數(shù)學百大經(jīng)典例題-曲線和方程

1、 典型例題一例1 如果命題“坐標滿足方程的點都在曲線上”不正確，那么以下正確的命題是（A）曲線上的點的坐標都滿足方程（B）坐標滿足方程的點有些在上，有些不在上（C）坐標滿足方程的點都不在曲線上（D）一定有不在曲線上的點，其坐標滿足方程分析：原命題是錯誤的，即坐標滿足方程的點不一定都在曲線上，易知答案為D典型例題二例2 說明過點且平行于軸的直線和方程所代表的曲線之間的關(guān)系分析：“曲線和方程”的定義中所列的兩個條件正好組成兩個集合相等的充要條件，二者缺一不可其中“曲線上的點的坐標都是方程的解”，即純粹性；“以方程的解為坐標的點都是曲線上的點”，即完備性這是我們判斷方程是不是指定曲線的方程，曲線是不

2、是所給方程的曲線的準則解：如下圖所示，過點且平行于軸的直線的方程為，因而在直線上的點的坐標都滿足，所以直線上的點都在方程表示的曲線上但是以這個方程的解為坐標的點不會都在直線上，因此方程不是直線的方程，直線只是方程所表示曲線的一部分說明：本題中曲線上的每一點都滿足方程，即滿足純粹性，但以方程的解為坐標的點不都在曲線上，即不滿足完備性典型例題三例3說明到坐標軸距離相等的點的軌跡與方程所表示的直線之間的關(guān)系分析：該題應(yīng)該抓住“純粹性”和“完備性”來進行分析解：方程所表示的曲線上每一個點都滿足到坐標軸距離相等但是“到坐標軸距離相等的點的軌跡”上的點不都滿足方程，例如點到兩坐標軸的距離均為3，但它不滿足

3、方程因此不能說方程就是所有到坐標軸距離相等的點的軌跡方程，到坐標軸距離相等的點的軌跡也不能說是方程所表示的軌跡說明：本題中“以方程的解為坐標點都在曲線上”，即滿足完備性，而“軌跡上的點的坐標不都滿足方程”，即不滿足純粹性只有兩者全符合，方程才能叫曲線的方程，曲線才能叫方程的曲線典型例題四例4 曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值范圍有一個交點呢？無交點呢？分析：直線與曲線有兩個交點、一個交點、無交點，就是由直線與曲線的方程組成的方程組分別有兩個解、一個解和無解，也就是由兩個方程整理出的關(guān)于的一元二次方程的判別式分別滿足、解：由得當即，即時，直線與曲線有兩個不同的交點當即，即或時，直線與曲線有一

4、個交點當即，即或時，直線與曲線沒有公共點說明：在判斷直線與曲線的交點個數(shù)時，由于直線與曲線的方程組成的方程組解的個數(shù)與由兩方程聯(lián)立所整理出的關(guān)于(或)的一元方程解的個數(shù)相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通過判別式來判斷直線與曲線的交點個數(shù)，但如果是兩個二次曲線相遇，兩曲線的方程組成的方程組解的個數(shù)與由方程組所整理出的一元方程解的個數(shù)不一定相同，所以遇到此類問題時，不要盲目套用上例方法，一定要做到具體問題具體分析典型例題五例5 若曲線與有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍分析：將“曲線有兩個公共點”轉(zhuǎn)化為“方程有兩個不同的解”，從而研究一元二次方程的解的個數(shù)問題若將兩條曲線的大致形狀現(xiàn)出來，也許

5、可能得到一些啟發(fā)解法一：由得：，即要使上述方程有兩個相異的非負實根則有：又解之得：所求實數(shù)的范圍是解法二：的曲線是關(guān)于軸對稱且頂點在原點的折線，而表示斜率為1且過點的直線，由下圖可知，當時，折線的右支與直線不相交所以兩曲線只有一個交點，當時，直線與折線的兩支都相交，所以兩條直線有兩個相異的交點說明：這類題較好的解法是解法二，即利用數(shù)形結(jié)合的方法來探求若題設(shè)條件中“”改為呢，請自己探求典型例題六例6 已知，其中，則角平分線的方程是(如下圖)，對嗎？分析：本題主要考查曲線方程概念掌握和理解的程度，關(guān)鍵是理解三角形內(nèi)角平分線是一條線段解：不對，因為內(nèi)角平分線是一條線段，而方程的圖形是一條直線如點坐標

6、適合方程，但點不在內(nèi)角的平分線上綜合上述內(nèi)角平分線為：說明：判斷曲線的方程或方程的曲線，要緊扣定義，兩個條件缺一不可，關(guān)鍵是要搞清楚曲線的范圍典型例題七例7 判斷方程所表示的曲線分析：根據(jù)方程的表面形式，很難判斷方程的曲線的形狀，因此必需先將方程進行等價變形解：由原方程可得：，即方程的曲線是兩條射線，如圖所示：說明：判斷方程表示的曲線，在化簡變形方程時要注意等價變形如方程等價于且，即，原方程的曲線是拋物線一部分典型例題八例8 如圖所示，已知、是兩個定點，且，動點到定點的距離是4，線段的垂直平分線交線段于點，求動點的軌跡方程分析：本題首先要建立適當直角坐標系，動點滿足的條件(等量關(guān)系)題設(shè)中沒有

7、明顯給出，要從題意中分析找出等量關(guān)系連結(jié)，則，由此，即動點到兩定點，距離之和為常數(shù)解：過，兩點的直線為軸，兩點的中點為坐標原點，建立直角坐標系，兩點坐標分別為，連結(jié)垂直平分線段，設(shè)點，由兩點距離公式得，化簡方程，移項兩邊平方得(移項)兩邊再平方移項得：，即為所求點軌跡方程說明：通過分析題意利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)，找出點與兩定點，距離之和為常數(shù)，是解本題的關(guān)鍵方程化簡過程也是很重要的，且化簡過程也保證了等價性典型例題九例9過點作兩條互相垂直的直線，若交軸于，交軸于，求線段中點的軌跡方程OAxPyB圖M解：連接，設(shè)，則， 為直角三角形由直角三角形性質(zhì)知即化簡得的軌跡方程為說明：本題也可以用勾股定理

8、求解，還可以用斜率關(guān)系求解，因此本題可有三種解法用斜率求解的過程要麻煩一些 典型例題十例10 求與兩定點、滿足（是常數(shù)）的動點的軌跡方程分析：按求曲線方程的方法步驟求解解法一：如圖甲，取兩定點和的連線為軸，過的中點且與垂直的直線為軸建立坐標系設(shè)，則：，據(jù)題意，有得由于是常數(shù)，且，所以為動點的軌跡方程，即動點的軌跡是一條平行于軸的直線解法二：如圖乙，取與兩點連線為軸，過點且與垂直的直線為軸建立坐標系設(shè)，則：，據(jù)題意，有，得，即動點的軌跡方程為，它是平行于軸的一條直線解法三：如圖丙建立坐標系，設(shè)，則，據(jù)題意，有，整理后得到點的軌跡方程為：，它是一條直線說明：由上面介紹的三種解法，可以看到對于同一條

9、直線，在不同的坐標系中，方程不同，適當建立坐標系如解法一、解法二，得到的方程形式簡單、特性明顯，一看便知是直線而解法三得到的方程煩瑣、冗長，若以此為基礎(chǔ)研究其他問題，會引起不必要的麻煩因此，在求曲線方程時，根據(jù)具體情況適當選取坐標系十分重要另外，也要注意到本題所求的是軌跡的方程，在作解答表述時應(yīng)強調(diào)曲線的方程，而不是曲線典型例題十一例11 兩直線分別繞著定點和()在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)動時保持相互垂直，求兩直線的交點的軌跡方程分析：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担弥苯侨切蔚男再|(zhì)，列出動點所滿足的等式解：取直線為軸，取線段的中點為原點建立直角坐標系，則：，屬于集合設(shè)，則，化簡得這就是兩直線的交點的軌跡方

10、程說明：本題易出現(xiàn)如下解答錯誤：取直線為軸，取線段的中點為原點建立直角坐標系，則：，交點屬于集合設(shè)，則，故，即()要知道，當軸且另一直線與軸重合時，仍有兩直線互相垂直，此時兩直線交點為同樣軸重合時，且另一直線與軸仍有兩直線互相垂直，此時兩直線交點為因而，與應(yīng)為所求方程的解糾正的方法是：當或的斜率不存在時，即時，和也在曲線上，故所求的點的軌跡方程是求出曲線上的點所適合的方程后，只是形式上的曲線方程，還必須對以方程的解為坐標的點作考察，既要剔除不適合的部分，也不要遺漏滿足條件的部分典型例題十二例12 如圖，的兩條直角邊長分別為和，與兩點分別在軸的正半軸和軸的正半軸上滑動，求直角頂點的軌跡方程分析：

11、由已知是直角，和兩點在坐標軸上滑動時，也是直角，由平面幾何知識，、四點共圓，則有，這就是點滿足的幾何條件由此列出頂點的坐標適合的方程解：設(shè)點的坐標為，連結(jié)，由，所以、四點共圓從而由，有，即注意到方程表示的是過原點、斜率為的一條直線，而題目中的與均在兩坐標軸的正半軸上滑動，由于、為常數(shù)，故點的軌跡不會是一條直線，而是直線的一部分我們可考察與兩點在坐標軸上的極端位置，確定點坐標的范圍如下圖，當點與原點重合時，所以如下圖，當點與原點重合時，點的橫坐標由射影定理，即，有由已知，所以故點的軌跡方程為：（）說明：求出曲線上的點所適合的方程后，只是形式上的曲線方程，還必須對以方程的解為坐標的點作考察，剔除不

12、適合的部分典型例題十三例13 過點作兩條互相垂直的直線、，若交軸于，交軸于，在線段上，且，求點的軌跡方程分析：如圖，設(shè)，題中幾何條件是，在解析幾何中要表示垂直關(guān)系的代數(shù)關(guān)系式就是斜率乘積為1，所以要求的軌跡方程即、之間的關(guān)系，首先要把、的斜率用、表示出來，而表示斜率的關(guān)鍵是用、表示、兩點的坐標，由題可知是、的定比分點，由定比分點坐標公式便可找出、坐標之間的關(guān)系，進而表示出、兩點的坐標，并求出點的軌跡方程解：設(shè)，在線段上，且分所成的比是，由，得，、又，的斜率，的斜率，化簡得：說明：本題的上述解題過程并不嚴密，因為需在時才能成立，而當時，的方程為所以的方程是故，可求得，而也滿足方程故所求軌跡的方程是這類題在解答時應(yīng)注意考慮完備性和純粹性典型例題十四例14 如圖，已知兩點，以及一直線，設(shè)長為的線段在直線上移動求直線和的交點的軌跡方程分析1：設(shè)，題中的幾何條件是，所以只需用表示出、兩點的坐標，便可求出曲線的方程，而要表示點坐標可先找出、兩點坐標的關(guān)系，顯然、三點共線這樣便可找出、坐標之間的關(guān)系，進而表示出的坐標，同理便可表示出的坐標，問題便可以迎刃而解解法一：設(shè)、由、三點共線可得：（利用與斜率相等得到）由、三點共線可得又由得，化簡和所求軌跡方程為：分析2：此題也可以先用、三點共線表示出點坐標，再根據(jù)表示出點坐標，然后利用、三點共線也可求