由以上求解過程可以看出，數(shù)形結(jié)合的思想是解決此題的關(guān)鍵。二、有效地呈現(xiàn)線性規(guī)劃問題的求解過程線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的重要分支，可以說它是一門實(shí)用性很強(qiáng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科。隨著

5、計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及，線性規(guī)劃的應(yīng)用越來越廣泛。它已成為人們?yōu)楹侠砝糜邢拶Y源制訂最佳決策的有力工具。而高中數(shù)學(xué)研究的是只有兩個(gè)變量的簡單的線性規(guī)劃問題，一般采用圖解法求解這種方法的特點(diǎn)是直觀且易于理解。例2 （2011年廣東高考數(shù)學(xué)理科卷第5題）已知平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定，若為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（ ）。 （A）3（B）4（C）（D）探究：S1：按5，開啟圖形函數(shù)窗口；S2：按LpNNqd，完成“相交”設(shè)置；S3：輸入題中給定的不等式組，按u作圖；S4：按iqqq1l，把圖片保存為圖片1；S5：按Lp，把背景設(shè)為圖片1，再退出設(shè)置；S6：按p6進(jìn)入動(dòng)態(tài)函數(shù)窗口，

6、輸入；S7：按rw，把“動(dòng)態(tài)設(shè)定”設(shè)置好，再按eq，把“動(dòng)態(tài)速度”設(shè)置好，再按l回到“動(dòng)態(tài)變量”窗口，再按l進(jìn)入執(zhí)行狀態(tài)；S8：不斷按l，可見的最小值是，最大值是。顯示結(jié)果如圖2。所以此題答案為B （1） （2）圖2 （3） （4）【評(píng)注】了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決這是高考對(duì)線性規(guī)劃的要求這種問題同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性近幾年廣東高考在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)考查的力度比較大，但是題目難度都不大。三、有效地解決數(shù)理統(tǒng)計(jì)的線性回歸分析問題線性回歸是利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析，來確定兩種或兩種以上變量間相互依

7、賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法之一，運(yùn)用十分廣泛。分析按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型，如果在回歸分析中，只包括一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。例3 為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與玩籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月15日每天打時(shí)間x（單位：時(shí)）與當(dāng)于投籃命中率y之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y0405060604小李這 5天的平均投籃命中率為，用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6日玩6小時(shí)籃球的投籃命中率為探究：S1：按p2，開啟統(tǒng)計(jì)窗口，錄入數(shù)據(jù)；S2：按qu把圖的類型設(shè)置為散點(diǎn)圖Scatter，確認(rèn)橫縱坐標(biāo)，再按l；

8、S3：按q繪出散點(diǎn)圖，按qww顯示回歸結(jié)果；S4：按u，繪出擬合函數(shù)的圖象；S5：按Lyq，輸入，再按l，則輸出。顯示結(jié)果如圖3。所以用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6日玩6小時(shí)籃球的投籃命中率為（1） （2） （3）圖3【評(píng)注】會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程這個(gè)知識(shí)點(diǎn)從2007年開始，一直是廣東高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和熱點(diǎn)四、有效地落實(shí)“算法初步”的教學(xué)過程算法是高中數(shù)學(xué)課程中的新增內(nèi)容，其思想是非常重要的，但并不神秘。例如，運(yùn)用消元法解二元一次方程組、求最大公因數(shù)等的過程就體現(xiàn)著算法。在這一

9、章節(jié)中，學(xué)生將學(xué)習(xí)算法的初步知識(shí)，并通過對(duì)具體算法案例的分析，體驗(yàn)算法在解決問題中的重要作用，培養(yǎng)算法基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)的能力。例4 編程：寫出用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)近似解（精確到）探究：按如下步驟操作：S1：按age新建一個(gè)程序，命名為，再按l，進(jìn)入程序編輯狀態(tài)；S2：輸入下框（圖4）中的程序：?A?B?CWhile A-BC（A+B）/2D（A3-A-1）X（D3-D-1）YIf Y=0Then DIfEndIf XY<0Then DBElse DAIfEndWhileEndD 圖4S3：按dq，顯示結(jié)果如圖5：圖5【評(píng)注】算法是實(shí)踐性很強(qiáng)的

10、內(nèi)容，只有通過學(xué)生自己的親身實(shí)踐，讓學(xué)生親自去解決幾個(gè)算法設(shè)計(jì)的問題，才能使學(xué)生體會(huì)算法的基本思想，學(xué)會(huì)基本的邏輯結(jié)構(gòu)和對(duì)應(yīng)的算法語句因此，在“算法初步”的教學(xué)過程當(dāng)中，提倡通過實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)和理解算法的涵義，通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷“寫出算法步驟、畫出程序框圖、編制程序、上機(jī)驗(yàn)證”的全過程，并由此落實(shí)算法教學(xué)內(nèi)容五、有效地對(duì)含參問題進(jìn)行分類討論分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法凡涉及要分類討論的問題，一般都具有較強(qiáng)的邏輯性、綜合性、條理性、探索性，對(duì)解題能力的要求極高例5 （2006年湖北高考數(shù)學(xué)理科卷

11、第10題）關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）。（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 探究：S1 按p5進(jìn)入圖形窗口，畫出的函數(shù)圖象，如圖6；圖6S2：按y對(duì)圖形進(jìn)行分析可知：對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根；而對(duì)于函數(shù)來說，注意到其函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，所以有：當(dāng)判別式時(shí)，無實(shí)根，這時(shí)對(duì)應(yīng)的方程無實(shí)根；當(dāng)判別式時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根：，這時(shí)對(duì)應(yīng)的方程就有個(gè)實(shí)根；

12、當(dāng)判別式時(shí)，若兩實(shí)根滿足，這時(shí)對(duì)應(yīng)的方程就有個(gè)實(shí)根；當(dāng)判別式時(shí)，若兩實(shí)根滿足，這時(shí)對(duì)應(yīng)的方程就有個(gè)實(shí)根；當(dāng)判別式時(shí)，若兩實(shí)根滿足，這時(shí)對(duì)應(yīng)的方程就有個(gè)實(shí)根；綜上所述，答案為A。S3：下面以實(shí)際圖形來論證上述推理的正確性。按p6進(jìn)入動(dòng)態(tài)函數(shù)窗口，輸入解析式；按rw，把“動(dòng)態(tài)設(shè)定”設(shè)置為，步長為，再按eq，把“動(dòng)態(tài)速度”設(shè)置好，再按l回到“動(dòng)態(tài)變量”窗口，再按l進(jìn)入執(zhí)行狀態(tài)；不斷地按l，可見隨著的變化，函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)也隨之變化，顯示結(jié)果如圖6。 （1） （2）（3） （4） （5）圖6【評(píng)注】此題是研究一個(gè)含參數(shù)的復(fù)合函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，前兩步的邏輯推理是建立在巧妙換元的基礎(chǔ)之上的，然后在圖形計(jì)算器的幫助下，對(duì)判別式也就是對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，使解題思路顯得非常的清晰合理，最后再以實(shí)際圖形進(jìn)行驗(yàn)證，確保了問題解決的正確性圖形計(jì)算器作為一個(gè)立足于數(shù)學(xué)、立足于教學(xué)、立足于學(xué)生的教學(xué)產(chǎn)品，為數(shù)學(xué)的教、學(xué)、用量身定制，形象直觀地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)多元關(guān)聯(lián)的有效呈現(xiàn)，即對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象能夠給出幾種不同的表示，對(duì)問題涉及到的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)整合，集“數(shù)、形、表”于一體，代數(shù)表示法、數(shù)值表示法、統(tǒng)計(jì)表示法、圖形和幾何、靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的表達(dá)形式得到全方位的展示，為數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了豐富的背景。同時(shí)，以“鍵盤”操作為手段的圖形計(jì)算器可以讓學(xué)生在“