2010年復(fù)旦千分考數(shù)學(xué)試題

1、2010年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試題一.選擇題：（每題5分，共155分，答對(duì)得5分，答錯(cuò)扣2分，不答得0分）1.設(shè)函數(shù)y f x ex 1,則其反函數(shù)x f 1 y在坐標(biāo)系xOy中的大致圖像是（）821642 .設(shè)f x是區(qū)間 a, b上的函數(shù)，如果對(duì)任意滿足a<x yw b的x、y都有f x &f y ,那么稱f x是a,b上的遞增函數(shù)，f x是a,b上的非遞增函數(shù)應(yīng)滿足（）(A)存在滿足x y的x、ye a,b ,使得f x f y ;(B)不存在 x、y e a,b 滿足 x y,且 fx&fy；(C)對(duì)任意滿足x y的x、y e a,b ,都有f x f y ；

2、(D)存在滿足x y的x、y e a,b ,使得f x &f y .3 .設(shè) 、 e ，一，且滿足sin cos sin cos 1,則sin sin的取值范圍是()2 2(A) 也& ；(B)1,72 ;(C)0,72 ;(D)1j2 .24.設(shè)頭數(shù)x> 0, y> 0,且滿足2x y 5,則函數(shù)f x, y x xy 2x 2y的最大值是()(A)97(B)195(C)49(D)255.設(shè)一個(gè)多面體從前面、1）分別為(B)后面、左面、右面、上面看到的圖形（其中正方形邊長(zhǎng)為則該多面體的體積為（(C)(D)6.在一個(gè)底面半徑為 1 ,高為1的圓柱內(nèi)放入一個(gè)直徑為2心

3、球、圓柱的側(cè)面以及兩個(gè)底面之一都相切的小球，最多可以放入這樣的小球的個(gè)數(shù)是1的實(shí)心球后，再圓柱內(nèi)空余的地方放入與實(shí)(A)32 個(gè);(B) 30個(gè);(C)28個(gè) l ;(D) 26 個(gè).7.給定平面向量(1 ，1）,那么平面向量L速1是將向量（1, 1）（A）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（C）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°60°所得;所得;(B)(D)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°所得;8.在直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)1,0 ,A212, 2,A4A 1:3A 2,萬(wàn),A6 22,那么在向量i,j 1,2,3,4,5,6, i j中，不同向量的個(gè)數(shù)有()(A)9 個(gè);(B)15個(gè);

4、(C) 18個(gè);(D) 30對(duì)函數(shù)f : 0,10,1f1 x f,fnf fn1,2,3,，滿足x x的點(diǎn)x£ 0,1稱為f的一個(gè)n-周期點(diǎn).現(xiàn)設(shè)> > 1 2x,0& x0 ;21 / /2 2x-<x< 1,2f的一個(gè)n-周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）(A) 2n 個(gè)；(B)- 22n個(gè);(C)2n 個(gè);(D)2 2n1個(gè).10.已知復(fù)數(shù)乙1 3iz .3內(nèi),則復(fù)數(shù)Z1Z2的一個(gè)輻角是（13(A)；12(B)11；12(C)(D)71211 .設(shè)復(fù)數(shù)zcosi sinsini cos(A)蟲(chóng);(B)吏或(C)(D)1222212 .已知常數(shù)ki,k2滿足0k

5、1k2kk21 .設(shè) G和C2分別是以yk,x 11和k2 x 11為漸近線且通過(guò)原點(diǎn)的雙曲線，則Ci和C2的離心率之比包等于() %13.參數(shù)方程(B)(C)1(D)k1k2x a t sin ta 0所表示的函數(shù)y f x () y a 1 cost(A)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(B)(C)是周期為2a的周期函數(shù)；(D)圖像關(guān)于直線x 對(duì)稱;是周期為2 的周期函數(shù).14.將同時(shí)滿足不等式x ky 2W0, 2x3y 6>0, x 6y 10<0 k0的點(diǎn)組成的集合D稱為可行域，將函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù).所謂規(guī)劃問(wèn)題就是求解可行域中的點(diǎn)x,y使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到在可行x域上的最小值，如果這個(gè)規(guī)劃問(wèn)

6、題有無(wú)窮多個(gè)解x, y ,那么k的取值為()(A) k>1 ；(B)k< 2;(C) k 2;(D) k 1 .15.某校有一個(gè)班級(jí)，設(shè)變量x是該班同學(xué)的女4名，變量y是該班同學(xué)的學(xué)號(hào)，變量z是該班同學(xué)的身高，變量 是該班同學(xué)某一門(mén)課程的考試成績(jī).則下列選項(xiàng)中正確的是()(A)y是x的函數(shù)；(B)(C) 是z的函數(shù)；(D)16 .對(duì)下于原命題“單調(diào)函數(shù)小不是周期函數(shù)”,(A)逆命題為“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)” ；(B)否命題為“單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)”；(C)逆否命題為"周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)”；(D)以上三者都不正確.17 .設(shè)集合 A x, y loga x loga y 0

7、, B圍是()(A);(B)a(C) 0 a02,且 a 1；(D)118.設(shè)集合x(chóng)是實(shí)數(shù)集R的子集，如果點(diǎn)x0 e r滿Jz是y的函數(shù)；是x的函數(shù).F列陳述正確的是 ()x, y x y a ,如果A n B ,那么a的取值范0 ,且 a 1;a< 2.：對(duì)任意a 0 ,都存在x e x,使得0 xx0a ,那么稱x0為集合X的聚點(diǎn)，用Z表示整數(shù)集，則在下列集合n _ 一1_ . |n Z,n>0 ,(2)R 0,(3) -|n Z, n>0 , (4)整數(shù)集Z中，以。為聚點(diǎn)的集合有() n 1n(A)(2)、(3) ;(B)(1)、(4);(C)(1)、(3) ;(D)(

8、1)、(2)、(4).19.已知點(diǎn)A 2,0 ,B 1,0 ,C 0,1 ,如果直線y kx將 ABC分割為兩個(gè)部分，那么當(dāng)k等于多少時(shí),這兩個(gè)部分的面積之積最大?(A) I；(B)20.已知f42(C)- ；(D)3322x ,定義域D f-7,sin xcosx 3cos12 12,則其反函數(shù)f 1 x (A)1 arccos212(B)1 arccos2(C)1arcsin2、/312(D)1. arcsin 2 21 .設(shè)11 , 12是兩條異面直線，則直線 l與l-I2都垂直的必要非充分條件是 ()(A) l是過(guò)點(diǎn)RC 11和點(diǎn)P2C 12的直線，這里 RF2等于直線11和12間的距

9、離;(B) l上每一點(diǎn)到11和12的距離都相等;(C)垂直于l的平面平行|1和|2;(D)存在與l1和l2都相交的直線與l平行或重合.1, P是側(cè)面ABBA的中心點(diǎn)，則 P到側(cè)面22.設(shè)ABC ABC是正三棱柱，其底面邊長(zhǎng)和高都為ACCA的對(duì)角線的距離是()(B)、3(C)148(D)3-2823 .在一個(gè)球面上回一組三個(gè)互不相交的圓，稱為球面上的一個(gè)三圓組.如果可以在球面上通過(guò)移動(dòng)和 縮放將一個(gè)三圓組移動(dòng)到另外一個(gè)三圓組，并且在移動(dòng)過(guò)程中三個(gè)圓保持互不相交，那么稱這兩個(gè)三圓組有相同的位置關(guān)系，否則就稱有不同的位置關(guān)系,球面上具有不同的位置關(guān)系的三圓組有(A)2 種； (B)3 種；,(C)4

10、 種;24.設(shè)非零向量 a a1,a2,a3 ,bb. ,b2,b3 ,c(D)5 種.Cl,C2,C3為共面向量,IX()是未知向量,0的向量X的個(gè)數(shù)為()(A)1個(gè)； (B) 無(wú)窮多個(gè)； (C)0 個(gè)； (D) 不能確定.25.在坐標(biāo)平面上 Oxy給定點(diǎn)A 1,2 ,B 2,3 ,C 2,1 ,矩陣 2 k將向量oA , oB , OC分別變1 1換成向量如果聯(lián)結(jié)它們的終點(diǎn)B、C構(gòu)成直角三角形，且斜邊為 BC ,那么k ()(D)0,2 .,An cw ,則下列選項(xiàng)中正確的是()(A) 2;(B)2;(C)0;26.設(shè)集合A、B、C D是全集X的子集，AA Bw (A)若 D B或% C.

11、貝U DA Aw(B)若D：滬A,貝U，Dn Bw, XDA Cw(C)若D?A,則(X DA B=, (XDC C=(D)上述各項(xiàng)都不正確.27.已知數(shù)列 an滿足ai2,且同 是公比為2的等比數(shù)列，則ak ()nk i(A)n|2n 1 2；(B)n l|2n1 2；(C) n|2n 2 n 1 ；(D)n 1 12n 2n .z 1 后、口28.復(fù)平面上圓周 -的圓心是()z 1 i 2(B) 3 i ;(C)1 i ;29 .已知C是以。為圓心、r為半徑的圓周，兩點(diǎn)P、p在以。為起點(diǎn)的射線上，且滿足op|op則稱P、P關(guān)于圓周C對(duì)稱，那么，雙曲線x2y2 1上的點(diǎn)P x,y關(guān)于單位圓周

12、C ： x2 y2 1的1 .答案A對(duì)稱點(diǎn)P所滿足的方程是()2 22442222 2(A) x y x y ；(B) x y x y ；224422c 222(C) x y 2 x y ；(D) x y 2 x y .x xcos vsin2230 .經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換7 ，將二次曲線3x2j3xy 5y 6 0轉(zhuǎn)化為形如y xsin ycos2 x2 a2 y b21的標(biāo)準(zhǔn)方程，則的值及二次曲線的類型是()(A)k k Z ,橢圓；6(B)k一 一k Z ,橢圓;(C) k k Z ,雙曲線；6(D) - k Z ,雙曲線.26k有整數(shù)解的必要條件是()31 .設(shè)k、m、n是整數(shù)，不定方程 mx

13、 ny(A) m、n 都整除 k ；(B)(C) k、m、n兩兩互質(zhì)； (D) m、n的最大公因子整除 k ；k、m、n除1外沒(méi)有其他公因子.2010年名牌大學(xué)自主招生考試試題 (1)詳解適用高校：復(fù)旦大學(xué)選擇題(每題5分，共155分，答對(duì)得5分，答錯(cuò)扣2分，不答得0分)y的圖像即y f x的圖像.解答注意到反函數(shù)表達(dá)式中x與y沒(méi)有互換，所以X f解答“任意”的否定是“存在” ，的否定是“ >”.3 .答案D解答依題意，sin1 ,因?yàn)?< W ,所以一2又因?yàn)?,-.所以 0,-, 2 227.答案C立.2r,解得r 32因?yàn)?52arcsinsin sin sin cosV2s

14、in一1,V2 -44 .答案C5解答因?yàn)閥 5 2x>0,所以CKx<22一349349消去y ,得f x x - 竺，當(dāng)x 3時(shí)，/竺.24245 .答案D解答該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體截去一個(gè)角所得.6 .答案B解答如圖，圖（1）是圓柱的軸截面，圖（2）是圓柱的底面. 1設(shè)小實(shí)心球的半徑為r ,則r 12AOB= arcsin所以 AB 3 2 J2 , OA= OB=短 1 ,且解答因?yàn)橄蛄? .答案C4a- 3260 ,結(jié)合圖像知選(C).解答依題意，A、A、A A、A、A6是正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)，其中模為1、陰、2的向量各有6個(gè)，所以向量AAj(i,j=1,2,3,4

15、,5,6,ij)中，不同向量的個(gè)數(shù)為18. 解答將x寫(xiě)成二進(jìn)制小數(shù)0aa2an 2,其中10.11 1f x定義知,f x0.a2a3an2若 x0.a1a2an2 是 f x 的 n周期點(diǎn)，則0a2an204自2 a2n 2,即x在二進(jìn)制下是以n為周期的循環(huán)小數(shù)，這樣的x共有2n個(gè).10 .答案A評(píng)注乙的輻角主值為一，z2的輻角主值為 33 一，貝U Z1Z24的輻角主值為一3313412221211 .答案C.解答因?yàn)閦wsincossin cossinsincos cos i-.32，所以sincossincossinsincoscos因?yàn)閏os0,所以sin又因?yàn)?sin 2 sin

16、2J3,即 sin cos3 . cos一，sin212 .答案C2“ -y 1解答依題意，設(shè)C1: y 2 ab222x 1 y 1C2: A2 B2因?yàn)镃1,C2都過(guò)原點(diǎn)，所以1A21口111121 ,即一222B2 a2 B2b2A2又因?yàn)閗1k2 ai B1,所以一|一Na1,r 11即，所以aB bA1 口 1一，且一13 .答案C解答當(dāng)X2a2aa t sinta t 2 sin t 2 時(shí)，相對(duì)應(yīng)的y a 1 cos tf x ,所以f x是周期為2a的周期函數(shù).14.答案C- y 1 .解答-一表不可行域中一點(diǎn)x,y與點(diǎn)0, 1連線斜率，當(dāng)規(guī)劃問(wèn)題有無(wú)數(shù)多個(gè)解時(shí)，點(diǎn)x0,在直線

17、x ky 2 0上，所以k 2.1516 解答當(dāng)0 a1時(shí)，Ax, y0 xy 1, x當(dāng)a 1時(shí)，Ax,y xy1,x0,y 0 .若A n B =，則曲線xy 1與x y a僅有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)，消去ax 10,所以a24<0 ,解得 1 a02.18.答案A一， 一 一， 1解答R 0 與 一|n Z,n>0 n中均存在以0為極限的非零實(shí)數(shù)列.答案B.答案D解答逆命題：如果一個(gè)函數(shù)不是周期函數(shù)，那么它是單調(diào)函數(shù); 否命題：如果一個(gè)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，那么它是周期函數(shù)； 逆否命題：如果一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，那么它不是單調(diào)函數(shù).19.答案A解答當(dāng)且僅當(dāng)兩部分面積相等時(shí),這兩部分的面積

18、之積最大,此時(shí)直線kx過(guò)線段AC上一點(diǎn)D,且 OA AD喙即AD3.5420.答案A解答因?yàn)閒 x1sin2x 2cos2x 1sin2x,32cos2x 6I3且 2x 0,61一 arccos、3x -.答案Dx 1 回1 * 2221 .答案D解答l1,l2的公垂線與l平行或重合.22 .答案C2解答設(shè)P在側(cè)面ACCA上的射影為H ,則H到側(cè)面ACCA對(duì)角線的距離為 8且PH所以P到側(cè)面ACC A對(duì)角線的距離為23 .答案A提示如圖，不同的三圓組位置只有兩種可能.24 .答案B 1111解答向量x與a、b、c都垂直，只需取25 .答案B4bc所在平面垂直，顯然這樣的 x有無(wú)窮多個(gè).解答依題意，A 2 2k,1 ,B 4 3k,1 ,C 4 k, 1 ,所以因?yàn)锳C，所以 2k 2k0 0,k2.當(dāng)k 2時(shí)，A&