高一數(shù)學(xué)立體幾何基礎(chǔ)題題庫

1、高一數(shù)學(xué)立體幾何基礎(chǔ)題題庫二361. 有一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐，棱長都相等，將它們一個(gè)側(cè)面重疊后，還有幾個(gè)暴露面?解析：有5個(gè)暴露面.如圖所示，過V作VSAB，則四邊形SABV為平行四邊形，有SVA=VAB=60，從而SVA為等邊三角形，同理SVD也是等邊三角形，從而SAD也是等邊三角形，得到以VAD為底，以S與S重合.這表明VAB與VSA共面，VCD與VSD共面，故共有5個(gè)暴露面.362. 若四面體各棱長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是 .(只須寫出一個(gè)可能的值)解析： 該題的顯著特點(diǎn)是結(jié)論發(fā)散而不惟一.本題表面上是考查錐體求積公式這個(gè)知識點(diǎn)，實(shí)際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個(gè)

2、四面體的能力，首先得考慮每個(gè)面的三條棱是如何構(gòu)成的.排除1，1，2，可得1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個(gè)四面體，再求其體積.由平時(shí)所見的題目，至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2，另一邊為1，對棱相等的四面體.對于五條邊為2，另一邊為1的四面體，參看圖1所示，設(shè)AD=1，取AD的中點(diǎn)為M，平面BCM把三棱錐分成兩個(gè)三棱錐，由對稱性可知AD面BCM，且VABCM=VDBCM，所以VABCD=SBCMAD.CM=.設(shè)N是BC的中點(diǎn)，則MNBC，MN=，從而SBCM=2=，故VABCD=1=.對于對棱相等的四面體，可參見圖2.其體積的計(jì)算可先將其置于

3、一個(gè)長方體之中，再用長方體的體積減去四個(gè)小三棱錐的體積來進(jìn)行.亦可套公式V=，不妨令a=b=2，c=1，則V=.363. 湖結(jié)冰時(shí)，一個(gè)球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個(gè)直徑為24cm,深為8cm的空穴，求該球的半徑.解析：設(shè)球的半徑為R，依題意知截面圓的半徑r12,球心與截面的距離為dR-8，由截面性質(zhì)得：r2+d2R2,即122+(R-8)2R2.得R13 該球半徑為13cm.364. 在有陽光時(shí)，一根長為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為米，同時(shí)將一個(gè)半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結(jié)果用無理數(shù)表示).解析：由題意知，光線與地面成60角，

4、設(shè)球的陰影部分面積為S，垂直于光線的大圓面積為S，則Scos30S,并且S9，所以S6(米2)365. 設(shè)棱錐MABCD的底面是正方形，且MAMD，MAAB，如果AMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.解析： ABAD，ABMA，AB平面MAD，由此，面MAD面AC.記E是AD的中點(diǎn)，從而MEAD.ME平面AC， MEEF設(shè)球O是與平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨設(shè)O平面MEF，于是O是MEF的內(nèi)心.設(shè)球O的半徑為r，則r設(shè)ADEFa,SAMD1.ME.MF, r-1當(dāng)且僅當(dāng)a，即a時(shí)，等號成立.當(dāng)ADME時(shí)，滿足條件的球最大半徑為-1.366. 在正方體ABCDA1

5、B1C1D1中，期棱長為a.(1)求證BD截面AB1C；(2)求點(diǎn)B到截面AB1C的距離；(3)求BB1與截面AB1C所成的角的余弦值。同理BD1AB1.BD1面ACB1.(2)AB=BC=BB1G為AB1C的中心.AC=aAG=aBG=a(3)BB1G為所求cosBB1G=367. 已知為所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面解析：因M為PB的中點(diǎn)，連BDAC于O后，可將PD縮小平移到MO，可見MO為所求作的平行線證明 連交于，連，則為的中位線，平面，平面，平面 368. 如圖，在正方體1111中，M，N，分別是棱11，A1D1，1，的中點(diǎn)（）求證：1平面（）平面直線A1E與MF所成的角解析：

6、（）要證A1E平面ABMN，只要在平面中找到兩條相交直線與A1E都垂直，顯然MN與它垂直，這是因?yàn)镸N平面A1ADD1，另一方面，AN與A1E是否垂直，這是同一個(gè)平面中的問題，只要畫出平面幾何圖形，用平幾知識解決（）為（）的應(yīng)用證明（）AB平面A1ADD1，而1平面A1ADD1，AB1在平面A1ADD1中，A1EAN，ANABA，A1E平面ABMN解（）由（）知A1E平面ABMN，而MF平面ABMN，A1EMF，則A1E與MF所成的角為369. 如圖，在正方體1111中，M為棱C1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：A1O平面MBD解析：要證A1O平面MBD，只要在平面MBD內(nèi)找到兩條相交直線與A

7、1O都垂直，首先想到DB，先觀察 A1O垂直DB嗎？方法：發(fā)現(xiàn)A1O平分DB，想到什么？（A1DB是否為等腰三角形）A1DA1B，DOOB，A1ODB方法：A1ODB嗎？即DBA1O嗎？DB垂直包含A1O的平面嗎？（易見DB平面A1ACC1）再觀察A1O垂直何直線？DM？BM？因這兩條直線與A1O均異面，故難以直接觀察，平面MDB中還有何直線？易想到MO，因MO與A1O相交，它們在同一平面內(nèi)，這是一個(gè)平幾問題，可畫出平幾圖進(jìn)行觀察證明取CC1中點(diǎn)M，連結(jié)MO，DBA1A，DBAC，A1AAC=A，DB平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，A1ODB在矩形A1ACC1中，tanAA1O=，

8、tanMOC=，AA1O=MOC，則A1OAMOC，A1OOM，OMDBO，A1O平面MBD370. 點(diǎn)P在線段AB上，且APPB，若A，B到平面的距離分別為a，b，求點(diǎn)P到平面的距離解析：（）A，B在平面的同側(cè)時(shí)，P平面的距離為；（）A，B在平面的異側(cè)時(shí)，P平面的距離為點(diǎn)評一是畫圖時(shí)，只要畫出如右上圖的平面圖形即可，無需畫出空間圖形；二是對第（）種情形，若以平面為“水平面”，在其上方的點(diǎn)高度為正，在其下方的點(diǎn)高度為負(fù)，則第（）種情形的結(jié)論，就是將（）結(jié)論中的b改為(b)，而無需再畫另一圖形加以求解371. 若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面（）（）有且只有一個(gè)（）可能存在也可能不存在

9、（）有無數(shù)多個(gè)（）一定不存在（）解析：若存在，則ab，而由條件知，a不一定與b垂直372. 在正方體1111中，若E是A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于（）（）AC（）BD（）A1D（）A1D1解析：（）BDAC，BDCC1，BD平面A1ACC1，BDCE373. 定點(diǎn)P不在ABC所在平面內(nèi)，過P作平面，使ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離相等，這樣的平面共有（）（）個(gè)（）個(gè)（）個(gè)（）個(gè)解析：D過P作一個(gè)與AB，AC都平行的平面，則它符合要求；設(shè)邊AB，BC，CA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，則平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求374. P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，P

10、到B，C，D三點(diǎn)的距離分別是，則P到A點(diǎn)的距離是（）（）（）（）（）解析：（A）設(shè)ABa，BCb，PAh，則a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,h=1375. 線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B到平面的距離分別為6cm, 9cm, P在線段AB上，AP：PB：，則P到平面的距離為解析：cm或cm分A，B在平面的同側(cè)與異側(cè)兩種情況同側(cè)時(shí)，P到平面的距離為（cm），異側(cè)時(shí)，P到平面的距離為（cm）376. ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C到平面的距離分別為2cm, 3cm, 4cm , 且它們在的同一側(cè)，則ABC的重心到平面的距離為 解析：3cm 3cm 377. RtABC中，D是斜邊

11、AB的中點(diǎn)，AC，BC，EC平面ABC，且EC，則ED解析：AB，CD，則ED378. 如圖，在正方體1111中，求：（）A1B與平面A1B1CD所成的角；（）B1B在平面A1C1B所成角的正切值解析：求線面成角，一定要找準(zhǔn)斜線在平面內(nèi)的射影（）先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，即從B向平面A1B1CD作垂線，一定要證明它是平面A1B1CD的垂線這里可證BC1平面A1B1CD，O為垂足，A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影（）若將平面D1D1BB豎直放置在正前方，則A1C1橫放在正前方，估計(jì)B1B在平面A1C1B內(nèi)的射影應(yīng)落在O1B上，這是因?yàn)锳1C1平面D1DBB1，故

12、作B1HO1B交于H時(shí)，BH1A1C1，即H為B1在平面A1C1B內(nèi)的射影另在求此角大小時(shí)，只要求B1BO1即可解析：（）如圖，連結(jié)BC1，交B1C于O，連A1OA1B1平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，A1B1BC1又B1CBC1，A1B1B1CB1，BC1平面A1B1CD，O為垂足，A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影，則BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角sinBA1O，BA1O（）連結(jié)A1C1交B1D1于O1，連BO1，作B1HBO1于HA1C1平面D1DBB1，A1C1B1H又B1HBO1，A1C1BO1O1，B1H平面A1C1B，B1BO1為B1B與平面A1C1B

13、所成的角，tanB1BO =，即B1B與平面A1C1B所成的角的正切值為379. RtABC中，C，BC，若平面ABC外一點(diǎn)P與平面A，B，C三點(diǎn)等距離，且P到平面ABC的距離為，M為AC的中點(diǎn)（）求證：PMAC；（）求P到直線AC的距離；（）求PM與平面ABC所成角的正切值解析：點(diǎn)P到ABC的三個(gè)頂點(diǎn)等距離，則P在平面ABC內(nèi)的射影為ABC的外心，而ABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點(diǎn)證明（）PAPC，M是AC中點(diǎn)，PMAC 解（）BC，MH，又PH，PM，即P到直線AC的距離為；（）PM=PB=PC，P在平面ABC內(nèi)的射線為ABC的外心， C=90 P在平面ABC內(nèi)的射線為AB的中點(diǎn)H。

14、 PH平面ABC，HM為PM在平面ABC上的射影，則PMH為PM與平面ABC所成的角，tanPMH380. 如圖，在正四面體ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面體，M為AD的中點(diǎn)，求CM與平面BCD所成角的余弦值解析：要作出CM在平面BCD內(nèi)的射影，關(guān)鍵是作出M在平面BCD內(nèi)的射影，而M為AD的中點(diǎn)，故只需觀察A在平面BCD內(nèi)的射影，至此問題解法已明朗解作AO平面BCD于O，連DO，作MN平面BCD于N，則NOD設(shè)ADa，則OD，AO，MN又CM，CNCM與平面BCD所成角的余弦值為381. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1A的中點(diǎn)，N在AB上，且ANNB，求證：C1M

15、MN解析：在空間中作出兩條直線垂直相對較在平面內(nèi)作兩條直線垂直難此題C1M與MN是相交直線，一種方法可通過勾股定理來驗(yàn)證它是否垂直，另一方法為：因MN是平面A1ABB1內(nèi)的一條直線，可考慮MC1在平面A1ABB1內(nèi)的射影證明設(shè)正方體的棱長為，則MN，C1M，C1N，MNMC1NC1，C1MMN證明連結(jié)B1M，C1B1平面A1ABB1，B1M為C1M在平面A1ABB1上的射影設(shè)棱長為a ，AN，AM，tanAMN，又tanA1B1M，則AMNA1B1M，B1MMN，由三垂線定理知，C1MMN382. 如圖，ABCD為直角梯形，DABABC，ABBCa，ADa，PA平面ABCD，PAa（） 求證：

16、PCCD；（） 求點(diǎn)B到直線PC的距離解析：（）要證PC與CD垂直，只要證明AC與CD垂直，可按實(shí)際情形畫出底面圖形進(jìn)行證明（）從B向直線PC作垂直，可利用PBC求高，但需求出三邊，并判斷其形狀（事實(shí)上，這里的PBC）；另一種重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH為平面PAC的斜線，故關(guān)鍵在于找出B在平面PAC內(nèi)的射影，因平面PAC處于“豎直狀態(tài)”，則只要從B作“水平”的垂線，可見也只要從B向AC作垂線便可得其射影證明（）取AD的中點(diǎn)E，連AC，CE，則ABCE是正方形，CED為等腰直角三角形ACCD，PA平面ABCD，AC為PC在平面ABCD上的射影，PCCD；解（）連BE交AC于O

17、，則BEAC，又BEPA，ACPAA，BE平面PAC過O作OHPC于H，連BH，則BHPCPAa，AC，PC，則OH，BO，BH383. 四面體ABCD的四個(gè)面中，是直角三角形的面至多有（ ）（）個(gè)（）個(gè)（）個(gè)（）個(gè)解析：（D）設(shè)底面為直角三角形，從底面的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作平面的垂線，則這樣的四面體的每個(gè)面都是直角三角形384. 直角三角形ABC的斜邊AB在平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)C在平面外，C在平面內(nèi)的射影為C1，且C1AB，則C1AB為（ ）（）銳角三角形（）直角三角形（）鈍角三角形（）以上都不對解析：（C）C1A2+C1B2CA2+CB2 AB, AC1B為鈍角，則C1AB為鈍角三角形385. AB

18、C在平面內(nèi)，C90，點(diǎn)，PA=PB=PC=7, AB=10, 則點(diǎn)P到平面的距離等于 解析：PAPBPC,P在平面內(nèi)的射影為ABC的外心，C90，為AB的中點(diǎn)，AO，PA，PO386. P是邊長為a的六邊形ABCDEF所成平面外一點(diǎn)，PAAB，PAAF，PAa，則點(diǎn)P到邊CD的距離是 解析：2aPA平面ABCDEF，A到CD的距離為，P到邊CD的距離是2a387. 如圖，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)（） 求證：MNCD；（） 若PDA45，求證：MN平面PCD證明（）連ACBDO，連NO，MO，則NOPAPA平面ABCD，NO平面ABCDMOAB，MNAB，而CD

19、AB，MNCD；（）PDA45，PAAD，由PAMCBM得PMCM，N為PC中點(diǎn)，MNPC又MNCD，PCCDC，MN平面PCD388. 如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PCD是邊長等于2cm的等邊三角形，底面ABCD是面積為2cm2的菱形，ADC是銳角. 求證：PACD證明：設(shè)ADC=，則：由SABCD=2, CD=BC=AB=AD=2，易得=60ACD是等邊三角形，取CD中點(diǎn)E連AE、PE，則AECD，PECDAECD，PECD CD平面PAE CDPA389. 設(shè)P點(diǎn)在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP兩兩垂直；又是的重心；為上一點(diǎn)，；為上一點(diǎn)，；，如圖(1)求證：GF平面PB

20、C；(2)求證：EFBC。解析：(1)連結(jié)BG并延長交PA于M.G為ABP的重心注 要充分注意平面幾何中的知識(如本題中三角形重心性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等)在證題中的運(yùn)用。390. 已知=C，ab,a,b,Aa,AEb于E，AFc于F，求證：aEF解析：ba,b,a, b又b，=c bc, 又AFc AFb 又AEb, AEAF=A b平面AEF ab a平面AEFEF平面AEF aEF391. 如圖，ABC為銳角三角形，PA平面ABC，A點(diǎn)在平面PBC上的射影為H，求：H不可能是PBC的垂心解析：連結(jié)CH，則CH是AC在平面PBC內(nèi)的射影，若H為垂心，則CHPB，由三垂線定理得ACPB，又PA

21、平面ABC，PAAC，AC平面PAB，從而ACAB與ABC為銳角三角形矛盾，故H不可能是垂心392. 如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長等于點(diǎn)P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影（1）求PB與平面BCD所成角；（2）求BP與平面PCD所成的角解析：（1）PD平面BCD，BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影，PBD為PB與平面BCD所成角,BDBC,由三垂線定理得BCBD，BP=CD，設(shè)BC=a，則BD=a，BP=CD=a在RtBPD中，cosDBP= DBP=45, 即PB與平面BCD所成角為45 （2）過B作BECD于E，連結(jié)PE，PD平面BCD得PDBE，BE平面PCD，BPE為B

22、P與平面PCD所成的角,在RtBEP中，BE=a, BP=a,BPE=30 即BP與平面PCD所成角為30PABC393. 正四棱錐的一個(gè)對角面與一個(gè)側(cè)面的面積之比為，求側(cè)面與底面所成的角的大小。解析：如圖，正四棱錐PABCD的一個(gè)對角面PAC。設(shè)棱錐的底面邊長為a，高為h，斜高為h，底面中心為O，連PO，則PO底面ABCD，POAC，在PAC中，AC=，PO=h，PABCDOE 在PBC中， h:h=. 取BC中點(diǎn)E，連OE，PE，可證PEO即為側(cè)面與底面所成兩面角的平面角。 在RtPOE中，sinPEO=， PEO=，即側(cè)面與底面所成的角為.394. 如右圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，

23、A1C1BC1，ABAC，AB=3，AC=2，側(cè)棱與底面成60角。（1）求證：AC面ABC1；（2）求證：C1點(diǎn)在平面ABC上的射影H在直線AB上；（3）求此三棱柱體積的最小值。解析：（1）由棱柱性質(zhì)，可知A1C1/AC A1C1BC1， ACBC1，又ACAB，AC平面ABC1 （2）由（1）知AC平面ABC1，又AC平面ABC，平面ABC平面ABC1 在平面ABC1內(nèi)，過C1作C1HAB于H，則C1H平面ABC，故點(diǎn)C1在平面ABC上 的射影H在直線AB上。 （3）連結(jié)HC，由（2）知C1H平面ABC， C1CH就是側(cè)棱CC1與底面所成的角， C1CH=60，C1H=CHtan60= V棱

24、柱= CAAB，CH，所以棱柱體積最小值3。395. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=900，BAC=300，BC=1，AA1=，M為CC1中點(diǎn)，求證：AB1A1M。解析：因結(jié)論是線線垂直，可考慮用三垂線定理或逆定理 ACB=900 A1C1B1=900即B1C1C1A1又由CC1平面A1B1C1得：CC1B1C1 B1C1平面AA1C1C AC1為AB1在平面AA1C1C的射影由三垂線定理，下證AC1A1M即可在矩形AA1C1C中，AC=A1C1=，AA1=CC1= ， RtA1C1MRtAA1C1 1=2又2+3=900 1+3=900 AC1A1M AB1A1M評注：利用三垂線

25、定理的關(guān)鍵是找到基本面后找平面的垂線396. 正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a，在側(cè)棱BB1上截取BD=，在側(cè)棱CC1上截取CE=a，過A、D、E作棱柱的截面ADE （1）求ADE的面積；（2）求證：平面ADE平面ACC1A1。解析：分別在三個(gè)側(cè)面內(nèi)求出ADE的邊長AE=a，AD=a，DE= 截面ADE為等腰三角形 S= （2） 底面ABC側(cè)面AA1C1C ABC邊AC上的高BM側(cè)面AA1C1C下設(shè)法把BM平移到平面AED中去取AE中點(diǎn)N，連MN、DN MNEC，BDEC MNBD DNBM DN平面AA1C1C 平面ADE平面AA1C1C397. 斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面是

26、邊長為4cm的正三角形，側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成600的角，AA1=7 （1）求證：AA1BC；（2）求斜三棱柱ABCA1B1C1的全面積；（3）求斜三棱柱ABCA1B1C1的體積；（4）求AA1到側(cè)面BB1C1C的距離。解析：設(shè)A1在平面ABC上的射影為0 A1AB=A1AC O在BAC的平行線AM上 ABC為正三角形 AMBC又AM為A1A在平面ABC上的射影 A1ABC （2） B1BA1A B1BBC，即側(cè)面BB1C1C為矩形 又 S全= （3） cosA1AB=cosA1AOcosOAB cosA1AO= sinA1AO= A1O=A1AsinA1AO= （4）把線A1A到

27、側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A或A1到平面BB1C1C的距離為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影，首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1 BCAM，BCA1A BC平面AA1M1M 平面AA1M1M側(cè)面BCC1B1在平行四邊形AA1M1M中過A1作A1HM1M，H為垂足則A1H側(cè)面BB1C1C 線段A1H長度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離 398. 平面內(nèi)有半徑為R的O，過直徑AB的端點(diǎn)A作PA，PA=a，C是O上一點(diǎn)，CAB=600，求三棱錐POBC的側(cè)面積。解析：三棱錐POBC的側(cè)面由POB、POC、PBC三個(gè)三角形組成在求出邊長元素后，求三角形面

28、積時(shí)，應(yīng)注意分析三角形的形狀，簡化計(jì)算 PA平面ABC PAAO，AC為PC在平面ABC上的射影 BCAC BCPC POB中， PBC中，BC=ABsin600=2a AC=a PC= POC中，PO=PC=，OC=a S側(cè)=399. 四棱錐VABCD底面是邊長為4的菱形，BAD=1200，VA底面ABCD，VA=3，AC與BD交于O，（1）求點(diǎn)V到CD的距離；（2）求點(diǎn)V到BD的距離；（3）作OFVC，垂足為F，證明OF是BD與VC的公垂線段；（4）求異面直線BD與VC間的距離。解析：用三垂線定理作點(diǎn)到線的垂線在平面ABCD內(nèi)作AECD，E為垂足 VA平面ABCD AE為VE在平面ABCD

29、上的射影 VECD 線段VE長為點(diǎn)V到直線CD的距離 BAD=1200 ADC=600 ACD為正三角形 E為CD中點(diǎn)，AE= VE= （2） AOBD 由三垂線定理VOBD VO長度為V到直線BD距離 VO= （3）只需證OFBD BDHC，BDVA BD平面VAC BDOF OF為異面直線BD與VC的公垂線 （4）求出OF長度即可在RtVAC中OC=AC=2，VC= OF=OCsinACF=OC400. 斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三點(diǎn)的距離都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的側(cè)面積。解析：A1A=A1B=A1C 點(diǎn)A1在平面AB

30、C上的射影為ABC的外心，在BAC平分線AD上 AB=AC ADBC AD為A1A在平面ABC上的射影 BCAA1 BCBB1 BB1C1C為矩形，S=BB1BC=156取AB中點(diǎn)E，連A1E A1A=A1B A1EAB S側(cè)=396401. 如圖，在ABC中，ACB90，BCa,ACb,D是斜邊AB上的點(diǎn)，以CD為棱把它折成直二面角ACDB后，D在怎樣的位置時(shí)，AB為最小，最小值是多少?解析： 設(shè)ACD，則BCD90-，作AMCD于M，BNCD于N，于是AMbsin,CNasin.MNasin-bcos，因?yàn)锳CDB是直二面角，AMCD，BNCD，AM與BN成90的角，于是AB.當(dāng)45即CD

31、是ACB的平分線時(shí)，AB有最小值，最小值為.402.自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線，求證：它們所成的角與二面角的平面角互補(bǔ).已知：從二面角AB內(nèi)一點(diǎn)P，向面和分別引垂線PC和PD，它們的垂足是C和D.求證：CPD和二面角的平面角互補(bǔ).證：設(shè)過PC和PD的平面PCD與棱AB交于點(diǎn)E，PC，PDPCAB，PDABCEAB，DEAB又CE，DE，CED是二面角AB的平面角.在四邊形PCED內(nèi)：C90，D90CPD和二面角AB的平面CBD互補(bǔ).403.求證：在已知二面角，從二面角的棱出發(fā)的一個(gè)半平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，到二面角兩個(gè)面的距離的比是一個(gè)常數(shù).已知：二面角ED，平面過ED，A，AB，垂足是B.A

32、C，垂足是C.求證：ABACk(k為常數(shù))證明：過AB、AC的平面與棱DE交于點(diǎn)F，連結(jié)AF、BF、CF.AB，AC.ABDE，ACDE.DE平面ABC.BFDE，AFDE，CFDE.BFA，AFC分別為二面角DE，DE的平面角，它們?yōu)槎ㄖ?在RtABF中，ABAFsinAFB.在RtAFC中，ACAFsinAFC，得：定值.404. 如果直線l、m與平面、滿足l，l,m和m.那么必有( )A.且lm B.且mC.m且lmD.且解析：m,m. .又m,l. ml.應(yīng)選A.說明 本題考查線面垂直、面面垂直及綜合應(yīng)用推理判斷能力及空間想象能力.405. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABC，A

33、Ba,AD3a,且ADCarcsin，又PA平面ABCD，APa.求：(1)二面角PCDA的大小(用反三角函數(shù)表示)；(2)點(diǎn)A到平面PBC的距離.解析：(1)作CDAD于D，ABCD為矩形，CDABa，在RtCDD中.ADCarcsin,即DDCarcsin，sinCDDCDa DD2aAD3a,ADaBC又在RtABC中，ACa,PA平面ABCD，PAAC，PAAD，PAAB.在RtPAB中，可得PBa.在RtPAC中，可得PCa.在RtPAD中，PDa.PC2+CD2(a)2+(a)8a2(a)2cosPCD0，則PCD90作PECD于E，E在DC延長線上，連AE，由三垂線定理的逆定理得

34、AECD，AEP為二面角PCDA的平面角.在RtAED中ADEarcsin，AD3a.AEADsinADE3aa.在RtPAE中，tanPEA.AEParctan，即二面角PCDA的大小為arctan.(2)ADPA，ADAB，AD平面PAB.BCAD，BC平面PAB.平面PBC平面PAB，作AHPB于H，AH平面PBC.AH為點(diǎn)A到平面PBC的距離.在RtPAB中，AHa.即A到平面PBC的距離為a.說明 (1)中輔助線AE的具體位置可以不確定在DC延長線上，而直接作AECD于E，得PECD，從而PEA為所求，同樣可得結(jié)果，避免過多的推算.(2)中距離的計(jì)算，在學(xué)習(xí)幾何體之后可用“等體積法”

35、求.406. 如圖，在二面角l中，A、B，C、Dl，ABCD為矩形，P，PA，且PAAD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn).(1)求二面角l的大小；(2)求證：MNAB；(3)求異面直線PA與MN所成角的大小.解析：(1)連PD，ABCD為矩形，ADDC，即ADl.又PAl，PDl.P、D，則PDA為二面角l的平面角.PAAD，PAAD，PAD是等腰直角三角形，PDA45，即二面角l的大小為45.(2)過M作MEAD，交CD于E，連結(jié)NE，則MECD，NECD，因此，CD平面MNE，CDMN.ABCD，MNAB(3)過N作NFCD，交PD于F，則F為PD的中點(diǎn).連結(jié)AF，則AF為PAD的角平線，F(xiàn)

36、AD45，而AFMN，異面直線PA與MN所成的45角.407. 如圖，在三棱柱ABCABC中，四邊形AABB是菱形，四邊形BCCB是矩形，CBAB.(1)求證：平面CAB平面AAB；(2)若CB2，AB4，ABB60，求AC與平面BCCB所成角的大小.(用反三角函數(shù)表示)解析：(1)在三棱柱ABCABC中，CBCB，CBAB.CBBB，ABBBB，CB平面AAB.CB平面CAB，平面CAB平面AAB(2)由四邊形AABB是菱形，ABB60，連AB，可知ABB是正三角形.取 B B中點(diǎn)H，連結(jié)AH，則AHBB.又由CB平面AAB，得平面AABB平面 CBBC，而AH垂直于兩平面交線BB，AH平面

37、CBBC.連結(jié)CH，則ACH為 AC與平面BCCB所成的角，AB4，AH2，于是直角三角形CBA中，AC5，在RtAHC中，sinACHACHarcsin,直線AC與平面BCCB所成的角是arcsin.408. 已知四棱錐PABCD，它的底面是邊長為a的菱形，且ABC120，PC平面ABCD，又PCa，E為PA的中點(diǎn).(1)求證：平面EBD平面ABCD；(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離；(3)求二面角ABED的大小.(1)證明: 在四棱錐PABCD中，底面是菱形，連結(jié)AC、BD，交于F，則F為AC的中點(diǎn).又E為AD的中點(diǎn)，EFPC又PC平面ABCD，EF平面ABCD.EF平面EBD.平面EBD平

38、面ABCD.(2)EFPC，EF平面PBCE到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離過F作FHBC交BC于H，PC平面ABCD，F(xiàn)H平面ABCDPCFH.又BCFH，F(xiàn)H平面PBC，則FH是F到平面PBC的距離，也是E到平面PBC的距離.FCH30，CFa.FHCFa.(3)取BE的中點(diǎn)G，連接FG、AG由(1)的結(jié)論，平面BDE平面ABCD，AFBD，AF平面BDC.BFEF，F(xiàn)GBE，由三垂線定理得，AGBE，F(xiàn)GA為二面角DBEA的平面角.FGa,AFa.tgFGA,FAGarctg即二面角ABED的大小為arctg409. 若ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交，并且直線AA

39、1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，求證：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi)；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別相交，那么交點(diǎn)在同一直線上(如圖).(1)證明：AA1BB1O,AA1、BB1確定平面BAO，A、A1、B、B1都在平面ABO內(nèi)，AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可證，BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi).(2)分析：欲證兩直線的交點(diǎn)在一條直線上，可根據(jù)公理2，證明這兩條直線分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，那么，它們的交點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上.證明：如圖，設(shè)ABA1B1P；ACA1C1R； 面ABC面A1B1C1PR.

40、 BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BCB1C1Q QPR,即 P、R、Q在同一直線上.410. 點(diǎn)P、Q、R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上，且PQBCX,QRCDZ,PRBDY.求證：X、Y、Z三點(diǎn)共線.解析： 證明點(diǎn)共線的基本方法是利用公理2，證明這些點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn).證明 P、Q、R三點(diǎn)不共線，P、Q、R三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面. XPQ，PQ，X，又XBC，BC面BCD，X平面BCD. 點(diǎn)X是平面和平面BCD的公共點(diǎn).同理可證，點(diǎn)Y、Z都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，即點(diǎn)X、Y、Z都在平面和平面BCD的交線上.411. 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點(diǎn)為A、B、C、D

41、、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面.解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個(gè)平面，證明其余的直線在這個(gè)平面里；二是分別確定幾個(gè)平面，然后證明這些平面重合.證明 ab,過a、b可以確定一個(gè)平面.Aa,a，A,同理Ba.又Am，Bm,m.同理可證n.bc,過b,c可以確定平面，同理可證m.平面、都經(jīng)過相交直線b、m,平面和平面重合，即直線a、b、c、m、n共面.412. 證明兩兩相交而不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).已知：如圖，直線l1，l2，l3，l4兩兩相交，且不共點(diǎn).求證：直線l1，l2，l3，l4在同一平面內(nèi)解析：證明幾條直線共面的依據(jù)是公理3及推論和公理1.先證

42、某兩線確定平面，然后證其它直線也在內(nèi).證明：圖中，l1l2P， l1,l2確定平面.又 l1l3A,l2l3C, C,A.故 l3.同理 l4. l1,l2,l3,l4共面.圖中，l1,l2,l3,l4的位置關(guān)系，同理可證l1,l2,l3,l4共面.所以結(jié)論成立.413. 證明推論3成立.（如圖）已知：ab，求證：經(jīng)過a,b的平面有且只有一個(gè).證明：(存在性)ab，由平行線的定義知：a、b共面，所以經(jīng)過a、b的平面有一個(gè).(唯一性)，在a上取兩點(diǎn)A、B，在b上取一點(diǎn)C.ab,A、B、C三點(diǎn)不共線，由公理3知過A、B、C三點(diǎn)的平面只有一個(gè)，從而過a,b兩直線的平面也是惟一的.414.一條直線過平

43、面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)，它和這個(gè)平面有幾個(gè)公共點(diǎn)?為什么?解析：只有一個(gè)，假設(shè)有兩個(gè)公共點(diǎn)，由公理1知該直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，這和直線過平面外一點(diǎn)矛盾.415.過已知直線外一點(diǎn)與這條直線上的三點(diǎn)分別畫三條直線，證明：這三條直線在同一平面內(nèi).解答：已知：Aa，如圖，B、C、Da，證明：AB、AC、AD共面.證明：Aa，A，a確定平面，B、C、Da，a.B、C、D又A.AB、AC、AD.即AB、AC、AD共面.416. 空間可以確定一個(gè)平面的條件是( )A.兩條直線 B.一點(diǎn)和一直線C.一個(gè)三角形D.三個(gè)點(diǎn)解析： 由推論2和推論3知兩條相交直線或者兩條平行直線才確定一個(gè)平面，兩條直線還有位置關(guān)

44、系異面.故排除A，由推論1知點(diǎn)必在線外才合適，排除B.由公理3知不共線三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，D中三個(gè)點(diǎn)不一定不共線，排除D.公理3結(jié)合公理1，知選C.417. 下列命題正確的是( )A.經(jīng)過兩條直線有且只有一個(gè)平面B.經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面C.如果平面與有三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面一定是重合平面D.兩個(gè)平面、有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線解析：根據(jù)公理2、公理3知選D.418. 已知四點(diǎn)，無三點(diǎn)共線，則可以確定( )A.1個(gè)平面B.4個(gè)平面C.1個(gè)或4個(gè)平面D.無法確定解析： 因?yàn)闊o三點(diǎn)共線，所以任意三個(gè)點(diǎn)都可以確定平面，若第四個(gè)點(diǎn)也在內(nèi)，四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，當(dāng)

45、第四個(gè)點(diǎn)在外，由公理3知可確定4個(gè)平面.故選C.419. 已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5和8，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個(gè)球的半徑是( )A.4B.3C.2D.5解析： 如圖，設(shè)球的半徑是r，則BD25，AC28，BD25，AC28.又AB1，設(shè)OAx.x2+8r2,(x+1)2+5r2.解之，得r3故選B.420. 在桌面上有三個(gè)球兩兩相切，且半徑都為1，在桌面與三球間放置一個(gè)小球，使它與三個(gè)球相切.求此小球半徑.解析： 如圖，球O為放置在桌面上與已知三球相切的半徑為r的小球，過O作O1O2O3平面的垂線，垂足為H，它一定是O1O2O3的中心，連接O1H，O1O，在RtO1O

46、H中，O1H，OH1-r,OO11+r,OO12O1H2+OH2，即(1+r)2()2+(1-r)2，解得r.421. 地球半徑為R，在北緯45圈上有A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度差為，求球面上A、B兩點(diǎn)間球面距離.解析：本題關(guān)鍵是求出AOB的大小，(如圖1)現(xiàn)在我們將這個(gè)球的截面問題轉(zhuǎn)化為較為熟悉的長方體問題.如圖2，以O(shè)1O，O1A，O1B為三條相互垂直的棱，可構(gòu)造一個(gè)長方體，問題轉(zhuǎn)化為長方體截面ABO內(nèi)求BOA的問題.解： 如圖2，O1OAO1OB，OAOBR，OO1O1AO1BR AB2O1A2+O1B2R， AOB為等邊， AOB，A、B間的球面距離為R.422. 一個(gè)圓在平面上的射影圖形是

47、( )A.圓B.橢圓C.線段D.圓或橢圓或線段解析：D423. 兩面都是凸形的鏡中，它的面都是球冠形，球半徑分別為10cm和17cm，兩球心間的距離為21cm，求此鏡面的表面積和體積.解析：軸截面如圖，設(shè)O2Cx，則CO121-x,ABO1O2 AO22-O2C2AO12-CO12，即102-x2172-(21-x)2，解得x6,CO115,又設(shè)左邊球缺的高為h1,右邊的球缺高為h2，則h117-152,h210-64,S表2(172+104)148(cm)2,V22(310-2)+42(317-4)288(cm3).424. 正三棱錐的底面邊長是2cm，側(cè)棱與底面成60角，求它的外接球的表面

48、積.解析：如圖，PD是三棱錐的高，則D是ABC的中心，延長PD交球于E，則PE就是外接球的直徑，ADAB，PAD60，PDADtan602,PA，而APAE，PA2PDPE，R，S球(cm)2.425. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍.證明： 設(shè)球的半徑為R，正四面體的高為h，側(cè)面積為S，則有VABCDVOABC+VOABD+VOBCD，如圖，即Sh4SR,h4R.426. 地球半徑為R，A、B兩地都在北緯45線上，且A、B的球面距離為，求A、B兩地經(jīng)度的差.解析：如圖，O為球心，O1為北緯45小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得AOB的弧度數(shù)，進(jìn)而求得線段AB的長，在AO1B中，AO1B的大小就是A、B兩地的經(jīng)度差. 解： 設(shè)O1是北緯45圓的中心，A、B都在此圓上，O1AO1BR.A、B的球面距