歷年美國數(shù)學(xué)建模(AMCM)問題

1、AMCM85問題-A 動(dòng)物群體的管理在一個(gè)資源有限，即有限的食物、空間、水等等的環(huán)境里發(fā)現(xiàn)天然存在的動(dòng)物群體。試選擇一種魚類或哺乳動(dòng)物(例如北美矮種馬、鹿、免、鮭魚、帶條紋的歐洲鱸魚)以及一個(gè)你能獲得適當(dāng)數(shù)據(jù)的環(huán)境，并形成一個(gè)對該動(dòng)物群體的捕獲量的最佳方針。AMCM85問題-B 戰(zhàn)購物資儲備的管理鈷對許多工業(yè)是必不可少的(1979年僅國防需要就占了全世界鈷生產(chǎn)量的17)，但是鈷不產(chǎn)生在美國。大部分鈷來自政治上不穩(wěn)定的構(gòu)F地區(qū)。見圖85B-1，85B-2，85B-3。1946年制訂的戰(zhàn)略和稀有作戰(zhàn)物資存貯法令要求鈷的儲存量應(yīng)保證美國能渡過三年戰(zhàn)爭時(shí)期。50年代政府按要求存貯了，并在70年代賣掉了

2、大部分貯量，而在70年代后期決定重新貯存，貯存的指標(biāo)是8540萬磅，到1982年獲得了貯量的一半。試建立一個(gè)戰(zhàn)略金屬鈷的儲存管理數(shù)學(xué)模型。你需要考慮諸如以下的問題；貯量應(yīng)多大?應(yīng)以多大的比率來獲得貯量?買這些金屬的合理價(jià)格應(yīng)該是多少?還要求你考慮諸如以下的問題，貯量達(dá)到多大時(shí)應(yīng)開始減少貯存量?應(yīng)以多大的比率來減少？賣出這些金屬的合理價(jià)格應(yīng)該是多少?應(yīng)該怎樣分配(附頁中有關(guān)于鈷的資源、價(jià)格、需求及再循環(huán)等方面的信息)關(guān)于鈷有用信息：1985年政府計(jì)劃需要2500萬磅鈷。進(jìn)行周而復(fù)始的生產(chǎn)經(jīng)營，從而每年可生產(chǎn)600萬磅鈷。1980年占總消耗量70銀的120萬磅鈷再循環(huán)了，得到了重新處理。AMCM8

3、6問題-A 水道測量數(shù)據(jù)表86A-1給出了在以碼為單位的直角坐標(biāo)為X，Y的水面一點(diǎn)處以英尺計(jì)的水Z水深數(shù)據(jù)是在低潮時(shí)測得的。船的吃水深度為5英尺。在矩形區(qū)域(75，200)×(-50，150)里的哪些地方船要避免進(jìn)入。本題是由加州海軍研究生院數(shù)學(xué)系的Richard Franke提供的，可閱他的論文Scattered Data Interpolation，Math，Comput.，38(1982)，18l-200。AMCM86問題-B 應(yīng)急設(shè)施的位置“里奧蘭翹鎮(zhèn)”迄今還沒有自己的應(yīng)急設(shè)施。1986年該鎮(zhèn)得到了建立兩個(gè)應(yīng)急設(shè)施的安全撥款。每個(gè)設(shè)施都把救護(hù)站、消防隊(duì)和警察所合在一起。圖86

4、B-1指出了1985年每個(gè)長方街區(qū)應(yīng)急事件的次數(shù)。在北邊的上形狀的區(qū)域是一個(gè)障礙，而在南邊的長方形區(qū)域是一個(gè)有淺水池塘的公園。應(yīng)急車輛駛過一條南北向的街道平均要花15秒，而通過一條東西向的街道平均要花20秒。你的任務(wù)就是確定這兩個(gè)應(yīng)急設(shè)施的位置，使得總的響應(yīng)時(shí)間最少。假定需求集中在每個(gè)街道的中心而應(yīng)急設(shè)施位于街角處；假定需求是沿包圍每個(gè)街區(qū)的街道上平均分布的，而應(yīng)急設(shè)施可位于街道任何地方。本題是由馬里蘭州沙里斯勃萊州立學(xué)院地理學(xué)與地區(qū)規(guī)劃系的J.C. McGrew提供的。AMCM87問題-A 鹽的存貯美國中西部一個(gè)州把冬天用來灑在馬路上的鹽存貯在一個(gè)球頂倉庫里大約有15年了。圖87A-1表示在

5、過去15年中鹽是怎么存貯的*通過駕駛鏟斗車在由鹽鋪成的坡道上進(jìn)出倉里并利用鏟斗車上的鏟子把鹽裝進(jìn)倉里或從倉里取出來。最近，一個(gè)小組確定這種做法是不安全的。如果鏟斗車太靠近鹽堆的頂端，鹽就要滑動(dòng)，而鏟斗車就耍翻到為加固倉庫而筑的擁壁上去。小組建議，如果鹽堆是用鏟斗車堆起來的，那么鹽堆的最高高度不要超過15英尺。對這種情況建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型并求得在倉庫中的鹽堆的最大高度。圖中倉高50英尺，擁壁高4英尺，倉的外直徑103英尺，門的凈空高l 9英尺9英寸，鏟斗車高10英尺9英寸。本題是由印第安納大學(xué)的M.Thompon 提供的，是從出現(xiàn)在1986年11月的Indianapolis Star的一個(gè)實(shí)際問題

6、改造而成的。 AMCM87問題-B 停車場在新英格蘭地區(qū)一個(gè)鎮(zhèn)上位于街角處的一個(gè)停車場的場主雇你來設(shè)計(jì)該停車場的安排，即設(shè)計(jì)“在地上的線應(yīng)怎樣劃法”。你一定認(rèn)識到要把盡可能多的車塞進(jìn)停車場會導(dǎo)致以直角停靠的方式一輛挨一輛地排成行。但是缺乏經(jīng)驗(yàn)的司機(jī)對于這種?？糠绞绞怯欣щy的，這可能引起昂貴的保險(xiǎn)費(fèi)要求。為了減少?？寇囕v時(shí)可能造成的損壞，場主就要啟用一些熟練的汽車司機(jī)作為“專職?？克緳C(jī)”。另一方面，如果汽車從通道進(jìn)來有一個(gè)足夠大的“轉(zhuǎn)彎半徑”的話，那么大多數(shù)司機(jī)看來都不會有很大的困難一次就?？康皆撏？康奈恢蒙先?。當(dāng)然通道愈寬能容納的車輛就愈少，這就會導(dǎo)致停車場場主收入的減少。本題是由加州海軍研究

7、生院的MD.Weir提供的。AMCM88問題-A 確定毒品走私船的位置相距5.43哩的監(jiān)聽站收聽到一個(gè)短暫的無線電訊號。收聽到訊早的時(shí)候測向儀分別定位在111°和119°處見圖88A-1)，測向儀的精度為±2°，該訊號來自一個(gè)毒品交換活躍的地方，據(jù)推測該處有一只機(jī)動(dòng)船正等著有人來取毒品。當(dāng)時(shí)正值黃昏、無風(fēng)、無潮流。一架小型直升飛機(jī)離開監(jiān)聽站的簡易機(jī)場并能精確地沿111°角方向飛行。直升飛機(jī)的飛行速度是走私船的三倍。在離船500英尺時(shí)船上能聽到直升飛機(jī)的聲音。直升飛機(jī)只有一種偵察儀器-探照訂。在200英尺遠(yuǎn)的地方探照燈只能照明半徑為25英尺的圓域

8、。說明飛行員能找到正等著的毒品船的(最小)區(qū)域。研究一種直升飛機(jī)的最佳搜索方法。在你的計(jì)算中要有95的精度。本題是由加州Claremont McKenna學(xué)院的J.A.Ferling提供的。這是一個(gè)分類(分組問題)的修正簡化形式。原問題和現(xiàn)在簡化的問題都還沒有一種已知的最化解法。AMCM88問題-B 兩輛鐵路平板車的裝貨問題有七種規(guī)格的儀裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬利高是一樣的，但厚度(t，以厘米計(jì))及重量(w，以公斤計(jì))是不同的。表88B-1給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量。圖88B-1中每輛平板車有10.2米長的地方可用來裝包裝箱（象面包片那樣)，載重為40噸。由于當(dāng)?shù)刎涍\(yùn)

9、的限制，對C5，C6，C7類的包裝箱的總數(shù)有-個(gè)特別的限制；這類箱子所占的空間(厚度)不能超過302.7厘米。試把包裝箱裝到干板車上去使得浪費(fèi)的空間最小。本題是由佐治亞理工學(xué)院的JBartholdi提供的。這是出現(xiàn)在福特汽車公司的一個(gè)尚未解決的問題的修正與簡化。JBartholdi還寫了一篇評論性文章The Outstanding Railroad Flatcar Papers，The UMAP Journal，v.9(1988)，no.4，399-103 AMCM89問題-A 蠓的分類兩種蠓Af和Apf己由生物學(xué)家W.L.Grongan和W.W.Wirth(1981年)根據(jù)它們的觸角長度和翼

10、長加以區(qū)分(見圖89A-1)，9只Af蠓用標(biāo)記，6只Apf鯨用“.”標(biāo)記。根據(jù)給出的觸角長度和翼長識別出一只標(biāo)本是Af還是Apf是重要的。給定一只Af或者Apf族的蝶，你如何正確地區(qū)分它屬于哪一族?將你的方法用于觸角長和翼長分別為(1.24，1.80)、(1.28，1.84)、(1.40，2.04)的三個(gè)標(biāo)本。設(shè)Af是寶貴的傳粉益蟲，Apf是某種疾病的載體，是否應(yīng)該修改你的分類方法，若需修改，怎么改?AMCM89問題-B 飛機(jī)排隊(duì)機(jī)場通常都是用“先來后到”的原則來分配飛機(jī)跑道，即當(dāng)飛機(jī)準(zhǔn)備好離開登機(jī)口時(shí)，駕駛員電告地面控制中心，加入等候跑道的隊(duì)伍。假設(shè)控制塔可以從快速聯(lián)機(jī)數(shù)據(jù)庫中得到每架飛機(jī)的

11、如下信息：預(yù)定離開登機(jī)口的時(shí)間；實(shí)際離開登機(jī)口的時(shí)間；機(jī)上乘客人數(shù)；預(yù)定在下一站轉(zhuǎn)機(jī)的人數(shù)和轉(zhuǎn)機(jī)的時(shí)間；到達(dá)下一站的預(yù)定時(shí)問。又設(shè)共有七種飛機(jī)，載客量從100人起以50人遞增，載客最多的一種是400人。試開發(fā)和分析一種能使乘客和航空公司雙方滿意的數(shù)學(xué)模型。本題是由紐約市立大學(xué)約克學(xué)院的Joseph Malkevitch 提供的。AMCM90-A 藥物在腦內(nèi)的分布研究腦功能失調(diào)的人員欲測試新的藥物的效果，例如治療帕金森癥往腦部注射多巴胺(Dopamine)的效果，為了精確估計(jì)藥物影響到的腦部區(qū)域，他們必須估計(jì)注射后藥物在腦內(nèi)空間分布區(qū)域的大小和形狀。研究數(shù)據(jù)包括50個(gè)圓柱體組織樣本的每個(gè)樣本藥物

12、含量的測定值(如圖90A-1)，每個(gè)圓柱體長0.76mm，直徑0.66mm，這些互相平行的圓柱體樣本的中心位于網(wǎng)絡(luò)距為1mm×0.76mm×1mm的格點(diǎn)上，所以圓柱體互相向在底面上接觸，側(cè)面互不接觸。注射是在最高計(jì)數(shù)的那個(gè)圓柱體的中心附近進(jìn)行的。自然在圓柱體之間以及由圓柱體樣本覆蓋的區(qū)域外也有藥物。試估計(jì)受到藥物影響的區(qū)域個(gè)藥物的分布。AMCM90問題-B 掃雪問題地圖如圖90B-1中的實(shí)線表示馬里蘭州威考密科縣中掃雪區(qū)域中的二車道馬路，虛線表示州屬高速公路。一場雪后，從位于地圖b標(biāo)記地點(diǎn)以西4英里的二處車庫派出兩輛掃雪車。求用兩輛掃雪車掃清馬路上的雪的有效的方法，掃雪車可

13、以利用高速公路進(jìn)出掃雪區(qū)。假設(shè)掃雪車既不會發(fā)生故障也不停頓，在交叉路口不得特別的掃雪方法。 AMCM91問題-B 通訊網(wǎng)絡(luò)的極小生成樹兩個(gè)通訊站間通訊線路的費(fèi)用與線路的長度成正比。通過引入若干個(gè)“虛設(shè)站”并構(gòu)造一個(gè)新的Steiner樹就可以降低由一組站生成Nf自統(tǒng)的極小生成樹所需的費(fèi)用。用這種方法可降低費(fèi)用多達(dá) 。而且為構(gòu)造一個(gè)有n個(gè)站的網(wǎng)絡(luò)的費(fèi)用最低的Steiner樹絕不需要多于(n-2)個(gè)虛設(shè)站。下面是兩個(gè)簡單的例子。對于局部網(wǎng)絡(luò)而言，有必要用直折線距離或“棋盤”距離來代替歐氏直線距離。假定你希望設(shè)計(jì)一個(gè)有9個(gè)站的局部網(wǎng)絡(luò)的最低造價(jià)生成樹。這9個(gè)站的直角坐標(biāo)是： 限定你只能用直線，而且所有

14、的虛設(shè)站必須位于格點(diǎn)上(即其坐標(biāo)是整數(shù))。每條直線段的造價(jià)是其長度值。 求該網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)極小費(fèi)用樹。 假定每個(gè)站的費(fèi)用為 ，其中d通訊站助度，若w=1.2，求極小費(fèi)用樹。 試推廣本問題。本題是由馬里蘭州沙里斯勃菜州立大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系B.A.Fusaro(他也是MCM的Director)提供的，他是受啟發(fā)于Cipra.Barry AEuclidean geometry alive and well in the computerageSIAM New5，v.24(1991)，no.1，16-17，19AMCM 91問題-A 估計(jì)水塔的水流量美國某州的各用水管理機(jī)構(gòu)要求各社區(qū)提供以每小時(shí)多少加侖計(jì)的用

15、水率以及每天所用的總水量，但許多社區(qū)并沒有測量流人或流出當(dāng)?shù)厮乃康脑O(shè)備，他們只能代之以每小時(shí)測量水塔中的水位，其精度在0.5以內(nèi)。更為重要的是，無論什么時(shí)候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L時(shí)，水泵就啟動(dòng)向水塔重新充水直至某一最高水位只，但也無法得到水泵的供水量的測量數(shù)據(jù)。因此，在水泵正在工作時(shí)，人們不容易建立水塔中的水位與水泵工作時(shí)的用水量之間的關(guān)系。水泵每天向水塔充水一次或兩次，每次約二小時(shí)。試估計(jì)在任何時(shí)刻，甚至包括水泵正在工作的時(shí)間內(nèi)，水從水塔流出的流量f(t)，并估計(jì)一天的總用水量。 AMCM92問題-A 空中交通控制雷達(dá)的功率問題要求你決定一個(gè)主要城市的機(jī)場的空中交通控制

16、雷達(dá)發(fā)射的功率。機(jī)場行政部門希望兼顧安全性與經(jīng)濟(jì)性使雷達(dá)的發(fā)射功率最小。機(jī)場行政部門限于使用現(xiàn)有的天線和接收線路。唯一可以考慮的選擇是改進(jìn)雷達(dá)的發(fā)射電路使雷達(dá)更強(qiáng)大。你要回答的問題是雷達(dá)必須發(fā)射多少功率（以瓦特為單位)反以保證能探測到100公里以內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)客機(jī)。技術(shù)說明：雷達(dá)天線是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面的一部分，該拋物面的焦距又1米。它投影至與頂點(diǎn)相同的平面是一個(gè)長軸為6米，短軸為2米的橢圓。從焦點(diǎn)發(fā)出的主能量柬是一個(gè)橢圓錐，其長軸角為1弧度，短軸角為50毫弧度。天線和能量束的簡圖如圖92A-1所示。理想化的一類飛機(jī)是具有75平方米完全雷達(dá)反射截面團(tuán)飛機(jī)，亦即在你的初步模型中飛機(jī)等價(jià)于一個(gè)75 的小心位

17、于天線軸線上并垂直于該軸的100%反射圓碟，你亦可以考慮其它模型或改進(jìn)這個(gè)模型。接收線路的靈敏度是雷達(dá)天線反饋報(bào)警器(位于雷達(dá)天線的焦點(diǎn))劉10微瓦的回波信號會作出反應(yīng)。AMCM 92問題-B 應(yīng)急電力修復(fù)系統(tǒng)的修復(fù)計(jì)劃為沿海地區(qū)服務(wù)的電力公司必須具備應(yīng)急系統(tǒng)來處理風(fēng)暴引起的電力中斷。這樣的系統(tǒng)需要由估計(jì)的修復(fù)時(shí)間和費(fèi)用與由客觀準(zhǔn)則判定的停電的“價(jià)值” 構(gòu)成的數(shù)據(jù)輸入，過去HECO電力公司曾因缺乏優(yōu)先方案而遭受傳播媒介的批評。設(shè)想你是HECO電力公司顧問。HECO具有一個(gè)實(shí)時(shí)處理的，通常包含下述信息的服務(wù)電話的計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)庫：報(bào)修時(shí)間；需求者類型；估計(jì)受害人數(shù)；地點(diǎn)(X,Y)。有兩個(gè)工程隊(duì)調(diào)度所

18、，分別位于(0,0)和(40,40)，其中x, y以英里為單位。HECO的服務(wù)區(qū)域在-65x65和-50y50之內(nèi)。因?yàn)樵摰貐^(qū)完全都市化了，有極好的道路網(wǎng)絡(luò)。工程隊(duì)只是在上班和下班時(shí)必須回調(diào)度所。公司的政策是：若停電的設(shè)施是鐵路或醫(yī)院，只要有工程隊(duì)可派就立即處理，其他情形都要等暴風(fēng)雨離開這一地區(qū)后才開始工作。HECO請你為表92B-1所列的暴風(fēng)雨修復(fù)請求和表92B-2所列的維修能力建立客觀準(zhǔn)則和安排工作計(jì)劃。注意，第一個(gè)電話是凌晨4：20接到的，暴風(fēng)雨在上午6：00離開該地區(qū)，還要注意很多停電戶是當(dāng)酬反遲才報(bào)修的。HECO出自自身的目的需要一份技術(shù)報(bào)告和一份用外行術(shù)語寫就的“執(zhí)行簡要”來提交新

19、聞媒介。他們希望有對將來的建議。為決定你的優(yōu)先計(jì)劃安排系統(tǒng)，你還需作一些附加的假設(shè)，請?jiān)斒鲞@些假設(shè)。將來你可能希望有附加的數(shù)據(jù)，如果有，詳述這些需要的信息。 AMCM93問題-A 加速餐廳剩菜堆肥的生成一家注重環(huán)境的學(xué)校餐廳正用微生物把顧客沒吃完的食物再循環(huán)生成堆肥。每天餐廳把吃剩的食物和泥漿(粘結(jié)劑)混合，再把它們和廚房里容易弄碎的色拉菜以及少量的扯碎的紙片混合，并把混合物喂給一種真菌培養(yǎng)物和土壤細(xì)菌，它們把泥漿、綠葉菜、紙片消化形成有用的塔肥。易碎的綠葉萊為真菌培養(yǎng)物提供氧氣，而紙片則吸收過量的濕氣。但有時(shí)真菌培養(yǎng)物顯得不能或不肯消化顧客留下的那么多的剩飯菜。餐廳并沒有因?yàn)檎婢囵B(yǎng)物沒有胃

20、口而責(zé)怪廚師長。餐廳收到要大量購買他們生產(chǎn)的堆肥的報(bào)價(jià)，所以餐廳正在研究增加堆肥產(chǎn)量的方法。由于無力營建一套新的堆肥設(shè)備，因此餐廳首先尋求能加速真菌培養(yǎng)物活力的方法，例如，通過優(yōu)化真菌培養(yǎng)物的環(huán)境(眼下大約是在120F和100濕度的環(huán)境下生成堆肥的)，或通過優(yōu)化喂給真菌培養(yǎng)物的混合物統(tǒng)成，或同時(shí)優(yōu)化兩者(而達(dá)到加速真菌培養(yǎng)物的活力)。試決定在喂給真菌培養(yǎng)物的混合物中泥漿、綠葉萊和紙片印比例與真菌培養(yǎng)物把混合物生成堆肥的速度間是否存在任何關(guān)系。若你認(rèn)為不存在任何關(guān)系，試說明理由。否則，試決定什么樣的比例會加速真菌培養(yǎng)物的活力。除了按競賽規(guī)則說明中規(guī)定的格式寫的技術(shù)報(bào)告外，請為餐廳經(jīng)理提供一頁長的

21、用非技術(shù)術(shù)語表示的實(shí)施建議。作為數(shù)據(jù)，表93A-l列出了分別存放在不同的箱子中用磅表示的混合物組成中各種原料的數(shù)量，以及把混合物喂給真菌培養(yǎng)物的日期以及完全生成堆肥的日期(以表示生成堆肥所需的時(shí)間)。本題是由東華盛頓大學(xué)數(shù)學(xué)系的Yves Nievegctlt提供的，本題敘述的情況及數(shù)據(jù)來自華盛頓奶Medical Lake地區(qū)監(jiān)獄的餐廳。他還寫了一篇評論文章The outstanding optimal compostingpapers，The UMAP Journal，v.4(1993)，no.3，227-228AMCM93問題-B 倒煤臺的操作方案Aspen-Boulder煤礦公司經(jīng)營一個(gè)包

22、括一個(gè)單個(gè)的大型倒煤臺在內(nèi)的裝煤設(shè)施。當(dāng)裝煤列車到達(dá)時(shí)，從倒煤臺往上裝煤。一列標(biāo)準(zhǔn)列車要用3小時(shí)裝滿，而倒煤臺的容量是一列半標(biāo)準(zhǔn)列車。每天，鐵道部門向這個(gè)裝煤設(shè)施發(fā)送三列標(biāo)準(zhǔn)列車。這些列車可在當(dāng)?shù)貢r(shí)間上午5點(diǎn)到下午8點(diǎn)的任何時(shí)間內(nèi)到達(dá)。每列列車有三輛機(jī)車。如果一列車到達(dá)后因等待裝煤而停滯在那里(即處于等待服務(wù)狀態(tài))的話、鐵道部門要征收一種稱為滯期費(fèi)的特別費(fèi)用、每小時(shí)每輛機(jī)車5000美元。此外，每周星期四上午11點(diǎn)到下午l點(diǎn)之間有一列大容量列車到達(dá)。這種特殊的列車有五輛機(jī)車并能裝兩列標(biāo)準(zhǔn)列車的煤。一個(gè)裝煤工作班要用6個(gè)小時(shí)直接從煤礦運(yùn)煤來把空的倒煤臺裝滿。這個(gè)工作班(包括它用的設(shè)備)的費(fèi)用是每小

23、時(shí)9000美元?？梢哉{(diào)用第二個(gè)工作班運(yùn)行一個(gè)附加的倒煤臺操作系統(tǒng)來提高裝煤速度，而費(fèi)用為每小時(shí)12000美元，出于安全的原因，當(dāng)往倒煤臺裝煤時(shí)，不能往列車上裝煤。每當(dāng)由于往倒煤臺裝煤而中斷往列車上裝煤時(shí)，就要征收滯期費(fèi)。煤礦公司的經(jīng)理部門要請教你們?nèi)绾螞Q定該倒煤臺的裝煤操作的午預(yù)期開支，你們的分析應(yīng)包括考慮以下的問題： 應(yīng)調(diào)用幾次第二個(gè)工作班? 預(yù)期的月滯期費(fèi)是多少? 如果標(biāo)準(zhǔn)列車能按調(diào)度在確切時(shí)間到達(dá)，什么樣的日調(diào)度安排能使裝煤費(fèi)用最少？ 調(diào)用第三個(gè)費(fèi)用每小時(shí)12000美元的倒煤臺操作系統(tǒng)工作班，能否降低年操作費(fèi)用? 該倒煤臺每天能否再裝第四輛標(biāo)準(zhǔn)列車的煤?本題是由位于科羅拉多州Golden

24、的科羅拉多礦業(yè)學(xué)院的Genc Woolsey根據(jù)他在懷俄明州一家煤礦公司做顧問中的問題建議的。位于紐約州的西點(diǎn)軍校的ChriArney和Jack Robortson據(jù)此形成了本問題。AMCM94問題-A 住宅的保溫HUP公司正在考慮建造從單幢住宅到公寓樓大小不同的住宅。公司主要關(guān)心的是房主定期支付的費(fèi)用-特別是暖氣和冷氣的費(fèi)用最少。建房地區(qū)位于全年溫度變化不大的溫帶地區(qū)。通過特殊的建筑技術(shù)HUP公司能不依靠對流-即不需要依靠開門開窗-來幫助調(diào)節(jié)住宅的溫度。這些住宅都是只有混凝土厚板地板為僅有基礎(chǔ)的單層住宅。你們被雇用為顧問來分析凝土厚板地板小的溫度變化，由此決定地板表面的平均溫度能否全年保持在

25、指定的舒適范圍內(nèi)。如果可能的話，什么樣的尺寸和形狀能做到這點(diǎn)？第一部分地板溫度由表94A-1給G66每天溫度的變化范圍，試研究混凝土厚板中溫度的變化。假定最高溫度在中午達(dá)到，最低溫度在午夜達(dá)到。試決定能否在只考慮幅射的條件下設(shè)計(jì)厚板使其表面的平均溫度保持在指定的舒適范圍內(nèi)。一開始，先假定熱是通過暴露在外的厚板的周邊傳入住宅的，而厚板的上、下表面是絕熱的。就這些假設(shè)是否恰當(dāng)、假設(shè)的敏感性作山評論。如果你們不能找到滿足表94A-1條件的解，你們能作出滿足你們提出的表94A-1的厚板的設(shè)計(jì)嗎? 第二部分建筑物溫度試分析一開始所作假設(shè)的實(shí)用性，并將其推廣到分析單層住宅內(nèi)溫度的變化。住宅內(nèi)溫度能否保持在

26、舒適范圍內(nèi)。第三部分建筑費(fèi)用考慮到建筑的各種限制及費(fèi)用，試提出一種考慮HUP公司關(guān)于降低甚至免去暖氣和冷氣費(fèi)用這一目標(biāo)的設(shè)計(jì)。AMCM 94問題-B 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的最短傳輸時(shí)間在你們的公司里，各部門每天都要分享信息。這種信息包括前一天的銷售統(tǒng)計(jì)和當(dāng)前的生產(chǎn)指南。盡快公布這些信息是十分重要的。假設(shè)一個(gè)通訊網(wǎng)絡(luò)被用來從一臺計(jì)算機(jī)向另一臺計(jì)算機(jī)傳輸數(shù)據(jù)組(文件)。作為例子，考慮下列圖94B-1模型：頂點(diǎn)從 表示計(jì)算機(jī)，邊 表示(由邊的端點(diǎn)表示的計(jì)算機(jī)之間)要傳輸?shù)奈募?表示傳輸文件乙所需的時(shí)間， 表示計(jì)算機(jī) 同時(shí)能傳輸多少個(gè)文件的容量。文件傳輸包括占用有關(guān)計(jì)算機(jī)為傳輸該文件所需的全部時(shí)間。1表示計(jì)算

27、機(jī) 一次只能傳輸一個(gè)文件。我們有興趣的是以最優(yōu)的方式安排傳輸，即使得傳輸完所有的文件所用的總時(shí)間最小。這個(gè)最小總時(shí)間稱為接通時(shí)間(makespan)。請為你們的公司考慮以下三種情形：情形A；你們公司有28個(gè)部門。每個(gè)部門有一臺計(jì)算機(jī)，在圖94B-2中每合計(jì)算機(jī)用頂點(diǎn)表示。每天必須傳輸27個(gè)信息，在圖94B-2中用邊來表示。對于這個(gè)網(wǎng)絡(luò)，對所有的x,y 1， 1 試找出該網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)安排以及接通時(shí)間。你們能向你們的主管人員證明你們對該網(wǎng)絡(luò)求得的接通時(shí)間是最小可能(最優(yōu))的嗎?敘述你們求解該問題的方法。你們的方法適用于一股情形嗎，即是否適用干了 ， 以及圖結(jié)構(gòu)都是任意的情形?情形B：假設(shè)你們公司改變

28、了傳輸要求?，F(xiàn)在你必須在同樣酌基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(見圖94B-2)上考慮不同類型和大小的文件。傳輸這些文件所需時(shí)間由表94B-1中每條邊的了 項(xiàng)表出。對所有y仍有 1試對新網(wǎng)絡(luò)找出最優(yōu)安排和接通時(shí)間，你們能證明對新網(wǎng)絡(luò)而言你們求得的最小接通時(shí)間是最小可能的嗎?敘述你們求解該問題的方法。你們的方法適用于一般情形嗎?試對任何特異的或出乎意料的結(jié)果發(fā)表評論。情形C：你們公司正在考慮擴(kuò)展業(yè)務(wù)。如果公司真的這樣做的話每天有幾個(gè)新文件(邊)要傳輸。這種業(yè)務(wù)擴(kuò)展還邊括計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的升級換代.28個(gè)部門中的某些部門將配備新的計(jì)算機(jī)使之每次能傳輸不止一個(gè)文件。所百這些變化都在下面的圖94B-3以及表91B-2，表94B

29、-3中表明。你們能找到的最優(yōu)安排和接通時(shí)間是什么?你們能證明對該網(wǎng)絡(luò)而言這個(gè)接通時(shí)間是最小可能的嗎?敘述你們求解該問題的方法。試對任何特異的或者出乎意料的結(jié)果發(fā)表評論。AMCM-95問題-A 單一螺旋線問題為向小型微生物工程公司提供幫助。設(shè)計(jì)出“實(shí)時(shí)”求一條螺旋線與空間中位于一般位置的平面(見圖95A-1)所有交點(diǎn)的方法，證明方法的正確性并編程對算法進(jìn)行數(shù)值檢驗(yàn)。在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中用類似程序可使工程人員觀察到他們所設(shè)計(jì)物體的截面，例如，飛機(jī)引擎，汽車緩沖裝置或者醫(yī)療器材等。而且工程設(shè)計(jì)人員也許還能顯示出諸如氣流、壓力、溫度以及用顏色或水平線的編碼。進(jìn)一步地，工程人員可以運(yùn)過對整

30、個(gè)物體的截面部分進(jìn)行快速掃描以得到物體的三維視覺及其運(yùn)動(dòng)、受壓和受熱時(shí)的反應(yīng)。為達(dá)此目的，所用的計(jì)算機(jī)程序必須以盡可能快的速度和盡可能高的精度找出所需觀察平面與所給物體每一部分的所有交點(diǎn)，一般所指的“問題求解”即為求此類點(diǎn)，但對特殊問題而言，特殊方法或許比通用方法更高效更準(zhǔn)確。特別地，通用的計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)軟件或許會由于速度太慢而不能完成實(shí)時(shí)計(jì)算，或者軟件適用范圍雖然廣泛但并不適合公司所提出的醫(yī)療服務(wù)要求，基于上述考慮，公司提出下列問題。問題 設(shè)計(jì)、判斷、編程并檢驗(yàn)給定平面與螺旋線在空間小任意位置和方向上的交點(diǎn)。例如，在化學(xué)或醫(yī)療器械中，一段螺旋線可表示為直立懸掛的彈簧或一小段綱管。算法理論

31、上的證明需要通過幾種不同的角度來進(jìn)行，例如，對算法進(jìn)行數(shù)學(xué)上的證明并用已知例子的編程進(jìn)行檢驗(yàn)，另外，從事醫(yī)療服務(wù)的當(dāng)事人進(jìn)行檢驗(yàn)和證實(shí)也是必要的。AMCM95題-B A1uacha Balaclava學(xué)院A1uacha Balaclava學(xué)院聘用了一個(gè)新院長。前任院長是由于教員工資問題而被迫辭職的，因此，新院長需要制定一個(gè)公平臺理的工資系統(tǒng)方案，以樹立其權(quán)威。作為第一步，她聘請你們隊(duì)作為顧問，設(shè)計(jì)一個(gè)能夠反映以下背景及原則的工資系統(tǒng)。背景教員共分四級：助教、講師、副教授、教授。博士畢業(yè)后任教的教員被聘為講師。在讀的博士生被聘為助教，并且當(dāng)畢業(yè)時(shí)自動(dòng)升為講師。副教授通常須滿七年后才能申報(bào)教授。級

32、別晉升由院長及一個(gè)教師委員會來決定，你們無須考慮此問題。教員每年發(fā)10個(gè)月工資：從9月到次年6月。每次晉級從9月起生效。能夠用于晉級增加工資的獎(jiǎng)金數(shù)日每年有所不同，通常需要到3月份才能知道確切數(shù)白。一個(gè)沒有從教經(jīng)歷的助教及講師的韌始工資分別是27000元及32000元。一個(gè)受聘教員在其他學(xué)校的教學(xué)經(jīng)歷同樣得到承認(rèn)。原則只要資金允許，所有教員助工資每年都應(yīng)增加。教員應(yīng)能從晉級中獲得充分的利益。如果一名教員在盡可能短的時(shí)間內(nèi)得到晉升，其獲得的利益應(yīng)大致相當(dāng)于七年增加的工資。如果一個(gè)教員都是正常晉級(在一個(gè)級別上工作七、八年)，并且典有25年以上的教齡。他退休時(shí)的工資應(yīng)大致相當(dāng)于一個(gè)剛畢業(yè)的博士的工

33、資的兩倍。同一級別的教員中經(jīng)驗(yàn)較豐富的應(yīng)有較高的工資，但是這種差別應(yīng)隨著時(shí)間的報(bào)移而逐漸消失。換句話說，如果兩個(gè)教員級別相同，他們的工資應(yīng)隨著時(shí)間的推移而越來越接近。方案首先，設(shè)計(jì)一個(gè)不考慮物價(jià)增長的新的工資系統(tǒng)，然后再考慮物價(jià)增長的情形。本方案最終是要設(shè)計(jì)一個(gè)轉(zhuǎn)移過程，將現(xiàn)有的工資系統(tǒng)過渡到你設(shè)計(jì)的系統(tǒng)中去，并且不能消減任何人的工資。現(xiàn)有教員的工資、級別及工作年限已列于表95B-1中。院長要求得到一個(gè)詳盡酌工資系統(tǒng)方案，她將以此為據(jù)進(jìn)行工資調(diào)整。同時(shí)，她還要求得到一份清晰、簡短的執(zhí)行摘要，用于分發(fā)給教員及張貼公布。摘要應(yīng)當(dāng)概括出模型的輪廓，并介紹它的假設(shè)、優(yōu)缺點(diǎn)及預(yù)期結(jié)果。AMCM96問題-

34、A 噪音場中潛艇的探測海洋中存在著背景噪音場，地展引起的攝動(dòng)，海面上航行的船只，以及生活在大海中的哺乳動(dòng)物都是具有不同頻率范圍的噪音源。我們要考慮如何利用這種背景噪音測定大的移動(dòng)目標(biāo)，例如海面下的潛艇。假定潛艇不產(chǎn)生影響測定的噪音，只利用測量背景噪音場的變化所得到的信息，研制一種能夠探測出移動(dòng)潛艇的存在，并測出它的速度、尺寸及航行方向酌方法。從一個(gè)固定的頻率和振幅的噪音著手進(jìn)行。AMCM96問題-B 競賽評判問題在確定像數(shù)學(xué)建模競賽這種形式的比賽的優(yōu)勝者時(shí)，常常要評閱大量酌答卷。譬如說，有P100份答卷，一個(gè)由J位評團(tuán)人組成的小組來完成評閱任務(wù)，基于競賽資金對于能夠聘請的評閱人數(shù)量和評閱時(shí)間的

35、限制，如果Pl00；通常取J8理想的情況是每個(gè)評閱人看所有的答卷，并將它們一一排序，但這種方法工作量太大。另一種方法是進(jìn)行一系列的篩選，在一次篩選中每個(gè)評閱人只看一定數(shù)量的答卷，并給出分?jǐn)?shù)。為了減少所看答卷的數(shù)量，考慮如下的篩選模式：如果答卷是被排序的，則在每個(gè)評闖人給出的排序中排在最下面的30答卷被篩除；如果答卷被打分(譬如說從1分到10分)，則某個(gè)截止分?jǐn)?shù)線以下的答卷被篩除。這樣，通過篩選的答卷重新放在一起返回給評閱小組，重復(fù)上述過程。人們關(guān)注的是，每個(gè)評閱人看的答卷總數(shù)要顯著地小于P評閱過程直到剩下W份答卷時(shí)停止，這些就是優(yōu)勝者。當(dāng)J100 時(shí)通常取W3你的任務(wù)是利用排序、打分及其它方法

36、的組合，確定一種篩迫模式，按照這種模式，最后選中的v份答卷只能來自“最好的”2W份答卷(所渭“最好的”是指，我們假定存在著一種評閱人一致贊同的答卷的絕對排序)。例如，用你給出的方法得到的最后3份答卷將全部包括在“最好的”6份答卷中。在所有滿足上述要求的方法中，希望位能給出使每個(gè)坪閱人所看答卷份數(shù)最少的一種方法。注意在打分時(shí)存在系統(tǒng)偏差的可能。例如，對于一批答卷，一位評閱人平均給70分，而另一位可能給80分。在你給出的模型中如何調(diào)節(jié)尺度來適應(yīng)競賽參數(shù)(P，J和W)的變化?1996年兩道題都是由Daniel Zwillinger Zwillinger&Associates、Arlingto

37、n,MA，USA提供的。AMCM97問題-A Velociraptor(疾走龍屬)問題Velociraptor，Velociraptor mongo1iensis是生活在距今約7500萬年前后白堊紀(jì)(譯注：白堊紀(jì)為距今1.36-0.65億年的地質(zhì)年代，是中生代最后的紀(jì))的一種食肉(捕食其他動(dòng)物的)恐龍。古生物學(xué)家認(rèn)為這是一種非常頑強(qiáng)的獵食其他動(dòng)物的野獸，而且可能是成對或成群地外出追獵。然而，不幸的是無法像觀察現(xiàn)代哺乳食肉動(dòng)物在野外是如何迫獵其食物的行為那樣觀察到Velociraptor在野外的追獵行為。一組古生物學(xué)家來到你們隊(duì)請求你們在Velociraptor的追獵行為的建模方面給予幫助。他們

38、希望把你們的結(jié)果與研究獅子、老虎及其他類似的食肉動(dòng)物行為的生物學(xué)家的研究報(bào)告相比較。平均的成年Velociraptor長3米，髖高0.5米，重約45公斤。據(jù)估計(jì)，這種動(dòng)物跑得非?？?，速度可達(dá)60公里/小時(shí)，持續(xù)約15秒。在以這種速度開始助沖刺后它要停下來在其肌肉中積聚乳酸以恢復(fù)體力。假設(shè)Velociraptor摘食一種稱為Thescelosaurus(太西龍屆)neglectus的大小與Velociraptor差不多的雙足食草動(dòng)物。從Thescelosaurus化石的生物力學(xué)分析得知Thescelosaurus可以50公里/小時(shí)的速度長時(shí)間奔跑。第1部分假設(shè)Velociraptor是一只獨(dú)居的

39、獵食其他動(dòng)物的野獸，試設(shè)計(jì)一個(gè)單個(gè)的Velociraptor潛近獵物并追獵一只單個(gè)的Thescelosaurus的策略以及被追捕物逃避遲捕的策略的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)當(dāng)Vclociraptor潛近15米內(nèi)時(shí)，Thescelosaurus總能覺察到，根據(jù)棲息地及氣候的條件不同，甚至在(多達(dá)50米的)更大的范圍內(nèi)覺察欲捕食它的動(dòng)物的存在。此外，由于Vclociraptor的身體結(jié)構(gòu)及體能，它在全速奔跑時(shí)的拐彎半徑是受到限制的。據(jù)估計(jì)，拐彎半徑大約是其髖高的三倍。另一方面，Thescelosaurus卻是極其靈活的其拐彎半徑只有0.5米。第2部分更現(xiàn)實(shí)地假設(shè)Vclociraptor是成對外出追獵，試設(shè)計(jì)一

40、個(gè)新的關(guān)于成對的Vclociraptor潛近獵物并追獵一只單個(gè)的Thescelosaurus的策略以及被追捕物逃避追捕的策略的數(shù)學(xué)模型。利用第1部分給出假定和限制AMCM97問題-B為取得富有成果的討論怎樣搭配與會成員為討論重要問題，特別是長遠(yuǎn)規(guī)劃問題而召開小組討論會正變得愈來愈普遍。人們相信有很多人參加的會妨礙有成果的討論，甚至一位占支配地位的人能控制并操縱會議的討論。因此，在公司的董事會議中在召集全體董事會議之前會先開一些討論有關(guān)事務(wù)的小組會議。這些規(guī)模較小的小組會議仍然有被某個(gè)占支配地位的人控制的危險(xiǎn)。為降低這種危險(xiǎn)，常用的辦法是安排每個(gè)小組開幾次會，每次會有不同的人參加.An Tost

41、al公司的一次會議的參加者為29位公司董事會成員，其中9位是在職董事(即公司的雇員)。會議要開一天，每個(gè)小組上午開3段。下午開4段。每段會議開45分鐘，從上午9：00到下午4：00每整點(diǎn)開始開會，中午12：00午餐。上午的每段會議都有6個(gè)小組討論會，每個(gè)小組討論會都由公司的一位資深高級職員來主持討論，這些資深高級職員都不是董事會的成員。因此，每資深高級職員都要主持3個(gè)不同的小組討論會。這些資深高級職員不參加下午的討論會，而且下午的每段會議只有4個(gè)不同的小組討論會。公司董事長要一份公司董事參加7段會議的每個(gè)小組討論會酌分配名單。這份搭配名單要盡可能多地把董事均勻搭配。理想的搭配應(yīng)是每一位董事和其

42、他每一位董事一起參加小組討論會的次數(shù)相同，與此同時(shí)要使不同段的小組中在一起開過會的董事數(shù)達(dá)到最小。名單中的搭配還應(yīng)滿足下列兩個(gè)準(zhǔn)則：在上午的討論會上，不允許一位董事參加由同一位資深高級職員主持的兩次會議。每個(gè)分組討論會都不應(yīng)有不成比例的在職董事參加。 給出一張1-9號在職董事、10一29號董事、1-6號公司資深高級職員的搭配名單。說明該名單在多大程度上滿足了前面提出的各種要求和準(zhǔn)則。因?yàn)橛械亩驴赡茉谧詈笠豢绦疾粎⒓訒h，也可能不在名單上的董事將出席會議，因此一個(gè)能使秘書在一小時(shí)前得到變更與會與否通知的情況下來調(diào)整搭配的算法定會得到賞識。如果算法還能用于涉及不同水平的與會者參加的未來的會議中

43、每類與會者搭配的話，那就更理想了。AMCM98問題-A 磁共振成像掃描儀引言用于工業(yè)和醫(yī)療的磁共振成像掃描儀診斷機(jī)對像腦那樣的三維物體進(jìn)行掃描，并把掃描的結(jié)果以三維像素陣列的形式傳送之。每個(gè)像素由一個(gè)指示其顏色或灰度的數(shù)構(gòu)成，它對像素所在位置處的被掃描物體的一個(gè)小區(qū)域中含水量(濃度)的度量進(jìn)行編碼。例如，0能以黑色來描繪出高含水量(腦室、血管)，128能以灰色來描繪出中等含水量(腦核和灰質(zhì))，而255以白色來描繪出低含水量(組成有髓體軸的富含脂類白質(zhì))。這類磁共振成像掃描儀還包括能在屏幕畫出通過該三維像素陣列的平行或垂直片(與三個(gè)笛卡爾坐標(biāo)軸平行的平片)的設(shè)備能夠描繪出斜的平片的算法是專賣的。

44、眼下的算法利用了角度及可供使用的參數(shù)選擇而受到限制，算法的執(zhí)行也有賴于大量使用專用的工作站；在切片之前缺少在畫面上作點(diǎn)的輸入能力；從而使原始像素間明晰的邊界變得模糊。能在個(gè)人計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的更為準(zhǔn)確可靠的、靈活的算法對于以下幾方面來說將是極為有用的：設(shè)計(jì)盡可能少的介入處理；校準(zhǔn)磁共振成像掃描儀；研究諸如動(dòng)物研究中尸體解剖組織部分那樣的在空間中斜向的結(jié)構(gòu)；能作出以任意角度和由黑白固線組成的腦圖譜相交的截面。為設(shè)計(jì)這樣的算法，就要能存取任意像素的值和位置,不僅僅是由掃描儀收集到的原始數(shù)據(jù)。問題設(shè)計(jì)并測試能產(chǎn)生與三維陣列在空間任意指向的平面的截面部分的算法，并盡可能保持原始的灰度值。數(shù)據(jù)集典型的數(shù)據(jù)集

45、由表示物體在位置 處的濃度的由數(shù)A(i，j，k)構(gòu)成的三維陣列A典型的情形，A(i，j，k)的取值范圍為0到255在大多數(shù)應(yīng)用中，該數(shù)據(jù)集是相當(dāng)大的。參賽隊(duì)要設(shè)計(jì)用以測試井論證其算法的數(shù)據(jù)集。數(shù)據(jù)集應(yīng)能反映大概是有診斷意義的情況。參賽隊(duì)還應(yīng)敘述限制其算法有效性的數(shù)據(jù)集的特征?？偨Y(jié)算法一定要生成由空間一平面與三維陣列相交出的切片部分的圖象。這種平面在空間可以釘任意的指向和位置(該平面可能會漏掉一些或全部數(shù)據(jù)點(diǎn))。算法的結(jié)果應(yīng)該是所掃描的物體在所選平面上的濃度的一個(gè)模型。AMCM98問題-B 成績給分的通脹背景一些行政領(lǐng)導(dǎo)很為A Better class(ABL)學(xué)院的成績給分擔(dān)擾。平均說來，AB

46、C學(xué)院的教師一直在給高分(現(xiàn)在結(jié)出的平均成績分?jǐn)?shù)為A-)，從而不可能區(qū)分好學(xué)生和中等水平的學(xué)生。金額很大的獎(jiǎng)學(xué)金只能資助班上前10%的學(xué)生，因而要對班上的學(xué)生排名次。院長有一想法：把班上每個(gè)學(xué)生和其他學(xué)生進(jìn)行比較，并用比較獲得的信息來排名次。例如，若某個(gè)學(xué)生得分為A而全班學(xué)生都得A，那么這個(gè)學(xué)生只能屬于這個(gè)班上的“平均水平”。另一方面，如果班上只有一個(gè)學(xué)生得A，那么這個(gè)學(xué)生顯然在“平均水平之上”，結(jié)合幾門課中得到的比較信息就能把全校的學(xué)生按十分位數(shù)排名次(前l(fā)0%。次l0%，等等)。問題假定給出的成績記分為(A+，A，A-,B+,）院長的想法能否實(shí)現(xiàn)?假定給出的成績記分只有(A、B，C）院長的

47、想法能否實(shí)現(xiàn)?有沒有其他能給出名次排列的方案?一種擔(dān)心是，一個(gè)班級的成績記分可能會改變許多學(xué)生的十分位數(shù)的排名次?？赡艹霈F(xiàn)這種情況嗎?數(shù)據(jù)集參賽隊(duì)要設(shè)計(jì)用以測試并論證其算法的數(shù)據(jù)集，參賽隊(duì)還應(yīng)敘述限制其算法有效性的數(shù)據(jù)集的特征。AMCM99問題-A 大碰撞NASA(航空航天管理局)常?？紤]這樣一個(gè)問題：一顆較大的小行星與地球的碰撞將會產(chǎn)生怎樣的后果。作為這個(gè)問題的一部分，要求你們討論這顆小行星該到地球南極所造成的后果，有人認(rèn)為其后果將與該行星撞到地球其它區(qū)域的后果有很大的不同。你們可以假設(shè)這顆小行星的直徑大約為l000米，并且立接撞在南極點(diǎn)處。你們應(yīng)當(dāng)給出這樣一次碰撞的后果的估計(jì)，特別地，NA

48、SA希望得到由這次碰撞所造成的人員傷亡的地區(qū)及數(shù)量的估計(jì)，還希望得到關(guān)于對南半球的大洋區(qū)域的農(nóng)作物生長的危害的估計(jì)，以及由于南極冰層大規(guī)模融化引起的沿海洪水的一個(gè)估計(jì)。AMCM99問題-B “非法”聚會許多公共設(shè)施的房間都柯一種標(biāo)有人數(shù)的記號，當(dāng)房間中人數(shù)超過記號上人數(shù)時(shí)就視為“非法”，該數(shù)目可假定是以緊急情況下從房屋出口逃出的人數(shù)為基準(zhǔn)確定的，類似地，電梯及其它設(shè)施經(jīng)常有一個(gè)“最大容量”。建立數(shù)學(xué)模型以確定標(biāo)上多大人數(shù)值才是“合法容量”，作為求解的一部分要討論若干準(zhǔn)則(并非在火災(zāi)或其它緊急情況下的公共安全)決定出房屋或空間)達(dá)到“非法”聚會的人數(shù)，而且，在所建模型中要考慮幾種不同的房屋結(jié)構(gòu)，

49、例如，像咖啡屋(擁有桌和椅子)那樣具有可移動(dòng)家俱的房子，具有成排椅子和走廊的演訓(xùn)廳等，你還可以對各種不同情形進(jìn)行比較與對比，例如：電梯，演講廳，游泳池，咖啡屋或健身房等。收集搖滾音樂會或足球比賽的相關(guān)資料也許會為你提供一些特殊的信息。將所建模型用于你所在學(xué)院(或附近城鎮(zhèn))的一個(gè)或多個(gè)公共設(shè)施中，如果該類設(shè)施已標(biāo)有“合法”人數(shù)的話，請將模型所得結(jié)果與之比較。如果得到使用，你的模型可能部分受到利益驅(qū)動(dòng)下要增加容量之觀點(diǎn)的挑戰(zhàn)，為當(dāng)?shù)貓?bào)刊撰寫一篇文章以捍衛(wèi)模型所給的分析。AMCM99問題- C 大地污染背景 若干實(shí)踐中重要但理論上困難的數(shù)學(xué)問題與污染的評估有關(guān)。這種問題之一就是根據(jù)只是在被懷疑為已污

50、染地區(qū)的周圍而不必直接在該地區(qū)中測得的很少的測量數(shù)據(jù)來導(dǎo)出不易進(jìn)入的地下的滲漏污染物的位置和數(shù)量、以及污染源的精確估計(jì)。例子 數(shù)據(jù)可通過。該數(shù)據(jù)集（一種電子表格文件an Excel file），它能卸載到大多數(shù)電子數(shù)據(jù)表（spreadsheets）展示了從1990到1997在10個(gè)監(jiān)測井處地下水中污染物的數(shù)量數(shù)據(jù)。單位是微克（mg/l）。8個(gè)測井的位置和高度是已知的并在下表給出。頭兩個(gè)數(shù)是在一張地圖的直角格點(diǎn)上井的位置的坐標(biāo)。第三個(gè)數(shù)是井中水面高出平均海平面的高度（以英尺計(jì)）。井號 x坐標(biāo)（英尺計(jì)） y坐標(biāo)（英尺計(jì)） 高度 （英尺計(jì)）MW-1 4187.5 6375.0 1482.23MW-3

51、 9062.5 4375.0 1387.92MW-7 7625.0 5812.5 1400.19MW-9 9125.0 4000.0 1384.53MW-11 9062.5 5187.5 1394.26MW-12 9062.5 4562.5 1388.94MW-13 9062.5 5000.0 1394.25MW-14 4750.0 2562.5 1412.00數(shù)據(jù)集中另兩個(gè)井（MW-27和MW-33）的位置和高度不同。在該數(shù)據(jù)集中你還會看到數(shù)字后面的字母T(Top),M(Middle)或B(Bottom)，它們分別表示測量是在井的含水層的頂部、中部和底部進(jìn)行的。因此，MW-7B和MW-7M是

52、來自同一個(gè)井，但分別是底部和中部的測量。此外，其它的測量數(shù)據(jù)表明水有流向該區(qū)域中的MW-9號井的趨勢。問題一 試建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來決定在由該數(shù)據(jù)集來表示的區(qū)域和時(shí)間里是否由任何新的污染物產(chǎn)生。若有，試識別新的污染物并估計(jì)它們的污染源的位置和時(shí)間。問題二 在收集任何數(shù)據(jù)之前，會提出下列問題：是否擬議中的數(shù)據(jù)類型和模型能給出關(guān)于污染物所在的位置和數(shù)量的我們想要的估計(jì)。液態(tài)的化學(xué)物質(zhì)會從埋置在均勻的土壤的儲藏中的一個(gè)儲藏罐中滲漏。因?yàn)槿粢谠S多大罐的下面去探測的費(fèi)用會過分昂貴而且危險(xiǎn)，所以只能在儲藏設(shè)備的邊緣地區(qū)附近或在看來更合適的地區(qū)的表面進(jìn)行測量。試決定只是在整個(gè)儲藏罐的邊界的外面或表面進(jìn)行什么

53、樣類型的測量以及測量數(shù)目可以用于一個(gè)數(shù)學(xué)模型以決定上樓是否發(fā)生，何時(shí)發(fā)生，何處（從哪個(gè)罐）發(fā)生，以及滲漏多少液體。AMCM2000問題-A空間交通管制為加強(qiáng)安全并減少空中交通指揮員的工作量，聯(lián)邦航空局(FAA)考慮對空中交通管制系統(tǒng)添加軟件，以便自動(dòng)探測飛行器飛行路線可能的沖突，并提醒指揮員。為完成此項(xiàng)工作，F(xiàn)AA的分析員提出了下列問題。要求A: 對于給定的兩架空中飛行的飛機(jī)，空中交通指揮員應(yīng)在什么時(shí)候把該目標(biāo)視為太靠近，并予以干預(yù)。要求B: 空間扇形是指某個(gè)空中交通指揮員所控制的三維空間部分。給定任意一個(gè)空間扇形，我們怎樣從空中交通工作量的方位來估量它是否復(fù)雜？當(dāng)幾個(gè)飛行器同時(shí)通過該扇形時(shí),

54、在下面情形所確定的復(fù)雜性會達(dá)到什么程度：（1）在任一時(shí)刻？（2）在任意給定的時(shí)間范圍內(nèi)？（3）在一天的特別時(shí)間內(nèi)？在此期間可能出現(xiàn)的沖突總數(shù)是怎樣影響著復(fù)雜性來的？提出所添加的軟件工具對于自動(dòng)預(yù)告沖突并提醒指揮員，這是否會減少或增加此種復(fù)雜性？在作出你的報(bào)告方案的同時(shí)，寫出概述（不多于二頁）使FAA分析員能提交給FAA當(dāng)局Jane Garvey ，并對你的結(jié)論進(jìn)行答辯。AMCM2000問題-B: 無線電信道分配我們尋找無線電信道配置模型.在一個(gè)大的平面區(qū)域上設(shè)置一個(gè)傳送站的均衡網(wǎng)絡(luò),以避免干擾.一個(gè)基本的方法是將此區(qū)域分成正六邊形的格子(蜂窩狀),如圖1.傳送站安置在每個(gè)正六邊形的中心點(diǎn).容許

55、頻率波譜的一個(gè)區(qū)間作為各傳送站的頻率.將這一區(qū)間規(guī)則地分割成一些空間信道,用整數(shù)1,2,3,來表示.每一個(gè)傳送站將被配置一正整數(shù)信道.同一信道可以在許多局部地區(qū)使用,前提是相鄰近的傳送站不相互干擾. 根據(jù)某些限制設(shè)定的信道需要一定的頻率波譜,我們的目標(biāo)是極小化頻率波譜的這個(gè)區(qū)間寬度.這可以用跨度這一概念.跨度是某一個(gè)局部區(qū)域上使用的最大信道在一切滿足限制的配置中的最小值.在一個(gè)獲得一定跨度的配置中不要求小於跨度的每一信道都被使用.令s為一個(gè)正六邊形的一側(cè)的長度.我們集中考慮存在兩種干擾水平的一種情況.要求A: 頻率配置有幾個(gè)限制,第一,相互靠近的兩個(gè)傳送站不能配給同一信道.第二,由於波譜的傳播

56、,相互距離在2s內(nèi)的傳送站必須不配給相同或相鄰的信道,它們至少差2.在這些限制下,關(guān)于跨度能說些什么.要求B: 假定前述圖1中的格子在各方向延伸到任意遠(yuǎn),回答要求A.要求C: 在下述假定下,重復(fù)要求A和B.更一般地假定相互靠近的傳送站的信道至少差一個(gè)給定的整數(shù)k,同時(shí)那些隔開一點(diǎn)的保持至少差1.關(guān)于跨度和關(guān)于設(shè)計(jì)配置的有效策略作為k的一個(gè)函數(shù)能說點(diǎn)什么.要求D: 考慮問題的一般化,比如各種干擾水平,或不規(guī)則的傳送站布局.其他什么因素在考慮中是重要的.要求E: 寫一篇短文(不超過兩頁)給地方報(bào)紙,闡述你的發(fā)現(xiàn).AMCM2000問題-C大象群落的興衰歸根到底，如果象群對于棲息地造成不盡人意的影響，

57、就要考慮對它們的驅(qū)除，即使是運(yùn)用淘汰法則。國家地理雜志（地球年鑒）1999年12月在位于南非的一個(gè)巨大的國家公園里，棲息著近乎11000只象。管理策略要求一個(gè)健康的環(huán)境以便維持11000只象的穩(wěn)定群落。公園的管理員們逐年統(tǒng)計(jì)象的總數(shù)。在過去的20年間，整個(gè)群落經(jīng)受驅(qū)除得以保持其總數(shù)盡量接近11000只。這個(gè)過程涉及槍殺（對于大部分）和每年轉(zhuǎn)移近乎600到800只象到異地。近年來，公眾抗議槍殺這些象。此外，即使每年轉(zhuǎn)移少量的象也是不可能了。然而，一種避孕注射法開發(fā)成功，它可以在兩年期間內(nèi)阻止一只成熟的母象受孕。下面是一些關(guān)于這個(gè)公園內(nèi)象的信息：很少發(fā)生象本身移入移出該公園的事。性別比非常接近1:1，而且采取控制措施力求維持均衡。新生幼象的性別比也是1:1左右。雙胞胎的機(jī)會接近于1.35%。母象在10歲和12歲之間第一次懷孕，平均每3.5年產(chǎn)下一個(gè)崽兒，直到60歲左右為止。懷孕期約為22個(gè)月。避孕注射使一只母象每個(gè)月發(fā)情（但不懷孕）。象通常在3.5年內(nèi)僅求偶一次，所以，上述按月周期能夠引起附加的反應(yīng)。一只母象可以每年注射而沒有任何有害的影響。一只成熟的母象在上次注射后兩年內(nèi)將不能懷孕。新生幼象中的70%到80%活到一歲，其后，存活率非常高（超過9