第一章信號與系統(tǒng)

1、信號與線性系統(tǒng)分析信號與線性系統(tǒng)分析 -第四版第四版 吳大正主編吳大正主編課程介紹課程介紹一、課程名稱課程名稱：信號與系統(tǒng) 教材：教材： 信號與線性系統(tǒng)分析 吳大正等編.北京：高等教育出版社，第4版 參考書：參考書： 1 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng) （第二版）鄭君里等編（第二版）鄭君里等編. 高等教育出版社高等教育出版社 2 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)（第二版）（第二版） 陳生譚等編陳生譚等編. 西安電子科技大學(xué)出版社西安電子科技大學(xué)出版社二、課程性質(zhì)課程性質(zhì)：專業(yè)必修課,專業(yè)選修課，（信息，通信，電子，控制）三、先修課程先修課程：高等數(shù)學(xué)、電路分析、復(fù)變函數(shù)四、課程學(xué)分與總學(xué)時課程學(xué)分與總學(xué)時：4學(xué)分/

2、72學(xué)時,3 學(xué)分/54學(xué)時（18周）五、期末成績考核期末成績考核：平時成績（1040%）+期末試卷成績（6090%）基本概念及基本分析方法學(xué)習(xí)目的學(xué)習(xí)目的 一 掌握基本概念及分析方法 二 培養(yǎng) 邏輯分析能力主要問題：主要問題： 一 基本信號及其響應(yīng) 二 信號的分解 三 線性時不變（Linear Time-Invariant） LTI系統(tǒng) LTI系統(tǒng)的描述及分析方法目 錄 第一章第一章 信號系統(tǒng)信號系統(tǒng) 第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 第三章第三章 離散系統(tǒng)的時域分析離散系統(tǒng)的時域分析 第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域 第五章第五章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)

3、系統(tǒng)的S域分析域分析 第六章第六章 離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的Z域分析域分析 第七章第七章 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 第八章第八章 系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析先連續(xù)，后離散先連續(xù)，后離散本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 1.1 緒言 一、信號的概念 二、系統(tǒng)的概念 1.2 信號的描述與分類 一、信號的描述 二、信號的分類 1.3 信號的基本運算 一、加法和乘法 二、時間變換第一章第一章 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng) 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 一、階躍和沖激函數(shù)的概念 二、沖激函數(shù)的性質(zhì) 1.5 系統(tǒng)的描述 一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 二、系統(tǒng)的框圖表示 1.6 系統(tǒng)的特性和分析方法 一、系統(tǒng)的特性 二、LTI系統(tǒng)分析方

4、法概述理解沖激信號的特性理解沖激信號的特性 第一章第一章 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)認識本課程領(lǐng)域的一些名詞、術(shù)語認識本課程領(lǐng)域的一些名詞、術(shù)語 學(xué)習(xí)信號運算規(guī)律、熟悉表達式與波形的對應(yīng)關(guān)系學(xué)習(xí)信號運算規(guī)律、熟悉表達式與波形的對應(yīng)關(guān)系了解本課程研究范圍、學(xué)習(xí)目標(biāo)了解本課程研究范圍、學(xué)習(xí)目標(biāo) 初步了解本課程用到的主要方法和手段初步了解本課程用到的主要方法和手段學(xué)習(xí)的主要要求：學(xué)習(xí)的主要要求：1.1 緒論一、基本術(shù)語 1. 消息 人們常常把來自外界的各種報道統(tǒng)稱為消息。 2. 信息（內(nèi)容）代表知識狀態(tài)的改變 通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。 本課程中對“信息”和“消息”兩詞不加嚴格區(qū)分。P(x)1lo

5、gI2 信號信號是是信息信息的載體，通過信號傳遞信息。的載體，通過信號傳遞信息。 如鈴聲表示該上課了聲信號； 十字路口的紅綠燈指揮交通光信號； 電視機天線接受的電視信息電信號； 廣告牌上的文字-圖象信號等等。 為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號傳輸和處理的信號。 信號理論：信號理論：信號分析，信號傳輸，信號處理信號分析，信號傳輸，信號處理 1.1.信號分析：信號分析： 主要討論信號的表示及其性質(zhì)。主要討論信號的表示及其性質(zhì)。 3. 信號（形式）為傳送消息而裝設(shè)的全套技術(shù)設(shè)備（包括傳輸信道）。為傳送消息而裝設(shè)的全套

6、技術(shù)設(shè)備（包括傳輸信道）。發(fā)送發(fā)送設(shè)備設(shè)備信息源信息源發(fā)送端發(fā)送端接收端接收端消息消息信號信號信號信號消息消息信宿信宿信道信道接收接收設(shè)備設(shè)備噪聲源噪聲源2.信號傳輸信號傳輸對信號進行某種加工或變換。對信號進行某種加工或變換。 目的：目的：l消除信號中的多余內(nèi)容；消除信號中的多余內(nèi)容；l濾除混雜的噪聲和干擾；濾除混雜的噪聲和干擾；l將信號變換成容易分析與識別的形式，將信號變換成容易分析與識別的形式， 便于便于估計和選擇它的特征參量。估計和選擇它的特征參量。信號處理的應(yīng)用已遍及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。信號處理的應(yīng)用已遍及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。3.3.信號處理信號處理 系統(tǒng)(system) 是指若干相互關(guān)聯(lián)

7、的事物組合而成具有特定功能的整體。 如：控制、通信、電系統(tǒng) （狹義）系統(tǒng)是信號產(chǎn)生，傳輸和處理所需要的物理裝置。 如手機、電視機、通信網(wǎng)、計算機網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號。4 . 系統(tǒng)的概念系統(tǒng)的概念5. 5. 信號與系統(tǒng)理論信號與系統(tǒng)理論 1. 信號理論：分析傳輸處理 2.系統(tǒng)理論： （1）系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析：給定系統(tǒng)，研究在輸入信號的作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)。 （2）系統(tǒng)綜合系統(tǒng)綜合：按某種需要提出對于給定激勵的響應(yīng)，據(jù)此要求設(shè)計系統(tǒng)。 信號的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。信號在系統(tǒng)中按照一定規(guī)律變化的；系統(tǒng)是在輸入信號的驅(qū)動下進行工作的進行加工

8、和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號。系統(tǒng)的基本作用是對信號進行系統(tǒng)的基本作用是對信號進行傳輸和處理傳輸和處理。 一、信號的描述一、信號的描述 信號是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時間或位置變化的物理量。 信號按物理屬性分：電信號和非電信號。它們可以相互轉(zhuǎn)換。電信號容易產(chǎn)生，便于控制，易于處理。 本課程討論電信號本課程討論電信號-簡稱簡稱“信號信號”。電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。描述信號的常用方法：（1）表示為時間的函數(shù)（或序列） （2）信號的圖形表示-波形“信號”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。1.2 信號 信號的描述典型示例 描述信號的基本方法-數(shù)學(xué)表示 數(shù)學(xué)表達式: 時域 （時間的

9、函數(shù)） f(t)； 頻域 (角頻率的函數(shù)）F()； 復(fù)頻域 F(s) s=+j ； Z域 F(z) z=est 波形圖 頻譜圖 二、信號的分類 1. 確定信號和隨機信號 可以用確定時間函數(shù)表示的信號，稱為確定信號或規(guī)則信號。如正弦信號。 若信號不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時刻的取值都具有不確定性，（事先有不可預(yù)知性）只可能知道它的統(tǒng)計特性，如在某時刻取某一數(shù)值的概率，這類信號稱為隨機信號或不確定信號。如電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號。 研究確定信號是研究隨機信號的基礎(chǔ)。本課程只討論確定信號。確定信號與隨機信號波形確定信號與隨機信號波形 在連續(xù)的時間范圍內(nèi)(-t）有定義的信號稱為連續(xù)時間

10、信號，簡稱連續(xù)信號。 這里的“連續(xù)連續(xù)”指函數(shù)的定義域定義域時間是連續(xù)的，但可含間斷點，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。2. 連續(xù)信號和離散信號根據(jù)信號定義域定義域的的特點可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。1 1 連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號012 1 2AAf1(t)to1tf2(t)oAtf3(t)t0(a)(b)(c)注：時間和幅值都為注：時間和幅值都為連續(xù)的信號稱為連續(xù)的信號稱為模擬信號。模擬信號。單位階躍信號單位階躍信號 通常以符號通常以符號(t) 表示表示 在跳變點t=0處不連續(xù),對于間斷點處的信號值一般不作定義,這樣做不會影響分析結(jié)果。 如有必要也可定義信號f(t)在間斷點t0

11、處的信號值等于其左極限f(t0-)與右極限f(t0+)的算術(shù)平均值算術(shù)平均值即在t=0處規(guī)定函數(shù)(0)=1/2。 0)(t 1)0( 0 (t)t1t02 2 離散時間信號離散時間信號 僅在一些離散的瞬間才有定義離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。 這里的“離散”指信號的定義域-時間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余無定義。 如右圖的f(t)僅在一些離散時刻tk(k = 0,1,2,)才有定義，其余時間無定義。注：相鄰離散點的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號可表示為f(kT)，簡寫為f(k)，這種等間隔的離散信號也常稱為序列

12、。其中k稱為序號。0 12345678 2 4 6 8AAkf1(k ) 1 3102 34 1 310234 10132f2(k )f3(k )kk56A(a )(b )(c )離散信號 注：時間和幅值都注：時間和幅值都離散的信號為離散的信號為-數(shù)字信號數(shù)字信號 上述離散信號可簡畫為用表達式可寫為或?qū)憺閒(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，通常將對應(yīng)某序號通常將對應(yīng)某序號m的序列值稱為第的序列值稱為第m個樣點的個樣點的“樣值樣值”。模擬信號、抽樣信號、數(shù)字信號（模擬信號、抽樣信號、數(shù)字信號（A/DA/D）數(shù)字信號：數(shù)字信號：模擬信號：模擬信號：抽樣信號：抽樣信號：量化量化Ot

13、tf抽樣抽樣連續(xù)信號連續(xù)信號幅值幅值時間時間均連續(xù)均連續(xù)時間時間幅值幅值離散離散連續(xù)連續(xù)時間時間幅值幅值均離散均離散離散信號離散信號模擬信號模擬信號數(shù)字信號數(shù)字信號3. 周期信號和非周期信號 周期信號是定義在(-，)區(qū)間，每隔一定時間T (或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。 連續(xù)周期信號f(t)滿足f(t) = f(t + mT)， m =0,1,2, 離散周期信號f(k)滿足f(k) = f(k + mN)， m = 0,1,2, 滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號的周期。 不具有周期性的信號稱為非周期信號。tf (t)A A2T2TTTof (t) 2 40246k周期信號三種

14、非周期信號f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m =0,1,2,正弦序列正弦序列f(k) = sin(k)是周期信號的條件是周期信號的條件式中稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見：當(dāng)2/ 為整數(shù)時，正弦序列周期N = 2/ 。當(dāng)2/ 為有理數(shù)時，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N= M(2/ )，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2/ 為無理數(shù)時，正弦序列為非周期序列。P5 1.2-1P5 1.2-1)(sin)2(sinmNkmkf(k) = f(k + mN) 解（1） sin(2k) 的數(shù)字角頻率為1 = 2 rad；由于2/ 1 =為無理數(shù)，故f2(

15、k) = sin(2k)為非周期序列。 （2） sin(3k/4) 和cos(0.5k)的數(shù)字角頻率分別為1 = 3/4 rad， 2 = 0.5rad 由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4為有理數(shù)，故它們的周期分別為N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。例1 判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。（1） f2(k) = sin(2k) （2）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k) 解：兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號x(t)+y(t)仍然是

16、周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。 （1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s 由于T1/T2= 3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2。 （2） cos2t 和sint的周期分別為T1=s， T2= 2 s，由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號。例例2 2 判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos

17、2t + sint由上面幾例可看出：連續(xù)正弦信號一定是周期信號而正弦序列連續(xù)正弦信號一定是周期信號而正弦序列不一定是周期序列。不一定是周期序列。兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。而兩周期序列之和一定是周期序列。練習(xí) P33-1.5 總結(jié)總結(jié)和函數(shù)（序列）判斷周期和函數(shù)（序列）判斷周期1.求分函數(shù)周期求分函數(shù)周期2.周期比值周期比值 有理式有理式-取最小公倍數(shù)取最小公倍數(shù) 無理式無理式-非周期非周期4能量信號與功率信號 將信號f (t)施加于1電阻上，它所消耗的瞬時功率為| f (t) |2，在區(qū)間( , )的能量和平均功率定

18、義為 （1）信號的能量 （2）信號的平均功率若信號f (t)的能量有界，即E ,則稱其為能量有限信號，簡稱能量信號。此時P = 0若信號f (t)的功率有界，即P ,則稱其為功率有限信號，簡稱功率信號。此時E = 相應(yīng)地，對于離散信號，也有能量信號、功率信號之分?？偨Y(jié)：總結(jié)：時限信號時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的信號僅在有限時間區(qū)間不為零的信號)為為能量信號能量信號; 周期信號周期信號屬于屬于功率信號功率信號，非周期信號非周期信號可能是能量信號，也可能是功率信號?？赡苁悄芰啃盘枺部赡苁枪β市盘?。有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號，如有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號，如

19、f (t) = e -t。（一）正弦信號（正弦、余弦）一）正弦信號（正弦、余弦） K:K:振幅振幅 ：角頻率：角頻率= =2= =2f f ：初相位初相位 借助復(fù)指數(shù)信號,由歐拉公式 T2重要特性：正弦信號對時間正弦信號對時間t的微分與積分是同頻率的正弦波的微分與積分是同頻率的正弦波1. 實信號：物理可實現(xiàn)信號，函數(shù)（序列）值為實數(shù)，如正弦實信號：物理可實現(xiàn)信號，函數(shù)（序列）值為實數(shù)，如正弦信號或單邊指數(shù)信號等。信號或單邊指數(shù)信號等。5實信號與復(fù)信號)sin()(tKtftjtetjtetjtjsincossincos)(21sin)(21costjtjtjtjeejteet（二）指（二）指數(shù)

20、信號數(shù)信號重要特性：重要特性：其對時間的連續(xù)微其對時間的連續(xù)微分和積分仍然是指數(shù)形式。分和積分仍然是指數(shù)形式。tKtf e)( 表示信號衰減速率，表示信號衰減速率， 越大，信號衰減的越快越大，信號衰減的越快 稱稱為指數(shù)信號的為指數(shù)信號的時間常數(shù)時間常數(shù)，1l 指數(shù)衰減指數(shù)衰減, ,隨隨t衰減衰減0 l 直流直流( (常數(shù)常數(shù)) )0 O tftl l 指數(shù)增長，隨指數(shù)增長，隨t增長增長0 0 0 K0 單邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號-衰減衰減-f（t)* (t) (t)具有很好的接入性質(zhì)，表現(xiàn)單邊特性具有很好的接入性質(zhì)，表現(xiàn)單邊特性單邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號 0ee00 t-1tttft 越大衰減的越

21、慢越大衰減的越慢（三）抽樣（三）抽樣信號信號(Sampling Signal)(Sampling Signal)t tSa123O 性質(zhì)性質(zhì) ，偶函數(shù)，偶函數(shù)ttSaSa 1)Sa(lim1)Sa(, 00 tttt，即，即3 , 2 , 1, 0)Sa( nntt， dsin,2dsin0tttttt0)Sa(lim tttttsin)Sa( tttSinc)sin()(1d)( 21d)(0ttSincttSinc討論討論 衰減指數(shù)信號衰減指數(shù)信號升指數(shù)信號升指數(shù)信號直流直流 0 , 0 0 , 0 0 , 0 振蕩振蕩衰減衰減增幅增幅等幅等幅 0 , 0 0 , 0 0 , 0 為為復(fù)復(fù)

22、數(shù)數(shù)，稱稱為為復(fù)復(fù)頻頻率率 j s ,均為實常數(shù)均為實常數(shù) tKtKtt sinejcose 不能產(chǎn)生不能產(chǎn)生用來描述用來描述各種信號各種信號信號分析信號分析及運算簡化及運算簡化ejt=cos(t)+jsin()( e)( tKtfst=實部實部+虛部虛部=正弦分量正弦分量+余弦分量余弦分量2.復(fù)信號 函數(shù)（序列）值為復(fù)數(shù)的信號，如復(fù)指數(shù)信號函數(shù)（序列）值為復(fù)數(shù)的信號，如復(fù)指數(shù)信號 復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號(指數(shù)信號的指數(shù)因子為一復(fù)數(shù)指數(shù)信號的指數(shù)因子為一復(fù)數(shù))重要特性：可利用它描述各種基本信號重要特性：可利用它描述各種基本信號6因果信號與反因果信號 將t = 0時接入系統(tǒng)的信號g(t) 即在t

23、0，則將f ()右移；否則左移。 如平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合已知f(t)如下圖所示，請畫出f(2-t)先平移f (t) f (t +2), 法一：法一： 先平移，再反轉(zhuǎn)先平移，再反轉(zhuǎn)再反轉(zhuǎn)f (t +2) f ( t +2)法二：先反轉(zhuǎn)，后平移法二：先反轉(zhuǎn)，后平移先反轉(zhuǎn)先反轉(zhuǎn) f (t) f ( t)再平移f ( t) f ( t +2)= f (t 2)實際中雷達測距通過雷達接收到的目標(biāo)回波信號（延實際中雷達測距通過雷達接收到的目標(biāo)回波信號（延遲時間遲時間t）和發(fā)射的信號來計算目標(biāo)和雷達的距離）和發(fā)射的信號來計算目標(biāo)和雷達的距離f (t) f(2-t)3. 尺度變換（橫坐標(biāo)展縮） 將f (t) f

24、(a t) ， 稱為對信號f (t)的尺度變換。 若a 1 ，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0 a 1 ，則展開。如 信號的尺度變換在信號的尺度變換在實際生活中的例子實際生活中的例子注：注：對于離散信號，對于離散信號，由于由于f (a k) 僅在為僅在為a k 為整數(shù)時才為整數(shù)時才有意義，有意義， 進行尺度變換時可能會使部分信號丟失。因進行尺度變換時可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。此一般不作波形的尺度變換。例例 ：P11-P11-圖圖1.3-51.3-5如果如果f(t)已經(jīng)錄制好的聲音信號，已經(jīng)錄制好的聲音信號，021f (t)t121021f (2t)t121024t421)21(

25、f(a)(b)(c)f(-t) 倒轉(zhuǎn)播放倒轉(zhuǎn)播放f(2t) 快放快放f(1/2t) 慢放慢放 三種運算的次序可任意。但一定要注意始終對三種運算的次序可任意。但一定要注意始終對時間時間t 進行。進行。 例：已知例：已知f (t)，畫出，畫出f ( 4 2t)。平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)（一個自變量對應(yīng)一個因變量），稱為奇異函數(shù)奇異函數(shù)（不滿足普通函數(shù)的對應(yīng)的要求），反映某些物理量在空間或坐標(biāo)軸上集中一點的物理現(xiàn)象 一一 、奇異函數(shù)

26、（或奇異信號、奇異函數(shù)（或奇異信號)：函數(shù)本身有不連續(xù)點：函數(shù)本身有不連續(xù)點(跳變點跳變點)或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點的一類函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點的一類函數(shù)。 斜坡（升）信號斜坡（升）信號 單位階躍信號單位階躍信號 符號函數(shù)符號函數(shù) 門函數(shù)門函數(shù) 單位沖激單位沖激 沖激偶信號沖激偶信號 1 單位斜坡（升）信號單位斜坡（升）信號 從某一時刻開始隨時間正比例增長的信號，如變化率從某一時刻開始隨時間正比例增長的信號，如變化率為為1，則為，則為單位斜變信號單位斜變信號。其表達式為：。其表達式為：)0( )0( 0)( rtttt 0 t0 t0+1 t 0 1 tr(t)r(t-t0)研究奇異函數(shù)

27、的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)的理論研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)的理論。首先直觀地引出幾類奇異函數(shù)首先直觀地引出幾類奇異函數(shù)11切平的斜變切平的斜變 三角斜變?nèi)切弊?0 t t0 f(t) =K 0 t t0 f(t) = 00t0tkkt0t02 階躍函數(shù)階躍函數(shù) 下面采用求函數(shù)序列極限的方法的方法定義階躍函數(shù)。定義階躍函數(shù)。 選定一個函數(shù)序列n(t)如圖所示n1t12,3.nn1tn1-t2n21n1-t0tn，）（，）（電路如圖：電路如圖：持續(xù)下去。持續(xù)下去。定定義義00)0(1(t)tt波形圖如上圖：波形圖如上圖：注意：在注意：在t=0處，發(fā)生跳變處，發(fā)生跳變,未定義或未定義或1/2。單位

28、階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)且無限且無限延延遲單位階躍信號遲單位階躍信號0 ,10)(0000 ttttttt 0 , 1 0)(0000 ttttttt 0100)(ttt 用階躍表示矩形脈沖用階躍表示矩形脈沖)()()(gttt)()()(g00tttttg (t)g (t-t0)t00t 問：如何用階躍函數(shù)表示如下信號問：如何用階躍函數(shù)表示如下信號) 1(2) 1(2)(tttf)2() 1(3)(2)(ttttf階躍函數(shù)性質(zhì)：階躍函數(shù)性質(zhì)： （1）可以方便地表示某些信號f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2)（2）用階躍函數(shù)表示信號的作用區(qū)間（3）積分）積分 )(d)(ttt（4）

29、信號加窗或取單邊信號加窗或取單邊)()()(0tttetftf(t)t 0 t03 門函數(shù)門函數(shù)下圖所示矩形脈沖g(t)常稱為門函數(shù)。g(t)1-/2/20 t特點特點:寬度為寬度為 ，幅度為，幅度為12|, 02|, 1)(tttg利用移位階躍函數(shù)，門函數(shù)可表示為：利用移位階躍函數(shù)，門函數(shù)可表示為：)2()2()(tttg4 符號函數(shù)符號函數(shù) sgn(0)無意義或為無意義或為0 可用階躍表示可用階躍表示 0 10 1)sgn(tttSgn(t)t01-11)(2)sgn(tt5 沖激函數(shù)沖激函數(shù) 單位沖激函數(shù)是個奇異函數(shù)，它是對強度極大，作用時間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式

30、定義（由狄拉克最早提出）0 , 0, 0)(ttt可采用下列直觀定義：對n(t)求導(dǎo)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t)定義單位沖擊函數(shù)：高度無窮大，寬度無窮小，面積定義單位沖擊函數(shù)：高度無窮大，寬度無窮小，面積為為1的對稱窄脈沖。的對稱窄脈沖。求求導(dǎo)導(dǎo)沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點的導(dǎo)數(shù)也存在。如f(t) = 2(t +1)-2(t -1) f(t) = 2(t +1)-2(t -1)(t)與與(t)的關(guān)系的關(guān)系tttd)(d)( tt d)()(求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分6 沖激偶信號沖激偶信號對沖激信號對沖激信號(t)求時間導(dǎo)數(shù)，得到一個新的奇異求時間導(dǎo)

31、數(shù)，得到一個新的奇異信號，即沖激偶信號，其表示式為信號，即沖激偶信號，其表示式為 ?)( dtt( )( )dttdt見書見書p14，圖，圖1.4-30奇函數(shù)奇函數(shù)ot(1)( 1) ( t)，（定義域）xyf(t)N g(t), (t)N g(t), *)廣義函數(shù)一維實數(shù)空間推廣函數(shù)集-函數(shù)空間檢驗函數(shù)空間普通函數(shù)普通函數(shù)y=f(x)看成是對定義域中的每個自變量看成是對定義域中的每個自變量x，按一定的運算規(guī)則，按一定的運算規(guī)則f生成一個因變量生成一個因變量y的過程的過程廣義函數(shù)廣義函數(shù)g(t) 是對檢驗函數(shù)集是對檢驗函數(shù)集(t)中的每個函數(shù)中的每個函數(shù)(t)，按一定運算規(guī)則，按一定運算規(guī)則N

32、分配一個數(shù)值分配一個數(shù)值N g(t), (t) )(),()()(ttgNdtttg二二 、廣義函數(shù)廣義函數(shù)注：上式，是一個作用的形式，當(dāng)g(t)是可積函數(shù)可看成是積分一個廣義函數(shù)一個廣義函數(shù)g(t)作用在作用在 (t)，得到一個數(shù)值得到一個數(shù)值Ng(t), (t)或者或者Ng (t) 廣義函數(shù)定義廣義函數(shù)定義函數(shù)空間y=sinx0 , 0, 0)(ttt函數(shù)值確定不了函數(shù)值確定不了)(),()()(ttgNdtttg滿足上式中的檢驗函數(shù)(t)是連續(xù)的，是具有任意階導(dǎo)數(shù)，且本身及其各階導(dǎo)數(shù)在無限遠處的急劇下降的普通函數(shù)檢驗函數(shù)空間-急降函數(shù)空間（）廣義函數(shù)為-緩增廣義函數(shù)（ ）表 1.1 廣義

33、函數(shù)與普通函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 廣義函數(shù)的基本運算包括： （1）相等）相等)()(21tgtg若若)(),()(),(21ttgNttgN則定義則定義（2）相加）相加若若則定義)(),()(),()(),(21ttgNttgNttgN)()()(21tgtgtg沖激沖激函數(shù)的廣義定義函數(shù)的廣義定義 作為常規(guī)函數(shù)，在間斷點處的導(dǎo)數(shù)是不存在的。作為常規(guī)函數(shù)，在間斷點處的導(dǎo)數(shù)是不存在的。除間斷除間斷點外，點外， 自變量自變量t在定義域內(nèi)取某值時，函數(shù)有確定的值。在定義域內(nèi)取某值時，函數(shù)有確定的值。 單位階躍信號單位階躍信號(t)在間斷點處的導(dǎo)數(shù)是單位沖激信號，在間斷點處的導(dǎo)數(shù)是單位沖激信號，函數(shù)在其惟一不

34、等于零的點函數(shù)在其惟一不等于零的點t=0處的函數(shù)值為無限大。顯然，處的函數(shù)值為無限大。顯然，這些結(jié)論是與常規(guī)函數(shù)的定義相違背的這些結(jié)論是與常規(guī)函數(shù)的定義相違背的,故對這類函數(shù)的定義故對這類函數(shù)的定義和運算都不能按通常的意義去理解。人們將這類非常規(guī)函數(shù)和運算都不能按通常的意義去理解。人們將這類非常規(guī)函數(shù)稱為稱為奇異函數(shù)或廣義函數(shù)。奇異函數(shù)或廣義函數(shù)。 1. 沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義)0()()(dttt移位移位)()()(11tdtttt篩選性能從檢驗函數(shù)能從檢驗函數(shù) 中篩選出函數(shù)值中篩選出函數(shù)值 的的廣義函數(shù)叫做沖激函數(shù)廣義函數(shù)叫做沖激函數(shù))(t)0(沖激函數(shù)沖激函數(shù) 作用

35、于檢驗函數(shù)作用于檢驗函數(shù) 的效果的效果是給他賦予是給他賦予 )(t)0()(t)()()()()(0000tdttttdtttt)(0t) 0 ()() 0 () 0 ()()()(dttdttdtttt)0(00t)(lim)(tptnnn1t02,3.nn1tn1-2nn1-t0tn，）（，）（pnndttdttp/1/1n)(2n)(t）（廣義極限廣義極限n ( , ),n1-n1)0()(t 同樣的，雙邊指數(shù)信號、鐘形信號、同樣的，雙邊指數(shù)信號、鐘形信號、Sa(t)信號信號 取極限定義單位沖激函數(shù)取極限定義單位沖激函數(shù) 雙邊指數(shù)函數(shù)的極限雙邊指數(shù)函數(shù)的極限lim)(210btetbb

36、鐘形信號的極限鐘形信號的極限 抽樣信號的極限抽樣信號的極限2)(lim)(btbbettbtStb)(inlim)(2. 廣義函數(shù)定義階躍函數(shù)廣義函數(shù)定義階躍函數(shù)0)()()(dttdttt）（tlim)(nnt廣義極限廣義極限三三 、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分和積分 (t) 也稱沖激偶定義：)0()()()()()()( ,dtttttdttt)0()()( dttt)()()(11tdtttt移位移位證明證明 P17 （分布積分）（分布積分）1. 沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)vduuvdvu的定義：的定義：例題例題?)()(tn推廣推廣)0() 1()()(nnndttt2. 階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

37、階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ttttd)(d)( )()0()()( dttt r(t)=t (t),斜升（斜坡）函數(shù)斜升（斜坡）函數(shù))()()( rttt求導(dǎo)積分求導(dǎo)積分)0( )0( 0ttt0 1 tr(t)(d)(ttt)()( tdtt1積分積分 帶有突變的信號可用階躍函數(shù)表示，其導(dǎo)數(shù)必帶有突變的信號可用階躍函數(shù)表示，其導(dǎo)數(shù)必能引起沖激函數(shù)能引起沖激函數(shù) 任意信號任意信號x(t)的求導(dǎo)的求導(dǎo) ： 分段連續(xù)部分：普通意義上的導(dǎo)數(shù)分段連續(xù)部分：普通意義上的導(dǎo)數(shù) 跳變點：強度為跳變幅度的沖激函數(shù)跳變點：強度為跳變幅度的沖激函數(shù)帶有跳變的信號的導(dǎo)數(shù)帶有跳變的信號的導(dǎo)數(shù) 沖激函數(shù)的性質(zhì)沖激函數(shù)的性質(zhì)l 取樣

38、性取樣性l 沖擊偶沖擊偶l 尺度變換尺度變換l 奇偶性奇偶性l 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)形式的沖擊函數(shù)形式的沖擊函數(shù)1. 與普通函數(shù)與普通函數(shù)f(t) 的乘積的乘積取樣性質(zhì)（圖取樣性質(zhì)（圖）若f(t)在t = 0 、t = a處存在，則式1.4-23式1.4-24？ 2. 2. 沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(t) （沖激偶）（沖激偶） f(t) (t) = f(0) (t) f (0) (t) 證明：證明： f(t) (t) = f(t) (t) + f (t) (t) f(t) (t) = f(t) (t) f (t) (t) = f(0) (t) f (0) (t) (t)的定義：的定義：)0(

39、d)()( fttft(n)(t)的定義：的定義：)0() 1(d)()()()(nnnfttft式1.4-25 3. 3. (t) 的尺度變換的尺度變換設(shè)有常數(shù)設(shè)有常數(shù)a a（a a0）)(1|1)()()(taaatnnn證明見教材證明見教材P21,變量替換變量替換推論推論:(1)(|1)(taat)(|1)(00attatat例例 (2t) = 0.5 (t) )() 1()()()(ttnnn當(dāng)當(dāng) a = 1時，時，所以，所以， 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，n ( t) = n (t) 為為t偶函數(shù)，偶函數(shù)， 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時為奇數(shù)時n ( t) = n (t)為為t奇函數(shù)奇函數(shù) 4. 奇

40、偶性奇偶性已知已知f(t)，畫出，畫出g(t) = f (t)和和 g(2t) 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得g(t) o2tf (t)-24(4)o2tg(t) = f (t)-2-1壓縮，得壓縮，得g(2t) (2)o1tg(2t)-1-14. 4. 復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)f(tf(t) 實際中有時會遇到形如實際中有時會遇到形如f(t)的沖激函數(shù)，其的沖激函數(shù)，其中中f(t)是普通函數(shù)。并且是普通函數(shù)。并且f(t) = 0有有n個互不相等的個互不相等的實根實根 ti ( i=1，2，n) ttftftftd)(d)()(dd)(dd)( 1)(tfttftff(t)圖示說明：圖示說

41、明： 例例f(t)= t2 4 (t2 4)=1 (t+2)+(t 2)f (t)t- -4- -22o1 f (t) 2- -2to)2(41)2(41)2(221)2(221)2()2(21)4(dd21422ttttttttttt( t 2 4) =1 (t+2)+(t 2)一般地，一般地，niiitttftf1)()( 1)(這表明，這表明，f(t)是位于各是位于各ti處，強度為處，強度為 的的n個沖激個沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。 )( 1itf)21(41)21(41) 14(2ttt注意注意：如果：如果f(t)=0有重根，有重根，f(t)無意義。無意義。

42、)(dd)( 1)(tfttftf1.5 1.5 系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述系統(tǒng)分類：系統(tǒng)分類：按數(shù)學(xué)模型的不同,系統(tǒng)可分為: 即時系統(tǒng)即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng); 連續(xù)連續(xù)系統(tǒng)與離散離散系統(tǒng); 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng); 時變系統(tǒng)時變系統(tǒng)與時不變時不變( (非時變非時變) )系統(tǒng)系統(tǒng)等等.1.即時系統(tǒng)：在任意時刻的響應(yīng)(輸出信號)僅決定與該時刻的激勵(輸入信號),而與它過去的歷史狀況無關(guān)的系統(tǒng)（電阻串并聯(lián)）（電阻串并聯(lián)）2.動態(tài)系統(tǒng)：系統(tǒng)在任意時刻的響應(yīng)不僅與該時刻的激勵有關(guān)而且與它過去的歷史狀況有關(guān)的系統(tǒng)（有記憶元件（有記憶元件( (電容、電感等的電路）電容、電感等的電路）3.連續(xù)

43、連續(xù)( (時間時間) )系統(tǒng)：系統(tǒng)：系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)均為連續(xù)信號；系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)均為連續(xù)信號；4.離散離散( (時間時間) )系統(tǒng)：系統(tǒng)：系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)均為離散信號；系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)均為離散信號；連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)常組合使用,可稱為混合系統(tǒng)混合系統(tǒng)1 1、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: :系統(tǒng)基本特性的數(shù)學(xué)抽象系統(tǒng)基本特性的數(shù)學(xué)抽象, ,是以數(shù)學(xué)表是以數(shù)學(xué)表 達式來表征系統(tǒng)的特性達式來表征系統(tǒng)的特性. . 描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程微分方程, 而描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。差分方程。系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述 系統(tǒng)的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)的系統(tǒng)的框圖表示框圖

44、表示系統(tǒng)分析的基本思想：系統(tǒng)分析的基本思想： 1. 根據(jù)工程實際應(yīng)用，對系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)工程實際應(yīng)用，對系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。通常表現(xiàn)為通常表現(xiàn)為描述描述輸入輸出關(guān)系的方程。輸入輸出關(guān)系的方程。2. 建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。1. 連續(xù)系統(tǒng)的解析描述連續(xù)系統(tǒng)的解析描述)()()()(tutututuscRL)()(tuCtic)()()(tuRCtRitucR 圖示圖示RLC電路，以電路，以uS(t)作激勵，以作激勵，以uC(t)作為響應(yīng)，由作為響應(yīng)，由KVL和和VAR列方程，并整理得列方程，并整理得22dddd(0 )(0 )CCCSCCuuLCRCuuttu

45、u，二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程)()(d)(dd)(d01222tftyattyattya抽去具有的物理含義，微分方程寫成抽去具有的物理含義，微分方程寫成解：根據(jù)解：根據(jù)KVL有有)()()(tuLCtiLtucL 2. 離散系統(tǒng)的解析描述離散系統(tǒng)的解析描述y(k)= y(k- -1)+y(k- -1)+f(k) 即：即： y(k)- -(1+)y(k- -1) = f(k)若設(shè)開始存款月為若設(shè)開始存款月為k=0，則有，則有y(0)= f(0)。 上述方程就稱為上述方程就稱為y(k)與與f(k)之間所滿足的差分方程。之間所滿足的差分方程。所謂所謂差分方程差分方程是指由未知輸出

46、序列項與輸入序列項構(gòu)成的方程。是指由未知輸出序列項與輸入序列項構(gòu)成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為差分方程未知序列項變量最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。的階數(shù)。上述為一階差分方程。上述為一階差分方程。由由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為元元/月，求第月，求第k個月初存折上的款數(shù)。個月初存折上的款數(shù)。設(shè)第設(shè)第k個月初的款數(shù)為個月初的款數(shù)為y(k),這個月初的存款為這個月初的存款為f(k),上個月初的款數(shù)為上個月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為

47、，利息為y(k-1),則則2. 2.系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)的框圖表示l 連續(xù)系統(tǒng)的基本單元連續(xù)系統(tǒng)的基本單元l 離散系統(tǒng)的基本單元離散系統(tǒng)的基本單元l 系統(tǒng)模擬系統(tǒng)模擬系統(tǒng)的模型（微分方程、差分方程）：系統(tǒng)的模型（微分方程、差分方程）：微分微分差分差分運算運算包含包含表示表示單元符號并連接成系統(tǒng)單元符號并連接成系統(tǒng)加法加法乘法乘法用一些理想部件符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運算關(guān)系畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。1.連連續(xù)系統(tǒng)的基本單元續(xù)系統(tǒng)的基本單元延延時時器器加加法法器器積積分分器器數(shù)數(shù)乘乘器器乘乘法法器器注意：沒有微分器？注意：沒有微分器？實際：用積分單元代替實際：用積分單元代替積分器

48、的抗干擾特性比微分器的好。積分器的抗干擾特性比微分器的好。2. 離散系統(tǒng)的基本單元離散系統(tǒng)的基本單元加法器加法器遲延單元遲延單元數(shù)乘器數(shù)乘器3. 系統(tǒng)模擬系統(tǒng)模擬 實際系統(tǒng)實際系統(tǒng)方程方程模擬框圖模擬框圖例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。解：將方程寫為y”(t) = f(t) ay(t) by(t)實驗室實現(xiàn)實驗室實現(xiàn)指導(dǎo)實際系統(tǒng)設(shè)計指導(dǎo)實際系統(tǒng)設(shè)計已知方程畫框圖已知方程畫框圖 例二（見書例二（見書p25）已知某連續(xù)系統(tǒng)如下圖所示，寫）已知某連續(xù)系統(tǒng)如下圖所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。出該系統(tǒng)的微分方程。 x(t) x(t) x(t) a0 b2解：解：圖

49、中有兩個積分器，因而系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。設(shè)右端積分器的輸出為x(t)，那么各積分器的輸入分別是 x(t),x(t)。左方加法器的輸出為)()()( )( 01tftxatxatx y(t)+ f(t)- a1 b1b0已知框圖寫方程已知框圖寫方程 為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去x(t)及其導(dǎo)數(shù)。及其導(dǎo)數(shù)。右方加法器的輸出為右方加法器的輸出為)()( )( )(012txbtxbtxbty)() () (0001020 xabxabxabya)() () (1011121xabxabxabya )( ) ( ) ( 012xbxbxby以上三式相加并整理得：以上三式相加

50、并整理得：)()( )( )()( )( 01201tfbtfbtfbtyatyaty)()()( )( 01tftxatxatx左方加法器的輸出左方加法器的輸出 y(t)+ f(t)- x(t) x(t) x(t) a0 a1 b2 b1b0 解：解：設(shè)輔助變量x(t)如圖所示。 由左端加法器得例：已知框圖如下圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。例：已知框圖如下圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。 x(t) x(t) x(t) y(t)+ f(t)- 3 2 4 5)()(3)( 2)( tftxtxtx) 1 ()()(3)( 2)( tftxtxtx 由（2）式可知，響應(yīng)y(t)是x(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的

51、線性組合，因而以y(t)為未知變量的微分方程左端的系數(shù)應(yīng)與式（1）相同。由（2）式得由右端加法器得由右端加法器得)2()( 4)(5)(txtxty)( 43)(53)(3)( 42)( 52)( 2)( 4)( 5)( txtxtytxtxtytxtxty)(3)( 2)( 4)(3)( 2)( 5)(3)( 2)( txtxtxtxtxtxtytyty)( 4)(5tftf y(t)+ f(t)- 3 2 4 5) 1 ()()(3)( 2)( tftxtxtx由左端加法器得由左端加法器得例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。左邊加法器：左邊加法器：x(k)=

52、 f(k) 2x(k-1) 3x(k-2) 即x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) 右邊加法器：右邊加法器：y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去中間變量x(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 2y(k-1) = 8x(k-2) +10 x(k-3) 3y(k-2) = 12x(k-3) +15x(k-4)得y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2)解：設(shè)輔助變量x(k)如圖根據(jù)框圖求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟：根據(jù)框圖求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟：(1)選中間變量x()。 對于連續(xù)系統(tǒng),設(shè)其最右端積分

53、器的輸出x(t); 對于離散系統(tǒng)，設(shè)其最左端延遲單元的輸入為x(k)；（2）寫出各加法器輸出信號的方程；（3）消去中間變量x()1.6 系統(tǒng)的特性和分析方法系統(tǒng)的特性和分析方法 連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為：連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為： 1、線性的和非線性的； 2、時變的和時不變的； 3、因果的和非因果的； 4、穩(wěn)定的和非穩(wěn)定的。 本書主要討論本書主要討論線性時不變線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng) y(t):y(t):系統(tǒng)的響應(yīng)、系統(tǒng)的響應(yīng)、f(t):f(t):系統(tǒng)的激勵系統(tǒng)的激勵 線性性質(zhì)包括線性性質(zhì)包括齊齊次性次性和和可加性可加性可加性：可加性：齊次性齊次性：f() y() y() = T f () f ()

54、 y() a f() a y() f1() y1() f2() y2() f1() +f2() y1()+y2() af1() +bf2() ay1()+by2() 綜合，線性性質(zhì)：綜合，線性性質(zhì)：1 線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)1）線性性質(zhì)）線性性質(zhì)直觀判斷系統(tǒng)方法直觀判斷系統(tǒng)方法 方程中輸入輸出項都為一次項方程中輸入輸出項都為一次項2）線性系統(tǒng)）線性系統(tǒng)的條件的條件 動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)不僅與激勵響應(yīng)不僅與激勵 f () 有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初 始狀態(tài)始狀態(tài)x(0)有關(guān)有關(guān),初始狀態(tài)也稱初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵內(nèi)部激勵” 可可分解性分解性 零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性完全

55、響應(yīng)為完全響應(yīng)為：y () = T f () , x(0)零輸入零輸入響應(yīng)：響應(yīng)：yzi()=T0，x(0)，零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)：響應(yīng)：yzs() = T f () , 0零輸入線性零輸入線性 動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，要滿足下面是線性系統(tǒng)，要滿足下面3個條件：個條件：當(dāng)初始狀態(tài)當(dāng)初始狀態(tài)x(0) =0時，零狀態(tài)響應(yīng)滿足線性齊次和疊加，時，零狀態(tài)響應(yīng)滿足線性齊次和疊加，若若x(0) 不為零則要將不為零則要將外加激勵外加激勵和和初始狀態(tài)初始狀態(tài)的作用分開討論的作用分開討論。 當(dāng)動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)： 可分解性可分解性： y () = yzs() + yzi() = T f

56、() , 0+ T 0，x(0) 零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性： Ta f () , 0 = a T f () , 0 (齊次性齊次性) Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0 ( (可加性可加性) )或或Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0T0,ax(0)= aT 0,x(0) (齊次性)T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)( (可加性可加性) )或或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)注：三個條件缺一不

57、可注：三個條件缺一不可零輸入線性零輸入線性：判斷線性系統(tǒng)舉例 解：（1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 顯然， y (t) yzs(t) yzi(t) 不滿足可分解性，可分解性，故為非線性。 （2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t)滿足可分解性； 由于Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t)= a| f (t)| 不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t

58、) + x(0) f (t) + 1（2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)|（3） y (t) = x2(0) + 2 f (t) yzs(t) = 2 f (t) , yzi(t) = x2(0) ，顯然滿足可分解性； 由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t) =a x(0)2 不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。（3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)例例2-1.23（1）：）：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？xxfxxtyttd)()sin()0(e)(0解：解：xxfxtyxtyttd)()sin()(),0(e

59、)(0zsziy (t) = yzi(t) + yzs(t) ， 滿足可分解性；滿足可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0 xxfxxxfxxxfxfxtttd)()sin(bd)()sin(ad)(b)()asin(0201021= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，滿足零狀態(tài)線性；，滿足零狀態(tài)線性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e- -tax1(0) +bx2(0) = ae- -tx1(0)+ be- -tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 滿足零輸入線性；滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。2

60、 時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)滿足時不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。（1）時不變性質(zhì)若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間，其零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時間，即若T0，f(t) = yzs(t)則有T0，f(t - td) = yzs(t - td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時不變性或(移位不變性）時不變系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化，零狀態(tài)響應(yīng)形式與激勵接入時間無關(guān)解(1)令g (k) = f(k kd)T0，g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 )而yzs (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 顯然顯然T0，f(k kd) = y (k kd)