數(shù)學建模_企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度改革

1、2011 高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的 , 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料） ，必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D 中選擇一項填寫）C我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報

2、名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?：重慶交通大學參賽隊員(打印并簽名 ) ： 1.王超2. 張浩3. 李麗娟指導教師或指導教師組負責人(打印并簽名 )：韓樂文日期：2011年 9月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：12011 高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：2企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度改革 摘要 養(yǎng)老金制度是社會保障體系的基礎和核心，現(xiàn)在我國養(yǎng)老保險正處于過渡期。替代率較低，退休職工的生活水

3、準低，養(yǎng)老保險基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準就高，養(yǎng)老保險基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。本文結(jié)合山東省職工平均工資進行全面的分析。首先，通過對中國歷年的經(jīng)濟和工資等數(shù)據(jù)的收集，建立圖表分析，提出對中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長形勢的假設，由此并預測從 2011 年至 2035 年的山東省職工的年平均工資。對于問題二、三，我們小組根據(jù)養(yǎng)老金的計算方法，把基礎養(yǎng)老金和個人賬戶養(yǎng)老金分別建立模型，由附件3 給我們的本人指數(shù)化月平均繳費工資的函數(shù)模型和我們自己建立的 C+程序模型可以得到養(yǎng)老金。其次，如果既要達到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，根據(jù)我國經(jīng)濟發(fā)展的趨勢對繳費

4、工資與社會平均工資之比（繳費指數(shù)）和職工剛退休時的養(yǎng)老金占退休前工資的比例（替代率）以及養(yǎng)老金收支只差（缺口）進行分析計算，大致通過繳費指數(shù)、替代率、缺口對我國養(yǎng)老保險改革制度提出更優(yōu)化的方案。關(guān)鍵字圖表替代率C+程序收支平衡1一、問題重述現(xiàn)在我國養(yǎng)老保險改革正處于過渡期。 養(yǎng)老保險管理的一個重要的目標是養(yǎng)老保險基金的收支平衡，它關(guān)系到社會穩(wěn)定和老齡化社會的順利過渡。影響?zhàn)B老保險基金收支平衡的一個重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。按照國家對基本養(yǎng)老保險制度的總體思路，未來基本養(yǎng)老保險的目標替代率確定為 58.5%. 替代率較低，退休職工的生活水準低，養(yǎng)老保險基

5、金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準就高，養(yǎng)老保險基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。所謂缺口，是指當養(yǎng)老保險基金入不敷出時出現(xiàn)的收支之差。附件 1 是山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)；附件 2 是 2009 年山東省某企業(yè)各年齡段職工的工資分布情況，附件 3 是養(yǎng)老金的計算辦法。請建立數(shù)學模型，解決如下問題：問題一： 對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢做出你認為是簡化、合理的假設，并參考附件 1，預測從 2011 年至 2035 年的山東省職工的年平均工資。問題二：根據(jù)附件 2 計算 2009 年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費指數(shù)的參考值， 考

6、慮該企業(yè)職工自 2000年起分別從 30 歲、 40 歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（ 55 歲， 60 歲， 65 歲），計算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問題三：假設該企業(yè)某職工自2000 年起從 30 歲開始繳養(yǎng)老保險， 一直繳費到退休（ 55 歲， 60 歲， 65 歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至 75 歲死亡。計算養(yǎng)老保險基金的缺口情況，并計算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡。問題四：如果既要達到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，你認為可以采取什么措施。請給出你的理由。2二、主要變量及其符號假設S1企業(yè)總工資S2平均工資N 企

7、業(yè)總?cè)藬?shù) Yn 職工繳費指數(shù)Pn 各年齡段職工繳費工資B 全省上年度在崗職工月平均工資 S 本人指數(shù)化月平均繳費工資a 繳費年限g 某職工工作一年的工資收入k 職工平均工資增長率n 繳費年限c 計入個人賬戶比例z 退休當年個人賬戶儲存總額q利率Fn 退休時養(yǎng)老金Mn 退休后領(lǐng)取到 75 歲時得到的養(yǎng)老金Cn總的養(yǎng)老金Pn缺口情況Gn領(lǐng)取到養(yǎng)老金年限3三、問題的分析問題一：對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢做出假設，需要根據(jù)歷年中國 GDP的增長情況和工資增長情況進行分析，在中國近些年的社會發(fā)展現(xiàn)狀下，我們初步認為我國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢有三種情況。一、出現(xiàn)下滑的現(xiàn)象二、保持增長但增長率逐漸

8、降低三、達到飽和不再增長可參考附件 1 和對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢的分析預測從2011 年至 2035 年的山東省職工的年平均工資。問題二： 計算 2009 年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。附件2 給了我們相當重要的資料（ 2009 年山東省某企業(yè)各年齡段工資分布表） ，以及附件 1 給我們的 2009 年該企業(yè)的平均工資（ 29688 元），把這些比值看作職工繳費指數(shù)的參考值，考慮該企業(yè)職工自 2000 年起分別從 30 歲、40 歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（ 55 歲， 60 歲， 65 歲），計算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。可分 6 種情況計算養(yǎng)老金替代率。分

9、別是 1、30 歲開始繳養(yǎng)老保險到 55 歲2、 30 歲開始繳養(yǎng)老保險到60 歲3、 30 歲開始繳養(yǎng)老保險65 歲4、 40 歲開始繳養(yǎng)老保險到55 歲5、 40 歲開始繳養(yǎng)老保險到60 歲6、 40 歲開始繳養(yǎng)老保險到65 歲問題三 : 企業(yè)某職工自 2000 年起從 30 歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（ 55 歲， 60 歲， 65 歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至 75 歲死亡。計算養(yǎng)老保險基金的缺口情況，并計算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡。通過分析，我們認為問題二和問題三有很大的聯(lián)系，主要攻克的難關(guān)就是問題二。我們用 C+

10、程序編寫函數(shù)建立銜接關(guān)系。問題四：如果既要達到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險金收支平衡，首先要考慮職工退休時的養(yǎng)老金與退休前的工資的情況， 假設工資收入情況在工作期間保持在一定的水平，那么就只考慮職工剛退休時的養(yǎng)老金，職工剛退休時的養(yǎng)老金的增減直接影響替代率能不能達到目標替代率，養(yǎng)老金有兩部分組成，基礎養(yǎng)老金和個人賬戶養(yǎng)老金，其中，企業(yè)和職工實際繳納基本養(yǎng)老保險費的月數(shù)合計影響基礎養(yǎng)老金的在增減，計發(fā)月數(shù)影響個人賬戶的養(yǎng)老金的增減，通過分析以上數(shù)據(jù)可以調(diào)整計算，最終既可以達到目標替代率，又可以維持養(yǎng)老保險金收支平衡。四、模型的建立及求解問題一： 1、我們通過翻閱和上網(wǎng)查詢建立中國歷年GDP及增長

11、率的數(shù)據(jù)模型（圖一）中國近年年度平均工資及增長率的數(shù)據(jù)模型（圖二）4中國歷年 GDP及GDP增長率統(tǒng)計圖0.16350000.00.14300000.00.12250000.00.1200000.0GDP增長率0.08150000.0GDP（億元）0.06100000.00.040.0250000.000.0份913579135791357788888999990000年999999999990000111111111112222中國近年年度平均工資3500035.000%3000030.000%2500025.000%2000020.000%平均工資（元）1500015.000%平均工資增長

12、率1000010.000%50005.000%00.000%份3579135799990000年9999000011112222圖一圖二我們通過對圖一和圖二的分析，可以做出這樣的假設，假設未來中國經(jīng)濟保持持續(xù)增長，工資也保持持續(xù)增長。由于考慮到資源的消耗，人口基數(shù)大，和我國正處于初級發(fā)展階段的現(xiàn)狀。再假設總體經(jīng)濟還是保持持續(xù)增長，但增長率會有所下降。2、考慮到中國各省的經(jīng)濟發(fā)展各有不同，所以我們認為各省的平均工資也是不盡一致的，如果預測從 2011 年至 2035 的山東省職工的平均工資就必須從該省歷年的平均工資水平以及未來發(fā)展前景而定。根據(jù)附件 1 制作出山東省職工歷年平均工資圖表（圖三）山

13、東省職工歷年平均工資統(tǒng)計圖3500040.000%3000035.000%2500030.000%2000025.000%平均工資20.000%15000增長率15.000%1000010.000%50005.000%00.000%份80 83 8689929598010407 年1919191919 19 1920 2020圖三從圖中我們很容易得出從 1978 年到 2010 年山東省職工歷年平均工資呈現(xiàn)持續(xù)增長，平均增長率為 11.3%。從山東省“十二五”規(guī)劃中，我們了解到山東省在“十二五”規(guī)劃中提出“在人民生活殷實富裕，城鎮(zhèn)居民人均可支配收入和農(nóng)民人均純收入年均增長 10%，爭取農(nóng)民收入

14、實現(xiàn)更高增幅，逐步扭轉(zhuǎn)收入差距擴大的趨勢，城鎮(zhèn)登記失業(yè)率控制在 4%以內(nèi)，人均期望壽命力爭達到 77 歲，價格總水平保持基本穩(wěn)定，基本公共服務均等化程度明顯提高。 ”故我們小組以 10%的年增長率來預測 2011 至 2015 年的山東省職工的年平均工資。再考慮到社會的進步，資源的不斷消耗，我們認為山東省的經(jīng)濟會保持增長，但增長率會逐年降低，然后保持 8%的增長率，所以我們以每隔 5 年降低一個百分點直至 8%達到飽和來預測 2015 至 2035 年的山東省職工的年平均工資。則得出 2011 至 2035 年山東省職工的年平均工資。如下表5年份201020112012201320142015

15、2016平均工32074352813881042690469605165556304資年份2017201820192020202120222023平均工613726689572916794788583792704100120資年份2024202520262027202820292030平均工108129116780126122136212147109158878171588資年份2031平均工185315資問題二： 1、考慮到題中所給的收入數(shù)據(jù)是一個范圍，我們小組選擇了取二者范圍內(nèi)的中間值作為一個基準。先求出該企業(yè)總工資 S1，再用 S2（平均工資） = S1/N（企業(yè)總?cè)藬?shù)），然后利用公式

16、Yn（職工繳費指數(shù)） =Pn（各年齡段職工工資） /S2。n1 至 n8 代表各年齡段的總?cè)藬?shù)S1=1250*(74+36)+1750*(165+82+32+11+3+7+6)+2250*(26+94+83+74+43+32+23+17)+27 50*(16+42+95+83+86+32+29+27)+3250*(1+6+24+36+55+64+44+37)+3750*(3+6+16+21+ 41+21+7)+4500*(2+4+13+18+8+7)+6500*(2+3+4+3)=4293500N=1664S2= S1/N=2580.228將每個年齡段依次分為P1、P2、 P3、P4、 P5、

17、P6、 P7、P8。P1=（74*1250+165*1750+26*2250+16*2750+1*3250 ）/ n1P2=（36*1250+82*1750+94*2250+42*2750+6*3250+3*3750 ）/ n2P3=（32*1750+83*2250+95*2750+24*3250+6*3750+2*4500 ）/ n3P4=（11*1750+74*2250+83*2750+36*3250+16*3750+4*4500+2*6500 ）/ n4 P5=（43*2250+86*2750+55*3250+21*3750+13*4500+3*6500 ）/ n5P6=（3*1750+

18、32*2250+32*2750+64*3250+41*3750+18*4500+4*6500 ）/ n6P7=（7*1750+23*2250+29*2750+44*3250+21*3750+8*4500+3*6500 ）/ n7P8=（6*1750+17*2250+27*2750+37*3250+7*3750+7*4500 ）/ n8以下 Y 1 至 Y 8 對應上面各年齡階段，所以解得 2009 年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比為Y 1= P1/ S2=66.94%Y 2= P2/ S2=80.50%Y 3= P3/ S2=98.26%Y 4= P4/ S2=106.67%Y 5

19、= P5/ S2=117.29%Y 6= P6/ S2=126.67%Y 7= P7/ S2=120.87%Y 8= P8/ S2=115.51%62、我們以山東省職工歷年平均工資和問題一預測從2011 年至 2035 年的山東省職工的年平均工資的數(shù)據(jù)為基準得到月平均工資增長率并通過圖表計算得到月平均工資增長率9.12%作為職工工資增長率（記為k）年份年平均工資月平均工資月平均工資增長率2000877273120011000783412.34%20021137494812.02%20031256710479.49%200414332119412.32%200516614138513.74%20

20、0619228160213.59%200722844190415.83%200826404220013.48%200929688247411.06%20103207426737.44%20113528129409.09%20123881032349.09%20134269035589.09%20144696039139.09%20155165543059.09%20165630446928.26%20176137251148.26%20186689555758.26%20197291660768.26%20207947866238.26%20218583771537.41%2022927047

21、7257.41%202310012083437.41%202410812990117.41%202511678097327.41%2026126122105107.41%2027136212113517.41%2028147109122597.41%2029158878132407.41%2030171588142997.41%2031185315154437.41%2032200140166787.41%2033216151180137.41%2034233443194547.41%2035252119210107.41%我們用附件 2 計算出 2009 年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均

22、工資之比看作職工繳費指數(shù)的參考值。得到圖表如下7各年齡段總工資工資與平均工資之比（繳費指數(shù)）月繳費指數(shù)平均繳費指數(shù)487000188.76066.94%104.09%546250211.72580.50%613500237.79198.26%622000241.085106.67%668750259.205117.29%634000245.736126.67%421000163.178120.87%301000116.667115.51%根據(jù)題目的提示我們采用平均值作為本人平均繳費指數(shù)由于職工退休時的養(yǎng)老金由兩部分組成，如下養(yǎng)老金 =基礎養(yǎng)老金 +個人賬戶養(yǎng)老金因此我們分成了兩個部分來建立模型

23、建立基礎養(yǎng)老金的模型如下B：全省上年度在崗職工月平均工資S：本人指數(shù)化月平均繳費工資（S=B本人平均繳費指數(shù)）a ：繳費年限（根據(jù)題意有 15、20、25、30、 35）基礎養(yǎng)老金 =（ B+S） 2a1%能夠正確反映“本人指數(shù)化月平均繳費工資(Average Indexed MonthlyEarnings)”指標的計算模型為：x1, x2 ,K , xm 為參保人員退休前 1 年、 2 年、 、 m年本人繳費工資額c1, c2 ,K ,cm 為參保人員退休前1 年、2 年、 、m年全國 / 省 / 地市“職工平均工資”或稱“社會平均工資”n 為企業(yè)和職工實際繳納基本養(yǎng)老保險費的月數(shù)合計（可以

24、簡單認為等于12m，m為企業(yè)和職工實際繳納基本養(yǎng)老保險費的年限）xi 稱為退休前第 i年的繳費指數(shù)， i =1, , m.ci可計算本人指數(shù)化月平均繳費工資為x1c1x2c1Lxmc1c1c2cmSn參保人員 i年度的本人繳費工資 xi 通過工資指數(shù) c1得到指數(shù)化繳費工資 xi c1 ，從cici而使各年度不可比的 xi 換算為相當于參保人員退休前 1 年社會平均工資 c1水平的、可比的各年度指數(shù)化繳費工資xic1 ，各年度指數(shù)化繳費工資xi c1 加總再除以參保人員實cici際繳費月數(shù)和 n，進而得到本人指數(shù)化月平均繳費工資S。由此，該指標能夠反映參保人員在整個繳費年限的繳費工資平均水平。

25、通過函數(shù)計算個人賬戶儲存額：對于不同的情況我們例出了如下的一個表格：如下圖8繳費起止年齡不同情況繳費年數(shù)n繳費截至年份對應計發(fā)月數(shù)退休前工資30至55歲252025170973230至60歲3020301391429930至65歲3520351012101040至45歲152015170430540至55歲202020139662340至65歲2520251019732由個人賬戶養(yǎng)老金 =個人賬戶儲存額計發(fā)月數(shù)公式可先求每種情況下個人賬戶儲蓄存額。考慮到職工的工資每年都會變化，而且存入的金額又會產(chǎn)生一定的利息，這就像我們?nèi)粘ｃy行存錢例子一樣，只是存款會發(fā)生變化。由此我們小組自編求個人賬戶儲存額

26、的C+程序（附錄1），求出不同情況的個人儲存額，并得出個人賬戶養(yǎng)老金，結(jié)果如下表：繳費起止年齡不同情況個人賬戶儲存額對應計發(fā)月數(shù)個人賬戶養(yǎng)老金30至55歲76366.72170449.2230至60歲126789.51139912.1530至65歲205850.831012038.1340至45歲24380.49170143.4140至55歲44424.91139319.6040至65歲76366.72101756.11由養(yǎng)老金替代率 =退休時的養(yǎng)老金/ 退休前工資分 6 種情況得到下表繳費起止年齡個人賬戶養(yǎng)老金基礎養(yǎng)老金退休時養(yǎng)老金退休前工資替代率不同情況30至 55歲449.222625.

27、033074.25973231.59%30至 60歲912.153150.043537.191429924.74%30至 65歲2038.133675.054663.162101022.19%40至 55歲143.411575.022768.45430564.31%40至 60歲319.602625.033600.90662354.37%40至 65歲756.112625.033381.14973234.74%問題三： 由問題二的模型中我們已經(jīng)得到該企業(yè)某職工自2000 年起從 30 歲開始交養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（ 55 歲， 60 歲,65 歲）這三種情況。得到退休時的養(yǎng)老金 F1(30

28、-55) ：3074.25 元F2(30-60) ：3537.19 元F3(30-65) ：4663.16 元3 種情況領(lǐng)取到 75 歲時得到的養(yǎng)老金如下M1：20123074.25=737820 元M2：15123537.19=636694.2 元M3：10124663.16=559579.2 元3 種情況下總的養(yǎng)老金為C1：787959.42C2：945924.34C3：1104552.359缺口情況 =C n-M n年齡段退休時總的養(yǎng)老金 Cn退休后領(lǐng)到的養(yǎng)老金 Mn缺口情況 Pn55-75787959.42737820-50139.4歲60-75945924.34636694.2-30

29、9230歲65-751104552.35559579.2-544973歲3 種情況下該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡 (G n 由四舍五入取整后的值 )G1=-P1/F1/12+75=76 歲G2=-P2/F2/12+75=82 歲G3=-P3/F3/12+75=85 歲問題四：根據(jù)前面的計算和分析，如果既要達到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，我們小組認為可以延長個人賬戶養(yǎng)老金計發(fā)月數(shù)，同時提高工資繳納到個人賬戶的比例、延長企業(yè)和職工實際繳納基本養(yǎng)老保險費的月數(shù)合計即延長企業(yè)和職工實際繳納基本養(yǎng)老保險費的年限。其中延長個人賬戶養(yǎng)老金計發(fā)

30、月數(shù)，同時提高工資繳納到個人賬戶的比例是根據(jù)公式：個人賬戶養(yǎng)老金 =個人賬戶儲存額 / 計發(fā)月數(shù)延長個人賬戶養(yǎng)老金計發(fā)月數(shù)可以保證繳納養(yǎng)老保險人可以能夠領(lǐng)到與自己繳納的養(yǎng)老保險金額，達到相平衡，同時提高工資繳納到個人賬戶的比例，可以增大個人賬戶儲存額，以滿足上面分子與分母之比增大，也就是使個人賬戶養(yǎng)老金增多，這樣，養(yǎng)老金的金額就會增加，增加到一定程度，相對于之前的平均工資來說，根據(jù)公式：替代率 =職工剛退休時的養(yǎng)老金 / 退休前的社會平均工資那么，替代率就會達到目標替代率，這樣以達到使養(yǎng)老保險基金收支平衡。對于延長企業(yè)和職工實際繳納基本養(yǎng)老保險費的月數(shù)合計，有由題目給出的公式：基礎養(yǎng)老金 =( 全省上年度在崗職工月平均工資 +本人指數(shù)化月平均工資 )/2* 繳費年限 *1%x1c1x2c1L