投資學(xué)之最優(yōu)投資組合與有效邊界

1、14最優(yōu)投資組合與有效邊界最優(yōu)投資組合與有效邊界投資組合優(yōu)化的五種形式投資組合優(yōu)化的五種形式1C=F+P2P=D+E3C=F+D+E4P=S1+S2+Sn5C=F+ 4P=S1+S2+Sn24.1 單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)P與單一無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與單一無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)F的資產(chǎn)組合的資產(chǎn)組合 Cset)y opportunitt (investmen14)()()()1 ()()(:)1 (),(可行投資組合由該式得到圖組合份無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的新份風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和則由，的收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，標(biāo)準(zhǔn)差為的期望收益率為記風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合CPfPfCPCfPffPCfPPrrErrEyrrEyrryryErECyyrFrE

2、P3圖圖4-1風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的可行投資組合可行投資組合4u資本配置線資本配置線(capital allocation line, CAL)u其斜率稱(chēng)為其斜率稱(chēng)為夏普比率夏普比率(Sharpe ratio)u經(jīng)過(guò)點(diǎn)（經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，7%）u這里這里0=y=1,不允許借款投資于不允許借款投資于P5CAL的杠桿作用的杠桿作用若允許以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入款項(xiàng)并全部投資若允許以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入款項(xiàng)并全部投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)P。若使用若使用40%杠桿杠桿,則有：則有：E(rc)= (-0.4) (0.07) + (1.4) (0.15) = 18.2% c = (1.4) (0.22)

3、 = 30.8%6圖圖4-2 借貸利率不同時(shí)的可行集借貸利率不同時(shí)的可行集(彎折的彎折的CAL)7風(fēng)險(xiǎn)容忍度與資產(chǎn)配置風(fēng)險(xiǎn)容忍度與資產(chǎn)配置2*222)(21)(00021)(PfPPfPfyArrEyAyrrEyrUMaxAAAArEU最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)配置比例求解效用最大化問(wèn)題：風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者：風(fēng)險(xiǎn)中性者：風(fēng)險(xiǎn)厭惡者投資者效用函數(shù)：84.2 兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合的方差越大越大，組合又：則有：組成和股票基金由長(zhǎng)期債券組合設(shè)某一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合PwwwwrrCovrrCovwwwwrEwrEwrEEDDEDEEDEDEEDDPEDDEEDEDEDEEDDPEEDDP112),( ),(

4、2 )()()(P22222222229情況一情況一的風(fēng)險(xiǎn)并未降低時(shí)組合結(jié)論：即：則有：，若PwwwwEEDDPEEDDPDE1 )(12210情況二情況二的風(fēng)險(xiǎn)可降至零時(shí)組合結(jié)論：令即：則有：，若PwwwwwwwwwEDDDEEDEDEEDDEEDDPEEDDPDE11,0- )(12211情況三情況三低的風(fēng)險(xiǎn)可有一定程度降時(shí)組合結(jié)論：則有：，若PwwEEDDPDE1 1112組合的機(jī)會(huì)集與有效集組合的機(jī)會(huì)集與有效集資產(chǎn)組合的機(jī)會(huì)集合或可行集合資產(chǎn)組合的機(jī)會(huì)集合或可行集合（Portfolio opportunity set, Feasible set），即資產(chǎn)可構(gòu)造），即資產(chǎn)可構(gòu)造出的所有組

5、合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差。出的所有組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差。有效組合點(diǎn)有效組合點(diǎn)（Efficient portfolio ）：給定風(fēng)險(xiǎn)）：給定風(fēng)險(xiǎn)水平下的具有最高收益的組合或者給定收益水水平下的具有最高收益的組合或者給定收益水平下具有最小風(fēng)險(xiǎn)的組合。平下具有最小風(fēng)險(xiǎn)的組合。每一個(gè)組合代表每一個(gè)組合代表E(r)和和空間中的空間中的一個(gè)點(diǎn)。一個(gè)點(diǎn)。有效集有效集（ Efficient set） ：又稱(chēng)為：又稱(chēng)為有效邊界有效邊界、有效前沿有效前沿（ Efficient frontier）,它是有效組合它是有效組合點(diǎn)的集合（點(diǎn)的連線）。點(diǎn)的集合（點(diǎn)的連線）。1314命題命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的機(jī)會(huì)集

6、：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的機(jī)會(huì)集合是一條直線。合是一條直線。證明：由資產(chǎn)組合的計(jì)算公式可得證明：由資產(chǎn)組合的計(jì)算公式可得PEDEDEEDEDEEEDPDDEDEPPEDEPDEDEEDDPEEDDPrErErErErErErErEwwwwwrEwrEwrE)()()()()( )()()()/()() 3)(2() 3( 1)2( ) 1 ( )()()(由式15兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當(dāng)權(quán)重兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當(dāng)權(quán)重wD從從1減少到減少到0時(shí)可以得到一條直線，該直線就構(gòu)成時(shí)可以得到一條直線，該直線就構(gòu)成了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的機(jī)會(huì)集合（了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的機(jī)會(huì)集合（假定不假定不

7、允許買(mǎi)空賣(mài)空允許買(mǎi)空賣(mài)空）。）。收益收益 E(rp)風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)pDE16兩種完全負(fù)相關(guān)資產(chǎn)的可行集兩種完全負(fù)相關(guān)資產(chǎn)的可行集 兩種資產(chǎn)完全負(fù)相關(guān)，即兩種資產(chǎn)完全負(fù)相關(guān)，即DE =-1，則有，則有0,)/(0,)/(0,)/() 3( 1)2( ) 1 ( )()()(DDEEPEDEDEEDDPEDEDPEDEDEDEEDDPEEDDPwwwwwwwwwwwrEwrEwrE時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)17命題命題2：完全負(fù)相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的機(jī)會(huì)集：完全負(fù)相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的機(jī)會(huì)集合是兩條直線，其截距相同，斜率異號(hào)。合是兩條直線，其截距相同，斜率異號(hào)。證明：證明：PEDEDEEDEDEEEDEPDEDEPPPD

8、EEDDPEDEDrErErErErErErErEfwwww)()()()()( )()1 ()()(),(,)/(從而時(shí)當(dāng)18命題成立。從而時(shí)當(dāng)同理可證，PEDEDEEDEDEPPDDDEEPEDEDrErErErErErEfwwww)()(-)()()()(),(-,)/(19兩種證券完全負(fù)相關(guān)的圖示兩種證券完全負(fù)相關(guān)的圖示收益收益rp風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)pDE20 命題命題3：不完全相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的機(jī)會(huì)集合：不完全相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的機(jī)會(huì)集合是一條二次曲線是一條二次曲線(雙曲線雙曲線)證明：暫略證明：暫略21各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的資資產(chǎn)組合機(jī)會(huì)集合產(chǎn)

9、組合機(jī)會(huì)集合(portfolio opportunity set)收益收益E(rp)風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)p=1=1=0.3=0.3=-1=-1E22兩只共同基金的描述性統(tǒng)計(jì)兩只共同基金的描述性統(tǒng)計(jì)23不同相關(guān)系數(shù)下的不同相關(guān)系數(shù)下的期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差24254.3資產(chǎn)在股票、債券與國(guó)庫(kù)券之間的配資產(chǎn)在股票、債券與國(guó)庫(kù)券之間的配置置 組合方法：組合方法：兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)先組合形成新的兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)先組合形成新的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，然后再向組合中加入無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，然后再向組合中加入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)險(xiǎn)資產(chǎn) 形成的形成的資本配置線資本配置線(CAL)中斜率最高的，中斜率最高的，效用水平最高效用水平最高26債券與股

10、票基金的可行集和兩條可行的債券與股票基金的可行集和兩條可行的CALs27最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P的求解的求解DEEDfEfDDfEEfDEDfEEfDDEDEDEDEEDDPEEDDPPfPPwwwrrCovrrErrErrErrErrCovrrErrEwwwrrCovwwwwrEwrEwrEt srrESMaxi1 ) 3 (),()()()()(),()()(1 ) 2(),(2 ) 1 ()()()( . .)(2222/ 1222228293031小結(jié)：兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)小結(jié)：兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的配置程序組合的配置程序 確定各單個(gè)資產(chǎn)的收益與風(fēng)險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)量確定各單

11、個(gè)資產(chǎn)的收益與風(fēng)險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)量 建造風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合建造風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合 根據(jù)式根據(jù)式(3)計(jì)算最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合計(jì)算最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P的構(gòu)成比例的構(gòu)成比例根據(jù)式根據(jù)式(1)、(2)計(jì)算資產(chǎn)組合計(jì)算資產(chǎn)組合P的收益與風(fēng)險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)量的收益與風(fēng)險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)量 配置風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)配置風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)根據(jù)式根據(jù)式 計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合權(quán)重組合權(quán)重計(jì)算最終投資組合中具體投資品種的份額。計(jì)算最終投資組合中具體投資品種的份額。324.4多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的最優(yōu)資產(chǎn)組合求多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的最優(yōu)資產(chǎn)組合求解解 見(jiàn)見(jiàn)Excel文件。文件。334.5馬科維茨的資產(chǎn)組合選擇模型馬科

12、維茨的資產(chǎn)組合選擇模型 均值均值-方差（方差（Mean-variance）模型是由）模型是由Harry Markowitz于于1952年建立的，其目的年建立的，其目的是尋找是尋找投資組合的有效邊界。投資組合的有效邊界。通過(guò)期望收通過(guò)期望收益和方差來(lái)評(píng)價(jià)組合，投資者是理性的：益和方差來(lái)評(píng)價(jià)組合，投資者是理性的：害怕風(fēng)險(xiǎn)和收益多多益善。害怕風(fēng)險(xiǎn)和收益多多益善。 因此，根據(jù)投資組合比較的占優(yōu)原則，因此，根據(jù)投資組合比較的占優(yōu)原則，這可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，即這可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，即（1）給定收益的條件下，風(fēng)險(xiǎn)最小化）給定收益的條件下，風(fēng)險(xiǎn)最小化（2）給定風(fēng)險(xiǎn)的條件下，收益最大化）給定風(fēng)險(xiǎn)的條件下

13、，收益最大化344.5.1馬柯維茨模型的代數(shù)求解馬柯維茨模型的代數(shù)求解1111mins.t.,1nnijijijni iiniiwwwrcw35對(duì)于上述帶有約束條件的優(yōu)化問(wèn)題，可以引入對(duì)于上述帶有約束條件的優(yōu)化問(wèn)題，可以引入拉格朗日乘子拉格朗日乘子和和來(lái)解決這一優(yōu)化問(wèn)題。構(gòu)來(lái)解決這一優(yōu)化問(wèn)題。構(gòu)造造拉格朗日函數(shù)如下拉格朗日函數(shù)如下1111L()(1)nnnnijiji iiijiiwwwrcw上式左右兩邊對(duì)上式左右兩邊對(duì)wi求導(dǎo)求導(dǎo)數(shù)，令其一階條件為數(shù)，令其一階條件為0，得到方程組得到方程組36111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw 111ni iini

14、iwrcw37 這樣共有這樣共有n2方程，未知數(shù)為方程，未知數(shù)為wi（i1，2,n）、）、和和，共有，共有n2個(gè)未知量，其解個(gè)未知量，其解是存在的。是存在的。 注意到上述的方程是線性方程組，可以通注意到上述的方程是線性方程組，可以通過(guò)線性代數(shù)加以解決。過(guò)線性代數(shù)加以解決。38其中，其中，1 1T T=(1,1)=(1,1)T T是所有元素為是所有元素為1 1的的n n維列向量。維列向量。由此構(gòu)造由此構(gòu)造LagrangeLagrange函數(shù)函數(shù)4.5.2馬柯維茨模型的矩陣解法馬柯維茨模型的矩陣解法11 )( . .21minmin22TPTTwTwwrErwtswVwwVw)11 ()(21mi

15、n,wTTTwrwrEwVwL390=0,0,0T)84( 011)74( 0)()64( 01TTwLrwrELrwVwL40414243441/)/)(/ 1222CDCArECPP45g點(diǎn)是全局最小方差組合點(diǎn)（點(diǎn)是全局最小方差組合點(diǎn)（global minimum variance portfolio point）均值均值方差方差wgCB/C/146 注意點(diǎn)注意點(diǎn)wg以下的部分，由于它違背了均方準(zhǔn)則，以下的部分，由于它違背了均方準(zhǔn)則，被理性投資者排除，這樣，全局最小方差點(diǎn)被理性投資者排除，這樣，全局最小方差點(diǎn)wg以以上的部分（子集），被稱(chēng)為均方效率邊界上的部分（子集），被稱(chēng)為均方效率邊界(

16、mean-variance efficient frontier)均值均值方差方差wg47不同理性投資者具有不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度不同理性投資者具有不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度48結(jié)合投資者效用曲線的最優(yōu)組合選擇結(jié)合投資者效用曲線的最優(yōu)組合選擇 最優(yōu)資產(chǎn)組合位于無(wú)差異曲線最優(yōu)資產(chǎn)組合位于無(wú)差異曲線I2與有效集相切的切與有效集相切的切點(diǎn)處。由點(diǎn)處。由G點(diǎn)可見(jiàn)，對(duì)于更害怕風(fēng)險(xiǎn)的投資者，點(diǎn)可見(jiàn)，對(duì)于更害怕風(fēng)險(xiǎn)的投資者，他在有效邊界上的點(diǎn)具有較低的風(fēng)險(xiǎn)和收益。他在有效邊界上的點(diǎn)具有較低的風(fēng)險(xiǎn)和收益。49資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點(diǎn)資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點(diǎn) 首次對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行精確的描述，解決首次對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行精確的描述，解決對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的

17、衡量問(wèn)題，使投資學(xué)從一個(gè)藝術(shù)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的衡量問(wèn)題，使投資學(xué)從一個(gè)藝術(shù)邁向科學(xué)。邁向科學(xué)。 分散投資的合理性為基金管理提供理論依分散投資的合理性為基金管理提供理論依據(jù)。單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)并不重要，重要的是據(jù)。單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)并不重要，重要的是組合的風(fēng)險(xiǎn)。組合的風(fēng)險(xiǎn)。 開(kāi)創(chuàng)了數(shù)量分析方法在金融學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了數(shù)量分析方法在金融學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用50資產(chǎn)組合理論的缺點(diǎn)資產(chǎn)組合理論的缺點(diǎn) 當(dāng)證券的數(shù)量較多時(shí)，計(jì)算量非常大，當(dāng)證券的數(shù)量較多時(shí)，計(jì)算量非常大，使模型應(yīng)用受到限制。使模型應(yīng)用受到限制。 均值方差分析的成立條件：收益正態(tài)均值方差分析的成立條件：收益正態(tài)分布或二次型效用函數(shù)分布或二次型效用函數(shù)514.6不允許

18、賣(mài)空的投資組合策略模型計(jì)算不允許賣(mài)空的投資組合策略模型計(jì)算524.7兩基金分離定理及其應(yīng)用兩基金分離定理及其應(yīng)用 表述：表述： 在均方效率曲線上任意兩點(diǎn)的線性組合，在均方效率曲線上任意兩點(diǎn)的線性組合，都是具有均方效率的有效組合。都是具有均方效率的有效組合。 或：有效組合邊界上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)代或：有效組合邊界上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)代表兩個(gè)不同的有效投資組合，而其他任意表兩個(gè)不同的有效投資組合，而其他任意點(diǎn)均可由該兩點(diǎn)線性組合生成點(diǎn)均可由該兩點(diǎn)線性組合生成 幾何含義：過(guò)兩點(diǎn)生成一條雙曲線。幾何含義：過(guò)兩點(diǎn)生成一條雙曲線。53)()()()()()1 ()()()()()()()(2122121212

19、121pppPppPPPpppppprErErErErErErEwrEPwwrErErErEPP使得：，則必存在一實(shí)數(shù)和例為對(duì)應(yīng)的收益率和組合比，另外任意的點(diǎn)、組合比例，且、對(duì)應(yīng)的收益率為、上任意兩個(gè)分離的點(diǎn)證明：設(shè)有效組合邊界54證畢。線性表示。、可由即得：組合起來(lái)、的比例將按又由2121212121)()()1 ()()()(1 ()()1 ()1 ( ,)(ppPPPppppppppwwwwnrEmnrErEmnrEmnrEmwwwwnrEmw55兩基金分離定理的意義兩基金分離定理的意義 定理的前提：兩基金（有效資產(chǎn)組合）的期望收定理的前提：兩基金（有效資產(chǎn)組合）的期望收益是不同的，即益

20、是不同的，即兩基金分離兩基金分離。 金融含義：金融含義：若有兩家基金都投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，且若有兩家基金都投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，且經(jīng)營(yíng)良好經(jīng)營(yíng)良好(即達(dá)到有效邊界即達(dá)到有效邊界)，則按一定比例投資，則按一定比例投資于該兩基金，可達(dá)到投資于其他基金的同樣結(jié)果。于該兩基金，可達(dá)到投資于其他基金的同樣結(jié)果。這就方便了投資者的選擇。這就方便了投資者的選擇。 CAL、CML實(shí)際上是在有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合和無(wú)風(fēng)實(shí)際上是在有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合之間險(xiǎn)資產(chǎn)組合之間又進(jìn)行了一次兩基金分離又進(jìn)行了一次兩基金分離。此時(shí)。此時(shí)投資者僅需確定投資者僅需確定一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)組合一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)組合，即可達(dá)到各種即可達(dá)到各種風(fēng)險(xiǎn)收益水準(zhǔn)的組合。資本配置更加方便。風(fēng)險(xiǎn)收益水準(zhǔn)的組合。資本配置更加方便。56分離定理對(duì)組合選擇的啟示分離定理對(duì)組合選擇的啟示v若市場(chǎng)是有效的，由分離定理，資產(chǎn)組合選擇問(wèn)若市場(chǎng)是有效的，由分離定理