全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案2000年

1、2000年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答、選擇題（只有一個(gè)結(jié)論正確）1、設(shè)區(qū)瓦口的平均數(shù)為M&®的平均數(shù)為N, N,c的平均數(shù)為P,若0 則M與P的大小關(guān)系是()。(A) M= P; (B) M>P; (C) M< P; (D)不確定。a-b+c a + b 77+ c _(7 +/? +2t7答：(B)。VM=3,N=2,P=22,M- P=a + b - 2ca + b - 2c c + c - 2c? _ 心=012, - a>b > c .12>12,即 m- P> 0,即 M> Po 2、某人騎車(chē)沿直線(xiàn)旅行，先前進(jìn)了 口千米，休息

2、了一段時(shí)間，又原路返回b千 米（“儀），再前進(jìn)二千米，則此人離起點(diǎn)的距離S與時(shí)間t的關(guān)系示意圖是 （）。答：（C）。因?yàn)閳D（A中沒(méi)有反映休息所消耗的時(shí)間；圖（B）雖表明折返后S 的變化，但沒(méi)有表示消耗的時(shí)間；圖（D）中沒(méi)有反映沿原始返回的一段路程， 唯圖（C）正確地表述了題意。3、甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲25歲，那么（）（A）甲比乙大5歲；（B）甲比乙大10歲；（C）乙比甲大10歲；（D）乙比甲 大5歲。謝謝欣賞答：（A）。由題意知3X （甲一乙）2510, .甲乙=5。4、一個(gè)一次函數(shù)圖象與直線(xiàn),44平行，與K軸、了軸的交點(diǎn)分別為AB,并且過(guò)點(diǎn)（1, 25）,則在

3、線(xiàn)段AB上（包括端點(diǎn)A、B）,橫、縱坐標(biāo)都 是整數(shù)的點(diǎn)有（）。（A） 4 個(gè)；（B） 5 個(gè)；（C） 6 個(gè)；（D）7 個(gè)。答：（B）。在直線(xiàn)AB上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 式=1 + 4N, = 25+ 5N,（N是整數(shù)）.在線(xiàn)段AB上這樣的點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足1+4N>0,且25+5NK0,145,即 N= 1, 2, 3, 4, 5。a _ a + b5、設(shè)%瓦已分別是 ABC的三邊的長(zhǎng)，且A則它的內(nèi)角/ A ZB的關(guān)系是（）。（A） /B>2/A;（B）/B= 2/A;（C）/ B<2/A;（D）不確定。a _ (2 a _ b答：(B)。由8得b (2 + C,延長(zhǎng)CB

4、至D,使BD- AB,于是C5",在ABCtDAC, ZC 為公共角，且 BC:AOAC:DC. .AB。ADAC /BAC= / D, /BAD- / D,/ ABC= / D+ /BAD- 2/D-2/BAC6、已知 ABC的三邊長(zhǎng)分別為4d二 ,面積為S, ABG的三邊長(zhǎng)分別為因，的，q ,面積為且色S ,則s與Si的大小關(guān)系一定是()0(A) S>Si； (B) S<Si； (C) S= Si；(切不確定。答：(功。分別構(gòu)造 ABC與/XAiBiG如下：作 AB6zA BG,顯然=()3 > 1i_&,即 S>Si；設(shè)儀二6二 JlOLc =2

5、0 則兒=1, S= i0,V3的=4 = 5 = 10 ,則 S= 4 xi00>io,即 S<S;設(shè)"6 二阿,c = 20 則九=1, s= io,= J9g=10,則A = 2 _I1 _ _ 一一一一一。，Si=io,即S= Si；因此，S與s的大小關(guān)系不確定。二、填空題3 +_3_+J_7、已知：&二訴+也+無(wú)，那么<2 a2 /=o答：i。 G叵 T)& = 2 T = 1 ,即 4 4。3313a2 +3cz+l+=233(73 + 3d2 +3(2 +1. 與 +1、3 F 公 1、3 F 門(mén)信心 F C F F=5-1 = (y

6、- 1 = (1 + )3 - 1 = (V2 尸一1 = 2 1 = 1aaa8、如圖，在梯形 ABCLfr, AB/ DC AB= 8, BO6Vq , / BC氏45° , / BA氏 i20° ,則梯形ABCD勺面積等于。AB答：66 + 6VJ （平方單位）。作 AE BF垂直于DC垂足分別為E、F,由BO6 版,B BCD= 45° ,得 AE= BF= FO 6。由 / BA氏 120° ,得/ DAM 30° ,因?yàn)?AE= 6得 DE= 2百，AB= EF= 8, DC= 2g+8+6=14+ 2百，5梯38=；岱 + 14

7、+ 2g）乂6=66 + 66 £ 。9、已知關(guān)于人的方程9 - l）x+2工一 2 - 1二°的根都是整數(shù)，那么符合條 件的整數(shù)有個(gè)。答：5。當(dāng)=1時(shí)，父=1 ;當(dāng)值H1時(shí)，易知/ = 1是方程的一個(gè)整數(shù)根，,21 +x = _再由 一心且/是整數(shù)，知一& - ±1卜土2 ,.3_ _1,03253 ,由 、得符合條件的整數(shù) 值有5個(gè)。10、如圖，工地上豎立著兩根電線(xiàn)桿 AB CD它們相距15米，分別自?xún)蓷U上高 出地面4米、6米的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D; B、F點(diǎn)處，用鋼絲繩拉緊， 以固定電線(xiàn)桿。那么鋼絲純AD與BC的交點(diǎn)P離地面的高度為米。CE

8、B Q DF題10圖,A6(15, 6)C-qT題11圖答：2.4米。作PQL BD于Q,設(shè)BO/米，Q氏了米，PQ='米，由AB/ PQ/ CDh _ y k _ x5 為 =得4 K+y及6 x+y ,兩式相加得12,由此得力= 2.4米。即點(diǎn)P離地面的高度為2.4米。（注：由上述解法知，AB CD之間相距多遠(yuǎn)，與題目結(jié) 論無(wú)關(guān)。）11、如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC勺頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（15,6）,直線(xiàn)3恰好將矩形OAB分成面積相等的兩部分，那么 上=1 1 ,1 1 1 y au y K + 答：2。直線(xiàn)3 通過(guò)點(diǎn)D （15, 5）,故BA1。當(dāng)2時(shí)，直線(xiàn) 32（0 二）&qu

9、ot;5：）通過(guò) 2 ,2兩點(diǎn)，則它恰好將矩形OABC成面積相等的兩部分。12、某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了6.4%,使得利潤(rùn)率增加了 8個(gè)百分點(diǎn)，那么經(jīng)銷(xiāo)這種商品原來(lái)的利潤(rùn)率是 o利潤(rùn)率=銷(xiāo)售價(jià)-進(jìn)價(jià)(注:X100%)了一，答：17%。設(shè)原進(jìn)價(jià)為X元，銷(xiāo)售價(jià)為y元，那么按原進(jìn)價(jià)銷(xiāo)售的利潤(rùn)率為xy - 93.6%x 100%,原進(jìn)價(jià)降低6.4 %后，在銷(xiāo)售時(shí)的利潤(rùn)率為 93.6%/ X100%, 依題意得：y- xy - 93.6% *x工 X100% +8%= 93.6% X x 100%,解得 y =1.17/,故這種商品 1.17x - x原來(lái)的利潤(rùn)率為二X 100%

10、 =17%。三、解答題13、設(shè)耀是不小于-1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于K的方程k +2（加-2）工+刈3刈+ 3 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,1，工2。（1）若再:十其=6求加的值。+ mx2（2）求1 須 1一%的最大值。解：因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以A = 4（加- 2尸-4（3-3+3）=-4+4>0 m<lo 根據(jù)題設(shè)，有-1*陽(yáng)<1（1）因?yàn)楣ぃ?若二區(qū)2ML M粗-2y - 2（蘇- 3物+ 3）二二 2m2 TO附+ 10,，2/ -10m+10 = 6 日門(mén),即2 。一5±vl7m - 5m + 2 = 0. .m =2 o5-vT? m =由于_&#

11、171;幽<1,故 2。(2)mx： _ 物才(1 - a2) + xf (1 - aJ-河x；-彳/式須 + x2) _1-巧 l-jr2 (1-%)(1-)巧巧/一巧+1組(2m2 - 10m +10) + (in。 3m + 3)(2m 4) m(2 一 + 8m - 2)= = (m2 - 3m + 3) + (2m -4) + 1m2 - m=2如(陽(yáng)一 1)(如'一綱+1)= 2(m2 _ 3m +1)加(酬-1)O設(shè)_3 qy - 2(m2 - 3m +1) = 2(m - -)2 - - (-1 < m < 1) : y在 一 1 £ 出 &

12、lt; 12222mxi + mx2上是遞減的，所以當(dāng)相二1時(shí)，取最大值10。故1 一/1一式2的最大值為10。E14、如上圖：已知四邊形ABC卜接圓O的半徑為2,對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)為E, AE= EC, AB= V5AE,且BD= 2G ,求四邊形ABCD勺面積。解：由題設(shè)得 A戌= 2AU= AE- AC . . AB:AO AE:AB,又/ EA氏 / BAC .AB曰AACB ；/ABE= / ACB 從而 AB= AD 連結(jié) AD 交 BD于 H,貝U Bk H5內(nèi)。.0用 Jo月2 _ BH” = J4 _ 3 : 1, Al-k OA 0生21 = 1。SD =BDAH =-

13、x2a/3x1 = 322是AC的中點(diǎn),一'-一二一一-斗四邊舷膽=_ 2 s山始©15、一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33層中的某一層停一次。對(duì)于每個(gè)人來(lái)說(shuō)，他往下走一層樓梯 感到1分不滿(mǎn)意，往上走一層樓梯感到 3分不滿(mǎn)意?，F(xiàn)在有32個(gè)人在第一層， 并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問(wèn)：電梯停在哪一層，可以使得這 32個(gè)人不滿(mǎn)意的總分達(dá)到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓） 解：易知，這32個(gè)人恰好是第2至第33層各住1人。對(duì)于每個(gè)乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定大于直接走樓梯上樓的人所住

14、的層數(shù)。事實(shí)上，設(shè)住第6層的人乘電梯，而住第1層的人直接走樓梯上樓，"< 交換兩人上樓方式，其余的人不變，則不滿(mǎn)意總分不增，現(xiàn)分別考慮如下： 設(shè)電梯停在第K層。當(dāng)時(shí)，若住第舌層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則 這兩者不滿(mǎn)意總分為3/ + 3,T-3X-3 ,交換兩人上樓方式，則這兩者不滿(mǎn)意總 分也為3方+ 35-3工-3。當(dāng)工二w < 時(shí)，若住第s層的人乘電梯，而住第1層的人直接走樓梯上樓，則 這兩者不滿(mǎn)意總分為 "一3；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿(mǎn)意總分也為 空3 0當(dāng)£<工<時(shí)，若住第S層的人乘電梯，而住第1層的人直接走樓梯

15、上樓，則 這兩者不滿(mǎn)意總分為31+ K-魯-3；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿(mǎn)意總分 為究3H + 33-3 ,前者比后者多4Q3)>°。當(dāng)='時(shí)，若住第層的人乘電梯，而住第1層的人直接走樓梯上樓，則這 兩者不滿(mǎn)意總分為41-*-3；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿(mǎn)意總分為 3" 3 ,前者比后者多4(" s) > 0。當(dāng)工時(shí)，若住第s層的人乘電梯，而住第1層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿(mǎn)意總分為3+x-3 .交換兩人上樓方式，則這兩者不滿(mǎn)意總分 為3"父一13 ,前者比后者多4(f)0 今設(shè)電梯停在第K層，在第一層有尸人直接走樓梯上樓，那么不滿(mǎn)意總分為:S - 31 + 2 + * * + (3 3 _ a ) + 3(1 + 2+ *+ ,)+1 + 2 + ”一+(彳一