概率統(tǒng)計：第四章 隨機變量的函數(shù)的分布(第三節(jié))

1、第四章第三節(jié) 二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布 一般方法:已知二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度,求的概率密度. 記 , , . 下面給出二維連續(xù)型隨機變量的幾個具體的函數(shù)的分布的求解方法.一、 Z=X+Y的分布 實例:一電路中,兩電阻和串聯(lián)聯(lián)接,則總電阻.設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為. 對任意實數(shù),記 , , 上式表明: Z=X+Y 的分布是連續(xù)分布,概率密度 . 此積分的計算方法:有向直線:,沿直線,增加方向;即參數(shù)方程,. 第二類曲線積分;所以 . (第二類曲線積分及計算方法: 曲線的方程, )如果X與Y獨立,此時,右端的積分稱為函數(shù)與的卷積,記為,即.二、的分布實際例題

2、:一電子器件由兩個部件并聯(lián)組成,兩個部件的壽命分別為X和Y,則器件的壽命為. 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為,分布函數(shù)為.對任意實數(shù),由于所以的分布函數(shù) ,(求有兩種算法 , )的概率密度 .因為 ，所以 。如果X與Y獨立,此時, .上述結(jié)果不難推廣到個隨機變量的情形.設(shè)是個相互獨立的隨機變量,的概率密度為,分布函數(shù)為, .則的分布函數(shù)為 ;特別地, 當相互獨立,且具有相同的概率分布(概率密度為,分布函數(shù)為, )時, .三、的分布實際例題:一個系統(tǒng)由兩個部件串聯(lián)組成,兩個部件的壽命分別為X和Y,則系統(tǒng)的壽命為 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為,分布函數(shù)為.求隨機變量分布函數(shù)和概率密

3、度. , ;(有兩種計算方法)如果X與Y獨立,此時 .上述結(jié)果不難推廣到個隨機變量的情形.設(shè)是個相互獨立的隨機變量,的概率密度為,分布函數(shù)為, .則的分布函數(shù)為;特別地, 當相互獨立,且具有相同的概率分布(概率密度為,分布函數(shù)為, )時, .計算題舉例例1設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為,試求Z=X+Y 的概率密度. 解(I)首先畫出使的區(qū)域D,(II)公式 , ,(1) 當或時,直線AB與D不相交,在直線AB上, ,所以;(2)當時, ;(3)當時, ;(4) 當時, ;即得Z=X+Y 的概率密度 .例2 設(shè),且與相互獨立,求的概率密度.解 根據(jù)題設(shè)條件知, 的概率密度為, ,的概率密度

4、為 ,的概率密度為 ,即 .我們已有結(jié)果:設(shè),則,;結(jié)合前面的結(jié)果,我們得到設(shè),且與相互獨立,則,; .這個結(jié)論可推廣到一般正態(tài)分布的線性函數(shù).可以證明如下定理 定理 設(shè) ,且相互獨立,為不全為零的常數(shù),為常數(shù). (這個結(jié)果要求記著,并會用)例3設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為,(1) 求分布函數(shù),邊沿分布函數(shù);(2) 求的概率密度;(3) 求的概率密度.解 (1) , (畫出各種情形的積分區(qū)域,結(jié)合被積函數(shù)不為零的范圍,定出有效積分限). () 當或時, () 當,時, , ()當, 時, ,()當, 時, ,()當時, ,所以; ;(2) , (注意取值,僅取直線經(jīng)過的點上的值,直線不

5、經(jīng)過的點取不到)故 (3) , , ,故.(2),(3)的另一種解法(2) (注意有效積分區(qū)域及變化) (i)當時, ; (ii)當時, ,(iii) 當時, (iv) 當時, ,即得 ,故 (3) ,(I) 當時, ,(II) 當時, ,(III) 當時,即 ,故.例5 P125，習題28設(shè)某系統(tǒng)LK由三個獨立子系統(tǒng)組成，子系統(tǒng)的壽命的概率密度為 , ，試求系統(tǒng)LK的壽命X的概率密度（注：子系統(tǒng)3為備用，即當子系統(tǒng)1，2均失效時，子系統(tǒng)3將自動接通繼續(xù)工作）。解 根據(jù)題意，相互獨立.令 , 則系統(tǒng)LK的壽命， 子系統(tǒng)的壽命的分布函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為，的概率密度為 ，的概率密度為 ，與相互獨立，的概率密度為，的概率密度，當 時， ；當 時， ，故. 例6