發(fā)現(xiàn)初等數(shù)學(xué)新定理的九種方法

1、發(fā)現(xiàn)初等數(shù)學(xué)新定理的九種方法松原市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué) 王恩權(quán)近年來我國初等數(shù)學(xué)研究呈現(xiàn)出一派大好勢頭，新成果層出不窮，新開拓研究領(lǐng)域不斷擴(kuò)大。有些成果已經(jīng)與中學(xué)數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合起來，如數(shù)陣問題已經(jīng)出現(xiàn)在高考題或數(shù)學(xué)競賽題中。因此有必要就初等數(shù)學(xué)的研究問題做些探討。一個定理的形成和發(fā)展是有一定的過程的，一個應(yīng)用范圍較廣的定理，往往是從應(yīng)用范圍較小的結(jié)論逐步推廣而成的，而這個應(yīng)用范圍較小的結(jié)論往往又源于一兩個特例，因此一個數(shù)學(xué)定理有可能從不同角度和不同側(cè)面進(jìn)行推廣。根據(jù)多年的體會，筆者把發(fā)現(xiàn)初等數(shù)學(xué)新定理的方法加以分類，并試圖找到一般規(guī)律。由于切身經(jīng)歷，更有利于從實(shí)質(zhì)上對方法進(jìn)行歸納，因此文中的范例，盡量取

2、材于筆者近年來發(fā)表的初等數(shù)學(xué)研究新成果。如果我們在教學(xué)中，不僅教給學(xué)生定理的內(nèi)容和證明，還教給學(xué)生定理的發(fā)現(xiàn)過程和發(fā)現(xiàn)方法，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，同時還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。長此以往對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，為未來培養(yǎng)對社會有用的合格人才，無疑是大有益處的。這也符合新教材理念的要注重“知識與技能，過程與方法，態(tài)度與情感”的要求。 一 形象方法的推廣由一種形象所具有的規(guī)律，推廣到其它形象所具有的規(guī)律，如從平面到空間，從三角形到多邊形，從線段，三角形，四面體到n維歐氏空間單純形等。如：費(fèi)哈不等式：設(shè)的三邊長為，面積為，則： （1）本文中不等式取等號的條件全部略去。把（1）式中邊長與面積和

3、四面體中的棱長與側(cè)面積，棱長與體積或側(cè)面積與體積做類比，可得到費(fèi)哈不等式在空間個四面體中推廣的幾個定理：定理1.11 設(shè)個四面體的頂點(diǎn)所對的面積為，三邊長為（和有 定理1.2 1 設(shè)個四面體的三對棱長為），它們對應(yīng)的對棱間距離的倍分別為，體積為則定理1.31 設(shè)四面體的體積為，頂點(diǎn)所對面的面積為，規(guī)定，則二 演繹歸納方法的推廣有時運(yùn)用已有的定理、公式反復(fù)演繹推導(dǎo)，得到一系列新定理、公式，再對這些定理、公式進(jìn)行歸納，可能發(fā)現(xiàn)定理的推廣。如：不等式：設(shè)則有： （2）文2對（2）式給出一種改進(jìn)形式：設(shè)則有 （2.1）由于（2.1）限定 為正數(shù)，與（2）式條件不符，因此不是（2）式的推廣。仔細(xì)研究后發(fā)

4、現(xiàn)這種限制是不必要的。筆者在文3證明了：設(shè)則有 （2.2）這是（2）式的一種推廣形式，并且將（2.2）式中的換成對于，有 （2.3）合并（2.2）、（2.3）兩式，得到（2）式的一種推廣形式。定理2.13 設(shè)且不小于2，對和，有 （2.4）將（2.4）中條件改為，其它條件不變，有 （2.5）合并（2.2）、（2.5）兩式有：定理2.23 設(shè)且不小于2，和有 （2.6）這也是（2）式的一種推廣形式，（2.6）式中用代替，用黎曼和代替（2.6）中的，則有不等式的積分形式的推廣，即積分不等式的推廣：定理2.34 設(shè)且不小于2，對區(qū)間上的任意可積函數(shù)和有三 由一個問題上升為一類問題進(jìn)行推廣為統(tǒng)一局部情

5、況下的定理，常常通過歸納提出具有統(tǒng)一形式的設(shè)想，如果這些設(shè)想成立，則對定理進(jìn)行了推廣。如把無理數(shù)表成連分?jǐn)?shù)問題，文5有2個公式：當(dāng)，則；。為統(tǒng)一以上兩個結(jié)果，本人用代替以上兩根號中的1，2（，并證明了此猜想可行，有：定理3.16 設(shè)，則為無理數(shù)，且可表成連分?jǐn)?shù)。此為以上兩公式的推廣和統(tǒng)一。四減弱定理的條件推廣定理若去掉定理的條件，并不影響結(jié)論成立，可將定理推廣。如關(guān)于雙曲線上四點(diǎn)共圓問題文7有定理：等軸雙曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件是：筆者去掉等軸的條件，證得：定理4.18 雙曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件是：把雙曲線改為拋物線中也有類似結(jié)論：定理4.29 如果是拋物線上四點(diǎn)，則這四點(diǎn)共圓的充要條件是：

6、。至于橢圓中也有類似結(jié)論略。五定理的逆向研究導(dǎo)致新定理的發(fā)現(xiàn)定理的逆向研究，如逆命題、充要性研究等也可能發(fā)現(xiàn)新定理，如二次無理數(shù)表示成的連分?jǐn)?shù)都是循環(huán)連分?jǐn)?shù)。但能否求出循環(huán)連分?jǐn)?shù)對應(yīng)的無理數(shù)？此無理數(shù)是否為二次無理數(shù)？經(jīng)猜想證明后，較圓滿地解決了此問題：定理5.110 循環(huán)連分?jǐn)?shù)所表示的無理數(shù)是方程在上的無理根。定理5.210 若，則所表示的繁分式為：六解決實(shí)際問題導(dǎo)致定理的推廣本人在研究建筑工地塔吊吊運(yùn)物體軌跡時，發(fā)現(xiàn)這一問題抽象成數(shù)學(xué)問題，得到以下定理：定理6.111 從極點(diǎn)出發(fā)的射線，繞其端點(diǎn)以等角速度旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的初始位置為，沿以速度做勻速直線運(yùn)動，同時的端點(diǎn)沿極軸以速度做勻速直線運(yùn)動（。

7、則點(diǎn)的軌跡方程為：其中為點(diǎn)O運(yùn)動到O1后，O1M轉(zhuǎn)動的角度。這一軌跡方程是阿基米德螺線的推廣。七研究方法的更新導(dǎo)致定理的推廣如：已知是上的函數(shù)，它滿足，求證：為周期函數(shù)。在研究其解法及推廣形式時，發(fā)現(xiàn)本題已有多種推廣形式。筆者通過證明一個新命題：命題：若其中， （即函數(shù)與其反函數(shù)同形），則以為周期。為推廣原賽題，構(gòu)造函數(shù)：,求出的反函數(shù)，由命題有定理7.112 已知為上的函數(shù)，滿足則是以2為周期的周期函數(shù)。當(dāng)時，即為原競賽題。八解決他人未解決的抽象得到新定理數(shù)學(xué)中有許多他人未能解決的猜想，如能攻克，也能推出新定理。如第5屆祖沖之杯競賽第六題：A平面上有個點(diǎn)（，如果其所有兩點(diǎn)間的距離取個不同值，

8、若則稱由這個點(diǎn)及任意兩點(diǎn)的連線構(gòu)成的圖形為祖沖之O圖形，寫出不少于4個四點(diǎn)的祖沖之圖形， 顯然正多邊形都是祖沖之圖形（稱為規(guī)范的），把非正多邊形祖圖11111CB沖之圖形稱為奇異的祖沖之圖形，如圖 為四點(diǎn)奇異的祖沖之圖形。（其中 為正三角形，為中心）。1.當(dāng)為奇數(shù)時，有沒有奇異的祖沖之圖形？經(jīng)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，本人找到一個十三個點(diǎn)的奇異祖沖之 圖2圖形，如圖2。詳文見文12（其中）為正六邊形，為中心）。則為十三點(diǎn)奇異的祖沖之圖形。當(dāng)為偶數(shù)時，是否一定存在奇異的祖沖之圖形？ 以上問題本人給出肯定的證明，見文13。九從高角度審視數(shù)學(xué)競賽題和高考題發(fā)現(xiàn)新定理中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題有時為了降低難度，能夠被中學(xué)生所接受

9、，可能是某類問題的特殊形式，如果從更高角度重新審視該題，從更一般形式入手，可能推廣此競賽題，獲得新定理。如第10屆美國數(shù)學(xué)邀請賽第4題對楊輝三角形提出問題：楊輝三角形中哪一行存在3個連續(xù)項(xiàng)，使它們的比為3：4：5？關(guān)于此賽題本人在文14中給出幾種推廣與引申形式：定理9.114 楊輝三角形中存在3個連續(xù)項(xiàng)，使它們的比為.所對應(yīng)的行數(shù)此3項(xiàng)是這行中的第項(xiàng)。定理9.214 楊輝三角形中存在3個連續(xù)項(xiàng)，使它們的比為。所對應(yīng)的行數(shù)此3項(xiàng)是這行中的第項(xiàng)。定理9.314 楊輝三角形中不存在3個連續(xù)項(xiàng)，使它們的比其中參考文獻(xiàn)1 .王恩權(quán)，費(fèi)哈不等式在個四面體中的推廣，安順師專學(xué)報（自科版），1996年第2期；

10、2 .王堅，不等式的推廣，數(shù)學(xué)通訊，1984年第1期；3 .王恩權(quán)，不等式的一般推廣，安順師專學(xué)報（自科版），1994年第4期；4 .王恩權(quán)，積分不等式的一個推廣，懷化師專學(xué)報（自科版），1995年第1期；5 .邱天緒，無理數(shù)表成連分?jǐn)?shù)的幾個公式，數(shù)學(xué)通訊，1988年第7期；6 .王恩權(quán)，也談無理數(shù)表成連分?jǐn)?shù)，數(shù)學(xué)通訊，1989年第6期；7 .徐建生，圓與圓錐曲線相切的性質(zhì)與應(yīng)用，數(shù)學(xué)通訊，1988年第1期；8 .王恩權(quán)，雙曲線上四點(diǎn)共圓的一個充要條件，湖南數(shù)學(xué)通訊，1994年第4期；9.姬士學(xué)，王恩權(quán)，拋物線上四點(diǎn)共圓的一個充要條件，中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1997年第1期；10.王恩權(quán)，求一類無限連分?jǐn)?shù)表示的無理數(shù)，東疆學(xué)刊（自科版），1993年第34期；11.王恩權(quán)，阿基米德螺線的推廣，數(shù)學(xué)通訊，19