數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)解題思維與思想.精美.

1、高中數(shù)學(xué)解題思維與思想導(dǎo) 讀數(shù)學(xué)家G .波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學(xué)教學(xué)的目 的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進 行有效的訓(xùn)練，本策略結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實際情況，從以下四個 方面進行講解：一、數(shù)學(xué)思維的變通性根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活設(shè)想和解題方案二、數(shù)學(xué)思維的反思性提出獨特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信。三、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性考察問題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運算和推理精確無誤。四、數(shù)學(xué)思維的開拓性對一個問題從多方面考慮、對一個對象從多種角度觀察、對一個題目運用多種不同的解法。什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。思維與思想的即時性、針對性、實用性，已在教學(xué)實踐中得到了全面驗證一、高中數(shù)

2、學(xué)解題思維策略第一講數(shù)學(xué)思維的變通性一、概念數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性一一善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活 的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進行以下 幾個方面的訓(xùn)練：(1)善于觀察心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識事 物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真 思考，透過表面現(xiàn)象

3、看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。例如，求和二一1.1 2 2 3 3 4 n(n 1)這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，111111111且-，因此，原式等于1 - - - - 1 n(n 1) n n 12 2 3n n 1 n 1問題很快就解決了。(2)善于聯(lián)想聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關(guān)知識，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口， 不斷深入。例如,解方程組x y 2 .xy 3這個方程指明兩個數(shù)的和為2,這兩個數(shù)的積為 3。由此聯(lián)

4、想到韋達定理，x、y是一元二次方程t2 2t 3 0的兩個根，x 1x 3.一所以 或 3 .可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。y 3y 1(3)善于將問題進行轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)家G .波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?？梢?，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。 轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分 重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單 問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時, 觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。1111例如，已知 一 一 一 ,(abc 0,a b c 0),a b c a b c求證a、b、c三數(shù)中必有兩個互為相

5、反數(shù)。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：(a b)(b c)(c a) 0思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個 人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后 的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高 思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通 性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。二、思維訓(xùn)練實例(1)觀察能力的訓(xùn)練雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所 以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)

6、方法解題，而且能根據(jù) 題目的具體特征，采用特殊方法來解題。例1已知 a, b,c,d 都是實數(shù)，求證a2b2. c2d2 (a c)2 (bd)2.思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而左端可看作是點到原點的距離公式。根據(jù)其特點，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明 不妨設(shè)A(a,b), B(c,d)如圖121所示，貝U AB| %；(a c)2(b d)2.在OAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知：OA OB |AB當(dāng)且僅當(dāng)。在AB上時，等號成立。因此，a2 b2 .c2 d2, (a c)2 (b d)2.思維障礙很多學(xué)生看到這個

7、不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它 與平面上兩點間距離公式相似的原因， 是對這個公式不熟，進一步講是對基 礎(chǔ)知識的掌握不牢固。因此，平時應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運用練習(xí)。例2已知3x2 2y2 6x,試求x2 y2的最大值。 22解由3x 2y 6x得p22232129又 x y x x 3x (x 3),222當(dāng)x 2時，x2 y2有最大值，最大值為 -(2 3)2 9 4. 22思路分析 要求x2 y2的最大值，由已知條件很快將x2 y2變?yōu)橐辉魏瘮?shù)f(x) -(x 3)2，然后求極值點的x值，聯(lián)系到y(tǒng)2 0,這一 22

8、條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的 變通性。思維障礙大部分學(xué)生的作法如下：, o0.一、30由 3x 2y 6x得 y x 3x,2當(dāng)x 3時，x2 y2取最大值，最大值為92這種解法由于忽略了 y2 0這一條件，致使計算結(jié)果出現(xiàn)錯誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件， 又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。例3 已知二次函數(shù)f(x) ax2 bx c 0(a 0),滿足關(guān)系f (2 x) f (2 x),試比較 0.5)與()的大小。思

9、路分析 由已知條件f (2 x) f (2 x)可知，在與x 2左右等距離-2的點的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線 x已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致 圖像簡捷地解出此題。解(如圖 12 2)由 f (2 x) f (2 x),知f(x)是以直線x 2為對稱軸，開口向上的拋物線它與x 2距離越近的點，函數(shù)值越小。思維障礙 有些同學(xué)對比較f (0.5)與f()的大小，只想到求出它們的 值。而此題函數(shù)f(x)的表達式不確定無法代值，所以無法比較。出現(xiàn)這種 情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時 要全面看問題，對每一個已知條件都要仔細(xì)推敲， 找出它的

10、真正含義，這樣 才能順利解題。提高思維的變通性。(2)聯(lián)想能力的訓(xùn)練例4在ABC中，若C為鈍角，則tgA tgB的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能確定思路分析此題是在 ABC中確定三角函數(shù)tgA tgB的值。因此，聯(lián)想 到三角函數(shù)正切的兩角和公式tg(A B) tgA tgB可得下面解法。1 tgA tgB解C為鈍角，tgC 0.在ABC中A B C C (A B)且A、B均為銳角，故應(yīng)選擇(B)思維障礙 有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián) 想到運用基本公式。例5 若(z x)2 4(x y)(

11、y z) 0,證明：2y x z.思路分析 此題一般是通過因式分解來證。 但是，如果注意觀察已知條件的特點，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借 助一元二次方程的知識來證題。證明當(dāng) x y 0 時，等式(z x)2 4(x y)(y z) 0可看作是關(guān)于t的一元二次方程(x y)t2 (z x)t (y z) 0有等根的條件，在進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1 ,根據(jù)韋達定理就有：z 1 即 2yxzx y若x y 0,由已知條件易得z x 0,即x y z,顯然也有2y x z.例6已知a、b、c均為正實數(shù)，滿足關(guān)系式a2 b2 c2,又n為不小于3 的自然數(shù)，求

12、證：an bn cn.思路分析由條件a2 b2 c2聯(lián)想到勾股定理，a、b、c可構(gòu)成直角三角形的三邊，進一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設(shè)a、b、c所對的角分別為A、B、C.則C是直角，A為銳角， 于是.a . b sin A ,cosA ,且 0 sin A 1, 0 cos A 1, cc當(dāng) n 3 時，有 sinn A sin2 A, cosn A cos2 A于是有 sin n A cosn A sin 2 A cos2 A 1即 (a)n (b)n 1, c c從而就有an bn cn.思維阻礙 由于這是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，一些學(xué)生都會想到用數(shù) 學(xué)歸納法來證明，難以進

13、行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時不注意代數(shù)與幾何之 間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與 直觀圖形聯(lián)想起來。(3)問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時，不僅要先觀察 具體特征，聯(lián)想有關(guān)知識，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的， 簡單的問題 來解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進行問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練 是很必要的。c轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目j 一，111例11 已知a b c - - - 1,求證a、b、c中至少有一個等于1。a b c思路分析 結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù) 學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。a、b、c中

14、至少有一個為1,也就是說a 1、b 1、c 1中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了I111bc ac ab abc.證明-11,a b c于是 (a 1)(b 1)(c 1) abc (ab ac bc 1) (a b c) 0.a 1、b 1、c 1中至少有一個為零，即 a、b、c中至少有一個為1。思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何 證明三者中至少有一個為1,其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式 子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能 力的一種有效手段。例12 直線L的方程為x ,其中p 0;橢圓E的中心為 2O (2 -,0)

15、,焦點在X軸上，長半軸為2,短半軸為1,它的一個頂點為2A(-,0),問p在什么范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每2一點到點A的距離等于該點到直線L的距離。思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個不同的點應(yīng)在拋物線y2 2px(1)是，又從已知條件可得橢圓E的方程為x (2 號2y2 14因此，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組(1)、(2)有四個不同的實數(shù)解時，求p 的取值范圍。將(2)代入(1)得：2 X2 (7 p 4)x 2p 0.4(3)確定p的范圍，實際上就是求(3)有兩個不等正根的充要條件，解不等式 組：在p 0的條件下，得0 p 13.本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標(biāo)

16、準(zhǔn)問題：解方程組和不等式 組的問題。逆向思維的訓(xùn)練逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進行思考， 而是從其反方向進行思考的一 種思維方式。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手， 使問題得到解決。例13 已知函數(shù)f(x) 2x2 mx n,求證f、f(2)、f(3)中至少有一個不小于1.思路分析 反證法被譽為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù) 學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，般可考慮采用反證法證明(反證法)假設(shè)原命題不成立,f卜f (3)都小于1。f(1) 11 2m n 1f(2) 11 82m n 1f(3) 11 183m n 1即 f (

17、1)、3 m n 19 2m n 719 3m n 17十得11 2m n 9,與矛盾，所以假設(shè)不成立,即f(1)、f(2)、f (3)中至少有一個不小于1。4sin圖 1 23 一題多解訓(xùn)練由于每個學(xué)生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而, 同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓(xùn) 練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。例14 已知復(fù)數(shù)z的模為2,求z i的最大值。解法一(代數(shù)法)設(shè)z x yi(x、y R),解法二(三角法)設(shè)z 2(cos isin ),貝 z i v4cos2 + (2sin1)2 55解法三(幾何法)如圖

18、123所示，可知當(dāng)z 2i時，解法四(運用模的性質(zhì))而當(dāng) z2i 時，|zi|3.|zi|max3.解法五(運用模的性質(zhì)),、I 2八又 I 2, z imax9|zimax3.第二講數(shù)學(xué)思維的反思性一、概述 數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨立見解，精細(xì)地檢查思維過 程，不盲從、不輕信。在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設(shè)，獲得獨特 的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講重點加強學(xué)生思 維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。二、思維訓(xùn)練實例(1)檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯誤。x例 1 已知 f(x) ax ,若 3 f (1) 0, 3 f (2) 6,求 f

19、(3)的范圍, b錯誤解法由條件得3 3310cb43043 + 得一3a-,即一f(3).33333錯誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù)xf(x) ax 一，其值是同時受a和b制約的。當(dāng)a取取大(小)值時，b不一 b定取最大(小)值，因而整個解題思路是錯誤的。正確解法由題意有1 一一2一一解得：a 2f(2)f(1), b 2f f(2),3 3把f和f (2)的范圍代入得16 f(3) 37.33在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。例2證明勾股定理：已知在 ABC中， C 90 ,求證

20、c2 a2 b2.ab 22錯塊證法 在 Rt ABC 中，sin A -，cos A -，而 sin A cos A 1, cc戶2 b 2222(-)(-)1 ,即 c a b . c c錯誤分析 在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，sin2 A cos2 A 1這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循 環(huán)論證。循環(huán)論證的錯誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對所學(xué)的每個公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。 這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。發(fā)現(xiàn)本題犯 了循環(huán)論證的錯誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。(2)驗算的訓(xùn)練驗

21、算是解題后對結(jié)果進行檢驗的過程。通過驗算，可以檢查解題過程的正確性，增強思維的反思性。例3已知數(shù)列an的前n項和Sn 2n 1,求an.錯誤解法 an Sn Sni (2n 1) (2n1 1)2n 2n1 2n1錯誤分析 顯然，當(dāng)n 1時，a1S1 3 21 1 1,錯誤原因，沒有注意公式an SnSn 1成立的條件是n 2 (nN).因此在運用 an Sn Sn 1時，必須檢驗n 1時的情形。即：anS1 (n 1)Sn (n 2,n N)1-x有兩2解之，得a178例4實數(shù)a為何值時，圓x2 y2 2ax a2 1 0與拋物線y2個公共點1錯誤解法 將圓x2 y2 2ax a2 1 0與

22、拋物線y2 - x聯(lián)立，消去 2y,2 一 12得x (2a -)x a 1 0 (x 0).01因為有兩個公共點，所以方程有兩個相等正根，得 2a j 0a2 1 0.錯誤分析 (如圖22 1; 2 22)顯然，當(dāng)a 0時，圓與拋物線有兩個公共點。等正根。x0 .一當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時，得 2 解之，得1 a 1.a1y-x有兩個公共點。21思考題：實數(shù)a為何值時，圓x2 y2 2ax a2 1 0與拋物線y2 -x,2(1)有一個公共點;(2)有三個公共點;(3)有四個公共點;(4)沒有公共點。養(yǎng)成驗算的習(xí)慣，可以有效地增強思維反思性。如：在解無理方程、無 理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等

23、式時，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式 1 0.因此，當(dāng)a 17或1 a 1時，圓x2 y2 2ax a2 1 0與拋物線8這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進行檢驗，舍棄增根，找回失根。(3) 獨立思考，敢于發(fā)表不同見解受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性。因此，在解決問題時，應(yīng)積極地獨立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。例 5 30 支足球隊進行淘汰賽，決出一個冠軍，問需要安排多少場比賽？解 因為每場要淘汰1 個隊， 30 個隊要淘汰29 個隊才能決出一個冠軍。因此應(yīng)安排29 場比賽。思

24、路 分 析 傳統(tǒng)的思維方法是：30 支隊比賽，每次出兩支隊，應(yīng)有15 + 7 + 4 + 2 + 1=29場比賽。而上面這個解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰1 個隊，要淘汰29 支隊，那么必有29 場比賽。例 6 解方程 x 2 2x 3 cosx.考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)y (x 1)2 2, y cosx ,它們的圖象無交點。所以此方程無解。例 7 設(shè) 、 是 方 程x2 2kx k 6 0 的 兩 個 實 根 ， 則(1)2 ( 1)2的最小值是()思路分析 本例只有一個答案正確，設(shè)了 3個陷阱，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：2k, k 6,49有的學(xué)生一看到 竺，常

25、受選擇答案(A)的誘惑，盲從附和。這正是 4思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。原方程有兩個實根、，當(dāng)k 3時，(1)2(1)2的最小值是8 ;當(dāng)k 2時，(1)2 (1)2的最小值是18;這時就可以作出正確選擇，只有(B)正確。第三講數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性二、概述在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問題時嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進行運算和推理時精確無誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象 性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點之一。 但是，由于 認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn) 象

26、，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：概念模糊概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定 基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯誤。判斷錯誤 判斷是對思維對象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很1容易導(dǎo)致判斷錯誤。例如，函數(shù)y (1) x是一個減函數(shù)”就是一個錯誤判3斷。推理錯誤推理是運用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個論證都是由推理來實現(xiàn)的， 推理出錯，說明思維不嚴(yán)密。 1例如，解不等式x -. x例1、 不等式 log(x

27、2 2)(3x2 2x 4) log(x2 2)(x2 3x 2).錯誤解法 x2 2 1,錯誤分析 當(dāng)x 2時，真數(shù)x2 3x 2 0且x 2在所求的范圍內(nèi)(因32 3),說明解法錯誤。原因是沒有弄清對數(shù)定義。此題忽視了 “對數(shù)的真2數(shù)大于零”這一條件造成解法錯誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。正確解法 x2 2 1例2、 求過點(0,1)的直線，使它與拋物線y2 2x僅有一個交點。錯誤解法 設(shè)所求的過點(0,1)的直線為y kx 1 ,則它與拋物線的交點為y kx 122,消去 y得：(kx 1) 2x 0.y2 2x整理得 k2x2 (2k 2)x 1 0.直線與拋物線僅有一個交點，一1 10,

28、解得k-.所求直線為y-x1.22錯誤分析此處解法共有三處錯誤：第一，設(shè)所求直線為y kx 1時，沒有考慮k 0與斜率不存在的情形，實 際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關(guān)系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判 別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即 k 0,而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。正確解法 當(dāng)所求直線斜率不存在時，即直線垂直X軸，因為過點(0,1),所

29、以x 0,即y軸，它正好與拋物線y2 2x相切。當(dāng)所求直線斜率為零時，直線為y 1,平行x軸，它正好與拋物線y2 2x只 有一個交點。設(shè)所求的過點(0,1)的直線為y kx 1 (k 0)則y kx 12 212, k x (2k 2)x 1 0.令 0,解得 k -.所求y 2x2直線為y 1 x 1.2綜上，滿足條件的直線為：(2)判斷的訓(xùn)練造成判斷錯誤的原因很多，我們在學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個方面。注意定理、公式成立的條件數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯誤。例3、 實數(shù)m ,使方程x2 (m 4i)x 1 2mi 0至少有一個實根。錯誤解法方

30、程至少有一個實根，m 245m245.錯誤分析 實數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、 定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。 一元二次 方程根的判別式是對實系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。正確解法 設(shè)a是方程的實數(shù)根，則由于a、m都是實數(shù)，解得 m 2.例4已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x 4 ,右焦點F(10,0),離心率e 2,求雙曲線 方程。2錯解 1 x 4,c 10, a2 40, b2 c2 a2 60. c故所求的雙曲線方程為錯解2 由焦點F(10,0)知c 10,故所求的雙曲線方程為錯解分析 這兩

31、個解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺 漏題設(shè)條件，都會產(chǎn)生錯誤解法。正解1設(shè)P(x, y)為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準(zhǔn)線為x 4 ,右焦點F(10,0),離心率e 2 ,由雙曲線的定義知整理得(x 2)216481.正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為（m,0）2a / m 4 cc m 10c 2. a解得a 4c 8m 2.所以 b2 c2 a264 16 48,22故所求雙曲線方程為與L 1.1648注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運用我們知道：如果A成立，那么B成立，即A B,則稱A是B的充分

32、條件。如果B成立，那么A成立，即B A,則稱A是B的必要條件。如果A B ,則稱A是B的充分必要條件。充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。 像討論方程組的解, 條件的點的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同， 忽，就會出錯。例5 解不等式x 3.求滿足稍用疏錯誤解法要使原不等式成立，只需0解彳導(dǎo)3x5.0-2(x 3)錯誤分析不等式JAB成立的充分必要條件是:0-A 00或2 B 0B2x 1 0原不等式的解法只考慮了一種情況x 3 0-2x 1 (x 3),而忽視了另一種情況1 0， 一一 一、一，、，一3 0,所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，具

33、錯誤解法的實質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。正確解法要使原不等式成立，則1 (x或3)23.原不等式的解集為x |1 x 5例6 (軌跡問題)求與y軸相切于右側(cè)，并與OC : x2 y2 6x 0也相切的圓的圓心的軌跡方程。-1錯誤解法 如圖3-2-1所示,已知。C的方程為(x 3)2 y2 9.設(shè)點P（x, y）（x 0）為所求軌跡上任意一點，并且。P與y軸相切于M點, 與。C相切于N點。根據(jù)已知條件得| CP | | PM | 3 ,即限 3）2y1 x 3.化簡得y2 12x （x 0）.錯誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿 足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備

34、性（即滿足條件的點都在所求的軌跡 上）o事實上，符合題目條件的點的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動圓與 已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以x軸正半軸上任一點為圓心，此點到原點的距離為 半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以y 0 （x 0且x 3）也是所求的方 程。即動圓圓心的軌跡方程是 y2 12x （x 0）和y 0 （x 0且x 3）。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細(xì)致地、周密地 分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。防止以偏概全的錯誤以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出 問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。例7 設(shè)等比數(shù)列an的全n項和為Sn.若S3 S6

35、 2s9,求數(shù)列的公比q.錯誤解法S3 S6 2s9 ,369、錯誤分析在錯解中，由a1。q） a1（1 q） 2 a1（1q）1 q 1 q1q整理得 q3（2q6 q3 1）=0.時，應(yīng)有a1 0和q 1.在等比數(shù)列中，a1 0是顯然的，但公比q完全可能為1,因此，在解題時應(yīng)先討論公比q 1的情 況，再在q 1的情況下，對式子進行整理變形。正確解法 若q 1,則有S3 3為 6a1 9a1.但a10,即得S3 S6 2s9,與題設(shè)矛盾，故q 1 .又依題意 S3 S62 s9,可得a q3） a1（1 q6） 2 a1（1 q9）1 q 1 q1 q整理得q3（2q6 q3 1）=0.即（

36、2q3 1）（q3 1） 0,因為q 1 ,所以q3 1 0,所以2q3 1 0.匕3 4所以 q .2說明 此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失 2分。避免直觀代替論證我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來進行推理，這就會使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。例8 （如圖3-2-2）,具有公共y軸的兩個直坐標(biāo)平面 和 所成的二面角y軸- 等于60 .已知 內(nèi)的曲線C的方 程是y2 2Px (p 0),求曲線C在 內(nèi)的射影的曲線方程。錯誤解法 依題意，可知曲線C是拋物線，在內(nèi)的焦點坐標(biāo)是F (20), p 0.

37、因為二面角y軸等于60 ,且x軸 y軸，x軸 y軸，所以 xox 60 .設(shè)焦點F在 內(nèi)的射影是F(x,y),那么，F(xiàn)位于x軸上，從而 y 0, F OF 60 , F FO 90 ,所以O(shè)F OF cos60 P 1 R所以點F(R,0)是所求射影的焦點。依題 2 244意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點在原點。所以曲線C在 內(nèi)的射影的曲線方程是y2 px.錯誤分析 上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為F是射影(曲線)的焦點，其次，未經(jīng)證明 默認(rèn)C在 內(nèi)的射影(曲線)是一 條拋物線。正確解法 在 內(nèi)，設(shè)點M (x , y )是曲線上任意一點(如圖3 2 3)過點M作MN ,垂足為N ,/

38、過N作NH y軸，垂足為H.連接MH ,則MH y軸。所以 MHN是二面角y軸 的平面角，依題意，MHN 60 .,1在 RtMNH 中，HN HM cos60 x.2又知HM /x軸(或M與O重合)，HN 乂軸(或H與O重合)，設(shè)N(x,y),x 2xy y.1 x x則2y y因為點M (x,y )在曲線y2 2 Px (p 0)上，所以y2 2 P(2x).即所求射影的方程為y2 4px( p 0).(3)推理的訓(xùn)練數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)， 選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的

39、一系列推理過程。在推理 過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性 等)，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。3-例9 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸 x在軸上，離心率e ,已知 點P(0,3)到這個橢圓上的最遠距離是 電,求這個橢圓的方程。22錯誤解法依題意可設(shè)橢圓方程為三匕1(a b 0)a b22.2.2 o2 c a b , b 3貝 Ue-2-21-2一,a aa 4b 1所以必有b -，此時當(dāng)y -時，d （從而d ）有取大值， 2所以 4b2 3 （J7）2,解得 b2 1,a2 4. 2于是所求橢圓的方程為 y2 1. 1 L所以二 1，即a 2ba 4設(shè)橢圓上的點（

40、x, y）到點P的距離為d ,則 d2 x2 （y -）22所以當(dāng)y1時，d2有最大值，從而d也有最大值。2所以4b2 3 （V7）2,由此解得：b2 1,a2 4.2于是所求橢圓的方程為 y2 1.4錯解分析盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)y 1時，d2有最大值，這步推理是錯2誤的，沒有考慮y到的取值范圍。事實上，由于點（x,y）在橢圓上，所以有b y b,因此在求d2的最大值時，應(yīng)分類討論。即：16b -，則當(dāng)y b時，d （從而d ）有取大值。2于是（ .7）2 （b 3）2，從而解得b好-1,與b1矛盾。2222例1022sin x8的最

41、小值 cos x錯解1sin82- cos x22sin x cos x8|sin xcosx |y (看 sin x.2.sin x)(I cos x2、cos x)1 2,22,81 6,2.在解法1y 16充要條件是一一 22sin x cos x且 | sin 2x | 1.1 一即|tgx| 3且|sinx| 1.這是自相矛盾的y min16.在解法2中，y 1 6V2的充要條件是2sin2x且sin x82- cos xcos2 x,即 sin2 x2cos x2V2,這是不可能的。正確解法1 y2 csc2 x8 sec2 x其中，當(dāng)ctg2x,24tg x,即 ctg2x2時，

42、y18.ymin 18.正確解法2取正常數(shù)k,易得“=”的充要條件是因此，當(dāng)tg 2x2時，y6 2k k 18,ymin18.第四講數(shù)學(xué)思維的開拓性、概述數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角 度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解。“數(shù)學(xué)是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我 們在學(xué)習(xí)每一分支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋 全部內(nèi)容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完 成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題， 既可以開拓解題思路，鞏固所 學(xué)知識；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達到開發(fā)潛能，

43、發(fā)展智力，提 高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發(fā)現(xiàn)解題 規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：(1) 一題的多種解法例如 已知復(fù)數(shù)z滿足| z | 1 ,求| z i |的最大值。我們可以考慮用下面幾種方法來解決：運用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；運用復(fù)數(shù)的三角形式；運用復(fù)數(shù)的幾何意義；運用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)(三角不等式)|Zi | | Z2 | | Zl Z2 | | Zl | | Z2 | ； 運用復(fù)數(shù)的模與共腕復(fù)數(shù)的關(guān)系|z|2 zZ;(數(shù)形結(jié)合)運用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓|z| 1 與|z i| r有公共點

44、時，r的最大值。(2) 一題的多種解釋1例如，函數(shù)式y(tǒng) -ax2可以有以下幾種解釋：2_ 一，12可以看成自由洛體公式s gt .2可以看成動能公式E -mv2.2可以看成熱量公式Q -RI2.2又如“1”這個數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡 捷。 “1” 可 以 變 換 為：.X . 222. 2log a a, - , sin x cos x, (log a b) (log b a), sec x tg x , 等等。 x1 .思維訓(xùn)練實例例 1 已知 a2 b2 1, x2 y2 1.求證：ax by 1.分析1用比較法。本題只要證1 (ax by) 0.為了同時利用兩

45、個已知條件，只需要觀察到兩式相加等于 2便不難解決。-1證法 11 (ax by) (1 1) (ax by)2所以 ax by 1.分析2 運用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條件因此，證明過程必須步步可逆,并注意書寫規(guī)范。證法2 要證ax by 1.只需證1 (ax by)0,因為所以只需證2 2(ax by)2.2,a b1,0,1.z 222(a b xy2)2(a x) (by)20.2( ax因為最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3運用綜合法（綜合運用不等式的有關(guān)性

46、質(zhì)以及重要公式、定理進行推理、運算,從而達到證明需求證的不等式成立的方法）ax22a x , 丁,byb2axby22, 22a x b y ( -1.22ax by1.分析4三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于 1的形式，符合三角函數(shù)同角關(guān)系中的平方關(guān)系條件， 具有進行三角代換的可能，從而可以 把原不等式中的代數(shù)運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運算關(guān)系，給證明帶來方便。證法 4 a2 b2 1, x2 y2 1,可設(shè)分析5數(shù)形結(jié)合法：由于條件x2 y2 1可看作是以原點為圓心，半 徑為1的單位圓，而ax by ；： by2 .聯(lián)系到點到直線距離公式,可得下.a2 b2面證法。證法5(如圖4-2-1

47、 )因為直線l : ax by 0經(jīng)過圓x2 y2 1的圓心O,所以圓上任意一點M(x, y)到直線ax by 0的距離都小于或等于圓半徑1 ,即d | ：義2 by2| ax by | 1 ax by 1.a b簡評五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應(yīng)該掌握的重要方 法。除了證法4、證法5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法 都是好方法?？稍诰唧w應(yīng)用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當(dāng)進行選擇。例2 如果(z x)2 4(x y)( y z) 0,求證：x、y、z成等差數(shù)列。分析1要證x、v、z ,必須有x y y z成立才行。此條件應(yīng)從已知 條件中得出。故此得到直接的想法是展開已

48、知條件去尋找轉(zhuǎn)換。證法 1(z x)2 4(x y)(y z) 0,故 x y y z,即x、v、z成等差數(shù)列。分析2由于已知條件具有x y, y z,z x輪換對稱特點，此特點的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運算帶來便利證法 2 設(shè) x y a, y z b,則 x z a b.于是，已知條件可化為：所以x、v、z成等差數(shù)列。分析3已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式b2 4ac的結(jié)構(gòu)特點引人注目，提供了構(gòu)造一個適合上述條件的二次方程的求解的試探的機會。證法3 當(dāng)x y 0時，由已知條件知z x 0, x y z,即x、y、z成 等差數(shù)列。當(dāng)x y 0時，關(guān)于t的一元二次方程：(x

49、y)t2 (z x)t (y z) 0, 其判別式 (z x)2 4(x y)(y z) 0,故方程有等根，顯然t = 1為方程 的一個根，從而方程的兩根均為 1,由韋達定理知ti t2 -一z 1 x y y z.即 x、y、z成等差數(shù)x y列。簡評：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法 2簡單明了， 是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價值。證法3引入輔助方程的方 法，技巧性強，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。例3已知x y 1 ,求x2 y2的最小值。分析1雖然所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)式具有兩個字母x、y,但已知條件恰有 x、y的關(guān)系式，可用代入法消掉一個字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問題

50、。x y 1, y 1 x.設(shè)zx2y2,貝U z x2 (1 x)2 2x2 2x 1.二次項系數(shù)為2 0,故z有最小值。-21rl當(dāng)x -時,z最小值二2 224 2 1-(-2)c c1x2y2的最小值為12分析2已知的一次式x y 1兩邊平方后與所求的二次式x2 y2有密切關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。,、222_x y 1, (x y) 1,即 x y 1 2xy.y2。當(dāng)且僅當(dāng)x y 1時取等號。y2的最小值分析3配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個實數(shù)平方和的形式，從而達到求最值的目的。解法3設(shè)z x2y2.1.11當(dāng)x

51、 y 2時，z最L”x y的取小值為2.故可得到用解析法求解的啟發(fā)。解法4 如圖4 2 2, x y 1表示直線l,x2圖 4-2-2分析4因為已知條件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見方程的特點, 表示原點到直線l上的點P(x,y)的距離的平方。顯然其中以原點到直線l的距離最短。此時，d巴邛?,即(、/D最小=4.、222所以x2 y2的最小值為1.2注 如果設(shè)x2 y2 z,則問題還可轉(zhuǎn)化為直線x y 1與圓x2 y2 z 有交點時，半徑Vz的最小值。簡評 幾種解法都有特點和代表性。解法 1是基本方法，解法2、3、4都 緊緊地抓住題設(shè)條件的特點，與相關(guān)知識聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu) 點，特

52、別是解法4,形象直觀，值得效仿。例 4 設(shè) z R, J R.求證：| z | 1.1 z分析1由已知條件二先為實數(shù)這一特點，可提供設(shè)實系數(shù)二次方程1 z的可能，在該二次方程有兩個虛根的條件下， 它們是一對共腕虛根，運用韋 達定理可以探求證題途徑。證法1 設(shè)=r a(a R),當(dāng)a 0時，可得z 0與z R條件不合。1 za 0.于是有 az2 z a 0.z R, 該方程有一對共腕虛根，設(shè)為乙工，于是 22乙 z2,| 乙 | z2 | .又由韋達定理知a2 ,2乙 z2- 1,乙乙 z2 z2 | 乙 | | z2 |1.|z| 1.a分析2由于實數(shù)的共腕復(fù)數(shù)仍然是這個實數(shù)，利用這一關(guān)系可以建立復(fù)數(shù)方程，注意到zz |z|2這一重要性質(zhì)，即可求出|z|的值。證法2 設(shè).1a(aR),當(dāng)a 0時，可得z 0與z R條件不合,a 0.則有 a1 z2z(1z2) z(1z2)Z(z Z)z z(z z).|z|2,z z|z|2z z|z|2,(z z)(1 |z|2) 0.R, |z|21.即 |z| 1.分析3因為實數(shù)的倒數(shù)仍為實數(shù)，若對原式取倒數(shù)，可變換化簡為易于進行運算