概率統(tǒng)計：第三章 二維隨機變量(第五節(jié))

1、第五節(jié) 相互獨立的隨機變量若事件滿足,則稱與相互獨立.一. 隨機變量相互獨立的定義定義7 設(shè)為兩個隨機變量,若對任意實數(shù)有 ,則稱與相互獨立,簡稱獨立. 獨立判別定理:設(shè),分別是,的分布函數(shù),則與相互獨立, 任意, 任意.二.離散型隨機變量相互獨立判別定理:定理一 設(shè)二維離散型隨機變量的分布律為則與相互獨立的充要條件是: .三. 連續(xù)型隨機變量相互獨立判別定理:定理二 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為.分別是關(guān)于和的邊沿概率密度, 則與相互獨立的充要條件是:,(幾乎處處).證明 , , ,與相互獨立 ,(幾乎處處)四.有限多個或可列個隨機變量的相互獨立性定義 設(shè)為個隨機變量,對任意實數(shù)，元函數(shù)

2、稱為個隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù). .定義8 設(shè)為個隨機變量,對任意實數(shù)，成立 則稱個隨機變量相互獨立. 定理 個隨機變量相互獨立對任意實數(shù)，成立 . 定理三 設(shè)是維連續(xù)型隨機變量,概率密度為,的概率密度為,則相互獨立 .定義9 設(shè)為可列無窮多個隨機隨機變量,若對任意的正整數(shù)，及任意互不相同的正整數(shù)，都相互獨立，則稱可列無窮多個隨機隨機變量相互獨立. 例1 設(shè)二維隨機變量的分布函數(shù)為 , (1)求邊沿分布函數(shù) ;(2) 求的概率密度, 邊沿概率密度;(3)驗證隨機變量與相互獨立.解 (1) ; ; (2) ; ; ;(3)顯然,對任意實數(shù),恒有 ,所以與相互獨立.(或顯然,對任意實數(shù),成立 ,所以

3、與相互獨立) 例2 設(shè)二維離散型隨機變量的分布律為YX 012-10.10.20.120.20.10.3 (1)求關(guān)于和關(guān)于的邊沿分布律; (2)驗證與是否獨立？解 (1) 關(guān)于和關(guān)于的邊沿分布律如表YX 012-10.10.20.10.420.20.10.30.60.30.30.4(2) , ,顯然 ,由定理一知, 與不獨立. 例3設(shè),(1)求 ,(2)試證: 與相互獨立的充要條件是.解 由題設(shè)條件知, 的概率密度為 , ,(1)由第四節(jié)例2知 , ;(2) 充分性 (即由與獨立) 若 則 , ,因此, 與獨立. 必要性 若與獨立,則對任意實數(shù),成立 ,特別地對有,即,從而 .證畢. 例4

4、某型號鉆頭的壽命(以鉆進深度m為單位)服從參數(shù)的指數(shù)分布.欲打一口深為500m的井,求恰好需用兩只鉆頭的概率. 解 設(shè)第一只鉆頭的壽命為,第二只鉆頭的壽命為,則與獨立且有相同的指數(shù)分布.由題意知 , ,故的概率密度為 , 由題意知“恰好需用兩只鉆頭”, .例5 設(shè)隨機變量與獨立且同服從分布.求:(1) 的概率密度;(2)的二次方程有實根的概率;(3) 隨機變量的分布函數(shù)、概率密度.解 由題設(shè)條件知 ,(1)因為與獨立,由定理二得的概率密度 , ,顯然有對稱性;(2)令的二次方程有實根 ,又 ,所以 ;(3),(A)當(dāng)時,(B)當(dāng)時, (C)當(dāng)時, ,于是 , .例6 接連不斷地擲一顆勻稱的骰子,直到出現(xiàn)點數(shù)大于2為止, 以表示擲骰子的次數(shù).以表示最后一次擲出的點數(shù).(1) 求二維隨機變量的分布律;(2)求關(guān)于,的邊沿分布律;(3)證明與相互獨立.解 依題意知, 的可能取值為;的可能取值為3,4,5,6 設(shè)第次擲時出1點或2點,第次擲時出點,則,“擲骰子次,最后一次擲出點,前次擲出1點或2點” ,(各次擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)相互獨立)于是的分布律為 , ,.(例如 )(2) , ; , ;(或由題意知 , “擲骰子次,最后一次擲