函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明

1、函數(shù)單調(diào)性習題課（約3課時）函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明在定義域上是減函數(shù)。：證明：函數(shù)例xxf-)(1是減函數(shù)。在（即則且，任意兩個不相等的實數(shù)是設，的定義域為證明：),0 x-x)f).f(x)f(x,0)(-)(0,0-)(-(-x)x(-x-)(x-)(,0-,0,0-)(121221212121212121211212212121xfxfxxxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxxxxxf用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:(1). 設設x1x2, 并是某個區(qū)間上任意二并是某個區(qū)間上任意二值值;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判判斷斷 f(x1

2、)f(x2) 的符的符號號:(4). 作作結(jié)論結(jié)論. 分解因式分解因式, 得出因式得出因式(x1x2 配成非負實數(shù)和。配成非負實數(shù)和。方法小結(jié)方法小結(jié)有理化。有理化。 例例2：證明函數(shù)f(x)= x3在R上是增函數(shù). 證明證明：設x1,x2是R上任意兩個 實數(shù)， 且x1x2,則 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)(x1+ x2) 2 + x22 因為 x1x2 ，則 x1-x2 0 所以 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)0）在x0上的單調(diào)性xk解：對于x2x10,f(x2)-f(x1)=x2-x1+1xk2xk-

3、=1212xxxx (x1x2-k)因1212xxxx 0X12-k x1x2-k x22-k故x22-k0即x2時，f(x2)f(x1)總之，f(x)的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是,kk, 0k用定義求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟用定義求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1). 設設x1x2, 并是定義域上任意二并是定義域上任意二值值;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;方法小結(jié)方法小結(jié) ）下結(jié)論（的符號。）的符號，從而得出區(qū)間，討論各個區(qū)間）根把定義域分成若干（的根求（）令既提取因式6)f(-(50,(4) )(x-()(-)(,-31221121212xxfxxxxxfxfxx- - - -| -)(52單調(diào)

4、遞減區(qū)間是：函數(shù)例xxxf點評：單調(diào)區(qū)間的求法1、定義法2、圖像法的單調(diào)遞減區(qū)間。求函數(shù)練習34.2xxy點評 1、定義法 2、圖像法含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判斷上的單調(diào)性。在：試討論函數(shù)例) 1 , 1(-)0(1-)(62xaxaxxf)1)(1()1)()1)(1(11)()(11-,2221211221222112212222112121xxxxxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxfxfxxxx則且解：任?。┥鲜窃龊瘮?shù)。在（函數(shù)時當）上為減函數(shù)在（函數(shù)（時，當1 , 1-)(0)(- )(01 , 1-)(0)(- )00) 1-)(1-( , 01, 0-112121222121

5、1221xfxfxfaxfxfxfaxxxxxxxx抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷上的增函數(shù)。是求證：并且當都有對任意的：函數(shù)例RxfxfxbfafbafRbaxf)(1)(, 0, 1)()()(,)(7調(diào)性。的值并判斷該函數(shù)的單求的值）求（且有時當滿足對任意的上的函數(shù)：定義在例) 1()2()0(12) 1 (, 1)(0),()()(,),(8fffxfxbfafbafRbaxfyR)(1)()0(,21) 1(),1() 1 () 11 ()0(1, 121)0()0() 1 ()01 (1, 01xfxfxfxffxbxafffffbaffffab（則令則則）令（則）解：令（上的增函數(shù)。是則設

6、時，當時，有當RxfxxfxfxxfxfxfxxfxfxfxxxfRxxfxfx)(1)-()()-()()()x-()()(0)(1)(-01)(0121211211221小結(jié)：小結(jié)：同增異減。研究函數(shù)的單調(diào)性，首先考慮函數(shù)的定義域，要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個區(qū)間。三三.復合函數(shù)單調(diào)性復合函數(shù)單調(diào)性的單調(diào)性。的單調(diào)性，從而得出與的單調(diào)性，必須考慮對于復合函數(shù))()()()(xgfyxguufyxgfy)(xgu )(xfy)(xgfy 增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)2212,3ux 又在上是減函數(shù)。2432,3yxx 在上是減函數(shù)。243

7、2,3 。yxx故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為小結(jié):在求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間時必須注意單調(diào)區(qū)間是定義域的某個區(qū)間。？）的單調(diào)遞增區(qū)間是什么問：函數(shù)34(2xxy的單調(diào)遞減區(qū)間。求函數(shù)例34. 92xxy，即解：03403422xxxx。，即函數(shù)的定義域為 3 , 131x，故令uyxxu342增函數(shù)。是定義域內(nèi)是的單調(diào)遞uy 分段函數(shù)的單調(diào)性例10：已知函數(shù) ， ，1)(bxxfaxxaxxxg,)(2Rba,（1）當a=0,b=2時，求f(g(x)和g(f(x)的解析式，并判斷哪一個函數(shù)在其定義域上單調(diào)。（2）當a,b滿足什么條件時，f(g(x)在定義域上單調(diào)。是。上是增函數(shù)，在時，解：當)(R)(21,

8、 1-221,) 1-2()(0, 1-20, 1-2)(0,0,)(1-2)(2, 0222xfggxfxxxxxfgxxxxxgfxxxxxgxxfba單調(diào)遞增滿足（則使遞增在單調(diào)遞增，在時，）（時不單調(diào)；）顯然（、)(,01-)-1-0201, 1, 1)(222xgfbxyabxybbaxbxaxbxxgf10,0,101-1-0)()-10(21011022aabaababaaxgfabxybaababaa或綜上或遞減滿足則使遞減，在時，）或點評v分段函數(shù)的單調(diào)性，首先判斷各段函數(shù)的單調(diào)性，若 每段函數(shù)的單調(diào)性一致，再判斷分界點處函數(shù)值的大小關系，符合單調(diào)性的定義，則在整個定義域上是

9、單調(diào)函數(shù)。函數(shù)的單調(diào)性的應用v1、比較數(shù)（式）的大小v2、解函數(shù)不等式v3求參數(shù)的取值范圍v4、求函數(shù)值域（最值）題型一、比較大?。侯}型一、比較大小：例例1：函數(shù)：函數(shù)f(x)在在(0,+ )上是減函數(shù)上是減函數(shù),求求f(a2-a+1) 與與f( )的大小。的大小。43解：因為解：因為f(x)在在(0,+ )是減函數(shù)是減函數(shù)因為因為a2-a+1=(a- )2+ 0434321所以所以f(a2-a+1) f( )43n解（1）1（2）2/3,1/2 (3) 1n(4)當a0時，b0或當a0時，b0n(5)當a0時，最大值為3-4a最小值為-1n 當0a2時，最大值為-1，最小值為3-4a.),3

10、() 12(,9 , 9)(的范圍求且滿足上的增函數(shù)是定義在練習：已知xxfxfxf題型二、解不等式：題型二、解不等式：例例2：解：因為函數(shù)解：因為函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)在定義域上是增函數(shù)9399129312xxxx54|xx54x( )f x(0,)( )( )( ),(2)1xff xf yfy(1)已知函數(shù)已知函數(shù) 是定義在是定義在 上的增函數(shù)上的增函數(shù)且且 ,解不等式解不等式1( )()23f xfx(2)已知已知 為為 上的減函數(shù)，則滿足上的減函數(shù)，則滿足 的實數(shù)的實數(shù) 的取值范圍是的取值范圍是 （ ）( )f xR1()(1)|ffxxA、 B、 C、 D、( 1,1)(0

11、,1)( 1,0)(0,1)(, 1)(1,) 練習f ()( )(),f2f ()(2)(1),f (1)011( )()212-f (1)(1)()2(1)()2x1,-xxfxfyyfffxfxfxfxfxfxx且 （ 2） =1，因 為 函 數(shù) 為 增 函 數(shù) ，解 得 ， 12題型三、求參數(shù)范圍：題型三、求參數(shù)范圍：例例3:f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間在區(qū)間(- ，4)上上是減函數(shù)，求是減函數(shù)，求a的取值范圍。的取值范圍。解：函數(shù)解：函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為圖象的對稱軸為x=1-a當當x 1-a時，函數(shù)單調(diào)遞減時，函數(shù)單調(diào)遞減已知函數(shù)在已知函數(shù)在 上是減函數(shù)上是減函數(shù)

12、4，所以所以4 1-a,即即-3 a練習練習(1)已知函數(shù)已知函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上上是減函數(shù)，則實數(shù)是減函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍是（的取值范圍是（ ）2( )2(1)2f xxax(,4aA、 B、 C、 D、(, 3 3,)(,33,)（2）已知）已知 在在 上是增函數(shù)，求實上是增函數(shù)，求實數(shù)數(shù)a的取值范圍的取值范圍.3( )f xxax (0,1（3）已知函數(shù)）已知函數(shù) 在在 上是增函上是增函數(shù)，求實數(shù)數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍。的取值范圍。( )2aaf xxx(1,)a四、利用函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的值域或最值.2222,3yxxx，( )2xf xx2( )40,1f xxxax ，（1）

13、求二次函數(shù) 上的最值.(2).函數(shù) 在區(qū)間2，4上的最大值為 最小值為（3）已知函數(shù) ，若有最小值-2，則 的最大值為( )f x( )f x（4）若函數(shù) 在 上為增函數(shù)，則實數(shù) 的范圍是 .( )| 2f xa xb0,), a b(5)求 在區(qū)間 上的最大值和最小值2()21fxxax0, 21.函數(shù)最大（?。┲凳紫葢撌悄骋粋€函數(shù)值函數(shù)最大（?。┲凳紫葢撌悄骋粋€函數(shù)值,即存在即存在 ， 使得使得 ；0 xI 2.函數(shù)最大（?。┲祽撌撬泻瘮?shù)值中最大（?。┑模春瘮?shù)最大（?。┲祽撌撬泻瘮?shù)值中最大（小）的，即對于任意的對于任意的xI，都有，都有f(x)M（f(x)M）3.如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上單調(diào)遞上單調(diào)遞增增，則函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在在x=a處有處有最小值最小值f(a),在在x=b處有處有最大值最大值f(b) ；4.如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上單調(diào)遞上單調(diào)遞減減，在區(qū)間，在區(qū)間b