例題與探究(321直線的點(diǎn)斜式方程322直線的兩點(diǎn)式…

1、典題精講例1方程y-ax-=0表示的直線可能是圖3-2-1中的( )圖3-2-1思路解析:注意題設(shè)中的隱含條件:斜率為a、截距為中都含同一個(gè)字母a,且a0.抓住這一點(diǎn),通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化將方程化為我們熟悉的一元一次函數(shù),再運(yùn)用分類(lèi)討論思想使問(wèn)題獲得解決.將方程變形為y=ax+,則a為直線的斜率,為直線在y軸上的截距.因?yàn)閍0,所以a>0或a<0.當(dāng)a>0時(shí),四個(gè)圖形都不可能是方程的直線;當(dāng)a<0時(shí),圖形B是方程的直線.答案:B綠色通道:根據(jù)直線的方程判斷直線的形狀,通常把直線轉(zhuǎn)化成斜截式的形式,利用斜率和截距的幾何意義作出判斷.變式訓(xùn)練1兩條直線=1與=1的圖像是圖3-2-2

2、中的( )圖3-2-2思路解析:兩直線的方程分別化為y=x-n,y=-m,易知兩直線的斜率符號(hào)相同.答案:B例2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,2)并且和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是1的直線方程是( )A.x+2y-2=0或x+2y+2=0B.x+2y-2=0或2x+y+2=0C.2x+y-2=0或x+2y+2=0D.2x+y+2=0或x+2y-2=0思路分析:求直線方程以及與坐標(biāo)軸圍成圖形面積有關(guān)的問(wèn)題,常用直線的截距式方程.解:設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別是a、b,則有S=|a·b|=1.ab=±2.設(shè)直線的方程是=1.直線過(guò)點(diǎn)(-2,2),代入直線方程得=1,即b=.ab=±

3、;2,解得直線方程是=1或=1,即2x+y+2=0或x+2y-2=0.答案:D綠色通道:在直角坐標(biāo)系中涉及圖形的面積時(shí),要注意多與點(diǎn)的坐標(biāo)相聯(lián)系,特別是將三角形的底邊放在坐標(biāo)軸上,將高視為點(diǎn)的坐標(biāo)的絕對(duì)值,與坐標(biāo)軸上的點(diǎn)相關(guān)的直線方程是它的截距式,應(yīng)當(dāng)注意截距并非是非負(fù)的,它是直線和坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo).變式訓(xùn)練2求過(guò)點(diǎn)A(3,4),且在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程.解:(1)當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)且不為0時(shí),可設(shè)直線l的方程為=1.又l過(guò)點(diǎn)A(3,4),所以=1,解得a=-1.所以直線l的方程為=1,即x-y+1=0.(2)當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)且為0時(shí),直

4、線的方程為y=x,即4x-3y=0.例3一條直線l被兩條直線4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的線段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn),求直線l的方程.思路分析:設(shè)直線l的方程為y=kx,與已知的兩直線的交點(diǎn)設(shè)為P1(x1,y1)、P2(x2,y2),把x1、x2用k表示,由x1+x2=0,解出k的值即可.解法一:當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí),設(shè)l的方程為y=kx,且l與已知兩直線的交點(diǎn)分別為P1(x1,y1)、P2(x2,y2),則因?yàn)镺是P1P2的中點(diǎn),所以x1+x2=0,即=0,解得k=.當(dāng)斜率k不存在時(shí),直線l是y軸,它和兩條已知直線的交點(diǎn)分別是(0,-6)和(0,),顯然不滿(mǎn)足中點(diǎn)是原點(diǎn)的條件.所

5、以所求的直線方程為y=x.解法二:設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線l交已知兩直線分別于點(diǎn)P1、P2,且O為P1、P2的中點(diǎn),所以P1與P2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).若設(shè)P1(x0,y0),則P2(-x0,-y0),所以+得x0+6y0=0.所以點(diǎn)P1(x0,y0)、P2(-x0,-y0)都滿(mǎn)足方程x+6y=0.因?yàn)檫^(guò)兩點(diǎn)的直線有且只有一條,且該直線過(guò)原點(diǎn),所以所求直線l的方程即為y=x.綠色通道:與兩直線交點(diǎn)有關(guān)的直線方程問(wèn)題,用一般式較其他形式方便,另外注意解析幾何中與交點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題,常采用設(shè)點(diǎn)而不求點(diǎn)的方法,設(shè)而不求是解析幾何中常用的方法.變式訓(xùn)練3直線l和兩條直線l1:x-3y+10=0及l(fā)2:2x+y-8=0都相交

6、,且這兩個(gè)交點(diǎn)所成的線段的中點(diǎn)是P(0,1),則直線l的方程是_.思路解析:設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)為A(3y1-10,y1)、B(x2,-2x2+8),AB的中點(diǎn)是P(0,1),得解得y1=2,x2=4.A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-4,2)、B(4,0).過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程是x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0例4求與直線3x+4y+1=0平行,且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為的直線l的方程.思路分析:由l與直線3x+4y+1=0平行聯(lián)想,可設(shè)直線l的方程為3x+4y+m=0.也可由兩截距之和為,設(shè)直線l的方程為=1.解法一:設(shè)直線l的方程為3x+4y+m=0,令x=0,得y軸上截距b=,令y=0,得x軸

7、上截距a=,所以+()=,解得m=-4.所以所求直線l的方程為3x+4y-4=0.解法二:設(shè)直線l的方程為=1,所以所以所求直線方程為3x+4y-4=0.綠色通道:(1)一般地,直線Ax+By+C=0中系數(shù)A、B確定直線的斜率,因此,與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0.這是常采用的解題技巧.(2)一般地,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(x0,y0),且與直線Ax+By+C=0平行的直線方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0.變式訓(xùn)練4求直線2x+(3k-1)y+k-1=0在x軸、y軸上的截距.解:令y=0,則x=,于是直線在x軸上的截距為.令x=0,則(3k-1)y+k-1=0,于是直

8、線在y軸的截距為y=.當(dāng)k=時(shí),直線在y軸上的截距不存在;當(dāng)k時(shí),直線在y軸上的截距為.例5已知方程(m+2)x+(m-3)y+4=0(mR)所表示的直線恒過(guò)定點(diǎn),試求該定點(diǎn)的坐標(biāo).思路解析:可以從兩個(gè)角度考慮:(1)因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn),故該定點(diǎn)坐標(biāo)與m的取值無(wú)關(guān),于是我們可令m取一些特定值,進(jìn)而求出兩不同直線的公共點(diǎn).(2)將方程變形為m(x+y)+2x-3y+4=0.依題意,定點(diǎn)的坐標(biāo)與m的取值無(wú)關(guān),于是m的系數(shù)x+y必為0,進(jìn)而2x-3y+4=0.解法一:令m=-2,則方程變?yōu)?5y+4=0,故y=.令m=3,則方程變?yōu)?x+4=0,故x=.依題意可知,直線恒過(guò)定點(diǎn)(,).解法二:將方程變

9、形為m(x+y)+2x-3y+4=0.依題意,定點(diǎn)的坐標(biāo)與m的取值無(wú)關(guān),于是此定點(diǎn)的坐標(biāo)必然滿(mǎn)足x+y=0且2x-3y+4=0.解方程組定點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).綠色通道:求含參數(shù)的直線方程恒過(guò)定點(diǎn)時(shí),可賦予參數(shù)兩個(gè)具體的值,通過(guò)解方程組求交點(diǎn);也可整理成f1(x,y)+f2(x,y)=0的形式,再求交點(diǎn).變式訓(xùn)練5已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點(diǎn)為P(2,3),求過(guò)兩點(diǎn)A(a1,b1)、B(a2,b2)的直線方程.解法一:因?yàn)镻(2,3)是兩直線的交點(diǎn),所以?xún)墒较鄿p得2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即.故所求直線方程為y-b1=(x-a1).所以2x+3y-(

10、2a1+3b1)=0.又故過(guò)兩點(diǎn)A(a1,b1)、B(a2,b2)的直線方程為2x+3y+1=0.解法二:因?yàn)镻(2,3)是兩直線的交點(diǎn),所以2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.可見(jiàn)A(a1,b1)、B(a2,b2)都滿(mǎn)足方程2x+3y+1=0.故過(guò)兩點(diǎn)A(a1,b1)、B(a2,b2)的直線方程為2x+3y+1=0.問(wèn)題探究問(wèn)題1請(qǐng)想一想常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有那些？具體的處理方法如何？導(dǎo)思:對(duì)稱(chēng)問(wèn)題包括以下四類(lèi):點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng);點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng);直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng);直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng).也可歸結(jié)為中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)兩類(lèi),而這兩類(lèi)問(wèn)題最終都可歸結(jié)為點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.若點(diǎn)P1與P2關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng),則點(diǎn)

11、M是P1,P2的中點(diǎn).若已知其中任何兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),都可以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出另外一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).若點(diǎn)P1與P2關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),則直線l是線段P1P2的中垂線,它應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件,即P1、P2的中點(diǎn)在直線l上,且P1P2的連線與l垂直,也就是說(shuō),P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足直線l的方程,且P1P2連線的斜率與直線l的斜率互為倒數(shù).曲線是由點(diǎn)組成的,曲線關(guān)于點(diǎn)或直線的對(duì)稱(chēng)實(shí)質(zhì)上就是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)或直線的對(duì)稱(chēng).探究:常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題以及曲線(含直線)關(guān)于點(diǎn)、曲線(含直線)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.具體的處理方法如下:(1)點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于點(diǎn)M(a,b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(2a-x0,2b

12、-y0);(2)點(diǎn)P(a,b)不在直線l:Ax+By+C=0上,P關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(x,y)的求法:因?yàn)镻P中點(diǎn)M()在l上,PPl,所以由方程組可解出P(x0,y0).(3)幾種特殊對(duì)稱(chēng):點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(a,-b);點(diǎn)(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(a,-b);點(diǎn)(a,b)關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(b,a);點(diǎn)(a,b)關(guān)于y=-x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-b,-a);點(diǎn)(a,b)關(guān)于x+y=t的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(t-b,t-a);點(diǎn)(a,b)關(guān)于x-y=m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(m+b,a-m).(4)“曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”問(wèn)題可用“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”的方法解決;“曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)”問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)”

13、問(wèn)題來(lái)解決.問(wèn)題2一般地,具有某種共同屬性的一類(lèi)直線的集合,稱(chēng)為直線系,它的方程叫做直線系方程.直線系方程中除含變量x、y以外,還可以根據(jù)具體條件取不同值的變量,稱(chēng)為參變量,簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù).由于參數(shù)取向不同,就得到不同的直線系.你能試舉出一些直線系的例子嗎?導(dǎo)思:應(yīng)用直線系解題,是指把待求的直線看成滿(mǎn)足某種條件的直線的集合中的元素,再利用其他條件確定參數(shù)的值,是整體思想的具體運(yùn)用.利用直線系解題可簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高解題效率.直線系y=kx+b中,若b為常數(shù),它表示過(guò)定點(diǎn)(0,b)的直線系;若k為常數(shù),它表示平行線系.平行線系關(guān)注的是斜率相等,垂直關(guān)注的是斜率互為負(fù)倒數(shù).設(shè)出相關(guān)的直線系方程后,要明確直線

14、系中參數(shù)是誰(shuí).對(duì)于過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程,求交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可先把方程轉(zhuǎn)化成f1(x,y)+f2(x,y)=0的形式,再解方程組求交點(diǎn);也可賦予參數(shù)兩個(gè)具體的值,將得到的兩個(gè)方程聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo).探究:幾種常見(jiàn)的直線系:(1)過(guò)定點(diǎn)的直線系直線y=kx+b(其中k為參數(shù),b為常數(shù)),它表示過(guò)定點(diǎn)(0,b)的直線系,但不包括y軸(即x=0).經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(x0,y0)的直線系y-y0=k(x-x0)(k為參數(shù)),它表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x0,y0)的直線系,但不包括平行于y軸的那一條(即x=x0).(2)已知斜率的直線系y=kx+b(k為常數(shù),b為參數(shù)),它表示斜率為k的平行直線系.若已知直線l:Ax+By+C=0,與l平行的直線系為Ax+By+m=0(m為參數(shù),且mC).若已知直線l:Ax+By+C=0,與l垂直的直線系為Bx-Ay+n=0(n為參數(shù)).(3)經(jīng)過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系經(jīng)