八(下)三角形的證明--教案學(xué)習(xí)資料

1、（下 ）三 角 形 的 證 明-教 案1.2 直角三角形（一）【預(yù)習(xí)探究】預(yù)習(xí)： 1. 直角三角形的性質(zhì)定理與判定:（ 1）直角三角形的兩銳角；（ 2）有兩個角互余的三角形是.2勾股定理及其逆定理：（ 1）直角三角形的兩直角邊的等于 ；（ 2）如果三角形兩邊的等于第三邊的平方，那么這個三角形是 探究：閱讀課本“想一想”，回答下列問題：（ 1）互逆命題：在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的和 , 那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的.（ 2）互逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為, 其中一個定理稱為另一個定理的.

2、一個命題是真命題，那么它的逆命題也一定是真命題嗎？是否任何定理都有逆定理？ 思考我們學(xué)過哪些互逆定理？ 例 1:如圖 1-2-8, CDXAD, CBXAB, AB=AD,求證：CD=CB .例 2:如圖 1-2-9,已知/ ABC= /ADC=90 求證：EB=ED.D圖 1-2-91 .判斷A:每個命題都有逆命題，每個定理也都有逆定理。（）B:命題正確時其逆命題也正確。（）C:直角三角形兩邊分別是3, 4,則第三邊為5。（）2 .下列長度的三條線段能構(gòu)成直角三角形的是（）8、15、174、5、6、7.5、4、8.5 24、25、7 5、8、10A: B: C: D:3 .矩形的兩鄰邊長的差

3、為2,對角線長為4,則矩形的面積為 4 . 4ABC 中，/C=90°, AB=7, BC=5,則邊 AC 的長為:5 .已知：如圖 1-2-4, 4ABC 中，CD，AB于D, AC=4, BC=3, DB = 95（1）求DC的長； （2）求AD的長； （3）求AB的長；（4）求證： ABC是直角三角形.圖 2-2-4例 3:如圖，在 RtAABC 中，AB=AC , / BAC=90 ° , / ABE= / EBC , CEXBD 的延長線于點 E.求證：BD=2CE.例 4:如圖所示，在 RtABC 中，/ ACB=90 ° , BC=2cm , CD

4、LAB,在AC上取一點 E,使EC=BC,過點E作 EFAC交CD的延長線于 F,若EF=5cm.求AF的長.當(dāng)堂檢測：1.如圖 1-2-12, RtABC 和 RtDEF , /C=/F=90(1)若/ A=/D, BC=EF,貝 U RtA ABCRtADEF 的依據(jù)是.(2)若/ A=/D, AC=DF ,貝 U RtAABC RtA DEF 的依據(jù)是(3)若/ A=/D, AB=DE,貝U RtAABCRtADEF 的依據(jù)是.(4)若 AC=DF , AB=DE,貝 U RtA ABC RtA DEF 的依據(jù)是 (5)若 AC=DF , CB=FE,貝U RtAABCRtA DEF 的

5、依據(jù)是 .圖 1-2-11圖 1-2-122.如圖 1-2-13,在 RtABC 和 RtDCB 中，AB=DC, /A=/D=90°AC與BD交于點O,則有 ,其判定依據(jù) 是,還有 =,其判定依據(jù)是 .3 .在 RtABC 和 RtAA? B' C'中，/ C=/C' =90 RtAABC RtAA? B' C'的是（）A. AB=A' B' =5, BC=B' C' =3B. AB=B' C' =5, /A=/B' =40 °C. AC=A' C' =5, B

6、C=B' C' =3D. AC=A' C' =5, /A=/A' =40°4 .下列條件不可以判定兩個直角三角形全等的是（）A.兩條直角邊對應(yīng)相等B.有兩條邊對應(yīng)相等C. 一條邊和一銳角對應(yīng)相等D. 一條邊和一個角對應(yīng)相等圖 1-2-13,如圖1-2-14,那么下列各條件中，不能使圖 1-2-145.已知：如圖 1-2-15, CD、C' D'分別是 RtAABC, RtAA? B' C'斜邊上的高，且CB=C' BCD = C' D'.求證： ABCA' B' Cs圖 1

7、-4-15【預(yù)習(xí)探究】預(yù)習(xí)：1.什么是線段的垂直平分線？探究：”線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等”你能證明這一結(jié)論嗎?已知：求證：【典例精析】例1:如圖，ADLBC于點D,/ABC的平分線交AD于點O,求：/ABC的度數(shù).例2：如圖，一輛汽車在直線形的公路上由(1)當(dāng)汽車行駛到哪個位置時，與 M、(2)當(dāng)汽車行駛到哪個位置時，與 M、A向B行駛，M、N分別是位于公路 AB兩側(cè)的兩個學(xué)校N兩學(xué)校的距離相等？N兩學(xué)校的距離和最短？"例3:如圖所示，在 RtAABC中，/ ACB=90AC交CE的延長線于點 F.求證：AB垂直平分DF.A日*N圖 1-3-2,AC=BC

8、 , D為BC邊上的中點，CELAD于點E, BF /當(dāng)堂檢測:3. ABC中，/A=5C0, AB=AC,AB勺垂直平分線交 AC于D則/DBC勺度數(shù)4.如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部，那么，這個三角形是A.直角三角形B.銳角三角形D.等邊三角形5.如圖 1-3-5 ,交AC于點D, BCD勺周長等于C.鈍角三角形6.有特大城市A及兩個小城市 B C,這三個城市共建一個污水處理廠，使得該廠到B、C兩城市的距離相等，且使 A市到廠的管線最短，試確定污水處理廠的位置 . c丸* B圖 1-3-6【預(yù)習(xí)探究】預(yù)習(xí)：1.等腰三角形的頂點一定在t.2 .在 ABC中，AB AC的垂直平分

9、線相交于點 P,則PA、PB、PC的大小關(guān)系是.3 .在zABC中,AB=AC, / B=580,AB的垂直平分線交 AC于N,則/NBC=探究：1 . (1)請你通過折疊的方法找出一個銳角三角形紙片每條邊的垂直平分線.觀察這三條垂直平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？(2)請你用利用尺規(guī)作出鈍角三角形三條邊的垂直平分線.再觀察這三條垂直平分線，你又發(fā)現(xiàn)了什么？(3)請證明三角形三邊的垂直平分線交于一點定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。結(jié)論：銳角三角形的三邊垂直平分線的交點在內(nèi)；鈍角三角形的三邊垂直平分線的交點在外；鈍角三角形的三邊垂直平分線的交點在 ;2 .已知三角

10、形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎？如果能，能作幾個？所作的三角形都全等嗎?【典例精析】例1：知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形.ahI1F已知：線段a、h圖 1-3-13求作： ABC ,使 AB=AC ,且 BC=a,高 AD=h.例2 :如圖，有 A、B、C三個工廠，現(xiàn)要建一個供水站，使它到這三個工廠的距離相等,置(要求尺規(guī)作圖，只保留彳圖痕跡，不寫作法) 求供水站的位圖 1-3-14例3:如圖所示， ABC是等邊三角形，D點是AC的中點，延長 BC至ij E,使CE=CD.5圖 1-3-15(2)求證：BM=EM.用尺規(guī)作圖的方法，過 D點作DM ±BE ,垂足是M

11、(不寫作法，保留作圖痕跡)當(dāng)堂檢測：1 .判斷題:三角形的任意兩邊的垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等.（）線段的垂直平分線上的點和這條線段的距離相等.（）三角形三條邊的垂直平分線必交于一點（）平面上只存在一點到已知三角形三個頂點距離相等（）2 .若點P為 ABC三邊中垂線交點，則 PA PB PC.3 .如圖 1-3-16 , CDW BE互相垂直平分， ADL DB / BDE=70° ,則 / CAD° .4 .如圖，在 ABC中，AD是/ BACF分線,AD的垂直平分線分別交 AB、BC延長線于F、E 求證：（1） / EADW EDA（2） DF/ AC（3）

12、/EACH B5 .如圖1-3-18,在等腰 ABC中，AB=AC ,將 ABC沿DE折疊，使上3-17C落在三角形三邊的垂直平分線的交點。處，若BE=BO,求/ ABC的度數(shù).【預(yù)習(xí)探究】1.4角平分線（一）圖 1-4-1圖 1-3-18預(yù)習(xí)：還記得角平分線上的點有什么性質(zhì)嗎？你是怎樣得到的？你能證明它嗎?探究：你能寫出這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？如果是，請你證明它.【典例精析】例1:在圖1-4-1,用尺規(guī)作角的平分線.已知：/ AOB求作：射線 OC,使/AOC=BOC.例2:如圖1-4-2 ,已知AD為AABC勺角平分線，/ B=90° ,DF，AC 垂足為F, DE=D

13、C.D圖 1-4-2求證BE=CF例3:已知：如圖1-4-3，設(shè) ABC的角平分線BM CN交于P,求證% P點在/ BAC勺平分線圖 1-4-3引中：三角形的三條角平分線交于一點，若設(shè)這一點到其中一邊的距離為 解 三邊長分別為a、b、c,則三角形的面積S=當(dāng)堂檢測:1 .如圖 1-4-5 ,在AABC AQ=PQPR=PS PR!AB于 R, PS±AC于 S,則三個結(jié)論：AS=ARQP/ AR,zBR陣AQSF (A.全部正確B .僅和正確圖 1-4-5C.僅正確 D .僅和正確2 .到三角形三邊距離相等的點是（A三條中線的交點；B.三條高白交點；C.三條角平分線的交點；D.不能

14、確定3 .在RT/XABC中，/ C=9（J ,BD平分/ ABC交AC于D, DE是是余邊 AB的垂直平分線，且DE=1CMWJ AC=.4 . ABC 中，Z C=90, /A 的平分線交 BC于 D,BC=21cm,BD:DC=4:3|® D 至 U AB 的距離5 .如圖 1-4-6 ,在 RtzXABC 中，AB=AC,BDF 分 /ABC DEI BC于 E, AB=8cm 求 DE+DC.B圖 1-4-66 .已知：如圖，在 ABC中，AD是它的角平分線，且 BD=CD DEL AB , DF, AC 垂足分 另I為E, F.求證：EB=FC1.4角平分線（二）圖1-4

15、-7【預(yù)習(xí)探究】 預(yù)習(xí)：三角形的角平分線的性質(zhì)和判定定理的內(nèi)容是什么？作用呢?探究：已知：如圖，設(shè)乙ABC的角平分線.求證：P點在/ BAC的角平分線上.定理：三角形的三條角平分線【典例精析】,并且這一點到三條邊的距離 圖 1-4-15圖 1-4-17例 1:如圖，在 ABC, AC = BC, / C = 90AD是ABC勺角平分線，DnAB,垂足為E.(1)已知CD = 4cm,求AC的長；(2)求證：AB = AC + CD.例2:如圖，AB = AC, DE為AABC的AB邊的垂直平分線,求證：BE + EC = AB.例 3:如圖，在 ABC 中，/ C=90°, AD 平

16、分/ BAC,在AC上，且DF=DB.求證：(1) CF=EB;(2) AB=AF+2EB.當(dāng)堂檢測：1 .如圖1-4-18, ABC中，AD是BC的垂直平分線，BE平分/ABC交AD于 E, EFXAB ,貝UAB = , BF =;2 .已知：如圖 1-4-19,在 RtzXABC 中，/C =交 AC于 D, DELAB于 E,若 BC = 5,則4DEC3 .如圖 1-4-20, ZXABC 中，/B = 42°, AD，BC 于 D ,圖 E114-BD 上一點，EF，圖 1-4-19圖 1-4-20AB于F,若ED = EF,則/AEC的度數(shù)為（ ）；A. 60°

17、; B. 62° C. 64° D. 66°4 .給出下列命題： 垂直于同一條直線的兩直線平行；角平分線上的點到角兩邊的距離相等；三角形的三條角平分線相交于一點； 全等三角形的面積相等；其中原命題和逆命題都是真命題的共有（A. 1個 B. 2個C. 3個D. 4個圖 1-4-215.如圖 1-4-21,已知： ABC 中，/ BAC = 90°, ADLBC于 D, AE平分/ DAC, EFXBC交AC于F,連接BF.求證：BF是/ABC的平分線.三角形的證明回顧與思考【預(yù)習(xí)探究】 自查:1 .已知，等腰三角形的一條邊長等于 6,另一條邊長等于3,則此

18、等腰三角形的周長是()A. 9B. 12 C. 15 D . 12或 152 .命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，其逆命題是.它是一個命題。3 .等邊三角形 ABC中，D為AC的中點，E為BC延長線上一點，且 DB=DE,若4ABC的周長為12,則4DCE的周長為.4 .如圖1,在4ABC中，已知AC=27, AB的垂直平分線交 AB于點D,交AC于點E, BCE的周長等于50,則BC長為BC=8,梳理：1 .全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的 .三角形全等的判定方法有 .2 .等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角 ,簡寫為：”.等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，

19、簡寫為“” .等腰三角形的判定：定義: 。有 相等的三角形是等腰三角形，簡寫為 “等腰三角形兩腰上的高、中線，兩底角的平分線 。(你會證明嗎？)3 .等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的 相等，相等且都等于 o等邊三角形的判定：定義:的三角形是等邊三角形； 的三角形是等邊三角形；有一個角等于 o的等腰三角形是等邊三角形.4 .直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩銳角勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊的 等于斜邊的;（其逆定理 是：如果三角形中有兩邊的 等于第三邊的,那么這個三角形是 三角 形.）直角三角形中30o角所對的直角邊等于斜邊的 ;（其逆定理是：在直角三 角形中，如果一條直角邊等于斜邊的 ，那

20、么這條直角邊所對的銳角等于o.）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的 ;（其逆定理是：如果一個三角形一邊 上的中線等于這邊的 ,那么這個三角形是 三角形.）5 .線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的 上。三角形三邊的垂直平分線交于一點，且這個點到 的距離相等，交點為三角形的外心6 .角平分線上的點到角兩邊的距離.角平分線的逆定理：在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的 上.三角形三條角平分線交于一點，并且這個點到 的距離相等，交點為三角形的內(nèi) 心。7 .反證法：在證明時，先假設(shè)命題的 不成立，然后推出與定義、定理、公理或 已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立的證明方法叫8 .互逆命題：如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的 和,那么這兩個命題稱為 ;其中一個命題是另一個命題的9 .互逆定理：兩個互逆命題經(jīng)過證明都是真命題時，稱它們?yōu)椤镜淅觥坷?:在ABC, D,E分別是AC,AB上的點，BD與CE交于點O,給出下列四個條件：/ EBOW DCO/ BEOW CDOBE=CD® OB=OC1上述四個條件