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1、【精品文檔】如有侵權(quán),請聯(lián)系網(wǎng)站刪除,僅供學(xué)習(xí)與交流個人精心整理!高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競賽平面幾何四大定理及考綱.精品文檔.1、數(shù)學(xué)競賽考綱二試1、平面幾何基本要求:掌握高中數(shù)學(xué)競賽大綱所確定的所有內(nèi)容。補充要求:面積和面積方法。幾個重要定理:梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。幾個重要的極值:到三角形三頂點距離之和最小的點-費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點-重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點-重心。幾何不等式。簡單的等周問題。了解下述定理:在周長一定的n邊形的集合中,正n邊形的面積最大。在周長一定的簡單閉曲線的集合中,圓的面積最大。在面積一定的n邊形的集合中,正n邊形的周長最
2、小。在面積一定的簡單閉曲線的集合中,圓的周長最小。幾何中的運動:反射、平移、旋轉(zhuǎn)。復(fù)數(shù)方法、向量方法。平面凸集、凸包及應(yīng)用。2、代數(shù)在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容:周期函數(shù)與周期,帶絕對值的函數(shù)的圖像。三倍角公式,三角形的一些簡單的恒等式,三角不等式。第二數(shù)學(xué)歸納法。遞歸,一階、二階遞歸,特征方程法。函數(shù)迭代,求n次迭代,簡單的函數(shù)方程。n個變元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及應(yīng)用。復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,歐拉公式,棣莫佛定理,單位根,單位根的應(yīng)用。圓排列,有重復(fù)的排列與組合,簡單的組合恒等式。一元n次方程(多項式)根的個數(shù),根與系數(shù)的關(guān)系,實系數(shù)方程虛根成對定理。簡單的初等數(shù)論問題,除初中大
3、綱中所包括的內(nèi)容外,還應(yīng)包括無窮遞降法,同余,歐幾里得除法,非負最小完全剩余類,高斯函數(shù),費馬小定理,歐拉函數(shù),孫子定理,格點及其性質(zhì)。3、立體幾何多面角,多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。正多面體,歐拉定理。體積證法。截面,會作截面、表面展開圖。4、平面解析幾何直線的法線式,直線的極坐標(biāo)方程,直線束及其應(yīng)用。二元一次不等式表示的區(qū)域。三角形的面積公式。圓錐曲線的切線和法線。圓的冪和根軸。5、其它 抽屜原理。容斥原理。極端原理。集合的劃分。覆蓋。梅涅勞斯定理托勒密定理西姆松線的存在性及性質(zhì)(西姆松定理)。賽瓦定理及其逆定理。一、平面幾何1. 梅涅勞斯定理梅涅勞斯(Menelaus)定理
4、(簡稱梅氏定理)是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出:如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或:設(shè)X、Y、Z分別在ABC的BC、CA、AB所在直線上,則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。證明:當(dāng)直線交ABC的AB、BC、CA的反向延長線于點D、E、F時,(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1逆定理證明:證明:X、Y、Z分別在ABC的BC、CA、AB所在直線上,則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(
5、CY/YA)=1證明一過點A作AGBC交DF的延長線于G,則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG三式相乘得:(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1證明二過點C作CPDF交AB于P,則BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1證明四過三頂點作直線DEF的垂線,AA,BB',CC'有AD:DB=AA:BB' 另外
6、兩個類似, 三式相乘得1得證。如百科名片中圖。 推論 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點,又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是=-1。(注意與塞瓦定理相區(qū)分,那里是=1)第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖:若E,F(xiàn),D三點共線,則(sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBE/sinABE)=1 即上圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積該形式的梅涅勞斯定理也很實用證明:可用面積法推出:第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價。第二角元形式的梅
7、涅勞斯定理在平面上任取一點O,且EDF共線,則(sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOE/sinAOE)=1。(O不與點A、B、C重合)梅涅勞斯球面三角形定理在球面三角形ABC中,三邊弧AB,弧BC,弧CA(都是大圓弧)被另一大圓弧截于P,Q,R三點,那么(sin弧AP/sin弧PB)×(sin弧BQ/sin弧QC)×(sin弧CR/sin弧RA)=1意義使用梅涅勞斯定理可以進行直線形中線段長度比例的計算,其逆定理還是可以用來解決三點共線、三線共點等問題的判定方法,是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項基本定理,具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對偶
8、定理是塞瓦定理。2.賽瓦定理在ABC內(nèi)任取一點O,直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F,則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 推論利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F,根據(jù)塞瓦定理逆定理,因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*cotA)/(CD*cotB)*(AE*cotB)/(AE*cotC)*(BF*cotC)/(BF*cotA)=1,所以三條高CD、AE、BF交于一點。可用塞瓦定理證明的其他定理;三角形三條中線交于一點(重心):如圖5 D , E分別為BC , AC 中點 所以BD=DC AE
9、=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1且因為AF=BF 所以 AF/FB必等于1 ,所以三角形三條中線交于一點,即為重心用塞瓦定理還可以證明三條角平分線交于一點此外,可用定比分點來定義塞瓦定理:在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點,又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是=1。(注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分,那里是=-1)1.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是:(sinBAD/sinDAC)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證2.如
10、圖,對于圓周上順次6點A,B,C,D,E,F(xiàn),直線AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是:(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圓弦長與所對圓周角關(guān)系易證。3托勒密定理定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出,圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。 原文:圓的內(nèi)接四邊形中,兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。 從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì) 定理內(nèi)容:指圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積一、(以下是推
11、論的證明,托勒密定理可視作特殊情況。)在任意凸四邊形ABCD中(如右圖),作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,連接DE.則ABEACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 由ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD,所以ABCAED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因為BE+EDBD(僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時,等號成立,即“托勒密定理”)復(fù)數(shù)證明用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C
12、、D的復(fù)數(shù),則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式: (ab)(cd) + (ad)(bc) = (ac)(bd) ,兩邊取模,運用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等,這與A、B、C、D四點共圓等價。 四點不限于同一平面。 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 在弦BC上,圓周角BAC = BDC,而在AB上,ADB = ACB。 在AC上取一點K,使得ABK = CBD; 因為ABK + CBK =
13、ABC = CBD + ABD,所以CBK = ABD。 因此ABK與DBC相似,同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD,且CK·BD = BC·DA; 兩式相加,得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。推論1.任意凸四邊形ABCD,必有AC·BDAB·CD+AD·BC,當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點
14、共圓時取等號。2.托勒密定理的逆定理同樣成立:一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積,則這個凸四邊形內(nèi)接于一圓、4、西姆松 西姆松定理是一個幾何定理。表述為:過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線,則三垂足共線。(此線常稱為西姆松線)。西姆松定理的逆定理為:若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線,則該點在此三角形的外接圓上。西姆松定理說明 相關(guān)的結(jié)果有:(1)稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點,且這點在九點圓上。(2)兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。(3)若兩個三角形的外接圓相同,這外接圓上的一點P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角,跟P的位置無關(guān)。
15、(4)從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。(5)過三角形垂心的任意直線都是三角形的的西姆松線證明一:ABC外接圓上有點P,且PEAC于E,PFBC于F,PDAB于D,分別連FE、FD、BP、CP.易證P、B、D、F和P、F、C、E分別共圓,在PBDF圓內(nèi),DBP+DFP=180度,在ABPC圓內(nèi)ABP+ACP =180度,ABP=ECP于是DFP=ACP ,在PFCE圓內(nèi) PFE=PCE 而ACP+PCE=180° DFP+PFE=180° 即D、F、E共線. 反之,當(dāng)D、F、E共線時,由可見A、B、P、C共圓. 證明二:如圖,若L、
16、M、N三點共線,連結(jié)BP,CP,則因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、L、P、N和 P、M、C、L分別四點共圓,有NBP = NLP= MLP= MCP.故A、B、P、C四點共圓。若A、P、B、C四點共圓,則NBP= MCP。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、L、P、N和P、M、C、L四點共圓,有NBP = NLP= MCP= MLP.5.費馬點 在一個三角形中,到3個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點。費馬點定義(1)若三角形ABC的3個內(nèi)角均小于120°,那么3條距離連線正好三等分費馬點所在的周角。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。(2)若三角形有一內(nèi)角不小于120度,則此鈍角的頂點就是距離和最小的點。費馬點的判定(1)對于任意三角形ABC,若三角形內(nèi)或三角形上某一點E,若EA+EB+EC有最小值,則取到最小值時E為費馬點。 費馬點的計算(2)如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°,這個內(nèi)角的頂點就是費馬點;如果3個內(nèi)角均小于120
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