第二章傳感器的基本特性

1、CH2 傳感器的基本特性 傳感器特性主要是指輸出與輸入之間的關(guān)系。傳感器特性主要是指輸出與輸入之間的關(guān)系。 傳感器在穩(wěn)態(tài)信號（靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)）作用下，傳感器在穩(wěn)態(tài)信號（靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)）作用下，輸入與輸出的對應(yīng)關(guān)系稱為靜態(tài)特性輸入與輸出的對應(yīng)關(guān)系稱為靜態(tài)特性 當(dāng)輸入量隨時間較快地變化（動態(tài)或暫態(tài)信當(dāng)輸入量隨時間較快地變化（動態(tài)或暫態(tài)信號）時，輸入與輸出的對應(yīng)關(guān)系稱為動態(tài)特性。號）時，輸入與輸出的對應(yīng)關(guān)系稱為動態(tài)特性。 傳感器輸出與輸入關(guān)系可用微分方程來描述。傳感器輸出與輸入關(guān)系可用微分方程來描述。理論上，將微分方程中的一階及以上的微分項取理論上，將微分方程中的一階及以上的微分項取為零時，即得到靜態(tài)特

2、性。因此，傳感器的靜態(tài)為零時，即得到靜態(tài)特性。因此，傳感器的靜態(tài)特性只是動態(tài)特性的一個特例。特性只是動態(tài)特性的一個特例。 實際上傳感器的靜態(tài)特性要包括實際上傳感器的靜態(tài)特性要包括非線性和和隨機性等因素，如果把這些因素都引入微等因素，如果把這些因素都引入微分方程將使問題復(fù)雜化。為避免這種情分方程將使問題復(fù)雜化。為避免這種情況，總是把靜態(tài)特性和動態(tài)特性分開考慮。況，總是把靜態(tài)特性和動態(tài)特性分開考慮。 傳感器除了描述輸出輸入關(guān)系的特性之外，傳感器除了描述輸出輸入關(guān)系的特性之外，還有與使用條件、使用環(huán)境、使用要求等還有與使用條件、使用環(huán)境、使用要求等有關(guān)的特性有關(guān)的特性(溫度、濕度、大氣壓等溫度、濕度

3、、大氣壓等)。 靜態(tài)標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境：沒有加速度、振動、沖靜態(tài)標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境：沒有加速度、振動、沖擊、室溫?fù)?、室?05下、相對濕度不大于下、相對濕度不大于85%、一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓、一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓8kPa下。下。 靜態(tài)校準(zhǔn)曲線：在靜態(tài)標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境下對傳靜態(tài)校準(zhǔn)曲線：在靜態(tài)標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境下對傳感器反復(fù)測試得到輸入輸出數(shù)據(jù)。將被感器反復(fù)測試得到輸入輸出數(shù)據(jù)。將被測量值的正行程輸出值與反行程的輸出測量值的正行程輸出值與反行程的輸出值的平均值連結(jié)起來的曲線。值的平均值連結(jié)起來的曲線。 傳感器的輸出與輸入具有傳感器的輸出與輸入具有確定的確定的對應(yīng)關(guān)對應(yīng)關(guān)系最好呈線性關(guān)系。但一般情況下，輸出系最好呈線性關(guān)系。但一般情況下，輸出輸入

4、不會符合所要求的線性關(guān)系，同時由輸入不會符合所要求的線性關(guān)系，同時由于存在遲滯、蠕變、摩擦、間隙和松動等于存在遲滯、蠕變、摩擦、間隙和松動等各種因素以及外界條件的影響，使輸出輸各種因素以及外界條件的影響，使輸出輸入對應(yīng)關(guān)系的唯一確定性也不能實現(xiàn)?？既雽?yīng)關(guān)系的唯一確定性也不能實現(xiàn)?？紤]了這些情況之后，傳感器的輸出輸入作慮了這些情況之后，傳感器的輸出輸入作用圖大致如圖所示。用圖大致如圖所示。穩(wěn)定性(零漂)傳感器傳感器溫度供電各種干擾穩(wěn)定性溫漂分辨力沖擊與振動電磁場非線性滯后重復(fù)性靈敏度輸入誤差因素外界影響 傳感器輸入輸出作用圖輸出取決于傳感器本身，可通過傳感器本身的改善來加以抑制，有時也可以對外

5、界條件加以限制。衡量傳感器特性的主要技術(shù)指標(biāo)2.1傳感器的靜態(tài)特性 傳感器的輸出輸入關(guān)系或多或少地存在非線性。在傳感器的輸出輸入關(guān)系或多或少地存在非線性。在不考慮遲滯、蠕變、不穩(wěn)定性等因素的理想情況下，不考慮遲滯、蠕變、不穩(wěn)定性等因素的理想情況下，其其靜態(tài)特性可用下列多項式代數(shù)方程表示靜態(tài)特性可用下列多項式代數(shù)方程表示：各項系各項系數(shù)不同，數(shù)不同，決定了決定了特性曲特性曲線的具線的具體形式體形式（圖（圖2-1）。）。 1xay 44220 xaxaay 55331 xaxaxay（1 1） 理想的線性特性理想的線性特性（2 2）僅有奇次非線性項僅有奇次非線性項（3 3）僅有偶次非線性項僅有偶次

6、非線性項（1） （2） （3）三種形式所呈現(xiàn)的非線性程度三種形式所呈現(xiàn)的非線性程度 靜態(tài)特性曲線可實際測試獲得。在規(guī)定條件下，利用一定準(zhǔn)確度等靜態(tài)特性曲線可實際測試獲得。在規(guī)定條件下，利用一定準(zhǔn)確度等級的標(biāo)定設(shè)備產(chǎn)生已知標(biāo)準(zhǔn)的靜態(tài)量做為傳感器的輸入量，用實驗方法級的標(biāo)定設(shè)備產(chǎn)生已知標(biāo)準(zhǔn)的靜態(tài)量做為傳感器的輸入量，用實驗方法對傳感器進(jìn)行多次重復(fù)測量，從而得到輸出量的過程稱為傳感器的對傳感器進(jìn)行多次重復(fù)測量，從而得到輸出量的過程稱為傳感器的靜態(tài)靜態(tài)標(biāo)定標(biāo)定。根據(jù)靜態(tài)標(biāo)定時傳感器的靜態(tài)標(biāo)定數(shù)據(jù)繪制的曲線稱為。根據(jù)靜態(tài)標(biāo)定時傳感器的靜態(tài)標(biāo)定數(shù)據(jù)繪制的曲線稱為靜態(tài)標(biāo)定靜態(tài)標(biāo)定曲線曲線。 在獲得特性曲線之

7、后，可以說問題已經(jīng)得到解決。但是為了標(biāo)定和在獲得特性曲線之后，可以說問題已經(jīng)得到解決。但是為了標(biāo)定和數(shù)據(jù)處理的方便，希望得到線性關(guān)系。這時可采用各種方法，其中也包數(shù)據(jù)處理的方便，希望得到線性關(guān)系。這時可采用各種方法，其中也包括硬件或軟件補償，進(jìn)行括硬件或軟件補償，進(jìn)行線性化處理線性化處理。 一般來說，這些辦法都比較復(fù)雜。如果非線性階次不高，輸入量變一般來說，這些辦法都比較復(fù)雜。如果非線性階次不高，輸入量變化范圍不大的條件下，可以用一條直線來代替?zhèn)鞲衅鞯撵o態(tài)標(biāo)定曲線?；秶淮蟮臈l件下，可以用一條直線來代替?zhèn)鞲衅鞯撵o態(tài)標(biāo)定曲線。所以在非線性誤差不太大的情況下，總是所以在非線性誤差不太大的情況下，

8、總是采用直線擬合的辦法采用直線擬合的辦法來線性化。來線性化。所采用的的直線稱為擬合直線。即使是同類傳感器所采用的的直線稱為擬合直線。即使是同類傳感器, 擬合直線不同擬合直線不同, 其線其線性度也是不同的。性度也是不同的。 選取擬合直線的方法很多選取擬合直線的方法很多, 用用最小二乘法最小二乘法求取的擬合求取的擬合直線的直線的擬合精度最高擬合精度最高，但，但計算繁瑣計算繁瑣，一般用于比較重要場合的傳感器。，一般用于比較重要場合的傳感器。 設(shè)擬合直線方程：設(shè)擬合直線方程：0yyixy=a1x+a0 xi最小二乘擬合法mina210112niiiniixay最小二乘法擬合最小二乘法擬合y=a1x+a

9、0若實際校準(zhǔn)測試點有n個，則第i個校準(zhǔn)數(shù)據(jù)與擬合直線上響應(yīng)值之間的殘差為最小二乘法擬合直線的原理就是使 為最小值，即i=yi-(a1xi+a0) 對對a a1 1和和a a0 0一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，求出一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，求出a a1 1和和a a0 0的表達(dá)式的表達(dá)式2i2i即即得到得到a1和和a0的表達(dá)式的表達(dá)式0a20121iiiixaxya012a0120axayiii221aiiiiiixxnyxyxn 2220aiiiiiiixxnyxxyx將a1和a0代入擬合直線方程，即可得到擬合直線，然后求出殘差（校準(zhǔn)曲線與擬合直線間最大偏差 ）的最大值Lmax即為非線性誤差。2.1傳感器的靜態(tài)特

10、性傳感器的主要靜態(tài)特性指標(biāo)傳感器的主要靜態(tài)特性指標(biāo)1 線性度線性度2.靈敏度與靈敏度誤差s=(Smax/S)100%由于某種原因，會引起靈敏度變化，產(chǎn)生靈敏度誤差。靈敏度誤差用相對誤差表示，即可見，傳感器靜態(tài)標(biāo)定曲線的斜率斜率就是其靈敏度。對線性特性的傳感器，其特性曲線的斜率處處相同，靈敏度s是一常數(shù)，與輸入量大小無關(guān)。S=y/x傳感器輸出傳感器輸出y的變化量的變化量 與引起該變化量的輸入與引起該變化量的輸入x的變的變化量化量 之比即為其靜態(tài)靈敏度，其表達(dá)式為之比即為其靜態(tài)靈敏度，其表達(dá)式為3.3.滯后量（遲滯或回程誤差滯后量（遲滯或回程誤差）max100%HFSHy0yxHmaxyFS遲滯特

11、性式中 Hmax正反行程間輸出的最大偏差。 相同工作條件下，傳感器在正相同工作條件下，傳感器在正( (輸入量增大輸入量增大) )反（輸入量減?。┓矗ㄝ斎肓繙p小）行程中同一個輸入量傳感器會產(chǎn)行程中同一個輸入量傳感器會產(chǎn)生不同的輸出量，即輸出輸入曲生不同的輸出量，即輸出輸入曲線不重合稱為遲滯線不重合稱為遲滯。遲滯特性如。遲滯特性如圖所示，它一般是由實驗方法測圖所示，它一般是由實驗方法測得。遲滯誤差一般以滿量程輸出得。遲滯誤差一般以滿量程輸出的百分?jǐn)?shù)表示的百分?jǐn)?shù)表示, ,即即%100maxFSHYH 遲滯誤差的另一名稱叫遲滯誤差的另一名稱叫回程誤差回程誤差?；爻陶`差常?；爻陶`差常用絕對誤差表示。檢測

12、回程誤差時，可選擇幾個測用絕對誤差表示。檢測回程誤差時，可選擇幾個測試點。對應(yīng)于每一輸入信號，傳感器正行程及反行試點。對應(yīng)于每一輸入信號，傳感器正行程及反行程中輸出信號差值的最大者即為回程誤差。程中輸出信號差值的最大者即為回程誤差。 滯后量的產(chǎn)生主要是由于滯后量的產(chǎn)生主要是由于傳感器敏感元件材料的傳感器敏感元件材料的物理性質(zhì)和機械零部件的缺陷造成的。包括遲滯現(xiàn)物理性質(zhì)和機械零部件的缺陷造成的。包括遲滯現(xiàn)象和不工作區(qū)（死區(qū)）。比如磁性材料磁疇變化時象和不工作區(qū)（死區(qū)）。比如磁性材料磁疇變化時而形成的磁滯回線、壓電材料的遲滯現(xiàn)象、彈性材而形成的磁滯回線、壓電材料的遲滯現(xiàn)象、彈性材料的彈性滯后、縫隙

13、、螺絲松動、振動、元件老化、料的彈性滯后、縫隙、螺絲松動、振動、元件老化、摩擦、灰塵積塞等摩擦、灰塵積塞等4 4重復(fù)性重復(fù)性yx0Rmax2Rmax1max/100%RFSRy 重復(fù)性誤差可用正反行程的最大偏差表示，即重復(fù)性是指輸入量按同一方重復(fù)性是指輸入量按同一方向變化，傳感器在全量程范向變化，傳感器在全量程范圍內(nèi)重復(fù)進(jìn)行測量時所得到圍內(nèi)重復(fù)進(jìn)行測量時所得到的各特性曲線的重復(fù)程度的各特性曲線的重復(fù)程度。Rmax1正行程的輸出最大不重復(fù)誤差的值正行程的輸出最大不重復(fù)誤差的值 Rmax2反行程的輸出最大不重復(fù)誤差的值反行程的輸出最大不重復(fù)誤差的值各條特性曲線一致，各條特性曲線一致，重復(fù)性越好，隨

14、機誤差越小重復(fù)性越好，隨機誤差越小 不重復(fù)誤差也常用標(biāo)準(zhǔn)偏差不重復(fù)誤差也常用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示。表示。21()1niiyynmax(23)/100%RFSy由貝塞爾公式計算標(biāo)準(zhǔn)偏差 yi:多次重復(fù)測量的測得值多次重復(fù)測量的測得值 :測得值的算術(shù)平均值測得值的算術(shù)平均值 n:重復(fù)測量的次數(shù)重復(fù)測量的次數(shù)-y傳感器測量結(jié)果與真值的接近程度，與誤差的大小相對傳感器測量結(jié)果與真值的接近程度，與誤差的大小相對應(yīng)。與精度有關(guān)指標(biāo)：精密度、正確度和精確度應(yīng)。與精度有關(guān)指標(biāo)：精密度、正確度和精確度( (精度精度) )5 5、精度、精度正確度（準(zhǔn)確度）：正確度（準(zhǔn)確度）：多次重復(fù)測量中，傳感器測得值的算術(shù)平均多次重復(fù)

15、測量中，傳感器測得值的算術(shù)平均值與真值接近的程度，如值與真值接近的程度，如, ,某流量傳感器的準(zhǔn)確度為某流量傳感器的準(zhǔn)確度為0.3m0.3m3 3/s/s，表，表示該傳感器的輸出值與真值偏離示該傳感器的輸出值與真值偏離0.3m0.3m3 3/s/s。準(zhǔn)確度是系統(tǒng)誤差大小。準(zhǔn)確度是系統(tǒng)誤差大小的標(biāo)志，準(zhǔn)確度高意味著系統(tǒng)誤差小，測得值的算術(shù)平均值越接的標(biāo)志，準(zhǔn)確度高意味著系統(tǒng)誤差小，測得值的算術(shù)平均值越接近于真值。同樣，準(zhǔn)確度高不一定精密度高。近于真值。同樣，準(zhǔn)確度高不一定精密度高。精密度：精密度：多次重復(fù)測量中，傳感器測得值彼此之間的重復(fù)性或分多次重復(fù)測量中，傳感器測得值彼此之間的重復(fù)性或分散性

16、大小的程度。反映隨機誤差的大小。即對某一穩(wěn)定的被測量，散性大小的程度。反映隨機誤差的大小。即對某一穩(wěn)定的被測量，由同一個測量者，用同一個傳感器，在相當(dāng)短的時間內(nèi)連續(xù)重復(fù)由同一個測量者，用同一個傳感器，在相當(dāng)短的時間內(nèi)連續(xù)重復(fù)測量多次，其測量結(jié)果的分散程度。例如，某測溫傳感器的精密測量多次，其測量結(jié)果的分散程度。例如，某測溫傳感器的精密度為度為0.50.5。精密度是隨機誤差大小的標(biāo)志，精密度高，意味著隨。精密度是隨機誤差大小的標(biāo)志，精密度高，意味著隨機誤差小，重復(fù)性好。注意：精密度高不一定準(zhǔn)確度高。機誤差小，重復(fù)性好。注意：精密度高不一定準(zhǔn)確度高。精確度精確度：多次重復(fù)測量中，傳感器測得值與真值

17、一致的程度。多次重復(fù)測量中，傳感器測得值與真值一致的程度。是精密度與正確度兩者的總和，反映了隨機誤差與系統(tǒng)誤差的綜是精密度與正確度兩者的總和，反映了隨機誤差與系統(tǒng)誤差的綜合大小。精確度高表示精密度和準(zhǔn)確度都比較高。在最簡單的情合大小。精確度高表示精密度和準(zhǔn)確度都比較高。在最簡單的情況下，可取兩者的代數(shù)和。機器的常以測量誤差的相對值表示。況下，可取兩者的代數(shù)和。機器的常以測量誤差的相對值表示。 （a）準(zhǔn)確度高而精密度低 （b）準(zhǔn)確度低而精密度高 （c）精確度高 在測量中我們希望得到精確度高的結(jié)果。 傳感器的精度常用線性度、靈敏度、滯后量、傳感器的精度常用線性度、靈敏度、滯后量、重復(fù)性誤差的方根和

18、來表示。重復(fù)性誤差的方根和來表示。2222RHSL用與滿量程的百分?jǐn)?shù)表示用與滿量程的百分?jǐn)?shù)表示6分辨率與閾值 分辨率是指傳感器能檢測到的輸入量最小變化的能力分辨率是指傳感器能檢測到的輸入量最小變化的能力。如。如某位移傳感器分辨率為某位移傳感器分辨率為0.1um0.1um，即能夠檢測到的最小的位移是，即能夠檢測到的最小的位移是1um1um，被測量變化，被測量變化0.1-0.9um0.1-0.9um時傳感器無任何反應(yīng)。有些傳感器時傳感器無任何反應(yīng)。有些傳感器, ,當(dāng)輸入量連續(xù)變化時當(dāng)輸入量連續(xù)變化時, ,輸出量只作階梯變化輸出量只作階梯變化, ,則分辨力就是輸出則分辨力就是輸出量的每個量的每個“階

19、梯階梯”所代表的輸入量的大小。所代表的輸入量的大小。minmin(/) 100%FSXXy 在傳感器輸入零點附近的分辨力稱為在傳感器輸入零點附近的分辨力稱為閾值。零位附近為死區(qū)閾值。零位附近為死區(qū)。7穩(wěn)定性 測試時先將傳感器輸出調(diào)至零點或某一特定點，相隔測試時先將傳感器輸出調(diào)至零點或某一特定點，相隔4h、8h或一或一定的工作次數(shù)后，再讀出輸出值，前后兩次輸出值之差即為穩(wěn)定性誤定的工作次數(shù)后，再讀出輸出值，前后兩次輸出值之差即為穩(wěn)定性誤差。差。 它可用相對誤差表示它可用相對誤差表示,也可用絕對誤差表示。也可用絕對誤差表示。 穩(wěn)定性是指在較長的時間內(nèi)傳感器對于大小相同的輸入量，其輸穩(wěn)定性是指在較長

20、的時間內(nèi)傳感器對于大小相同的輸入量，其輸出量發(fā)生變化的程度。一般在室溫條件下，經(jīng)過規(guī)定的時間間隔后，傳出量發(fā)生變化的程度。一般在室溫條件下，經(jīng)過規(guī)定的時間間隔后，傳感器輸出的差值稱為穩(wěn)定性誤差。感器輸出的差值稱為穩(wěn)定性誤差。 零點漂移零點漂移是指在無輸入量的情況下，間隔一段時間是指在無輸入量的情況下，間隔一段時間進(jìn)行測量，其輸出量偏離零值的大小。進(jìn)行測量，其輸出量偏離零值的大小。 溫度漂移溫度漂移是指在外界溫度干擾下，傳感器輸出量發(fā)是指在外界溫度干擾下，傳感器輸出量發(fā)生的變化。生的變化。 傳感器的靈敏度誤差主要是由零點漂移和溫度漂移傳感器的靈敏度誤差主要是由零點漂移和溫度漂移引起的引起的8漂移

21、 在外界干擾的情況下，在一定的時間間隔內(nèi)，傳在外界干擾的情況下，在一定的時間間隔內(nèi)，傳感器輸出量發(fā)生與輸入量無關(guān)的變化程度，包括零點感器輸出量發(fā)生與輸入量無關(guān)的變化程度，包括零點漂移和溫度漂移漂移和溫度漂移 溫度穩(wěn)定性誤差：溫度穩(wěn)定性誤差：測試時先將傳感器置于一定溫測試時先將傳感器置于一定溫度度( (如如20),20),將其輸出調(diào)至零點或某一特定點，使溫將其輸出調(diào)至零點或某一特定點，使溫度上升或下降一定的度數(shù)度上升或下降一定的度數(shù)( (如如55或或10),10),再讀出輸出再讀出輸出值，前后兩次輸出值之差即為溫度穩(wěn)定性誤差。值，前后兩次輸出值之差即為溫度穩(wěn)定性誤差。 溫度穩(wěn)定性誤差用溫度每變化

22、若干溫度穩(wěn)定性誤差用溫度每變化若干的絕對誤差的絕對誤差或相對誤差表示或相對誤差表示, ,每每引起的傳感器誤差又稱為溫度誤引起的傳感器誤差又稱為溫度誤差系數(shù)。差系數(shù)。maxmax100%FSYT 溫 漂： 最 大 輸 出 偏 差 9 9抗干擾穩(wěn)定性抗干擾穩(wěn)定性 指傳感器對外界干擾的抵抗能力，例如抗沖擊和振動的能力、抗潮濕的能力、抗電磁場干擾的能力等。 評價這些能力比較復(fù)雜，一般也不易給出數(shù)量概念，需要具體問題具體分析。 大多數(shù)生理參數(shù)都是時間的函數(shù)。被測量隨時間變化的形式可能大多數(shù)生理參數(shù)都是時間的函數(shù)。被測量隨時間變化的形式可能是各種各樣的，只要輸入量是時間的函數(shù)，則傳感器輸出量也將是時是各種

23、各樣的，只要輸入量是時間的函數(shù)，則傳感器輸出量也將是時間的函數(shù)。通常研究動態(tài)特性是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)輸入特性來考慮傳感器的響間的函數(shù)。通常研究動態(tài)特性是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)輸入特性來考慮傳感器的響應(yīng)特性。應(yīng)特性。傳感器的動態(tài)特性取決于傳感器的動態(tài)特性取決于 首先傳感器本身首先傳感器本身 動態(tài)特性與動態(tài)特性與被測量的變化形式有關(guān)被測量的變化形式有關(guān)2.2傳感器的動態(tài)特性傳感器的動態(tài)特性 動態(tài)特性指輸出量與輸入量都隨時間變化的關(guān)系特性，其動態(tài)特性動態(tài)特性指輸出量與輸入量都隨時間變化的關(guān)系特性，其動態(tài)特性反映輸出量再現(xiàn)輸入量變化的能力，即測量結(jié)果能否真實準(zhǔn)確的再現(xiàn)輸反映輸出量再現(xiàn)輸入量變化的能力，即測量結(jié)果能否真實準(zhǔn)確的

24、再現(xiàn)輸入信號波形的能力。入信號波形的能力。標(biāo)準(zhǔn)輸入有三種：經(jīng)常使用的是前兩種。u正弦變化的輸入（任何周期函數(shù)都可用傅式變換將其分成各次諧波，并將其表示為這些正弦量之和）u階躍變化的輸入（最基本的瞬變信號）u線性輸入u動態(tài)數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù)動態(tài)數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù)u頻率特性：輸入為正弦信號時的穩(wěn)態(tài)響頻率特性：輸入為正弦信號時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)應(yīng)u瞬態(tài)響應(yīng)：以單位階躍響應(yīng)為例瞬態(tài)響應(yīng)：以單位階躍響應(yīng)為例1數(shù)學(xué)模型(數(shù)學(xué)描述)與傳遞函數(shù) 分析傳感器動態(tài)特性，必須建立數(shù)學(xué)模型。線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析傳感器動態(tài)特性，必須建立數(shù)學(xué)模型。線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為一常系數(shù)線性微分方程。對線性系統(tǒng)動態(tài)特性的研究，主模型為一常系數(shù)

25、線性微分方程。對線性系統(tǒng)動態(tài)特性的研究，主要是分析數(shù)學(xué)模型的輸入量要是分析數(shù)學(xué)模型的輸入量x與輸出量與輸出量y之間的關(guān)系，通過對微分之間的關(guān)系，通過對微分方程求解，得出動態(tài)性能指標(biāo)。方程求解，得出動態(tài)性能指標(biāo)。對于線性定常系統(tǒng)，其對于線性定常系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型為高階常系數(shù)線性微分方程，即為高階常系數(shù)線性微分方程，即xbdtdxbdtxdbyadtdyadtydammmnnn0101/ y輸出量；輸出量； x輸入量；輸入量； t時間時間a0， a1， ，an 常數(shù)；常數(shù)； b0， b1， ，bm 常數(shù)常數(shù) 輸出量對時間輸出量對時間t的的n階導(dǎo)數(shù)；階導(dǎo)數(shù)； 輸入量對時間輸入量對時間t的的m階

26、導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)nndtyd/mmdtxd/返回2返回1動態(tài)特性的傳遞函數(shù)：動態(tài)特性的傳遞函數(shù)：在線性或線性化定常系統(tǒng)中在線性或線性化定常系統(tǒng)中初始條件為初始條件為0時時，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。即輸出的拉式變系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。即輸出的拉式變換為輸入的拉式變換乘傳遞函數(shù)換為輸入的拉式變換乘傳遞函數(shù)當(dāng)傳感器的數(shù)學(xué)模型初值為當(dāng)傳感器的數(shù)學(xué)模型初值為0時，對其進(jìn)行拉氏變換，即可得出系時，對其進(jìn)行拉氏變換，即可得出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)統(tǒng)的傳遞函數(shù)1010( )( )( )mmnnb sb sbY sH sX sa sa saY(s)傳感器輸出量的拉氏變換式；傳感器輸出

27、量的拉氏變換式； X(s)傳感器輸入量的拉氏變換式傳感器輸入量的拉氏變換式 上式分母是傳感器的特征多項式，上式分母是傳感器的特征多項式，n決定系統(tǒng)的決定系統(tǒng)的“階階”數(shù)。如果數(shù)。如果S的的最高階數(shù)為最高階數(shù)為n，則該傳感器稱為，則該傳感器稱為n階傳感器階傳感器。 可見，對一定常系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)微分方程已知，只要把方程式中各階可見，對一定常系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)微分方程已知，只要把方程式中各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的s變量替換，即求出傳感器的傳遞函數(shù)。變量替換，即求出傳感器的傳遞函數(shù)。正弦輸入下傳感器的動態(tài)特性（即頻率特性）由傳遞函正弦輸入下傳感器的動態(tài)特性（即頻率特性）由傳遞函數(shù)導(dǎo)出（頻率響應(yīng)通式）數(shù)導(dǎo)出（

28、頻率響應(yīng)通式）1010()()()()()()()mmnnbjb jbY jH jX jajaja()H j為一復(fù)數(shù)，它可用代數(shù)形式及為一復(fù)數(shù)，它可用代數(shù)形式及指數(shù)形式表示指數(shù)形式表示，即，即 )()()()()(jeAjQPjH（虛部）實部)()()(22QPA幅值)()(arctan)(PQ相角可見，可見，A A值表示了輸出量幅值與輸入量幅值之比，即值表示了輸出量幅值與輸入量幅值之比，即動態(tài)靈敏度動態(tài)靈敏度，A A值是值是的函數(shù)，稱為的函數(shù)，稱為幅頻特性幅頻特性，以，以A A( () )表示。相位差與表示。相位差與的關(guān)系稱的關(guān)系稱為為相頻特性相頻特性。畫出的曲線分別叫。畫出的曲線分別叫幅頻

29、特性曲線幅頻特性曲線和和相頻特性曲線相頻特性曲線，兩，兩者統(tǒng)稱為頻率特性。者統(tǒng)稱為頻率特性。（1）正弦輸入時的頻率響應(yīng)）正弦輸入時的頻率響應(yīng)零階傳感器(如電位器式傳感器) 在零階傳感器中，只有a0與b0兩個系數(shù)不為0，微分方程（數(shù)學(xué)模型）為a0y= b0 xSxxaby)/(00特征量：S靜態(tài)靈敏度2動態(tài)響應(yīng)（正弦和階躍）動態(tài)響應(yīng)（正弦和階躍） 零階輸入系統(tǒng)的輸入量無論隨時間如何變化，其輸出量總是與輸入量成確定的比例關(guān)系。在時間上也不滯后，幅角等于零，無幅值和相位失真。如電位器傳感器。在實際應(yīng)用中，許多高階系統(tǒng)在變化緩慢、頻率不高時，都可以近似地當(dāng)作零階系統(tǒng)處理。頻率特性見圖2-8一階傳感器（

30、熱電偶、RC回路、液體溫度計）微分方程除系數(shù)a1， a0 ，b0外其他系數(shù)均為0，則a1(dy/dt)+a0y= b0 xxabydtdyaa0001Sxydtdy特征量：時間常數(shù)( = a1/a0)，決定了一階傳感器的動態(tài)特性； S靜態(tài)靈敏度( S= b0/a0)傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：)arctan()(負(fù)號表示相位滯后時間常數(shù) 越小，系統(tǒng)的頻率特性越好（圖2-9）幅頻特性曲線相頻特性曲線相頻特性曲線2)(1)j (SHjSH1)j (SSSH1)(二階傳感器工程應(yīng)用中，多數(shù)傳感器都是二階系統(tǒng)。如電容式、應(yīng)變式、壓電式傳感器等屬于二階傳感器，其微分方程為：xbyadtdya

31、dtyda001222特征量： 阻尼度(比)， ； S靜態(tài)靈敏度，S=b0/a002/ aa2012/aaaxSydtdydtydnn22n222寫為標(biāo)準(zhǔn)形式20n/ aa傳感器的固有角頻率 不同阻尼比情況下，相對幅頻特性即動態(tài)特性與靜態(tài)靈敏度之比的曲線如圖。傳遞函數(shù)幅頻特性相頻特性頻率特性2222)()()(nnnsssXsYsH)(2)(11)(2)()()()(2222nnnnnjjjjXjYjH2222)(4)(11)(nnA21)(2arctan)(nn2.42.22.01.81.61.41.21.00.80.60.40.200.511.522.5(a) / n(b)0-30-60-

32、90-120-150-1800.511.522.5=0=0.2=0.4=0.6=1=0.8=0.707=0=0.2=0.4=0.6=0.707=0.8=1=0.8=1=0.707=0.6=0.4=0.2=0二階傳感器幅頻與相頻特性（a）幅頻特性曲線（b）相頻特性曲線 當(dāng)0時，在/ n =1處A()趨近無窮大，這一現(xiàn)象稱之為諧振。輸出波形幅值和相位發(fā)生嚴(yán)重失真 隨著的增大，諧振現(xiàn)象逐漸不明顯。 當(dāng)0.707時，不再出現(xiàn)諧振，這時A()將隨著/ n的增大而單調(diào)下降。阻尼比的影響較大。A()() / n / n 1，A()接近接近于，相位不變，近似于于，相位不變，近似于階系統(tǒng)輸入輸出大小階系統(tǒng)輸入輸

33、出大小相等，方向基本相同可相等，方向基本相同可見見無阻尼固有頻率越高，無阻尼固有頻率越高，工作頻帶越寬工作頻帶越寬； / n 1， A()接近接近于于0，相位反相，頻率特，相位反相，頻率特性趨于，性趨于，即被測參數(shù)的即被測參數(shù)的頻率高出固有頻率很多，頻率高出固有頻率很多，傳感器沒有反應(yīng)傳感器沒有反應(yīng)阻尼比越大，阻尼比越大， A()最大最大值越小，值越小，過沖現(xiàn)象越弱過沖現(xiàn)象越弱常用值（最佳阻尼）：常用值（最佳阻尼）： =0.7左右，此時幅頻特性左右，此時幅頻特性的平值段最寬，相頻特性的平值段最寬，相頻特性接近于一條斜直線。接近于一條斜直線。臨界阻尼臨界阻尼： =1，幅頻特，幅頻特性永遠(yuǎn)小于性永

34、遠(yuǎn)小于1，無過沖，無過沖，也不振蕩，不會出現(xiàn)諧振也不振蕩，不會出現(xiàn)諧振現(xiàn)象，幅頻特性下降太快，現(xiàn)象，幅頻特性下降太快，平坦段更小平坦段更小2.42.22.01.81.61.41.21.00.80.60.40.200.511.522.5(a) / n(b)0-30-60-90-120-150-1800.511.522.5=0=0.2=0.4=0.6=1=0.8=0.707=0=0.2=0.4=0.6=0.707=0.8=1=0.8=1=0.707=0.6=0.4=0.2=0二階傳感器幅頻與相頻特性（a）幅頻特性曲線（b）相頻特性曲線A()() / n 綜上，二階傳感器的動態(tài)特性參數(shù)綜上，二階傳感

35、器的動態(tài)特性參數(shù)為固有頻率和阻尼度，為了減小測量誤為固有頻率和阻尼度，為了減小測量誤差和提高測量頻率范圍，要求傳感器有差和提高測量頻率范圍，要求傳感器有合適的固有頻率，通常固有頻率至少為合適的固有頻率，通常固有頻率至少為被測輸入信號的被測輸入信號的3-5倍，另外當(dāng)固有頻率倍，另外當(dāng)固有頻率已定的情況下應(yīng)選擇合適的阻尼度，失已定的情況下應(yīng)選擇合適的阻尼度，失真小、工作頻帶寬的最佳阻尼為真小、工作頻帶寬的最佳阻尼為0.7左右左右（2）階躍輸入時的階躍響應(yīng)）階躍輸入時的階躍響應(yīng)一階傳感器的階躍響應(yīng)一階傳感器的階躍響應(yīng)對一階系統(tǒng)的傳感器，設(shè)在一階系統(tǒng)的傳感器，設(shè)在t=0時，時，x和和y 均為均為0，當(dāng)

36、，當(dāng)t0時，有一單位階躍信號輸時，有一單位階躍信號輸入入,如圖。此時微分方程為如圖。此時微分方程為ty01(dy/dt)+a0y= b1(dx/dt)+b0 x齊次方程通解：/11teCy非齊次方程特解：y2=1 (t0)方程解：1/121teCyyyty01以初始條件y(0)=0代入上式，即得t=0時，C1=-1，所以/1tey輸出的初值為0,隨著時間推移y接近于1,當(dāng)t=（時間常數(shù)）時,y =0.63在一階系統(tǒng)中一階系統(tǒng)中,時間常數(shù)值是決定響應(yīng)速度的重要參數(shù)。二階傳感器的階躍響應(yīng)二階傳感器的階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)通式n傳感器的固有頻率；傳感器的阻尼比特征方程022n2n根據(jù)阻尼比的大小不同，

37、分為四種情況：1）01(欠或有阻尼)：該特征方程具有共軛復(fù)數(shù)根 / )1(22, 1j方程通解 32221/1sin1cos)(AtAtAetyt根據(jù)t,ykA求出A3；根據(jù)初始條件, 0)0(, 0)0(, 0yyt求出A1、A2，則令x=AkAydtdydtyd/2/222其曲線如圖，這是一按指數(shù)其曲線如圖，這是一按指數(shù)衰減衰減振蕩振蕩過程過程,越小越小,振蕩頻率越高振蕩頻率越高,衰減越慢衰減越慢，最終達(dá)到穩(wěn)定值。最終達(dá)到穩(wěn)定值。tw0.021ttmm1（過阻尼）：特征方程具有兩個不同的實根（過阻尼）：特征方程具有兩個不同的實根/ )1(22, 1ttSAy1exp1211exp12112

38、222223) =1 (臨界阻尼臨界阻尼)：特征方程具有重根：特征方程具有重根- -1/,過過渡函數(shù)為此時渡函數(shù)為此時無超調(diào)也無振蕩（圖無超調(diào)也無振蕩（圖2.17） )/exp()/exp(1tttSAty上兩式表明，當(dāng)上兩式表明，當(dāng)1時，該系統(tǒng)不再是振蕩的，即在臨界阻尼和過阻尼的情時，該系統(tǒng)不再是振蕩的，即在臨界阻尼和過阻尼的情況下，系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍，動作緩慢，較慢達(dá)到或者不能達(dá)到穩(wěn)定值。（圖況下，系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍，動作緩慢，較慢達(dá)到或者不能達(dá)到穩(wěn)定值。（圖2.17）所以一般系統(tǒng)都設(shè)計成欠阻尼式，所以一般系統(tǒng)都設(shè)計成欠阻尼式， 取值約為取值約為0.7過渡函數(shù)為過渡函數(shù)為 實際傳感器，實際傳感器，值一

39、般可適當(dāng)安排，兼顧過沖量值一般可適當(dāng)安排，兼顧過沖量m不要太大，穩(wěn)定時間不要太大，穩(wěn)定時間t不要過長的要求。在不要過長的要求。在0.60.7范圍內(nèi)，可獲得較合適的綜合特性。對正弦范圍內(nèi)，可獲得較合適的綜合特性。對正弦輸入來說，當(dāng)輸入來說，當(dāng)=0.60.7時，幅值比在比較寬的范圍時，幅值比在比較寬的范圍內(nèi)變化較小。內(nèi)變化較小。計算表明在計算表明在/ n00.58范圍內(nèi)，范圍內(nèi)，幅值比變化不超過幅值比變化不超過5，相頻特性中，相頻特性中()接近于線性接近于線性關(guān)系。關(guān)系。 對于高階傳感器，在寫出運動方程后，可根據(jù)對于高階傳感器，在寫出運動方程后，可根據(jù)式具體式具體 情況寫出傳遞函數(shù)、頻率特性等。在求出特情況寫出傳遞函數(shù)、頻率特性等。在求出特征方程共軛復(fù)根和實根后，可將它們分解為若干個征方程共軛復(fù)根和實根后，可將它們分解為若干個二階模型和一階模型研究其過渡函數(shù)。有些傳感器二階模型和一階模型研究其過渡函數(shù)。有些傳感器可能難于寫出運動方程，這時可采用實驗方法，即可能難于寫出運動方程，這時可采用實驗方法，即通過輸入不同頻率的周期信號與階躍信號，以獲得通過輸入不同頻率的周期信號與階躍信號，以獲得該傳感器系統(tǒng)的幅頻特性、相頻特性與過渡函數(shù)等。該傳感器系統(tǒng)的幅頻特性、相頻特性與過渡函數(shù)等。 電擊