第二節(jié)變量可分離的微分方程

1、第二節(jié)第二節(jié)變量可分離的微分方程變量可分離的微分方程(1) 0dd, 0)( xyyxFx,y,yF或如果能解出 ，那么xyydd(2) ).,(dd ),(yxfxyyxfy或如果一階微分方程(2)的右端，)0)( )()( ),(yhyhxgyxf則方程(2)可以表示為)3( d)(d)(xxgyyh的形式，則稱此一階微分方程為變量可分離的微分方程.)d()d( )3()3()()(是任意常數(shù)其中，的通解便得微分方程式兩端同時積分，都是連續(xù)函數(shù)，將，CCxxgyyhyhxg.2dd的通解求微分方程xyxy，兩端同時積分xxyyd2d ，即，得2112eee| |ln 12xCCxyCxy，

2、或記作21ee xCy.e ,e21xCCyC則有若記例1，原方程分離變量得xxyyd2d 解.0d)1 (d)1 ( 22的通解求微分方程yyxxyx，兩端積分，有122d1d1 Cxxxyyy，得兩端同除以xxxyyyyxd1d1)1)(1 (2222，積分后得122)1ln(21)1ln(21 Cxy，即表示為把任意常數(shù))0( ln21)1ln(21)1ln(21 ,ln21221CCxyCC).1 (1 22xCy化簡得例2，移項得xyxyyxd)1 (d)1 ( 22解.60dcos) 1(dsin2 12的特解條件滿足初值求微分方程xyyyxxyx12d12dsincos Cxxx

3、yyy兩端積分，有).( sin) 1( 2是任意常數(shù)其中化簡得所給方程的通解CCyx)ln, 0( ln) 1ln(sinln 12CCCCxy積分后，有例3，由原方程得xxxyyyd12dsincos 2解，即代入通解中，得把初值條件1 ,6sin) 11 ( 621CCyx. 1sin) 1( 2yx值條件的特解為于是，所求方程滿足初例4 求微分方程 的通解.d2(0)dyyyxxxx解 令 ,則 代入原方程,得yuxddddyuuxxxd2duuxuux即d2duxux分離變量得dd (0,0)2uxuxxu兩端同時積分,有1dd +2uxCxu積分后得1ln +ln (ln)uxCC

4、C即2ln()uCx以 代回原變量,即得原方程的通解為yux2ln() .yxCx一般地,形如d( ) (6)dyyxx的方程,稱為齊次方程,通過未知函數(shù)代換:令 ,便可化為變量可分離的方程,求得通解后,只要用 代回原來的變量,即可得到原齊次方程(6)的解.yuxyux.)2 , 1 ( 求這曲線的方程線段均被切點(diǎn)所平分，意切線，它在兩坐標(biāo)軸間的任一曲線通過點(diǎn)).( ),()(xXyyYyyxPxyy，切線方程為處的切線斜率為點(diǎn)，則過曲線上任一設(shè)所求曲線的方程為，按題意軸上的截距為，得切線在令xXyyxXxY2 , 000例5. ) i (值條件建立微分方程并確定初解2yxxy，故得) 1 (

5、 dd )(，或應(yīng)滿足的微分方程為即得曲線xyxyxyyxyy,dd ) 1 ( .)ii(xxyy分離變量，得將方程求通解)2( . 2) 1 ( 2 )2 , 1 (1yyx或，故得初值條件為由于曲線過點(diǎn)).( ) 1 (lnlnln 是任意常數(shù)的通解為即得方程，兩端積分，得CCxyCxy. , 2 , 2 )2( .)iii(程這就是所要求的曲線方條件的特解為故得所求方程滿足初值代入通解中，得把初值條件求特解xyC例6 把溫度為100的沸水注入杯中，放在室溫為20的環(huán)境中自然冷卻，經(jīng)5min時測得水溫為60.試求(1)水溫T()與時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)問水溫自100降至30所需的時間.，時水溫下降的速度為此，即溫為分鐘時水始的時刻，設(shè)經(jīng)為沸水冷卻開取問題卻這是一個熱力學(xué)中的冷tTtTTTttdd. )(0.解，分離變量，得，由牛頓冷卻定律，得tkTTTktTd20d )20(dd ，兩端積分，得tkTTd20d .e20 ktCT 所求通解為，代入通解中，得將初值條件80 1000CTt，為任意常數(shù)即)( )eln(lnlne)20ln( CCCTkTkt.e8020