【超級精練】中考數(shù)學：一元二次方程根與系數(shù)的關系

1、-1 -一元二次方程根與系數(shù)的關系二只鐘的故事一只小鐘被主人放在了兩只舊鐘當中，兩只舊鐘滴答、滴答的走著。一只舊鐘對小鐘說：“來吧，你也該工作了?？墒俏矣悬c擔心，你走完三千兩百萬次以 后，恐怕會吃不消的?！薄疤炷模∪砂偃f次?！毙＄姵泽@不已，“要我做這么大的事？辦不到，辦不到！” 另一支舊鐘說：“別聽他胡說八道，不用害怕，你只要每秒滴答擺一下就行了?！薄疤煜履挠羞@么簡單的事情？”小鐘將信將疑，“如果這樣，我就試試吧?！毙＄姾茌p松地每秒滴答擺一下，不知不覺中，一年過去了，它擺了三千兩百萬次。 成功就是這樣，把簡單的事做到極致，就能成功。論此方程解的情況.例 2.如果關于 X 的方程 X1 2+

2、 ( 2k-3 )X+k2-3=0 的兩個實數(shù)根的和等于這兩個根的倒數(shù)和. 求；(1)k 的值；(2)方程的兩個實數(shù)根的平方和.例 3.設 xi、X2是方程 2x2+4x-3=0 的兩個根，利用根與系數(shù)關系，求下列各式的值：1( Xi-X2)2；（2）（Xi丄）（X2丄）X2X|-2 -例 4 .已知關于 x 的一元二次方程 x2- ( 8+k ) x+8k=0(1)求證：無論 k 取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰三角形的一邊長為 5，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求這個 等腰三角形的周長。演練方陣1.已知一元二次方程：X2+2X+3=0,x2- 2x - 3=0.下列說法正確的是(

3、)A . 都有實數(shù)解B.無實數(shù)解，有實數(shù)解C.有實數(shù)解，無實數(shù)解D. 都無實數(shù)解2.若關于 x 的一元二次方程 x2- 2x+m=0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 m 的取值范圍是()A. mv1 B. mv1C. m1 D. m1則一元二次方程 x2+x+k 1=0 根的存在情況是4.已知關于 x 的方程 kx2+(1 k) x 仁 0,下列說法正確的是()A. 當 k=0 時，方程無解B. 當 k=1 時，方程有一個實數(shù)解C. 當 k= 1 時，方程有兩個相等的實數(shù)解D. 當 k 老時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解5.在下列方程中，有實數(shù)根的是( )A.X2+3X+仁 0B .I2-置1C.x

4、+2x+3=0D.X_1工 一12 26.正比例函數(shù) y= (a+1) x 的圖象經(jīng)過第二、四象限，若 a 同時滿足方程x + (1 2a) x+a =0, 則此方程的根的情況是( )7.若方程組Y =4iI有一個實數(shù)解，則 m 的值是()ky=2i-FmA .B 飛C . 2D. 22A .有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根B .有兩個相等的實數(shù)根D .不能確定A.沒有實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根D.無法確定-3 -& 一元二次方程 x +x 2=0 的解為 x1、x2，則 X1?x2=(A . 1 B. 1C. 2D . 29.右 x1, x2是一兀二次方程

5、 x 3x+2=0 的兩根，則 X1+x2的值是()A. - 2B .2C . 3D . 110 .若 m、n 疋元- 二次方程 x - 5x - 2=0 的兩個頭數(shù)根，則 m+n - mn的值是()A. - 7B .7C . 3D . - 311.點 P (a, b)是直線 y= - x+5 與雙曲線 y=的一個交點.則以 a、b 兩數(shù)為根的一元二次 方程是()22A . x - 5x+6=0B . x +5x+6=022C. x - 5x- 6=0D. x +5x - 6=012.一元二次方程 x2+2x - 5=0 的兩個根的倒數(shù)和等于()A .B . - C.D .-13 .若|_ |

6、,且一元二次方程 kx2+ax+b=0 有兩個實數(shù)根，則 k 的取值范圍是 _.214 .若關于 x 的一元二次方程 kx +2 ( k+1) x+k - 1=0 有兩個實數(shù)根，則 k 的取值范圍是15 .關于 x 的方程(k- 2) x2- 4x+仁 0 有實數(shù)根，則 k 滿足的條件是 _ .16 .已知 x= - 2 是方程 x2+mx - 6=0 的一個根，則方程的另一個根是 _ .217 .已知關于 x 的方程 x -( a+b) x+ab -仁 0, X1、x2是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結論：X1 孜 2；x1x2vab;H12+K22=4;當 m=-2 時，原方程為-4x3+

7、3X=0,此時方程的解是 Xl=0 , X2=43 2/ 0,即(2k-3 )-4 ( k -3 ) 0,(0.-7 -當 m=4 時，原方程為2X2+3X=0.3解得 X3=0 或 X4=-2即此時原方程有兩個解，3解分別 為 xi=0 , X2= ,X=0或 X4=342例 2.解：(1)設方程的兩根分別為 Xi, X2,Xi+X2=- ( 2k-3 ) ， Xi?X2=k2-3 ,方程 x2+ ( 2k-3 ) x+k4 5-3=0 的兩個實數(shù)根，解得 kw7;5XI+X2=1X2-8 -(Xi+X2)( Xi?X2-1 ) =0 , 2k-3=0 或 k2-3-1=0 ,解得 ki=

8、, k2=2 , k=-2 ,2k2=-2;2 2 2(2)Xi+X2=(Xi+X2)-2Xi?X22 2=(2k-3 )-2 ( k -3 )2=2k -i2k+i5當 k=,原式=;2 2當 k=-2 ,原式=47 .例 3.3解：根據(jù)根與系數(shù)的關系可得：Xi+x2=-2 , xi?X2=-2(i)/、222小22小./、2.,C、2.、/3、(Xi-X2)=Xi+X2-2XiX2=Xi+X2+2XIX2-4XiX2=(Xi+X2)-4XiX2=( - 2) -4X(-) 22-9 - X1=X2, k=8 ,5 .解：A、 =9 - 4=5 0,方程有實數(shù)根；B、算術平方根不能為負數(shù)，故

9、錯誤；C、 =4 - 12= - 8v0，方程無實數(shù)根；D、化簡分式方程后，求得 x=1，檢驗后，為增根，故原分式方程無解. 故選 A .6.解：由題意知，(a+1)v0, 解得 aV1, 4a 4.因為方程 x2+( 1 2a) x+a2=0 的厶=(1 2a)2 4a2=i 4a50, 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.故選 A .27.解：由題意可得方程(2x+m)=4x整理得 4x2+ (4m 4) x+m2=0 即厶=(4m 4)2 16m2=0,解得 m=. 故選 A一 2&解：根據(jù)題意得 x？x2=-2. 故選 D .29.解：由一元二次方程 x 3x+2=0 , x1+x2

10、=3, 故選 C.210. 解： m、n 是一元二次方程 x2 5x 2=0 的兩個實數(shù)根， m+n=5 , mn= 2, m+n mn=5 ( 2) =7.故選 B .11.解：T點 P (a, b)是直線 y= - x+5 與雙曲線 y=的一個交點. - a+5=b, b=整理得 a+b=5, ab=6.設所求一元二次方程 x2+mx+c=0 .-10 -又/ a、b 兩數(shù)為所求一元二次方程的兩根. a+b= m, ab=c m= 5, c=6 .因此所求方程為 x2 5x+6=0 .故選 A12. 解：設a, B是方程 x2+2x 5=0 的兩個實數(shù)根.則有a+3= 2,a= 5 .1.

11、+ -*a f故選 A13解：T一 卜 -|， b - 1=0，汀=-=0,解得，b=1 , a=4;又T一兀二次方程 kx2+ax+b=0 有兩個實數(shù)根，2 =a - 4kb 為且 k 旳,即 16 - 4k%,且 k 旳，解得，k 詔且 k 用;故答案為：k 詔且 k 老.14.解：/ a=k, b=2 (k+1 ), c=k - 1,=2(k+1)2-4kx(k-1)=12k+4 為,解得：kA,原方程是一元二次方程， k 和.故本題答案為：k-，且 k 旳.15解： 當關于 x 的方程(k- 2) x2- 4x+仁 0 是一元一次方程時,k- 2=0,解得，k=2 ; 當(k - 2)

12、 x2- 4x+仁 0 是一元二次方程時， =16 - 4X(k- 2)為，且 k- 2 電解得，k 詬且 k 老;綜合 知，k 滿足的條件是 k 詬.故答案是：k 詬.16解：設方程另一個根為X1，根據(jù)題意得-2?x1=-6,所以 X1=3.故答案為 3.17.解：方程 x2-( a+b) x+ab -仁 0 中， = (a+b)2- 4 (ab- 1) = (a- b)2+40,-11 - X1玫2故正確；2/x1x2=ab - 1 a +b ,0n2 2、2 , 2即 X1+x2 a +b .-12 -18.解：由題意知， m、n 是關于 x 的方程 x2- 2x -仁 0 的兩個根，則

13、 m+n=2 , mn= - 1. 所以，m2+ n2= ( m+n)2- 2mn=2 2 - 2X( 1) =6.故答案是：6.故答案為:20.解：/x2- x - 2013=0,2 2二 x =x+2013 , x=x - 2013,又TX1, x2是方程 x2- x- 2013=0 的兩實數(shù)根,X1+X2=1 ,-JtJ+201?巾-2013=X1?：.- +2013X2+X2- 2013 ,=X1? (X1+2013) +2013X2+X2- 2013,=(X1+2013) +2013x1+2013X2+X2- 2013,=x1+x2+2013 (X1+X2) +2013 - 2013

14、,=1+2013,=2014,故答案是：201421 .解：/ m 和 n 是方程 2x2- 5x - 3=0 的兩根,.m+n= - = - - =, m?n=-,5.InH-n2+ = = im2故答案為-.r 2,v2X j 1 K9412K1K2_ 3-6Z則原式=/X1, X2是方程 2x2- 3x- 3=0 的兩個實數(shù)根,/ X1+X2= , x1x2=-,故錯誤；綜上所述，正確的結論序號是:19.解:-13 -22.解：(1)根據(jù)題意 =64 - 4X(a- 6) 9 為且 a- 6 用, 解得 a且 a 書，g所以 a 的最大整數(shù)值為 7;(2) 當 a=7 時，原方程變形為

15、x6- 8x+9=0, =64 - 4 9=28,:，xl=4+了，x2=4 - V 一 ；/x2- 8x+9=0 ,2.x 8x= 9,所以原式=2x2-注-9H1=2x2 16x+ ,=2 ( x2 8x) + ,=2X(-9)+,_ 29=-2 23.( 1)根據(jù)題意得： =4 4( 2k 4)=20 8k 0,解得：kv；(2 )由 k 為正整數(shù)，得到 k=1 或 2,利用求根公式表示出方程的解為 x= 1 I ；,方程的解為整數(shù)，.5 2k 為完全平方數(shù)，則 k 的值為 2 2 224 1)證明：/ = ( m+2 ) 4 (2m 1) = ( m 2) +4 ,在實數(shù)范圍內(nèi)，m 無

16、論取何值，(m- 2)2+4 0,即厶 0,關于 x 的方程 x2( m+2) x+ ( 2m 1) =0 恒有兩個不相等的實數(shù)根；(2)解：根據(jù)題意，得121X (m+2)+(2m1)=0,解得，m=2,則方程的另一根為：m+2 -仁 2+1=3 ;1當該直角三角形的兩直角邊是1、3 時，由勾股定理得斜邊的長度為：.!;該直角三角形的周長為 1+3+1II=4+;625.解：一元二次方程 2x +tx+2=0 的二次項系數(shù) a=2, 一次項系數(shù) b=t，常數(shù)項 c=2, /.=t24X2X=t216=0,解得，t=,當 t=4 或 t= 4 時，原方程有兩個相等的實數(shù)根.226. 解：/ a

17、x +bx+仁 0 ( a 和)有兩個相等的實數(shù)根，2 =b 4ac=0,-14 -2當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3 時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2為則該直角三角形的周長為1+3+2 . 一：=4+2 . : 2即 b - 4a=0, b2=4a,ab2= /= 詔(a-2)-4a2- 4a+4+b2- 44計 /a 老,ab2b24a =4aa227.解：關于 x 的方程 x +x+ n=0 有兩個實數(shù)根-2, m, -2m=n -，解得，即 m, n 的值分別是 1、- 2.28.解：(1)不是，解方程 x +x - 12=0 得，X1=3 , X2=- 4. |x

18、l|+|x2|=3+4=7=2X3.5./ 3.5 不是整數(shù)， x2+x - 12=0 不是 偶系二次方程;(2)存在.理由如下： x2- 6x - 27=0 和 x2+6x - 27=0 是偶系二次方程，2假設 c=mb +n,當 b= - 6, c= - 27 時，-27=36m+n .x2=0 是偶系二次方程， n=0 時，m=-,2 c= - b . ,+3英-普二 0 是偶系二次方程，當 b=3 時，c= -X32.可設 c= - b2.對于任意一個整數(shù) b, c= - b2時，2 =b2- 4ac,2=4b .-b2bx=-， x1= - b, x2=b.|X1|+|X2|=2|b

19、|,/ b 是整數(shù)，對于任何一個整數(shù) b, c= - b2時，關于 x 的方程 x2+bx+c=0 是 偶系二次方程-15 -29.(1)證明：當 k=0 時，方程是一元一次方程，有實數(shù)根;當 k 旳時，方程是一元二次方程，2 2/ = (3k - 1)- 4kX2 (k - 1) = (k+1) 為，無論 k 為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根.(2)解：此方程有兩個實數(shù)根 X1, X2,2 (k- D,X1X2=,k/ |X1- X2|=2,2 ( X1- x2) =4 ,/、2/,加 9k2 - 5k+l(k_1),( X1+X2) -4X1X2=4，即4X=4解得： =翌,k即 k=1 或 k=-.230.(1)證明：/ = ( m+3)- 4 ( m+1)2=(m+1)+42無論 m 取何值，(m+1)+4 恒大于 0原方程總有兩個不相等的實數(shù)根(2)TX1,X2是原方程的兩根.