無(wú)窮級(jí)數(shù)總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上無(wú)窮級(jí)數(shù)總結(jié)一、 概念與性質(zhì)1. 定義：對(duì)數(shù)列，稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)，稱為一般項(xiàng)；若部分和 數(shù)列有極限，即，稱級(jí)數(shù)收斂，否則稱為發(fā)散.2. 性質(zhì)設(shè)常數(shù)，則與有相同的斂散性；設(shè)有兩個(gè)級(jí)數(shù)與，若，則；若收斂，發(fā)散，則發(fā)散；若，均發(fā)散，則斂散性不確定；添加或去掉有限項(xiàng)不影響一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性；設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和注：一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散；一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂，原級(jí)數(shù)斂散性不確定級(jí)數(shù)收斂的必要條件：；注：級(jí)數(shù)收斂的必要條件，常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散；若，則未必收斂；若發(fā)散，則未必成立二、 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

2、 定義：若，則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 審斂法：（i） 充要條件：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有界.（ii） 比較審斂法：設(shè)與都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則若收斂則收斂；若發(fā)散則發(fā)散.A. 若收斂，且存在自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有成立，則收斂；若發(fā)散，且存在自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有成立，則發(fā)散；B. 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若有使得，則收斂；若，則發(fā)散.C. 極限形式：設(shè)與都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則 與有相同的斂散性.注：常用的比較級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)：；級(jí)數(shù)：； 調(diào)和級(jí)數(shù)：發(fā)散（iii）比值判別法（達(dá)郎貝爾判別法）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若 ，則收斂；，則發(fā)散注：若，或，推不出級(jí)數(shù)的斂散.例與，雖然，但發(fā)散，而收斂.（iv）根值判別法（柯西判別

3、法）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，級(jí)數(shù)收斂，若則級(jí)數(shù)發(fā)散（v）極限審斂法：設(shè)，且，則且，則級(jí)數(shù)發(fā)散；如果，而,則其收斂（書(shū)上P317-2-（1）注：凡涉及證明的命題，一般不用比值法與根值法，一般會(huì)使用比較判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比（根）值判別法不能當(dāng)作收斂與發(fā)散的充要條件，是充分非必要條件2.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：設(shè)，則稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).審斂法：萊布尼茲定理：對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，若且，則收斂.注：比較與的大小的方法有三種：比值法，即考察是否小于1；差值法，即考察是否大于0；由找出一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，使考察是否小于03.一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法：若絕對(duì)收斂，則收斂.若用比值法或根值法判定發(fā)散，則必發(fā)散.三、 冪級(jí)數(shù)1. 定義：稱為冪

4、級(jí)數(shù).2. 收斂性 阿貝爾定理：設(shè)冪級(jí)數(shù)在處收斂，則其在滿足的所有處絕對(duì)收斂反之，若冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則其在滿足的所有處發(fā)散 收斂半徑（i）定義：若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，但不是在整個(gè)實(shí)軸上收斂，則必存在一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.（ii）求法：設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，其系數(shù)滿足條件，或，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，注：求收斂半徑的方法卻有很大的差異前一個(gè)可直接用公式，后一個(gè)則須分奇、偶項(xiàng)（有時(shí)會(huì)出現(xiàn)更復(fù)雜的情況）分別來(lái)求在分成奇偶項(xiàng)之后，由于通項(xiàng)中出現(xiàn)缺項(xiàng)，由此仍不能用求半徑的公式直接求，須用求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的方法（iii）收斂半徑的類型A.，此時(shí)收斂域僅為一點(diǎn)；

5、B.，此時(shí)收斂域?yàn)?；C.=某定常數(shù)，此時(shí)收斂域?yàn)橐粋€(gè)有限區(qū)間3.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算（略）4.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即，收斂半徑不變?nèi)魞缂?jí)數(shù)的收斂半徑，則和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積，且可逐項(xiàng)積分，即，收斂半徑不變5.函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)若在含有點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)的階泰勒公式為，記，介于之間，則在內(nèi)能展開(kāi)成為泰勒級(jí)數(shù)的充要條件為.初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）；.6. 級(jí)數(shù)求和冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)解題程序（i）求出給定級(jí)數(shù)的收斂域；（ii）通過(guò)逐項(xiàng)積分或微分將給定的冪

6、級(jí)數(shù)化為常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式的形式（或易看出其假設(shè)和函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系），從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)；注：系數(shù)為若干項(xiàng)代數(shù)和的冪級(jí)數(shù)，求和函數(shù)時(shí)應(yīng)先將級(jí)數(shù)寫(xiě)成各個(gè)冪級(jí)數(shù)的代數(shù)和，然后分別求出它們的和函數(shù)，最后對(duì)和函數(shù)求代數(shù)和，即得所求級(jí)數(shù)的和函數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和（i）利用級(jí)數(shù)和的定義求和，即，則，其中根據(jù)的求法又可分為：直接法、拆項(xiàng)法、遞推法A.直接法：適用于 為等差或等比數(shù)列或通過(guò)簡(jiǎn)單變換易化為這兩種數(shù)列；B.拆項(xiàng)法：把通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)差的形式，在求項(xiàng)和時(shí)，除首尾兩項(xiàng)外其余各項(xiàng)對(duì)消掉（ii）阿貝爾法（構(gòu)造冪級(jí)數(shù)法），其中冪級(jí)數(shù)，可通過(guò)逐項(xiàng)微分或積分求得和函數(shù)因此四、 傅里葉級(jí)數(shù)1. 定義定義1：設(shè)是以為周期的

7、函數(shù)，且在或上可積，則， ， 稱為函數(shù)的傅立葉系數(shù)定義2：以的傅立葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，表示為定義3：設(shè)是以為周期的函數(shù)，且在上可積，則以 ，為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為的傅立葉級(jí)數(shù)，表示為2.收斂定理（狄里赫萊的充分條件）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上滿足條件除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外都是連續(xù)的；只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則的傅立葉級(jí)數(shù)在上收斂，且有.3.函數(shù)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)周期函數(shù)（i）以為周期的函數(shù)：，；注：若為奇函數(shù)，則(正弦級(jí)數(shù))， ； 若為偶函數(shù)，則(余弦級(jí)數(shù))， .（ii）以為周期的函數(shù)：+，；注：若為奇函數(shù)，則(正弦級(jí)數(shù))， ； 若為偶函數(shù)，則，(余弦級(jí)數(shù))， .非周期函數(shù)（i）奇延拓：A.為上的非周期函數(shù)，令，則除外在上為奇函數(shù)，(正弦級(jí)數(shù))， ；B. 為上的非周期函數(shù)，則令，則除外在上為奇函數(shù)，(正弦級(jí)數(shù))， .（ii）偶延拓：A.為上的非周期