數(shù)學(xué)論文泰勒公式

1、本科生畢業(yè)論文題 目:泰勒公式及其應(yīng)用研究 專業(yè)代碼:070101 作者姓名: 范文朝 學(xué) 號(hào): 2008200665 單 位: 2008級(jí)1班 指導(dǎo)教師: 劉保政2012年5 月 20 日原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明: 所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下, 獨(dú)立進(jìn)行研究取得的成果. 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外, 論文中不含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果, 也不包含為獲得聊城大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證書(shū)而使用過(guò)的材料. 對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體, 均已在文中以明確方式標(biāo)明。 本人承擔(dān)本聲明的相應(yīng)責(zé)任。學(xué)位論文作者簽名: 日期指 導(dǎo) 教 師 簽 名: 日期目錄摘要.Abstract.1.

2、 引言.12. 泰勒公式的形式.12.1帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式. 12.2 具有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式.2 2.3 帶有積分型余項(xiàng)的泰勒公式.2 2.4帶有柯西型余項(xiàng)的泰勒公式.23. 泰勒公式的應(yīng)用.23.1 利用泰勒公式求不定式的極限.33.2 利用泰勒公式估算誤差.53.3 用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的斂散性.9數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷.9 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷.103.4 利用泰勒公式證明中值問(wèn)題.123.5 利用泰勒公式證明不等式和等式.133.5.1利用泰勒公式證明積分不等式或積分等式.13利用泰勒公式證明導(dǎo)數(shù)不等式.15利用泰勒公式證明代數(shù)不等式.16結(jié)束語(yǔ).19參考文獻(xiàn).20致謝.2

3、1摘要泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中重要的公式，它的基本思想是用多項(xiàng)式來(lái)逼近已知函數(shù),而這個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)由給定函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)確定.闡述了泰勒公式的定義及其各種形式，著重對(duì)泰勒公式在極限計(jì)算、誤差估計(jì)、斂散性的判斷、中值問(wèn)題以及等式與不等式的證明這五個(gè)方面中的應(yīng)用進(jìn)行了研究論述.泰勒公式在多方面的應(yīng)用可以提高我們對(duì)泰勒公式的認(rèn)識(shí),有利于把泰勒公式的研究推向更深處.關(guān)鍵詞：泰勒公式; 不定式的極限；誤差估計(jì); 級(jí)數(shù)的斂散性;不等式證明AbstractTaylor formula is a important formula in the mathematical analysis.Its basic ide

4、a is that the known function with a polynomial approximation determines the coefficients of the polynomial by the first derivative of the given function. The definition and itsvariousforms of the Taylor formula are elaborated.The applications of Taylor formula in five aspects are studied and discuss

5、ed, such as the limit calculation, error estimation, the judgment of convergence and divergence, median problems, as well as equality and inequality proof. Taylor formula in many applications can improve our understanding of the Taylor formula , and it benefit to push the research of Taylor formula

6、to deeper.Key words：Taylor formula; the infinitive limits; error estimates; convergence and divergence of the series; Proof of Inequality泰勒公式及其應(yīng)用研究1. 引言泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，幾個(gè)微分中值定理中一般的情形是泰勒公式, 它建立了函數(shù)的增量,自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡(jiǎn)的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力杠桿。我們可以使用泰勒公式, 來(lái)很好地解決某些問(wèn)題, 如求某

7、些極限, 確定無(wú)窮小的階, 證明等式和不等式，判斷收斂性，判斷函數(shù)的凹凸性以及解決中值問(wèn)題等.本文共分兩部分，第一部分介紹了各種形式的泰勒公式.第二部分研究泰勒公式在各種問(wèn)題中的具體應(yīng)用，在該部分著重論述泰勒公式在求極限，誤差估計(jì)，斂散性判斷，中值問(wèn)題以及等式與不等式的證明這五個(gè)方面的具體應(yīng)用方法.2.泰勒公式的形式2.1帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在直至n階導(dǎo)數(shù),則對(duì)此鄰域內(nèi)的點(diǎn)x有:.當(dāng)x=0時(shí)的特殊形式：稱作帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林（Maclaurin）公式.2.2具有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式若函數(shù)f在a,b上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在（a,b）內(nèi)存在（n+1）階導(dǎo)函

8、數(shù)，則對(duì)任意給定的x，在a,b中，至少在（a,b）中存在一點(diǎn)，使得當(dāng)=0時(shí)，上式也稱為帶有拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式.2.3帶有積分型余項(xiàng)的泰勒公式若函數(shù)f在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階導(dǎo)數(shù),令x,則對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)x,在和x之間至少存在一個(gè)t使得:其中就是泰勒公式的積分型余項(xiàng).2.4帶有柯西型余項(xiàng)的泰勒公式若函數(shù)f在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階導(dǎo)數(shù),令x,則對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)x有：，. 當(dāng)=0時(shí)，又有=.3.泰勒公式的應(yīng)用3.1利用泰勒公式求不定式的極限不定式是指呈等形式的極限，一般是用洛比達(dá)法則求解，當(dāng)分子分母的階數(shù)都是較高階的無(wú)窮小的話，必須進(jìn)行多次洛比達(dá)法則，或是分子分母都是

9、帶根號(hào)項(xiàng)的話，越微分會(huì)越復(fù)雜，此時(shí)若使用泰勒公式解決，會(huì)更簡(jiǎn)單、明了.例1 求極限分析：此式分子含有根號(hào)項(xiàng)，用洛比達(dá)法則也可以求解，不過(guò)比較繁瑣。若使用泰勒公式可以將問(wèn)題大大簡(jiǎn)化.解：將、在x=0點(diǎn)的麥克勞林公式展開(kāi)到項(xiàng)得：， .原式=.用泰勒公式方法計(jì)算極限的實(shí)質(zhì)是一種利用等價(jià)無(wú)窮小的替代來(lái)計(jì)算極限的方法。我們知道當(dāng) 時(shí)，等.這種等價(jià)無(wú)窮小其實(shí)就是將函數(shù)用泰勒公式展至一次項(xiàng)。有些問(wèn)題用泰勒公式方法和我們已熟知的等價(jià)無(wú)窮小方法相結(jié)合，問(wèn)題又能進(jìn)一步簡(jiǎn)化.例2 求極限（）解：（）=,又,將cos2x用泰勒公式展開(kāi)：cos2x=.則=.假如細(xì)心思考，這一題目的結(jié)果可以引起我們的興趣.當(dāng)時(shí)，易知.兩

10、個(gè)互為等價(jià)無(wú)窮小的函數(shù)，它們倒數(shù)之差的極限為.為什么是？是什么因素造成這一結(jié)果？如果是()，情況會(huì)怎么樣？定理1 當(dāng)，時(shí)，有： (1)當(dāng)n=0時(shí)，=0； (2)當(dāng)n=1時(shí)，是關(guān)于x的一階無(wú)窮??； (3)當(dāng)n=2時(shí)，； (4)當(dāng)n3時(shí)，是關(guān)于x的（n-2）階無(wú)窮大.證明：(1)是顯然成立的，(3)在上題已經(jīng)證明了，這里只證明(2)、(4).先證明(2)：當(dāng)n=1時(shí)，()=.在這里，利用洛必達(dá)法則可以解出這個(gè)極限，但用泰勒公式則更方便.因?yàn)槲覀冎溃?，即 ()=.在證明(4)：當(dāng)n3時(shí)，= = =(.命題得證.從以上定理可以看到，當(dāng)時(shí)，互為等價(jià)無(wú)窮小的函數(shù)的倒數(shù)之差(或更一般的說(shuō)法，這些函數(shù)的乘

11、方之差 )的趨向情況，無(wú)窮大或無(wú)窮小的階數(shù)以及相關(guān)的極限的特點(diǎn)，由函數(shù)本身在x=0處的泰勒展開(kāi)式?jīng)Q定.同時(shí)容易推得，在以上結(jié)論中“”的條件還可以推廣為 “”，這時(shí)相關(guān)特點(diǎn)將由函數(shù)本身在處的泰勒展開(kāi)式?jīng)Q定. 綜上所述，在求不定式極限時(shí)，要靈活運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小與泰勒公式，并將函數(shù)展開(kāi)至分子分母分別經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后系數(shù)不為零的階即可.對(duì)于泰勒余項(xiàng)形式的選擇，要根據(jù)具體題目而定，一般而言極限的計(jì)算題應(yīng)該選擇佩亞諾型余項(xiàng).3.2利用泰勒公式估算誤差在問(wèn)題研究計(jì)算過(guò)程中，由于物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型化或者可能是由于計(jì)算工作者的疏忽，絕大多數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果都會(huì)有誤差，通過(guò)合理的計(jì)算方法就能最大限度的減少誤差，同時(shí)減少計(jì)算

12、的復(fù)雜程度.泰勒公式在誤差估計(jì)中的應(yīng)用就顯得十分突出.下面在具體例子中通過(guò)用泰勒公式和matlab方法進(jìn)行比較，展示泰勒公式計(jì)算的方便與精確.例1 設(shè)有，將被積函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，并取前六項(xiàng)得：用代替被積函數(shù)時(shí)再積分所得的近似值：0.544977678571且0.94256130<0.5，實(shí)際上近似真值時(shí)有4位有效數(shù)字.，曲線如圖所示.在編輯窗口輸入如下命令：x=0:0.01:1.5;y1=exp(x.2);y2=1+x.2+0.5*x.4+1/6*x.6;Plot(x, y1, x, y2);Legend (exp (x. 2)','1+x.2+0.5*x.4+1/6*

13、x.6');grid 圖1 有限代替無(wú)限所產(chǎn)生的誤差圖由圖可知，泰勒公式在誤差估計(jì)中所產(chǎn)生截?cái)嗾`差非常小.下例通過(guò)用泰勒公式求得的數(shù)值與實(shí)際數(shù)值之間的誤差界，可知泰勒公式在誤差計(jì)算中的精確度較高.例2 估計(jì)近似公式 的絕對(duì)誤差.解 設(shè),則因?yàn)樗詭в欣窭嗜招陀囗?xiàng)的二階麥克勞林公式為：從而：. 泰勒公式是函數(shù)值估計(jì)的一個(gè)重要方法，通過(guò)泰勒公式可以將原函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)相聯(lián)系起來(lái).例3 設(shè)函數(shù)在(0,2)上存在二階導(dǎo)數(shù),并且當(dāng)x0,2時(shí),有1,證明：,.證明 對(duì),由泰勒公式, 將在展開(kāi)為： 將在展開(kāi)為：兩式相減得從而有所以 .有了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，就可用它來(lái)進(jìn)行近似計(jì)算，即在展開(kāi)

14、式有效的區(qū)間上，函數(shù)值可以近似地利用這個(gè)技術(shù)按精確度要求計(jì)算出來(lái)的.例4 求的近似值解 令 ,則所以 從而由泰勒展開(kāi)式1+故 從而 =誤差 3.3 用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的斂散性數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的復(fù)雜形式時(shí)，往往利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡(jiǎn)化或統(tǒng)一形式，以便利用斂判準(zhǔn)則.例1 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：，取有<，所以<，且->0,故該級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。因?yàn)?>= 所以-<-()=.因?yàn)槭諗?，由正?xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂，該題利用泰勒公式后還結(jié)合運(yùn)用了放縮等技巧，在進(jìn)行放縮時(shí)，要注意度。一般根據(jù)題中要求證得結(jié)論而定，這是運(yùn)用比較判別

15、法常用的技巧. 例2 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：由比較判別法可知：若，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)和同時(shí)收斂和發(fā)散。為了選取中的P值，可以應(yīng)用泰勒公式研究通項(xiàng)的階.，所以. 因?yàn)槭諗?，所以收? 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷例3 設(shè)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且.證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.分析：由條件中“在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”這一信息可提示使用泰勒公式，又由條件易推得：，這將使在點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式更加簡(jiǎn)單，便于利用比較判別法判斂.解：由及在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可知,將在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)展開(kāi)成一階泰勒公式：.又由題設(shè)在屬于某領(lǐng)域內(nèi)含點(diǎn)的一個(gè)小閉區(qū)間連續(xù)，因此存在，使，于是，令，則.因?yàn)槭諗?，故絕對(duì)收斂. 注1

16、 若無(wú)條件“在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”，則結(jié)論不成立。反例：。所以在用泰勒公式展開(kāi)時(shí)，必須先確定在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)取內(nèi)是否有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且注意它的階.注2 若條件“在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”，改為“在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)有界”，結(jié)論照樣成立.例4 設(shè)在上三階連續(xù)可微，試證明以下級(jí)數(shù)收斂。.證明：由已知存在使，.將，在點(diǎn)泰勒展開(kāi)，則：，；，；故有. 因?yàn)槭鞘諗康?，所以原?jí)數(shù)也收斂，且是絕對(duì)收斂.3.4 利用泰勒公式證明中值問(wèn)題若欲證的結(jié)論是至少存在一點(diǎn)c,使得關(guān)于a ,b ,f(a)，f(b),c ,f(c),代數(shù)式的證明.可以考慮使用輔助函數(shù)法，然后驗(yàn)證輔助函數(shù)滿足羅爾定理?xiàng)l件，由

17、定理的結(jié)論即得命題的證明，下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明一下.例1 設(shè)在上三次可導(dǎo)，試證：，使得：（1）證明：設(shè)k為使下式成立的實(shí)數(shù)：（2） 此時(shí)，問(wèn)題歸為證明：，使得.（3） 則.根據(jù)羅爾定理，使得.由（3）式，即：（4）這是關(guān)于k的方程，注意到在點(diǎn)處的泰勒公式：,（5）由（4）、（5）兩式可得：，則，命題得證.解這種題最重要的就是輔助函數(shù)的確定，例題9使用的就是原函數(shù)法，即通過(guò)恒等變形將結(jié)論化為以消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)的形式或易積分的形式，用觀察法或積分法求出原函數(shù)，為簡(jiǎn)便積分常數(shù)取作零，移項(xiàng)使等式一邊為零，則另一邊將結(jié)論中的c換成x即為所需的輔助函數(shù).如果題中出現(xiàn)積分表達(dá)式，則可以直接將被積函數(shù)設(shè)為輔助函數(shù).

18、例如設(shè)f(x)在0,1連續(xù)，在（0,1）可導(dǎo)且滿足，證明至少存在一點(diǎn)c,使得.證明：只要設(shè)輔助函數(shù)為，即可以解出此題.3.5 利用泰勒公式證明不等式和等式 利用泰勒公式證明積分不等式或積分等式泰勒公式在定積分不等式方面應(yīng)用的關(guān)鍵在于確定在哪一點(diǎn)將函數(shù)展開(kāi)，其次將函數(shù)展開(kāi)到第幾項(xiàng)為止.例1 設(shè)在上單調(diào)增加，且，證明.分析：（1）因?yàn)椴坏仁接疫叧霈F(xiàn)了與，提示我們選擇，分別展開(kāi).（2）已知，所以最多只能展開(kāi)到含二階導(dǎo)數(shù)為止.證明：對(duì)，在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式為：，.因?yàn)?，所?令，則，.則.對(duì)上式兩邊同時(shí)在積分得：得 .故，命題得證.由上例可知，當(dāng)已知被積函數(shù)二階或二階以上可導(dǎo)，而且已知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí)

19、，用泰勒公式證明定積分不等式往往比較有效，一般先直接寫出的泰勒展開(kāi)式（有時(shí)根據(jù)題意對(duì)展開(kāi)式進(jìn)行放縮），然后兩邊積分證得結(jié)果.例2 設(shè)在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，試證，.分析：由題中條件“在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)”，我們可以考慮用泰勒公式來(lái)解題，由于題中要證的等式右邊具有?？梢钥紤]將函數(shù)展開(kāi)為二階泰勒公式。題中已知，我們可在x點(diǎn)作泰勒展開(kāi)，然后分別令，這樣既可使展開(kāi)式得以簡(jiǎn)化，又可引出，有利于問(wèn)題的證明.證明：，設(shè)，則，把在處展開(kāi)二階泰勒公式、,。 分別令，并將所得兩式相減： 設(shè)，.則.因?yàn)樵谏线B續(xù)，由介值定理可知存在，使得：.于是，因此，.由上可知，當(dāng)已知被積函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，證明定

20、積分等式，一般先作輔助函數(shù)，在將在所需點(diǎn)（一般是根據(jù)右邊表達(dá)式確定站開(kāi)點(diǎn)）進(jìn)行泰勒展開(kāi)，然后對(duì)泰勒余項(xiàng)作適當(dāng)處理（一般用介值定理）.利用泰勒公式證明導(dǎo)數(shù)不等式例3 設(shè)函數(shù)在上二次可微，且，試證存在一點(diǎn)，使.分析：在上二次可微，且最小值，所以在內(nèi)一定有極值點(diǎn)，該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，題中可知二次可微，從這點(diǎn)我們可以想到使用泰勒公式，而要證明的結(jié)論中右邊是一個(gè)常數(shù)，故選在最小值點(diǎn)處泰勒展開(kāi).解：不妨設(shè)為在上的最小值點(diǎn)，則，在處的泰勒公式： ，是介于與之間的某個(gè)值.當(dāng)時(shí)，即.當(dāng)時(shí)，即.所以，當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，.綜上所述，存在一點(diǎn)，使.利用泰勒公式證明代數(shù)不等式要點(diǎn)一：若我們?cè)O(shè)在上有連續(xù)n階導(dǎo)數(shù)，且，我們可以得

21、=>0利用此要點(diǎn)，可以證明一些不等式.例4 求證，.證明：原不等式等價(jià)為.因?yàn)椋? 而.原式獲證.要點(diǎn)二：應(yīng)用泰勒公式可得：可得如下一般性結(jié)果：(1) 時(shí)，對(duì)有.(2) 時(shí)， 對(duì)有. 例5 設(shè)，證明不等式.分析：這題我們可以使用要點(diǎn)二的結(jié)論來(lái)證，首先將不等式化簡(jiǎn)，方便我們得出解題思路。其次，我們要構(gòu)造函數(shù)，利用泰勒公式展開(kāi)式解題.證明：等價(jià)為： ， 令，.則只需證明而，.應(yīng)用泰勒公式可知，存在使 ，進(jìn)而當(dāng)時(shí)， =>. 即（1）得證.對(duì)于（2），因?yàn)?，所以，即?）得證.對(duì)于代數(shù)不等式的證明，可以將不等式轉(zhuǎn)化成不等式組，再構(gòu)造合適的函數(shù)，利用泰勒公式展開(kāi)求解.這時(shí)要記住靈活運(yùn)用要點(diǎn)(

22、2)中的結(jié)論，將會(huì)使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化.結(jié)束語(yǔ)泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它的學(xué)習(xí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要的作用，為許多后續(xù)課程打下了基礎(chǔ)，也為各種問(wèn)題提供了簡(jiǎn)便方法.它不僅在理論上占有重要的地位，在近似計(jì)算、極限計(jì)算、函數(shù)凹凸性判斷、斂散性的判斷、等式與不等式的證明、中值問(wèn)題以及行列式的計(jì)算等方面有重要的應(yīng)用.通過(guò)本文對(duì)極限計(jì)算、誤差的估計(jì)、斂散性的判斷、中值問(wèn)題以及等式與不等式的證明這五個(gè)方面的論述，我們可以了解到高階（二階及二階以上）導(dǎo)數(shù)的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一.只要題中條件給出函數(shù)二階及二階以上可導(dǎo)，不妨先把函數(shù)在指定點(diǎn)展成泰勒公式再說(shuō)，一般是展成比最高

23、階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒公式，然后根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇展開(kāi)點(diǎn)（展開(kāi)點(diǎn)未必一定是具體數(shù)值點(diǎn)，有時(shí)以x為佳）.從上面可以看到泰勒公式為一些問(wèn)題提供了更為簡(jiǎn)便有效的方法.系統(tǒng)研究泰勒公式的應(yīng)用，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，鍛煉和提高能力無(wú)疑是非常有益的.參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析M.第3版.北京：高等教育出版社，2001（2006重?。?2唐清干.泰勒公式在判斷級(jí)數(shù)及積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用J.桂林電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2002,22(3),44-46.3黃宗文,簡(jiǎn)靈鋒.泰勒公式在討論級(jí)數(shù)收斂性中的應(yīng)用J.玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào),2001,22(3),2123 4裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法M.第2版.北京：高等教育出版社，2006,4(2009重印)5李慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析M.武漢:華中科技大學(xué)出版社, 2006.6朱永生,劉莉.基于泰勒公式應(yīng)用的幾個(gè)問(wèn)題J.長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2OO6,25(4),30-327劉云,王陽(yáng),崔春紅.淺談泰勒公式的應(yīng)用J.和田