第八講：最優(yōu)控制模型及理論(2016)

1、最優(yōu)控制模型、理論及算法主講：劉瓊蓀 最優(yōu)控制模型最優(yōu)控制模型 基本原理基本原理 計(jì)算問題計(jì)算問題主要內(nèi)容 最優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)就是利用數(shù)學(xué)工具在容許控制集中尋找一個(gè)最優(yōu)控制函數(shù)或者最優(yōu)控制方案，使所研究的系統(tǒng)能夠最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。最優(yōu)化問題 靜態(tài)與動(dòng)態(tài)，離散與連續(xù)最優(yōu)化問題1. 病毒的傳播模型；2. 海洋生態(tài)平衡模型；3. 交通流量的控制模型；4. 導(dǎo)彈運(yùn)行最佳軌跡。建立數(shù)學(xué)模型分為三步驟：最優(yōu)化問題（1）需要確定狀態(tài)變量、控制變量、約束、目標(biāo)；（2）對(duì)問題具體分析、數(shù)學(xué)描述和研究；（3）研究算法，并對(duì)算法的收斂性、誤差、有效性作出評(píng)價(jià)。1）狀態(tài)方程組）狀態(tài)方程組最優(yōu)控制模型的數(shù)學(xué)描述( )

2、( ( ), ( ), )x tf x t u t tt 表示時(shí)間( )x tn表示 維狀態(tài)向量( )u tr表示 維控制向量2）容許控制集）容許控制集12( ),( ),.,( )|( ),1,2,., riiUu t u tu tu tm ir3）邊界條件與目標(biāo)集）邊界條件與目標(biāo)集最優(yōu)控制模型的數(shù)學(xué)描述 動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程，就是系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的過程，在狀態(tài)空間中其運(yùn)動(dòng)軌跡將形成曲線x(t). 邊界值：初始狀態(tài)x(t0), 終端狀態(tài)x(tf)終端時(shí)刻和狀態(tài)可以是自由的，也可以是給定的。目標(biāo)集： (),0, (),0ffffN x ttN x tt或4）目標(biāo)）目標(biāo)函數(shù)函數(shù)最優(yōu)控

3、制模型的數(shù)學(xué)描述 控制變量用于控制狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過程，效果的好壞取決于u(t)，效果性能指標(biāo).最少燃料、最少時(shí)間，最小能耗等控制問題。4）目標(biāo)）目標(biāo)函數(shù)函數(shù)最優(yōu)控制模型的數(shù)學(xué)描述(1)Bolza0 ()( (),)( ( ), ( ), )ftffftJ u tx ttL x t u t t dt (2) Lagrange0 ()( ( ), ( ), )ftftJ u tL x t u t t dt能控性和能觀測(cè)性的概念 1960 1960年卡爾曼最先提出能控性和能觀測(cè)性的概年卡爾曼最先提出能控性和能觀測(cè)性的概念。對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，特別是多變量控制系統(tǒng)，念。對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，特別是多變量控制系統(tǒng)

4、，必須要回答的兩個(gè)問題是：必須要回答的兩個(gè)問題是：（1）能控性：在有限的時(shí)間內(nèi)，控制作用能否使得在有限的時(shí)間內(nèi)，控制作用能否使得系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)？系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)？（2）能觀測(cè)性：在有限的時(shí)間內(nèi)，能否通過對(duì)系統(tǒng)在有限的時(shí)間內(nèi)，能否通過對(duì)系統(tǒng)的輸出的測(cè)定來評(píng)估系統(tǒng)的初始狀態(tài)？的輸出的測(cè)定來評(píng)估系統(tǒng)的初始狀態(tài)？山羊山羊放牧系統(tǒng)中的最優(yōu)控制模型及生態(tài)經(jīng)濟(jì)效益放牧系統(tǒng)中的最優(yōu)控制模型及生態(tài)經(jīng)濟(jì)效益實(shí)例 1 草原放牧生態(tài)系統(tǒng)模型：( )x tt表示 時(shí)刻牧場(chǎng)種群數(shù)量0( )( )( )(0)dx tF xu tdtxx( )u tt表示 時(shí)刻畜牧類采食量( )F x 表示 牧

5、草的增長率放牧總利潤：0max( )( ) ( )tJ uePC x u t dthttp:/計(jì)算機(jī)病毒傳播計(jì)算機(jī)病毒傳播的的最優(yōu)控制最優(yōu)控制模型模型實(shí)例 2 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究J,28(8),2011 狀態(tài)變量狀態(tài)變量當(dāng)前當(dāng)前以后以后S(數(shù)量)沒有感染可能感染C(數(shù)量)沾染病毒發(fā)現(xiàn)I(數(shù)量)感染傳播A(數(shù)量)不被感染不被感染參數(shù)參數(shù)含義含義沾染率 1，免疫率2感染率u(t)殺毒率狀態(tài)轉(zhuǎn)移因子計(jì)算機(jī)病毒傳播計(jì)算機(jī)病毒傳播的的最優(yōu)控制最優(yōu)控制模型模型實(shí)例 2 1212lnlnlnlnln( ) ln( ) lnlnlnlndSISSAdtAdASACAu t IAdtdICu t IAdtdCISC

6、ACdtA ，狀態(tài)方程組：狀態(tài)隨時(shí)間的變化率機(jī)理分析計(jì)算機(jī)病毒傳播計(jì)算機(jī)病毒傳播的的最優(yōu)控制最優(yōu)控制模型模型實(shí)例 2 控制集：2 ( )(0, ):0( )1,0Uu tLTu ttT 20( ) ( )( )/ 2TJ uI tutdt目標(biāo)泛函：0000(0), (0), (0),(0)SSAA II CC初始條件：感染數(shù)量系統(tǒng)消耗min路徑選擇的路徑選擇的交通流量的最優(yōu)控制模型交通流量的最優(yōu)控制模型實(shí)例 3 城市機(jī)動(dòng)車擁有量以及各種交通需求量急劇上升，城市道路所承受的負(fù)荷不斷增長，給城市管理和人民生活都帶來了巨大的考驗(yàn)大連交通大學(xué)學(xué)報(bào)J, 31(6), 2010動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控

7、制模型動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實(shí)例 3 智能交通運(yùn)輸系統(tǒng)(以下簡稱ITS)具有先進(jìn)的檢測(cè)、通信、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)集成控制技術(shù)，它能最大限度地發(fā)揮現(xiàn)有交通基礎(chǔ)設(shè)施的潛力，提高運(yùn)輸效率，改進(jìn)交通安全，緩解城市交通擁擠，節(jié)約能源的消耗，保護(hù)周圍環(huán)境，動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實(shí)例 3 （1）基本約束( )( ),saasu tu ta t流入率：( )( ),saasv tv ta t流出率：( )( ),saasx tx ta t流量：( ,)al m路段的狀態(tài)方程( )( )( ), ,sssaaadx tu tv ta s tdt動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通

8、系統(tǒng)最優(yōu)控制模型動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實(shí)例 3 （2）非負(fù)約束( )0,( )0,( )0, ,sssaaax tu tv ta s t( )0,( )0,( )0,aaax tu tv ta t邊界條件：(0)0,sava s（3）流量守恒約束( )( )( ), ,llsssalaa Aa Bv tg tu tls s t 動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實(shí)例 3 （4）先進(jìn)先出原則不考慮超車現(xiàn)象（5）流量傳播約束假定交通流為連續(xù)流( )( )( ), ,at ctssaatx tvda s t( )( )( )ssaaax tv tc t動(dòng)

9、態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型動(dòng)態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實(shí)例 3 0,min( )Tau saJx t dt( ). .( )( ), ,sssaaadx tstu tv ta s tdt( )( )( ), ,llsssalaa Aa Bv tg tu tls s t ( )0,( )0, ,ssaax tu ta s t(0)0,saxa s( )( ), ,( )ssaaax tv ta s tc t交通流的總量達(dá)最小嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略個(gè)階段的最優(yōu)控制策略實(shí)例 4 (1)著陸準(zhǔn)備軌道(2)主減速段(3)快速調(diào)整段(4)粗避障段(5

10、)精避障段(6)緩速下降階段234567123456min( )( )( )( )( )( )ttttttttttttJm t dtm t dtm t dtm t dtm t dtm t dt燃料消耗達(dá)最小嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略個(gè)階段的最優(yōu)控制策略實(shí)例 4 (2)主減速段00coscossincoscosxytadvFdtmdvFgdtmmmmdte coscoscosae其中cosae引入角度修正因子coscos使得0.08,0.09,0.086aa嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略個(gè)階段的最優(yōu)控制策略實(shí)例 4 (3

11、)快速調(diào)整階段的最優(yōu)控制策略根據(jù)牛頓第二定律，建立飛行器水平水平方向上的動(dòng)力學(xué)方程10cosxtedvFdtmmmmdFv m max102coscosFFk tk t設(shè)計(jì)控制參數(shù)k1，k2，使1. 最優(yōu)控制中的變分法最優(yōu)控制中的變分法（無約束）（無約束）最優(yōu)控制模型的基本原理 在動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題中，目標(biāo)函數(shù)通常是一個(gè)泛函。泛函可以簡單地理解為“函數(shù)的函數(shù)”。0 ( )=( ( ), ( ), )TJ x tL x s x s t ds1. 最優(yōu)控制中的變分法最優(yōu)控制中的變分法（無約束）（無約束）最優(yōu)控制模型的基本原理定理1 連續(xù)泛函 的變分，等于泛函 對(duì) 的導(dǎo)數(shù)在 的值。即 ( )J x t

12、( )( )J x tx t 00 ( )( )| ( )( )JJ x tx tL x tx t 0( )( )( )x tx tx t其中定理2 如果可微泛函 在 上達(dá)到極大或極小，則 ( )J x t0( )x t0( )( )0 x tx tJ 在上有1）固定端點(diǎn)）固定端點(diǎn)的變分的變分問題問題最優(yōu)控制模型的基本原理取極值的必要條件是容許極值曲線 滿足歐拉方程*( )x t0=( ( ), ( ), )fttJL x s x s t ds0LdLxdtx00( ),( )ffx txx tx邊界條件：2）可變端點(diǎn)）可變端點(diǎn)的變分的變分問題問題最優(yōu)控制模型的基本原理取極值的必要條件是容許極

13、值曲線 滿足歐拉方程*( )x t0=( ( ), ( ), )fttJL x s x s t ds0LdLxdtx00( ),x tx始端邊界條件和終端橫截條件： , , ()0fTt tLL x x txx()()ffx tt給定曲線2. 最優(yōu)控制最優(yōu)控制問題求解（有約束）問題求解（有約束）最優(yōu)控制模型的基本原理 把具有狀態(tài)方程約束的變分問題轉(zhuǎn)化為無約束變分問題。即轉(zhuǎn)換為哈密頓函數(shù)的極值問題。1）固定端點(diǎn)的）固定端點(diǎn)的最優(yōu)控制最優(yōu)控制問題問題最優(yōu)控制模型的基本原理狀態(tài)方程：0=( ( ), ( ), )fttJL x s u s t ds( ) ( ), ( ), x tf x t u t

14、 t泛函指標(biāo)：構(gòu)造哈密頓函數(shù)： ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), TH x t u t tL x t u t tf x t u t t1）固定端點(diǎn)的）固定端點(diǎn)的最優(yōu)控制最優(yōu)控制問題問題最優(yōu)控制模型的基本原理正則方程：控制方程：邊界條件：( ),( )HHx ttx 0Hu00( )x tx()ffx tx最優(yōu)解 滿足以下方程和條件：*( ),( ),( )x tt u t第一步 構(gòu)造哈密頓函數(shù)一般的計(jì)算步驟第二步 將最優(yōu)控制變量代入正則方程中 ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), TH x t u t tL x t u t tf x t u t

15、t0Hu由，解出*( )= ( , )u tu x00( ) ( ), ( , ), ,( )( ),()ffx tf x t u xtx txHtx txx *( )( )xx tt解出，第三步 回代，得到*( )= ( ),( )( )u tu x ttu t山羊山羊放牧系統(tǒng)中的最優(yōu)控制模型及生態(tài)經(jīng)濟(jì)效益放牧系統(tǒng)中的最優(yōu)控制模型及生態(tài)經(jīng)濟(jì)效益實(shí)例 1 草原放牧生態(tài)系統(tǒng)模型：0( )( )( )(0)dx tF xu tdtxx放牧總利潤：0max( )( ) ( )tJ uePC x u t dthttp:/哈密頓函數(shù)：( ) ( )( ( )( )tHePC x u tF xu t實(shí)例

16、1 哈密頓函數(shù)：( ) ( )( ( )( )tHePC x u tF xu t正則方程：( )( )( )x tF xu t( )( ) ( )( )teC x u tF x ( )Hx t( )Htx 控制方程：0Hu( )0tePC x實(shí)例 1 聯(lián)立求解，可得：*( )( *),( )0utF xx t如果已知( )(1)xF xrxK，( )( )( )0( )C xF xF xPC x( ),CC xCx是常數(shù)（1）代入（1）式，得到122*(1)(1)84KCCCxPKrPKrPKr 實(shí)例 1 與之對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制為：minmax,*2,*( )( *),*(1),*,*,*Kxxu

17、xxxutF xxxrxxxKuxxKxx例2 計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題1212lnlnlnlnln( ) ln( ) lnlnlnlndSISSAdtAdASACAu t IAdtdICu t IAdtdCISCACdtA ，狀態(tài)方程目標(biāo)泛函20( ) ( )( )/ 2TJ uI tutdt初始條件0000(0), (0), (0),(0)SSAA II CC例2 計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題哈密頓函數(shù)121ln( )( , )(ln)(lnln( ) ln)lnIH tL I uSSASACAu t IAA 3242ln( ) ln)()lnICu t IASCA 2( , )( )( )/

18、 2L I uI tu t其中例2 計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)滿足如下正則方程組：1124lnln(ln)lnlnlndHIIAAdtSAA 322111422( )lnln()( ) ()lnlnu t IdCHSSASISCu t IdtAAAAAAAAA 314231( )ln( )lnlnlndSSHu tAu tAdtIIAIA 42232412ln(ln)dHAAdtC 橫截條件( )0,1,2,3,4iTi例2 計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題控制方程：最優(yōu)控制：*23( )lnln0u uHu tIAIAu*321( )maxmin( ()ln,1),0u tIA例2 計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題數(shù)值仿真數(shù)值仿真初始條件(0)30, (0)40, (0)10, (0)20SAIC參數(shù)選取120.24,0.21,0.42,0.15,5采用Runge-Kutta四階微分方程數(shù)值求解法。例2 計(jì)算機(jī)病毒傳播的控制問題參考程序參考程序( (matlabmatlab) )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )x trx tax t