齊次線性方程組有非零解的條件及解的結(jié)構(gòu)

1、14.5 齊次線性方程組有非齊次線性方程組有非零解的條件及解的結(jié)構(gòu)零解的條件及解的結(jié)構(gòu)212(,),nA 11220,nnxxx 12,n 定理定理8 設(shè)設(shè)A為為sn矩陣矩陣, 則齊次線性方程則齊次線性方程組組AX=0有非零解的充要條件為有非零解的充要條件為rAn.證明證明：對：對A進(jìn)行列分塊，進(jìn)行列分塊，則則AX=0的向量表示形式為的向量表示形式為 其有非零解的充要條件是其有非零解的充要條件是 12,.nrn 線性相關(guān)線性相關(guān), 充要條件是充要條件是rA=A的列秩的列秩=3齊次線性方程組解的性質(zhì)：齊次線性方程組解的性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè)X1, X2為齊次線性方程組為齊次線性方程組AX=0的

2、解，的解，c為常數(shù)，則為常數(shù)，則 (1) X1+X2仍為仍為AX=0的解；的解；(2) cX1仍為仍為AX=0的解的解.證明證明: (1) A(X1+X2)=AX1+AX2=0+0=0;(2) A(cX1)=cAX1=c0=0; 更一般地，齊次線性方程組更一般地，齊次線性方程組AX=0解的解的任意線性組合仍為解任意線性組合仍為解,4 即即:若若X1, X2, .,Xr為為AX=0的解的解, 則則 k1X1+k2X2+.+krXr也為也為AX=0的解的解, 其中其中ki(i=1, 2,.,r)為任意數(shù)為任意數(shù). 由上述性質(zhì)知由上述性質(zhì)知: 齊次線性方程組的解集齊次線性方程組的解集合關(guān)于向量的加法

3、合關(guān)于向量的加法, 數(shù)乘構(gòu)成一個線性空數(shù)乘構(gòu)成一個線性空間間, 稱為齊次線性方程組的稱為齊次線性方程組的解空間解空間(space of solutions). 為了表示齊次線性方程組的所有解，為了表示齊次線性方程組的所有解，現(xiàn)引入基礎(chǔ)解系的概念現(xiàn)引入基礎(chǔ)解系的概念.5 定義定義12 向量組向量組X1, X2, .,Xt 稱為稱為AX=0的一個的一個基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系(basis set of solutions), (1) X1, X2, ., Xt 皆為皆為AX=0的解；的解；(2) X1, X2, ., Xt 線性無關(guān)；線性無關(guān)； (3) AX=0的任意解皆可由的任意解皆可由X1, X2,

4、., Xt 線性表出線性表出. 若若 X1, X2,., Xt 為為AX=0的一個基礎(chǔ)解系，的一個基礎(chǔ)解系，由基礎(chǔ)解系的定義知由基礎(chǔ)解系的定義知 112212|,tttSk Xk Xk Xk kkP 如果如果6 正好就是正好就是AX=0的解集合的解集合, 稱稱 k1X1+k2X2+.+ktXt 為為AX=0的的通解通解.123453220 xxxxx 234530 xxxx 23452280 xxxx 例例1 求下列齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系求下列齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系 解解：對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換化為：對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換化為Jordan階梯形矩陣階梯形矩陣.710012001

5、01500102B 初初等等行行變變換換132210111302128A Jordan階梯形階梯形1051100111300102 初初等等行行變變換換8 現(xiàn)解現(xiàn)解AX=0的同解齊次線性方程組的同解齊次線性方程組BX=0. Jordan階梯形階梯形B有有3行不為零，行不為零，故故rB=3， 首元所在的列為首元所在的列為B的第的第1,2,3列列, 故對故對x4, x5的任意值代入的任意值代入BX=0都能解出都能解出x1, x2, x3. 把把BX=0的含的含x4, x5的項移到等式右邊得到的項移到等式右邊得2xxxxxxxx 91(11010) ,TX 令令x4=1,

6、x5=0, 解得解得令令x4=0, x5=1, 解得解得2(205201) .TX 10,01 相同位置上添加相同位置上添加3個分量得到的個分量得到的, 于是也于是也線性無關(guān)線性無關(guān).線性無關(guān)線性無關(guān), 而而X1, X2是在是在10,01 10 設(shè)設(shè) X=(c1 c2 c3 k1 k2)T 則則 Xk1X1k2X2=(d1 d2 d3 0 0)T 這就推出這就推出 d1=d2=d3=0, 為為BX=0的任意解的任意解,也是也是BX=0 的解的解.于是于是, X=k1X1+k2X2.11 定理定理9 設(shè)設(shè)A是是sn矩陣矩陣, rA=r n, 則齊則齊次線性方程組次線性方程組AX=0存在基礎(chǔ)解系存

7、在基礎(chǔ)解系, 且且基礎(chǔ)解系含基礎(chǔ)解系含nr個解向量個解向量. 證明證明：A可經(jīng)過一系列初等行變換化為可經(jīng)過一系列初等行變換化為Jordan階梯形矩陣階梯形矩陣B, 顯然顯然B的前的前r行為非行為非零行零行, 后后sr行全為零行全為零. 不失一般性不失一般性, 可假設(shè)可假設(shè)aii=1(i=1,2,.,r), 即：即： 121,11,212,12,22,1,210.0.01.0.00.1.00.000.0.00.000.0rrnrrnr rr rrnkkkkkkBkkk 未知量未知量xr+1, xr+2,., xn(都不在首元所在的都不在首元所在的列列)稱為稱為自由未知量自由未知量. BX=0為為

8、AX=0的同解的同解方程組方程組.13121,0,0rrnxxx 11,122,1,1,.rrrr rxkxkxk 令自由未知變量令自由未知變量 代入代入BX=0可解得可解得從而從而141,12,1,11100rrr rkkkX 為為BX=0的一個解的一個解.15 再令自由未知變量再令自由未知變量xr+1, ., xn的值分的值分別為別為(0,1,.,0), ., (0,0,.,1), 代入代入BX=0可解得可解得BX=0的解的解X2, X3, .,Xnr, 于是得到于是得到161,11,212,12,22,1,212,.,100010001rrnrrnr rr rrnn rkkkkkkkkk

9、XXX 17為為AX=0的一組線性無關(guān)的解，要證的一組線性無關(guān)的解，要證明它正好為明它正好為AX=0的一個基礎(chǔ)解系，的一個基礎(chǔ)解系，只需證明只需證明AX=0的任意解即的任意解即BX=0的任的任意解可用意解可用X1,X2,.,Xnr 線性表示線性表示.112212(,0,0,0)rrnn rTrXcXcXc Xd dd 設(shè)設(shè)X=(c1, ., cr , cr+1,., cn)T為為AX=0 (BX=0)的任意解，則的任意解，則為為BX=0的解，代入的解，代入BX=0得到得到1812100001000010rddd 1122.rrnn rXcXcXc X 這堆出這堆出di=0(i=1,2,.,r)

10、, 于是于是 綜上，綜上， X1,X2,.,Xnr為為AX=0的一個基的一個基礎(chǔ)解系礎(chǔ)解系.19說明：說明：上述定理的證明過程實際上上述定理的證明過程實際上就是求解齊次線性方程組的步驟就是求解齊次線性方程組的步驟.123412341234124202302230340 xxxxxxxxxxxxxxx 例例 解線性方程組解線性方程組20解解: :1112231112233401A 1112013501350135 1 1120 1350 0000 000 10470 1350 0000 000 21124735,1001XX 用基礎(chǔ)解系表達(dá)的所有解為用基礎(chǔ)解系表達(dá)的所有解為1122.c Xc X

11、 自由未知量為自由未知量為x3，x4, 分別代入值分別代入值(1,0),(0,1)得到方程組的一個基礎(chǔ)解系：得到方程組的一個基礎(chǔ)解系：22 推論推論 設(shè)齊次線性方程組設(shè)齊次線性方程組AX=0的系數(shù)的系數(shù)矩陣矩陣A為為sn矩陣，若矩陣，若rA=rn, 則則(1) AX=0的每一個基礎(chǔ)解系都含有的每一個基礎(chǔ)解系都含有 nr個解；個解；(2) AX=0的任意的任意nr+1個解向量線性個解向量線性 相關(guān)；相關(guān)；(3) AX=0的任意的任意nr個線性無關(guān)的解個線性無關(guān)的解 都是一個基礎(chǔ)解系都是一個基礎(chǔ)解系.23 證明證明：設(shè)：設(shè)X1,X2,.,Xnr (I)為為AX=0的的一個基礎(chǔ)解系一個基礎(chǔ)解系.(1

12、) 設(shè)設(shè) (II)為為AX=0的任意的任意一個基礎(chǔ)解系一個基礎(chǔ)解系, 則則(I)與與(II)皆線性無皆線性無關(guān)且可相互線性表出關(guān)且可相互線性表出, 故故t=nr;12,t (2) AX=0的任意的任意nr+1個解可由含個解可由含nr個向量的個向量的(I)線性表出線性表出, 故線性相關(guān)；故線性相關(guān)；24(3) 設(shè)設(shè) (III)為為AX=0的任意的任意線性無關(guān)的解線性無關(guān)的解, 為為AX=0的任意解的任意解, 則則 線性相關(guān)，于是線性相關(guān)，于是 可可由由(III)線性表出，故線性表出，故(III)為為AX=0的一個的一個基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.12,n r 12,n r 此外此外, 與與AX=0一個基礎(chǔ)

13、解系等價的任意一個基礎(chǔ)解系等價的任意線性無關(guān)向量組也是線性無關(guān)向量組也是AX=0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.(P85.Q2.)25 例例3 設(shè)設(shè)A為為sn矩陣矩陣, B為為nm矩陣矩陣, AB=0, 則則 rA+rBn. 分析分析：nrA是齊次線性方程組是齊次線性方程組AX=0的基的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)，故可考慮利用齊次礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)，故可考慮利用齊次線性方程組的解的問題來證明線性方程組的解的問題來證明.12(),0(0 00),ms mB 解解：對：對B和和0 sm矩陣進(jìn)行列分塊矩陣進(jìn)行列分塊由由AB=0，利用分塊矩陣的乘法得：，利用分塊矩陣的乘法得：12()(0 00),mAAA 260(1

14、,2,).jAjm 于是于是 為為AX=0的解的解.12,m 這就有這就有若若rA=n, 則則AX=0只有零解只有零解, 故故B=0,顯然顯然, rB=0=nrA;1212,.Bmn rArrr X XXnr 若若rA=rn, 則則AX=0有基礎(chǔ)解系有基礎(chǔ)解系X1,Xnr,于是，于是，可由可由X1,Xnr線性表出線性表出,則則12,m 27*,1,1,0,1.AAAAnrnrrnrn 例例(P85.Q3)設(shè)設(shè)A為為n(n2)階方陣階方陣, 證明證明:*1| |0nAA ，證明證明: (1) 若若rA=n，則，則A是一個滿秩矩陣，是一個滿秩矩陣，即即|A|0. 又又AA*=|A|E，所以，所以所以所以A*也為滿秩矩陣，即是也為滿秩矩