隨機變量的數字特征

1、4 4 協方差及相關系數協方差及相關系數第四章第四章 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征（第十七講）（第十七講）協方差的定義協方差的定義協方差的性質協方差的性質相關系數的定義相關系數的定義相關系數的性質相關系數的性質退 出前一頁后一頁目 錄4 協方差第四章 隨機變量的數字特征一、協方差一、協方差稱稱 COV( X, Y ) = E( X EX )( Y-EY ) = E XY EX EY為隨機變量為隨機變量 X,Y 的的協方差協方差. DYDXYXCOVXY),( COV( X, X )=DX. 稱為隨機變量稱為隨機變量 X,Y 的的相關系數相關系數。XY 是一個無量綱的量；是一個無量綱的量

2、；1）協方差的定義協方差的定義2）相關系數的定義）相關系數的定義退 出前一頁后一頁目 錄4 協方差第四章 隨機變量的數字特征證明：證明：E XY = EX EY所以所以COV( X,Y ) = 0.由數學期望的性質由數學期望的性質: 3) 定理定理：若若X，Y 獨立，則獨立，則 X , Y 不相關。不相關。 (反之，不然）反之，不然）稱稱 X,Y 不相關不相關，若若0 XY此時此時 COV( X，Y ) = 0 .若若X，Y 獨立，獨立，注意：注意：若若 E( X EX )(Y - EY )則則X，Y一定相關，且一定相關，且 X，Y 一定不獨立。一定不獨立。0 0 即即 EXY-EXEY退 出

3、前一頁后一頁目 錄二、協方差的性質二、協方差的性質第四章 隨機變量的數字特征4 協方差1) COV( X,Y )=COV( Y, X ) 2) COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)；3) COV(X+Y , Z)=COV(X , Z)+COV(Y, Z);5) X，Y不相關不相關.)(22DYbDXabYaXD EXEYEXY 0),( YXCOV )(1niiiXaD njijijiniiiXXCOVaaDXa112),(2),(222YXabCOVDYbDXa )()4bYaXDCOV( X, Y ) = E( X EX )( Y-EY )退 出前一頁后一頁目 錄三、相關系數的性質三

4、、相關系數的性質證明：證明：令：令：第四章 隨機變量的數字特征4 協方差. 1)1 XY . 1,1)2 bXaYPbaXY使使存存在在常常數數 2)(bXaYEe abEXbEXYaEYaEXbEY2222222 022202222aEXEXYbEXbeEYbEXaae求求a，b 使使 e 達到最小。達到最小。令：令：bEXEYa 退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差代代入入第第二二個個方方程程得得將將,bEXEYa 22)(EXEXEXEYEXYb 故故, 0)(2 EXbEXEYEXYbEX.),(;),(000DXYXCOVEXEYEXbEYaDXYXCOVb

5、得：得：02222aEXEXYbEX,),(DXYXCOV 退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征 2,)(minbXaYEba200)(XbaYE 2),(),(DXYXCOVXDXYXCOVEXEYYE 2),()()(DXYXCOVEXXEYYE DY DXYXCOVDXYXCOVDY),(2),(22 22)(),(DXYXCOVDX DXYXCOVYXCOV),(),(2 退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征DXYXCOVDY),(2 DXDYDXDYXY 2 DYXY)1 (2 2,)(minbXaYEbaDYXY)1(2 即即由上式得由上式得:, 01)

6、12 XY 1 XY 若若. 1 XY 即即0)(200 XbaYE4 協方差DYDXYXCOVXY),( 2,)(minbXaYEba 1, bXaYPba使使存存在在常常數數現在證明：現在證明：由上面知此時由上面知此時退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差 )(00XbaYD200)(XbaYE 0)(200 XbaYE從而從而 , 0)(00 XbaYD0)(00 XbaYE所以所以1000 XbaYP故故. 100 XbaYP即即, 10EXccXPDX 由于由于退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差反之，若存在反之，若存在 使使， ba ,

7、1 XbaYP這時這時, 10)( XbaYP故故 0)(2 XbaYE則則 2)(0XbaYE2,)(minbXaYEba . 0)1(2 DYXY 故故, 012 XY . 1 XY 即即. 1 XY 退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差說說 明明時時，當當1 XY 線性關系緊密程度的量之間與量相關系數是表征隨機變YX時，越接近于當0XY時，時，當當0 XY X與與Y之間沒有線性關系并不表示它們之間沒有關系。之間沒有線性關系并不表示它們之間沒有關系。存存在在著著線線性性關關系系；之之間間以以概概率率與與1YX之之間間的的線線性性關關系系越越弱弱；與與YX 不不相相關

8、關之之間間不不存存在在線線性性關關系系與與YXX 與與 Y 不相關，但不一定相互獨立。不相關，但不一定相互獨立。退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差解解：，記，是二個隨機變量，已知，設1cov41YXDYDXYXYXYX 22 ，試試求求： YXDD2 YXDYDX，cov44 14441 13 YXDD 2 YXDYDX，cov44 14414 4 例例1 DDCOV),( 退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差，cov XX，cov2 DYYXDX2cov52 ，421512 5 所以， DD，cov 4135 26135 XY，cov4 YX

9、，cov YY，cov2 YXYX 22cov，退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差 22222121212122212121exp121 yyxxyxf，由上述知：由上述知： ,21)(21212)(1 xXexf22222)(221)( yYeyf則：則：例例2設設(X，Y)服從二維正態(tài)分布，求：服從二維正態(tài)分布，求：XY ,222211 DYEYDXEX退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差 ),(YXCov dxdyyxfyx),()(21 dydxeeyxxyx221122222121)1(212)(21221)(121令令：,11112

10、22 xyt,11 xu,11ux 則則)(EYYEXXE 222)1( uty 退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差11221210 111111 yuxuytxtJ22112211)11( 退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征 ),(YXCOV22211)1(, utyux 2211 J dtdueututu221222212211)1(12122 21210 dtedueutu22221222 dydxeeyxxyx221122222121)1(212)(21221)(121 dtteduuetu222212221 退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨

11、機變量的數字特征0 XY故故. XY獨立獨立YX,不相關不相關YX,4 協方差例例3量量是是二二隨隨機機事事件件；隨隨機機變變設設BA, .1, 11, 1不出現不出現，若，若出現，出現，若若不出現，不出現，若，若出現，出現，若若BBYAAX.相相互互獨獨立立與與是是不不相相關關的的充充分分必必要要條條件件和和試試證證明明隨隨機機變變量量BAYX證明：證明：EXEYEXYYX ),cov( EX. 1)(2 BPEY)()(APAP , 1)(2 AP退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差 EXY)()()()(BAPBAPBAPABP EXEY)(ABP )()()()

12、()(ABPBPABPAPABP 1)(2)(2)(4 BPAPABP 0),cov(EXEYEXYYX)()()(BPAPABP 1, 111 YXP1, 1)1(1 YXP1, 11)1( YXP1, 1)1()1( YXP1)(2)(2)()(4 BPAPBPAP1)(21)(2 BPAP)()(ABPAP )()(ABPBP )()(BAPAP )()()(1 ABPBPAP 退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差2）, 4, 1, 2, 2 DYDXEYEX已知已知, 5 . 0 XY 則根據切比雪夫不等式有則根據切比雪夫不等式有._6| YXP3）服服從從均均勻勻分分布布，為為頂頂點點的的三三角角形形區(qū)區(qū)域域上上的的聯聯合合分分布布在在點點和和設設隨隨機機變變量量)1 , 1(),0 , 1(),1 , 0(YX的的方方差差。試試求求隨隨機機變變量量YXU 思考題：思考題：的的指指數數分分布布，服服從從參參數數為為1 Y2 , 1, 1, 0 kkYkYXk212),121XXXX ）的的聯聯合合分分布布率率；（）（求求1)退 出前一頁后一頁目 錄第四章 隨機變量的數字特征4 協方差小