西北師范大學本科畢業(yè)論文數(shù)學專業(yè)

1、西北師范大學本科畢業(yè)論文（設計）題 目 低秩矩陣的特征多項式和最小多項式 姓 名 學 號 專業(yè)年級 數(shù)學與應用數(shù)學 2006級 指導教師 職 稱 2009年4月20日目 錄緒論(1) 1 相關概念與記號(1)1.1 概念(1)1.2 本文中相關記號(1)2 矩陣的滿秩分解(2)3 降階求特征多項式(3)4 降階求最小多項式(5)5 最小多項式的幾種求法及比較(9)5.1 根據(jù)特征多項式求最小多項式(9)5.2 根據(jù)不變因子求最小多項式 (10)5.3 根據(jù)Jordan標準形求最小多項式(11)5.4 根據(jù)線性相關求最小多項式 (12)5.5 最小多項式求法的綜合比較 (13)6 最小多項式的簡

2、單應用 (14)參考文獻 (16)低秩矩陣的特征多項式與最小多項式摘 要矩陣的特征多項式和最小多項式在矩陣相似、若當標準形、矩陣函數(shù)和矩陣方程中都有很重要的作用，因此如何求矩陣的特征多項式和最小多項式極為重要本文先從目前已有的矩陣的滿秩分解入手，通過特殊情況下的滿秩分解求出矩陣的特征多項式，再推廣到一般，從而得到了矩陣特征多項式的一種降階求法接著根據(jù)最小多項式的定義和矩陣乘法的原則，同樣得到了一種求最小多項式的降階公式，這樣在很大程度上簡化了求低秩矩陣的特征多項式和最小多項式的計算量最后，本文列舉了目前已有的四種最小多項式的四種求法，并結合本文的最小多項式的求法作了一個綜合的比較【關鍵詞】矩陣

3、 滿秩分解 特征多項式 最小多項式The Characteristic Polynomial and the Minimal Polynomialof the Low-rank MatrixAbstractThe characteristic polynomial and the minimal polynomial play a great role in the matrix similarity, Jordan canonical form, matrix function, matrix equation. So how to seek them is very important.

4、Firstly, from the full-rank decomposition of the matrix, we can get the characteristic polynomial in the special case of full-rank decomposition, and it is the same in the general case, so we get a method of seeking characteristic polynomial by reducing the order of the matrix. Then according to the

5、 definition of minimal polynomial of matrix and the principle of matrix multiplication, we also get a method of seeking minimal polynomial by reducing the order of the matrix. To a great extent, we have less computation about the characteristic polynomial and the minimal polynomial of the low-rank m

6、atrix. Finally, we list the four exiting methods of seeking the minimal polynomial. Combining with the method of the minimal polynomial in the paper, we make a comprehensive comparison.【Key words】Matrix Full-rank decomposition Characteristic polynomial Minimal polynomial引言矩陣的特征多項式和最小多項式是線性代數(shù)中的基本概念，它

7、在矩陣相似、若當標準形、矩陣函數(shù)、自動化控制等領域都有重要的作用因此，如何求特征多項式和最小多項式至關重要關于特征多項式，對某些特定的矩陣（如對稱矩陣），國內外一些學者研究了一系列求特征多項式的方法關于最小多項式求法的研究，目前主要是采用如下四種方法：第一，根據(jù)特征多項式的典型分解求最小多項式；第二，根據(jù)特征矩陣的最后一個不變因子求最小多項式；第三，根據(jù)標準形求最小多項式；第四，根據(jù)線性相關求最小多項式本文從一習題中想到：,分別是和矩陣，有結論=，那么當時，求矩陣的特征多項式可以轉化成求一低階矩陣的特征多項式，這樣就得到了求特征多項式的一種降階求法同樣，我們是否也可以求出矩陣與矩陣最小多項式的

8、關系呢？1 相關概念與記號1.1 概念定義 若A是數(shù)域上一級矩陣，是一個文字，矩陣 的行列式稱為A的特征多項式定義 數(shù)域上次數(shù)最低的首項系數(shù)為1的以A為根的多項式稱為A的最小多項式定義 矩陣的秩等于它的行數(shù)的矩陣稱為行滿秩矩陣定義 矩陣的秩等于它的列數(shù)的矩陣稱為列滿秩矩陣定義 若階矩陣A的秩為，為列滿秩矩陣，為行滿秩矩陣，若有A=BC，則稱BC為A的滿秩分解1.2 本文中相關記號表示矩陣的最小多項式表示矩陣的特征多項式表示矩陣的秩2 矩陣的滿秩分解用矩陣的行列初等變可將矩陣化為標準形=(其中是階單位矩陣，），那么存在可逆矩陣與，使得，則，就得到了矩陣的分解，我們有如下定理：定理 設階矩陣的秩為

9、，證明：存在列滿秩矩陣和行滿秩矩陣，使得證明 任一階矩陣都可通過初等行列變換化為標準形，其中是階單位矩陣，則存在階可逆矩陣和，使得，即 （1）由于是由的前列構成的矩陣，設（，）其中與分別是矩陣與（）矩陣，則 （2）而是可逆的，則的前列線性無關，故，即是列滿秩矩陣同理，令其中與分別是矩陣與（）矩陣，則 （3）而是可逆的，則的前行線性無關，故，即是行滿秩矩陣由（），（2）和（3）可得的滿秩分解式 這樣，我們就將任一矩陣滿秩分解為兩個矩陣的乘積3 降階求特征多項式我們先從滿秩分解中的特殊情況=為標準形的時候來求其特征多項式設行滿秩矩陣=（，），其中是階矩陣，則由=得 = =而=，則=這樣，當時，求矩

10、陣的特征多項式就轉化成求階的的特征多項式，給出了求特征多項式的一種降階求法當=為標準形的時候可以降階求特征多項式，那么不是標準形時是否也可以采用同樣的方式降階求特征多項式呢？引理 相似矩陣具有相同的特征多項式定理 設秩為的階矩陣的滿秩分解為，證明：=證明 由于秩為的矩陣可化為標準形，故存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得 = （4）令矩陣 =(,) （5）其中是階矩陣用（4）式兩邊分別左乘（5）式兩邊得=由引理得= （6）用樣，用（5）式兩邊分別左乘（4）式兩邊得 =故 = （7） 則由（6）式和（7）得，特征多項式的降階公式 = (8) （8）中的為列滿秩矩陣，為行滿秩矩陣，那么是否對任意的為矩

11、陣，為矩陣，都有=成立呢？推論 對任意的為矩陣，為矩陣，都有=證明 因為=所以= = （9） 又因為=所以= = （10）綜合（9）和（10）式有=即=例1 求階對稱矩陣=的特征多項式解 = = =（）4 降階求最小多項式之前，我們由的滿秩分解，找到了的特征多項式與的特征多項式的關系，從而找到了特征多項式的降階公式那么，由，是否還能發(fā)現(xiàn)的最小多項式和的最小多項式之間的關系呢？定理3 設秩為的階矩陣的滿秩分解為，令，那么證明 由于，則=, (11)由于，則是階矩陣，且對任一多項式, 由（11）式可得多項式與之間的關系式： （12）由(12)式可得的零化多項式與的零化多項式之間的關系： 若，則必有

12、由此可進一步發(fā)現(xiàn)的最小多項式與的最小多項式之間的關系令=，則，故有=即是的零化多項式因此，整除，即 （13） 若令=是的特征多項式，則，故有 而，故有 （14）綜合（13）式和（14）式，我們有 這樣我們就找到了通過求的最小多項式來求的最小多項式例2 求矩陣的特征多項式和最小多項式解 用行初等變換將化為階梯矩陣則的秩為2，令則是的行滿秩矩陣，其左邊的子塊是階單位矩陣令可知=則的特征多項式因為，且一次多項式都是的非零化多項式，故的次數(shù)必大于1，所以有又因是非滿秩的，故零是它的一個特征值，所以必須包含一次因式，由此可以驗證的最小多項式例3 求矩陣的特征多項式和最小多項式解則，令令其中的1，2，4列

13、組成單位矩陣，則有由于，則= （）（）故由于，故或，易證得，而是非滿秩的，含有一次因式，因此，5 最小多項式的幾種求法及比較5.1 根據(jù)特征多項式求最小多項式令其中，互異，均大于或等于1，則必有 其中1，, 這樣我們得到了求的方法：先求出，再將分解成不同的一次因式的冪積，由低次向高次逐個試驗，求出使零化的次數(shù)最低的這個冪積例4 設，求的最小多項式解 的特征多項式為設的最小多項式為，因為所以因此，的最小多項式為5.2 根據(jù)不變因子求最小多項式 我們知道，方陣的最小多項式等于的特征矩陣最后一個不變因子，因此，當我們把化為標準形后就可以求出的最小多項式例5 求矩陣的最小多項式解故的最小多項式5.3

14、根據(jù)標準形求最小多項式矩陣的最小多項式，其中是的相異的特征值，是在的標準形中包含的各分塊的最大階數(shù)例6 求矩陣的最小多項式解 由的特征多項式知有兩個不同的特征值：，（均為三重的）容易求得，所以對于的特征向量僅有一個，這表示對應于的塊的數(shù)目是1 又由于，對應于的特征向量有2個，因此對應于的塊共有2塊故的標準形為可見中包含的塊的階數(shù)，包含的塊的最大階數(shù)，因此的最小多項式為5.4 根據(jù)線性相關求最小多項式設為上任一階矩陣，可看作為維向量空間中的向量，進而矩陣序列可看作為中的一個向量組，由哈密頓凱萊定理可知，它們一定是線性相關的令為使矩陣序列是線性相關的最小次數(shù)，即線性相關，則存在個不全為零的數(shù)，使得

15、其中，否則，這與對的假設矛盾，所以記，則如果定義多項式為那么一定有且沒有次數(shù)小于的非零多項式零化，故為的最小多項式以上實際上給出了求的最小多項式的一種方法讓從開始，依次從矩陣方程，求解首次有解時，解對應的多項式為的最小多項式例7 求矩陣的最小多項式解 令，顯然無解。令，展開即為解得與無解令，展開即為解得 故矩陣的最小多項式為5.5 最小多項式求法的綜合比較方法一是根據(jù)特征多項式的典型分解，先求出特征多項式，再將特征多項式分解成不同一次因式的冪積，由低次向高次逐個試驗，來求出使零化的次數(shù)最低的這個冪積，這個方法是根據(jù)最小多項式的定義來求的，也是最原始最基本的方法，在逐個的試驗過程中計算量比較大方

16、法二是應用的定理特征矩陣最后一個不變因子即矩陣的最小多項式，這個方法總體相比前面的方法一來的簡便快捷，它不需要求出特征多項式，只是在對特征矩陣作初等行列變換的過程中比較繁瑣方法三是應用了標準形的一個定理，先求出特征多項式，再算出特征值對應的矩陣的秩,得到矩陣的標準形，即可求出矩陣的最小多項式，運用起來比較方便，但是對這個定理的理解有些難度方法四是根據(jù)線性相關來求最小多項式，它不需要算出特征多項式，但是涉及到矩陣乘積的運算，且同樣需要逐個試驗，總體很復雜本文研究得到的方法依然是建立在最小多項式的定義基礎上來求，但降低了逐個試驗的范圍，在需要算出特征多項式的基礎上，本文研究的方法要來的快捷和簡便不

17、管哪一種方法，它讓我們更加清晰的了解最小多項式，并更多的認識到和最小多項式相關知識的聯(lián)系，擴寬了我們的視野6 最小多項式的簡單應用已知矩陣和多項式，求設是任意多項式，為的最小多項式，用除，得商式和余式，即，其中或者的次數(shù)小于的次數(shù)。由于，故得這樣根據(jù)來求，要比直接計算簡單些例8 設，其中矩陣，求解 的特征多項式=由于沒有重根，故根據(jù)帶余除法，可計算得故=結論 本文通過滿秩分解，得到了特征多項式的降階公式=，再根據(jù)最小多項式的定義和矩陣乘法的原則，得到了最小多項式的降階求法，在一定程度上降低了求矩陣特征多項式和最小多項式的計算量本文同時將目前主要的幾種最小多項式的求法作了列舉和比較，并給出了最小

18、多項式的簡單應用參考文獻1 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組高等代數(shù)M第三版北京：高等教育出版社，20033283552 邱森，朱林生.高等代數(shù)探究性課題集M第一版武漢：武漢大學出版社, 2008.86933 蘇育才, 姜翠波，張躍輝.矩陣理論M第一版北京：科學出版社, 2006.821014 吳昌愨, 魏洪增矩陣理論與方法M第一版北京：電子工業(yè)出版社, 2006.46685 劉丁酉. 矩陣分析M第一版武漢：武漢大學出版社,200378986 史榮昌, 魏豐矩陣分析M第二版北京：北京理工大學出版社, 2005.721087 趙禮峰矩陣最小多項式求法與探討J淮北煤師院學報, 1993,，14(3)：60658 夏必臘方陣最小多項式的性質與求法J高等數(shù)學研究, 2006, 6(3)：34399 高金泰矩陣最小多項式的性質及它的一種初等求法J錦州師范學院學報, 2002, 23(3)：606110 王蓮花，王建平，李艷華等最小多項式的性質及其應用J河南教育學院學報，2004, 23(2)：121311 B Yu, T Kitamoto. The chance method for computing the characteristic polynomialof a polynomial matricJ, Trans Fu