數(shù)學(xué)物理方法論文

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案數(shù)學(xué)物理方法第一篇總結(jié)1.1 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（一） 復(fù)數(shù)的概念一個(gè)復(fù)數(shù)可以表示為某個(gè)實(shí)數(shù)與某個(gè)純虛數(shù)iy 的和， z=x+iy ，這是復(fù)數(shù)的代數(shù)式，x 和 y 叫做該復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并分別記做Re z 和 Im z 。如果將 x 和 y 當(dāng)做平面上點(diǎn)的坐標(biāo)， 復(fù)數(shù) z 就跟平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)， 這個(gè)平面稱為復(fù)數(shù)平面，兩個(gè)坐標(biāo)軸分別稱為實(shí)軸和虛軸。yZ ( x,y)0x復(fù)數(shù)的三角式 zcosi sin ，其中x 2y2，arctgy / x 。共軛復(fù)數(shù)的概念如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。（二） 無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)球面無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)：復(fù)平面上 為無(wú)限大的

2、點(diǎn)復(fù)球面：與復(fù)平面相切于坐標(biāo)原點(diǎn)o，其上每一點(diǎn)都與復(fù)平面上的點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的球面（三） 復(fù)數(shù)的運(yùn)算已知兩個(gè)復(fù)數(shù)：z1cos 1i sin 2z2c o s2is i n 21.加減運(yùn)算z1z 2(cos1cos2 )i (sin1sin2 )2.乘法運(yùn)算z1 z212 (cos 1i sin1 )(cos2i sin2 )12 cos( 12 )i sin( 1 2 )3.除法運(yùn)算z1r1 cos( 12 ) i sin( 12 )r1 ei ( 12 )z2r2r24.復(fù)數(shù)的乘冪 znn (cos ni sin n)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案5.復(fù)數(shù)的方根nzn(cosi sin )nn（四）

3、典型例題計(jì)算下列數(shù)值（其中為常數(shù)）1.coscos 2cos3cos n2.sinsin 2sin 3sin n1.2 復(fù)變函數(shù)（一）復(fù)變函數(shù)的定義對(duì)于復(fù)平面的點(diǎn)集E，它的每個(gè)點(diǎn)z 都有一個(gè)或多個(gè)點(diǎn) 通過(guò)確定的關(guān)系與之對(duì)應(yīng)。則稱 為 z 的復(fù)變函數(shù)，記作： = f(z), z EE 叫做定義域。（二）區(qū)域的概念在解析函數(shù)論中，函數(shù)的定義域一般不是點(diǎn)集，而是滿足一定條件的點(diǎn)集，稱為區(qū)域，用B表示。鄰域：以某點(diǎn)z0 為圓心 ,以任意小的正實(shí)數(shù)為半徑的圓的內(nèi)部，稱為z0 的鄰域。內(nèi)點(diǎn)：若 z0 及其鄰域均屬于點(diǎn)集E，則稱為該點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)。外點(diǎn)：若 z0 及其鄰域均不屬于點(diǎn)集E，則稱為該點(diǎn)集的外點(diǎn)。邊界

4、點(diǎn)：若在z0 的每個(gè)鄰域內(nèi)，既有屬于E 得點(diǎn)，也有不屬于E 的點(diǎn)，則稱z0 為該點(diǎn)集的邊界點(diǎn)，它既不是E 的內(nèi)點(diǎn)，也不是E 的外點(diǎn)，邊界點(diǎn)的全體稱為邊界線。區(qū)域是指滿足下列兩個(gè)條件的點(diǎn)集：1. 全由內(nèi)點(diǎn)組成；2. 具有連通性，即點(diǎn)集的任意兩點(diǎn)都可以用一條折線連起來(lái)，且折線上的點(diǎn)全部屬于該點(diǎn)集。（三）典型例題求解方程 sinz21.3導(dǎo)數(shù)（一）導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)f (z) 是在區(qū)域 B 上定義的單值函數(shù)， 即對(duì)于 B 上的每一個(gè) Z 值，有且只有一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)。若在B 上的某點(diǎn) z，極限 limlimf（ zz） f（ z）存在，并z 0zzz且與 z0 的方式無(wú)關(guān)，則稱 f(x)在 z 點(diǎn)可導(dǎo)

5、。（二）柯西黎曼方程精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案uvxy柯西 -黎曼方程在直角坐標(biāo)系下的C-R 條件，是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件vuxyuv柯西 -黎曼方程在極坐標(biāo)系下的C-R 條件，是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件-v1u函數(shù) f( z)可導(dǎo)的充分必要條件：f(z)的偏導(dǎo)數(shù)u , u , v , v 存在且連續(xù)， 并滿足 C-R 條件。xyxy（三）典型例題uv試從極坐標(biāo)系中的柯西黎曼方程中消去 u 或者 v。-v1u（四）人物傳記1.柯西 :法國(guó)數(shù)學(xué)家，他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他首創(chuàng)性的工作是關(guān)于單復(fù)變函數(shù)論，闡明了有關(guān)概念，并且用這種積分來(lái)研

6、究多種多樣的問(wèn)題，如實(shí)定積分的計(jì)算，級(jí)數(shù)與無(wú)窮乘積的展開(kāi)，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。他還在綜合工科學(xué)校所授分析課程及有關(guān)教材給數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。2.黎曼：德國(guó)數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢獻(xiàn)，其中一些為廣義相對(duì)論的發(fā)展鋪平了道路。他的名字出現(xiàn)在黎曼 函數(shù)，黎曼積分， 黎曼引理， 黎曼流形， 黎曼映照定理， 黎曼 -希爾伯特問(wèn)題，黎曼思路回環(huán)矩陣和黎曼曲面中。 他初次登臺(tái)作了題為 “論作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè) ”的演講，開(kāi)創(chuàng)了黎曼幾何，并為愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1.4 解析函數(shù)（一）解析函數(shù)的定義若函數(shù) f(z) 在 z0 點(diǎn)及其鄰域上處處可導(dǎo)， 則 f(z)

7、在 z0 點(diǎn)解析。 又若 f(z)在區(qū)域 B 上每點(diǎn)都解析，則 f(z) 是區(qū)域 B 上的解析函數(shù)。（二）解析函數(shù)的性質(zhì)1.若函數(shù) f(z)=u+iv 在區(qū)域 B 上解析，則u(x,y)= C1 ,v(x,y)= C2 ,是 B 上的兩組正交曲線組。2.若函數(shù) f(z)=u+iv 在區(qū)域 B 上解析，則u，v 均為 B 上的調(diào)和函數(shù)。（三）典型例題精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案已知解析函數(shù)f z 的實(shí)部 u x, y 或者虛部 v x, y ，求該解析函數(shù)。1. u ex sin y ；2. ux 2y 2xy ， f 00 ；2.1復(fù)變函數(shù)的積分（一）復(fù)變函數(shù)積分的定義設(shè)在復(fù)數(shù)平面的某分段光滑曲線l

8、上定義了連續(xù)函數(shù)f(z)，在 l 上取一系列分點(diǎn)z0（即起點(diǎn)A ）, z1, z2, , zn（即終點(diǎn) B），把 l 分成 n 個(gè)小段，在每個(gè)小段zk-1,zk 上任取一點(diǎn) k，作nn和得f（ k（）zk z k1）f ( k ) zkk 1k 1當(dāng) n且每小段都無(wú)限縮短時(shí)，如果這個(gè)和的極限存在，且其值與各個(gè) k 的選取無(wú)關(guān)，則 這 個(gè) 和 為 函 數(shù) f(z)沿 曲 線 l 從A 到B的路積分，記作f ( z) dz = u(x, y)dx v( x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dylllZ n(B)Zk-1Zk（二）復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)k1.常數(shù)因子可以移到積分號(hào)外；l

9、2.和積分等于積分和；Z 0(A)3.反轉(zhuǎn)路徑，積分反號(hào)；4.全路徑上的積分等于各段積分之和一般來(lái)說(shuō)，復(fù)變函數(shù)積分值不僅依賴于起點(diǎn)和終點(diǎn)，同時(shí)還與積分路徑有關(guān)。2.2 柯西定理（一）單連通區(qū)域的情況單通區(qū)域： 在其中做任何簡(jiǎn)單的閉合圍線， 圍線內(nèi)的點(diǎn)都是屬于該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。 也可以認(rèn)為是一根閉合曲線圍成的區(qū)域。單連區(qū)域柯西定理：如果函數(shù)f(z) 在閉單通區(qū)域B 上解析， 則沿 B 上的任一分段光滑閉合曲線 l ，有f ( z)dz 0l證明如下f ( z)dzu(x, y)dx v( x, y)dyiv(x, y)dx u(x, y) dy ，lll由于 f( z)在 B 上解析，因而有uuvv

10、,在 B 上連續(xù)，xyxy精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案根據(jù)格林公式Pdx QdyS( QP )dxdy 和 C-R 條件uv ， v- u 得：lxyxy xyf ( z) dz0l（二）復(fù)通區(qū)域情形為了將奇點(diǎn)排除在區(qū)域之外，需要做一些適當(dāng)?shù)拈]合曲線把奇點(diǎn)分隔出去，即形成復(fù)通區(qū)域。一般來(lái)說(shuō)， 在區(qū)域內(nèi)， 只要有一個(gè)簡(jiǎn)單的閉合曲線內(nèi)有不屬于該區(qū)域的點(diǎn)， 這樣的區(qū)域便稱為復(fù)通區(qū)域。對(duì)于區(qū)域 （單或復(fù)通區(qū)域）的境界線， 通常這樣規(guī)定 （內(nèi)外） 正方向， 區(qū)域在觀察者的左邊。復(fù)通區(qū)域柯西定理：n如果 f(z)是閉復(fù)通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則 f ( z) dzf ( z)dz 0 l 為區(qū)域外境界線，ll i

11、i1li 為內(nèi)境界線，積分均沿正方向進(jìn)。證明如下：l按單通區(qū)域柯西定理，0ll1BABAB其中沿同一割線兩邊緣 的積分值抵消，于是A0l 1l1ln即： f ( z)dzf (z)dzllii 1沿內(nèi)外境界線逆時(shí)針?lè)较蚍e分相等。（三）柯西定理的總結(jié)：1.閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線積分為零；2.閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向積分和為零；3.閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線逆時(shí)針?lè)较蚍e分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針?lè)e分之和。4.對(duì)于某個(gè)閉單通或閉復(fù)通于區(qū)上為解析的函數(shù)，只有起、終點(diǎn)固定不變，當(dāng)積分路徑連續(xù)變形（不跳過(guò) “孔 ”），路積分值不變。2.3 不定積分（一）不定積分的概念根據(jù)柯

12、西定理，若函數(shù)f(z) 在單通區(qū)域B 上解析，則沿 B 上任一路徑L 的積分 f (z)d zl的值只跟起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。因此，當(dāng)起點(diǎn)和終點(diǎn)固定時(shí)，這個(gè)不定積分就定zf ()d義了一個(gè)單值函數(shù)，記作F ( z)z0n(n為整數(shù) ).例如 I(z ) dzl1. 若回路 L 不包圍點(diǎn)，則被積函數(shù)在l 所包圍的區(qū)域上是解析的，按照柯西定理，積分精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案值為零。2.接著討論L 包圍的情形，如果n0 ，被積函數(shù)在l 所包圍的區(qū)域是解析的，積分值也為零；如果 n0 ，被積函數(shù)在l 所包圍區(qū)域有一個(gè)奇點(diǎn)，我們可以將L 變形一點(diǎn)為圓心， R 為半徑的圓周C， R 是相當(dāng)任意的，在C

13、上 zReiI( z) n dzRnein d (Rei )2Rn ein Rei idlC0iR n 12dei ( n 1)0當(dāng) n-1時(shí)， IiR n 11ei( n 1)2討論： 1.0i (n1)0當(dāng)時(shí)，22.ni d2 i-1I0ll2.4 柯西公式單通域柯西公式：若f(z)在閉單通區(qū)域B 上解析， L 為 B 的境界線， 為 B 內(nèi)一點(diǎn)，則f ( )1f (z) dz 。2 il z復(fù)通域柯西公式：若f(z)在 L 上所圍區(qū)域上存在奇點(diǎn)，則考慮挖去奇點(diǎn)后的復(fù)通區(qū)域。在復(fù)通區(qū)域上 f(z)解析，則柯西公式仍成立，只要將L 理解為所有的境界線，且均取正向?？挛鲗?dǎo)數(shù)公式： 由于 z 為

14、區(qū)域內(nèi)點(diǎn)， 積分變數(shù)在境界線上， -z 0,積分號(hào)下的導(dǎo)數(shù)f( )/( -z)在區(qū)域上處處可導(dǎo)。因此，可以在積分號(hào)下對(duì)1!f ()2 dz 反z 求導(dǎo)，得： f ( z)(z)2 i l復(fù)在積分號(hào)下求導(dǎo)，得f (n ) ( z)n!f ( )dz 。2 i l (z)n 1（三）典型例題t , xe2tx t 2n已知函數(shù)。將 x 作為參數(shù)， t 為復(fù)變數(shù)，應(yīng)用柯西公式將表示成回t nt 0路積分。3.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)的無(wú)窮級(jí)數(shù)wk w1 w2wk他的每一項(xiàng)都可以分為實(shí)部和k 1虛部， wk uk ivk 那么他的前n+1 項(xiàng)的和可以表示為：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案nnnnnnwku

15、kivk , limwklimuki limvkk 1k 1k 1nnnk 1k 1k 1這樣，復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題就歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題。級(jí)數(shù)收斂的判斷依據(jù)np（二）柯西收斂判據(jù)： 對(duì)于任一給定的小正數(shù) ，存在一個(gè) N，使得 nN 時(shí) |wk |，k n 1p 為任意正整數(shù)。絕對(duì)收斂：如果復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模（正實(shí)數(shù)）組成的級(jí)數(shù)收斂，則 wk 絕對(duì)收斂。（三）絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)絕對(duì)收斂的復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)必是收斂的，各項(xiàng)先后次序可變，其和不改變。應(yīng)用柯西收斂判據(jù)，復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在B（或 l）上收斂的充要條件是：在B （ 或l ） 上 各 點(diǎn)z ， 對(duì) 于 任 一 給 定 小 正 數(shù) ， 存 在

16、N(z) ， 使 得nN(z) 時(shí) ，np|wk ( z) |，p 為任意正整數(shù)。如果N 與 z 無(wú)關(guān)，則復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在B （或 l ）上一致收kn 1斂。（四）典型例題3.2 冪級(jí)數(shù)（一）各項(xiàng)都是冪函數(shù)的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)ak ( zz0 ) ka0 a1 ( z z0 ) a2 (z z0 )2其中k 1z0,a0,a1,a2, 都是復(fù)常數(shù)。這樣的級(jí)數(shù)叫做以z0 為中心的冪級(jí)數(shù)。絕對(duì)收斂：由冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)模組成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)|a0|+|a1|z-z0|+|a2|z-z0|2+|ak|z-z0|k+（二）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性的判別：1.達(dá)朗貝爾判別法如果 lim | ak 1 | zk1lim | akz0|k1

17、 | zz0 |1則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。如果k| ak | zz0|kak| z z0 | R, 則 lim| ak 1 | z z0 |k 1lim| ak 1| akk| ak |R 1 也就是說(shuō)， 冪級(jí)數(shù)后面的項(xiàng)的模越來(lái)k| z z0 |k越大，必然是發(fā)散級(jí)數(shù)。即如果|z-z0|R，則發(fā)散。那么以 z0 為圓心做一個(gè)半徑為R 的圓 CR，圓內(nèi)絕對(duì)收斂，圓外發(fā)散。CR 稱為冪級(jí)數(shù)的收斂圓，半徑 R 為收斂半徑。3. 根值判別法如果 lim k| ak | zz0|k1，則正項(xiàng)模級(jí)數(shù)收斂，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；k如果 lim k| ak | zz0|k1，則正項(xiàng)模級(jí)數(shù)發(fā)散，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)發(fā)散

18、；k精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案收斂半徑為 R lim1。kk | ak |冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)：1和函數(shù)是解析函數(shù)；2可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，且收斂半徑不變；3可以逐項(xiàng)積分，且收斂半徑不變；（三）典型例題（四）人物傳記達(dá)朗貝爾：法國(guó)著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，一生研究了大量課題，完成了涉及多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的論文和專著， 其中最著名的有八卷巨著 數(shù)學(xué)手冊(cè)、力學(xué)專著動(dòng)力學(xué) 、23 卷的文集、百科全書的序言等等。他的很多研究成果記載于宇宙體系的幾個(gè)要點(diǎn)研究中。 達(dá)朗貝爾生前為人類的進(jìn)步與文明做出了巨大的貢獻(xiàn)，也得到了許多榮譽(yù)。3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)（一） 已知，任意階導(dǎo)數(shù)都存在的實(shí)變函數(shù)可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，既然解析

19、函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，也希望能把解析函數(shù)展開(kāi)為復(fù)變項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)。定理：設(shè) f(z)在以 z0 為圓心的圓 CR 內(nèi)解析，則對(duì)圓內(nèi)任意z 點(diǎn)， f(z)可以展開(kāi)為冪級(jí)f ( z)ak ( z z0 )k 其中 ak1f ( )k 1df (k ) ( z0 ) 。 CR 為圓 CR 內(nèi)包含 zk 02 i CR1 (z0 )k!1且與 CR 同心的圓。泰勒展開(kāi)公式（具有唯一性）：f ( z)ak ( z z0 ) ka0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2k 0f (k ) ( z0 )akk!(二 )幾個(gè)典型的泰勒展開(kāi)公式1.zf( k ) (z0 )(zz0 )kzk（在 z

20、00 的鄰域）ek!0 k!k0k2.sin zf ( k) ( z0 ) (zz0 )kzz3z5z7（在 z00 的鄰域）k0k!1!3!5!7!3.lnzn2 i(1)k1( z1) k1的鄰域）k 1k（在 z0精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4.1zm1m1m zm( m1)z2m(m 1)z3（在 z00 的鄰域）1!2!3!5.1ZZ k(z2 )k(1)k z2k （在 z00 的鄰域）1k0k 0k 0（三）典型例題（四）人物傳記泰勒： 18 世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒。泰勒的主要著作是 1715 年出版的正的和反的增量方法 ，書內(nèi)以下列形式陳述出他已于 17

21、12 年 7 月給其老師梅欽 （信中首先提出的著名定理泰勒定理：泰勒定理開(kāi)創(chuàng)了有限差分理論，使任何單變量函數(shù)都可展成冪級(jí)數(shù)；同時(shí)亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。泰勒于書中還討論了微積分對(duì)一系列物理問(wèn)題之應(yīng)用，其中以有關(guān)弦的橫向振動(dòng)之結(jié)果尤為重要。他透過(guò)求解方程 導(dǎo)出了基本頻率公式，開(kāi)創(chuàng)了研究弦振問(wèn)題之先河。3.4 解析延拓3.5 洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)(一）當(dāng)所研究的區(qū)域上存在函數(shù)的奇點(diǎn)時(shí)，就不能將函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)，而需要考慮除去奇點(diǎn)的環(huán)域上的展開(kāi)，這就是洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)。定理：設(shè) f(z)在環(huán)形區(qū)域R1zz0 R2 的內(nèi)部單值解析，則對(duì)環(huán)域上的任意一點(diǎn)， f(z)可展為冪級(jí)數(shù) f ( z)ak ( zz

22、0 ) k，其中 ak1f ()d ，積分路徑 C 位于環(huán)域內(nèi)按逆k2 i c (z0 )k 1時(shí)針?lè)较蚶@內(nèi)圓一周的任意閉合曲線。(二 )幾個(gè)典型的洛朗展開(kāi)公式101 zk1. e z(0 | z |)k ( k )!2.11 11( 1)kz 1k1 1k1( z 1)k（ 1 z2()( 1)2k 2）z1 2 z 1 4 k 022 z 1 k 0sin zz2z4z6(0| z |)3.z13!5!7!（三）洛朗展開(kāi)和泰勒展開(kāi)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：都是單值解析函數(shù)；展開(kāi)形式均以z0 為展開(kāi)中心。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案區(qū)別： 1. z0 是泰勒函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)，洛朗展開(kāi)中的z 0 不一定是

23、f(z)的奇點(diǎn)；2. 泰 勒 展 開(kāi) 的 區(qū) 域 是 z - z 0R ， 是 絕 對(duì) 且 一 致 收 斂 的 函 數(shù) 。 洛 朗 展 開(kāi) 的 區(qū) 域 是R1zz0R2 ，也是絕對(duì)且一致收斂的函數(shù)；3.泰勒展開(kāi)無(wú)負(fù)冪次項(xiàng)，洛朗展開(kāi)可以有負(fù)冪次項(xiàng)，也可以沒(méi)有負(fù)冪次項(xiàng)。（三）典型例題在挖去奇點(diǎn) z0 的環(huán)域上或指定的環(huán)域上將下列函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)（五）人物傳記洛朗：法國(guó)數(shù)學(xué)家提出洛朗級(jí)數(shù)，復(fù)變函數(shù) f(z)的洛朗級(jí)數(shù)，是冪級(jí)數(shù)的一種，它不僅包含了正數(shù)次數(shù)的項(xiàng)， 也包含了負(fù)數(shù)次數(shù)的項(xiàng)。 有時(shí)無(wú)法把函數(shù)表示為泰勒級(jí)數(shù)，但可以表示為洛朗級(jí)數(shù)。3.6 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在某點(diǎn) z0 不可

24、導(dǎo)，而在z0 的任意小鄰域內(nèi)除z0 之外處處可導(dǎo)，則z0 為 f(z) 的孤立奇點(diǎn)。若在 z0 無(wú)論多么小的鄰域內(nèi)總可以找到除z0 外的不可導(dǎo)點(diǎn)， z0 為 f(z)的非孤立奇點(diǎn)。在挖去孤立奇點(diǎn)z0 而形成的環(huán)域上的解析函數(shù)f(z)的洛朗級(jí)數(shù)分三種：（1）無(wú)負(fù)冪項(xiàng)，z0 為 f(z)的可去奇點(diǎn)；（2）有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，z0為 f(z)的極點(diǎn)；（3）有無(wú)限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，z0為 f(z)的本性奇點(diǎn)。典型例題設(shè)函數(shù) f z 和 g z 分別以點(diǎn) z0 為 m 階和 n 階極點(diǎn)，問(wèn)對(duì)下列函數(shù)而言，z0 是何種性質(zhì)的點(diǎn)：（1） fz；（ 2） fz g z ；（3） f zg zg z4.1 留數(shù)定理(一 )

25、留數(shù)的定義：?jiǎn)沃岛瘮?shù)f(z) 在孤立奇點(diǎn) z0 鄰域內(nèi)的洛朗展開(kāi) f ( z)al( k) (z z0 ) kl其中的 (zz 0 )1 項(xiàng)的系數(shù)稱為f (z) 在 z0 處的留數(shù)，記作 resf (z 0 ) 。這樣 f z0d z2 i Resfz0l精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(二 )留數(shù)定理：函數(shù)f( z)在回路 l 所圍區(qū)域B 是除有限個(gè)孤立奇點(diǎn) b1 , b2 , bn 外解析，在n閉區(qū)域上除點(diǎn) b1 , b2 ,bn 外連續(xù)，則 f ( z)dz 2 iResf (b j )lj1（三）留數(shù)的計(jì)算1.單極點(diǎn)的情況：Resf z0lim (z b) f (z)lim ( zP( z)( z

26、 b)P(b)b)P(b) limQ (b)z bz bQ( z)z b Q(z)2. m 階極點(diǎn)的情況：Resf z0(m1limd m 1( z z0 ) m f (z)1)! zz0dzm 1（四）典型例題1.計(jì)算下列函數(shù)的奇點(diǎn)，求出函數(shù)在各奇點(diǎn)的留數(shù)（1）z z 1 z 2 2 ；（ 2） 1 z3z5 。2.計(jì)算函數(shù)的回路積分d z1 2 (l 的方程是 x2y22x 2y 0)l z21 z應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算回路積分1fzd z，函數(shù)fz在 L 所包圍的區(qū)域上是解析的，3.2 il z是這區(qū)域的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)。4.2 留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理若要在實(shí)變函數(shù)定積分中應(yīng)用， 必須將實(shí)變函數(shù)變?yōu)?/p>

27、復(fù)變函數(shù)。 這就要利用解析延拓的概念。留數(shù)定理又是應(yīng)用到回路積分的， 要應(yīng)用到定積分， 就必須將定積分變?yōu)榛芈贩e分中的一部分。2類型一：IR(sin , cos )d被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式，積分區(qū)間是0,2 ,做變0換 z ei，于是原積分化為 IRz21, z21 dzz 12iz2ziz類型二：f ( x)dx 積分區(qū)間-，；復(fù)變函數(shù)f(z)在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)是解析的；當(dāng)z 在上半平面及實(shí)軸上時(shí)， zf(z) 一致的 0.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案R2這個(gè)積分通?？醋鳛闃O限Ilimf (x)dxR1R1R2Rf ( x)dx2 i Resf ( z j ), z j上半

28、平面 Rj類型三：Fx) cosmxdxG x) sinmxdx和奇函數(shù) G(z) 在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，(,(. 偶函數(shù) F(z)00在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；當(dāng)z 在實(shí)軸和上半平面趨于無(wú)窮大，F(xiàn)(z) 和 G(z)一致地趨于零。做變換得F ( x) cosmxdx1imzdzimz j, zj上半平面。F ( z)ei ResF (z j )e02 ljG( x) sin mxdx1imzdzimz j, zj上半平面。2iG( z)eResG( z j )e0lj典型例題計(jì)算下列實(shí)變函數(shù)的定積分1.x21；x412d x2., 01 ；1cos x203.cosmx4 d x , m0

29、。01x5.1傅里葉級(jí)數(shù)（一）周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi)若函數(shù)f(x) 以 2l 為周期，即fx)=f(x+2l ) ，則可取三角函數(shù)族，將f(x) 展開(kāi)為級(jí)數(shù)f ( x)a0(an cosnbn sinn2 n 1xx)ll1其中 anlllf ( x) cos nxdx ， bn1llllf ( x) sin nxdxl注意：對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù)f(x) 只在區(qū)間 , 上有定義 , 并且滿足收斂定理?xiàng)l件,也可展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).（二）傅里葉級(jí)數(shù)收斂的定理狄里希利定理：若函數(shù)f(z) 滿足條件(1) 處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案斷點(diǎn)； (2) 在每個(gè)周期內(nèi)只有有

30、限個(gè)極值點(diǎn)，則三角級(jí)數(shù)收斂，f (x),(在連續(xù)點(diǎn) x)且 級(jí)數(shù)和1 f ( x 0) f ( x 0).(在間斷點(diǎn) x)2（三）奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開(kāi)1. 奇函數(shù)的傅里葉展開(kāi)： f ( x)bn sin n x ，其中 bn2n 1lll0n xf ( x) sindx 。2. 偶函數(shù)的傅里葉展開(kāi)： f (x)a0an cos n x 其中 an22 n 1lll0f ( x) cos n xdx 。 l(四 )定義在有限區(qū)間上的函數(shù)傅里葉展開(kāi)對(duì)于只在有限區(qū)間，可以采取延拓的方法，使其成為某種周期函數(shù)g x ，而在0，l 上g x f x , 然后在對(duì) g x 作傅里葉展開(kāi)，其級(jí)數(shù)區(qū)間在

31、0， l上代表 f(x) 。兩種特殊的展開(kāi)： 1. 如果 f0fl0 ，這時(shí)應(yīng)延拓成奇的周期函數(shù)；2. 如果 f0fl0 ，這時(shí)應(yīng)延拓成偶的周期函數(shù)；（五）復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)k xi周 期 函 數(shù) f(x) 展 開(kāi) 為 復(fù) 數(shù) 形 式 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 為 ： fxck e l， 其 中k*ck1iklld .fe2ll（六）典型例題1.交流電壓 E0sin t 經(jīng)過(guò)全波整流，成為 E tE0 sint 。將它展為傅里葉級(jí)數(shù)；2.將鋸齒波展為傅里葉級(jí)數(shù)。在0, T 周期上，該鋸齒波可以表示為fxx。33.在區(qū)間 0,l定義了函數(shù) f xx ，試根據(jù)條件f 00, f l0，將 fx展為

32、傅里葉級(jí)數(shù)；4.將函數(shù)f xcos3 x 展為傅里葉級(jí)數(shù)。(七 )人物傳記傅里葉： 法國(guó)數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家，主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案套數(shù)學(xué)理論。 1807 年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，傅里葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。5.2 傅里葉積分與傅里葉變換（一）實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換周期函數(shù)變?yōu)楦道锶~級(jí)數(shù)，被看作周期函數(shù)從時(shí)域到頻域的變換。不過(guò)， 由于時(shí)域的函數(shù)具有周期性， 頻域的函數(shù)是離散的級(jí)數(shù)。有限區(qū)間的函數(shù)可以延拓為周期函數(shù)。因此，失去周期性的時(shí)域中的函數(shù)的定義域當(dāng)為x。從方便于研究而言，它又可以看作為周期趨于無(wú)窮