概率統(tǒng)計(jì)：第三章 二維隨機(jī)變量(第五節(jié))

1、第五節(jié) 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量若事件滿足,則稱與相互獨(dú)立.一. 隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義定義7 設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)變量,若對(duì)任意實(shí)數(shù)有 ,則稱與相互獨(dú)立,簡稱獨(dú)立. 獨(dú)立判別定理:設(shè),分別是,的分布函數(shù),則與相互獨(dú)立, 任意, 任意.二.離散型隨機(jī)變量相互獨(dú)立判別定理:定理一 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的分布律為則與相互獨(dú)立的充要條件是: .三. 連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立判別定理:定理二 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為.分別是關(guān)于和的邊沿概率密度, 則與相互獨(dú)立的充要條件是:,(幾乎處處).證明 , , ,與相互獨(dú)立 ,(幾乎處處)四.有限多個(gè)或可列個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定義 設(shè)為個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)任意實(shí)數(shù)，元函數(shù)

2、稱為個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù). .定義8 設(shè)為個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)任意實(shí)數(shù)，成立 則稱個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立. 定理 個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立對(duì)任意實(shí)數(shù)，成立 . 定理三 設(shè)是維連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度為,的概率密度為,則相互獨(dú)立 .定義9 設(shè)為可列無窮多個(gè)隨機(jī)隨機(jī)變量,若對(duì)任意的正整數(shù)，及任意互不相同的正整數(shù)，都相互獨(dú)立，則稱可列無窮多個(gè)隨機(jī)隨機(jī)變量相互獨(dú)立. 例1 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 , (1)求邊沿分布函數(shù) ;(2) 求的概率密度, 邊沿概率密度;(3)驗(yàn)證隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.解 (1) ; ; (2) ; ; ;(3)顯然,對(duì)任意實(shí)數(shù),恒有 ,所以與相互獨(dú)立.(或顯然,對(duì)任意實(shí)數(shù),成立 ,所以

3、與相互獨(dú)立) 例2 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的分布律為YX 012-10.10.20.120.20.10.3 (1)求關(guān)于和關(guān)于的邊沿分布律; (2)驗(yàn)證與是否獨(dú)立？解 (1) 關(guān)于和關(guān)于的邊沿分布律如表YX 012-10.10.20.10.420.20.10.30.60.30.30.4(2) , ,顯然 ,由定理一知, 與不獨(dú)立. 例3設(shè),(1)求 ,(2)試證: 與相互獨(dú)立的充要條件是.解 由題設(shè)條件知, 的概率密度為 , ,(1)由第四節(jié)例2知 , ;(2) 充分性 (即由與獨(dú)立) 若 則 , ,因此, 與獨(dú)立. 必要性 若與獨(dú)立,則對(duì)任意實(shí)數(shù),成立 ,特別地對(duì)有,即,從而 .證畢. 例4

4、某型號(hào)鉆頭的壽命(以鉆進(jìn)深度m為單位)服從參數(shù)的指數(shù)分布.欲打一口深為500m的井,求恰好需用兩只鉆頭的概率. 解 設(shè)第一只鉆頭的壽命為,第二只鉆頭的壽命為,則與獨(dú)立且有相同的指數(shù)分布.由題意知 , ,故的概率密度為 , 由題意知“恰好需用兩只鉆頭”, .例5 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立且同服從分布.求:(1) 的概率密度;(2)的二次方程有實(shí)根的概率;(3) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)、概率密度.解 由題設(shè)條件知 ,(1)因?yàn)榕c獨(dú)立,由定理二得的概率密度 , ,顯然有對(duì)稱性;(2)令的二次方程有實(shí)根 ,又 ,所以 ;(3),(A)當(dāng)時(shí),(B)當(dāng)時(shí), (C)當(dāng)時(shí), ,于是 , .例6 接連不斷地?cái)S一顆勻稱的骰子,直到出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于2為止, 以表示擲骰子的次數(shù).以表示最后一次擲出的點(diǎn)數(shù).(1) 求二維隨機(jī)變量的分布律;(2)求關(guān)于,的邊沿分布律;(3)證明與相互獨(dú)立.解 依題意知, 的可能取值為;的可能取值為3,4,5,6 設(shè)第次擲時(shí)出1點(diǎn)或2點(diǎn),第次擲時(shí)出點(diǎn),則,“擲骰子次,最后一次擲出點(diǎn),前次擲出1點(diǎn)或2點(diǎn)” ,(各次擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相互獨(dú)立)于是的分布律為 , ,.(例如 )(2) , ; , ;(或由題意知 , “擲骰子次,最后一次擲