餓狼追兔問(wèn)題數(shù)學(xué)建模

1、餓狼追兔問(wèn)題摘要本文研究餓狼追兔問(wèn)題，是在給定狼兔相對(duì)位置，以及兔子巢穴位置的情況下求解的，狼的速度是兔子速度兩倍，在不考慮其他任何因素的情況下研究狼能否追上兔子的問(wèn)題。首先，我們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)姆治觯缓蟾鶕?jù)已知條件建立了狼的運(yùn)動(dòng)軌跡微分模型。其次，根據(jù)建好的模型，運(yùn)用MATLAB編程，然后仿真畫(huà)出了餓狼和野兔的運(yùn)動(dòng)軌跡圖。再次，用解析方法將建立的模型求解，并給出該問(wèn)題的結(jié)論，準(zhǔn)確的回答題目。最后，用數(shù)值方法求解，將所求與前面所求進(jìn)行對(duì)比，也給出結(jié)論，回答題目。并將兩種方法做相應(yīng)比較。結(jié)論：野兔可以安全回巢關(guān)鍵詞：算法 高階常微分方程 §1.1問(wèn)題的提出 在自然界中，各種生物都有

2、它的生活規(guī)律，它們鉤心斗角，各項(xiàng)神通，在餓狼追野兔的工程中，餓狼的速度是野兔的二倍，但是野兔有自己的洞穴，野兔在跑到自己洞穴之前被狼捉住，野兔就將會(huì)成為餓狼的囊中之物；如果野兔在餓狼捉住自己之前跑回到自己的洞穴，那么野兔就保住小命，得以生還。 圖1-1-1為餓狼追野兔的兩條曲線，其中綠線表示野兔，圖中的箭頭表示的是野兔的奔跑方向，野兔從遠(yuǎn)點(diǎn)開(kāi)始沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，其洞穴在坐標(biāo)為（0，60）的位置；紅線為餓狼的運(yùn)動(dòng)軌跡，圖中的剪頭表示餓狼追逐野兔的方向，餓狼從坐標(biāo)為（100，0）的方向追逐野兔，餓狼的速度是野兔速度的二倍。建立數(shù)學(xué)模型需研究一下幾個(gè)問(wèn)題：（1）設(shè)野兔的速度我v0，餓狼的速度為v1，

3、野兔的奔跑方向是沿y軸正方向奔跑，而餓狼的方向是一直指向野兔的方向，即餓狼的運(yùn)動(dòng)的軌跡某一時(shí)候的切線指向同一時(shí)刻的野兔的位置。建立餓狼追野兔的運(yùn)動(dòng)軌跡微分模型。（2）根據(jù)建立的餓狼運(yùn)動(dòng)軌跡得微分模型，作出餓狼與野兔的運(yùn)動(dòng)軌跡圖形。（3）用解析方法求解，即根據(jù)第二步作出的餓狼漁業(yè)突地運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，分析兔子能否安全回到巢穴，即野兔的運(yùn)動(dòng)曲線與餓狼的運(yùn)動(dòng)曲線的交點(diǎn)是在點(diǎn)（0，60）-野兔巢穴的上面還是下面。（4）用數(shù)值方法求解。根據(jù)第一步建立的關(guān)于二郎追野兔的運(yùn)動(dòng)軌跡微分模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，討論兔子能否安全回到巢穴，即所求交點(diǎn)的y值大于60還是小于60.§1.2問(wèn)題的分析（1）分析餓狼追野

4、兔的運(yùn)動(dòng)模型。在1.1中已經(jīng)說(shuō)了，餓狼追野兔過(guò)程中，野兔的目的是要在餓狼捉住自己之前跑到自己的巢穴，假如惡狼知道野兔巢穴的具體位置，根據(jù)題目所給，餓狼完全可以先兔子跑到其巢穴，然后在那里守株待兔，野兔則難逃餓狼之口。那樣餓狼的軌跡就是一條直線，只需簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算就可以完成。（2）但這是一個(gè)理想化的實(shí)際問(wèn)題，在這個(gè)問(wèn)題中由于餓狼不可能知道兔子巢穴的具體位置，因此它的速度的方向永遠(yuǎn)是朝著兔子的，兔子一直向北跑，相對(duì)于餓狼來(lái)說(shuō)兔的角度在時(shí)刻的變化，所以最終餓狼的軌跡是一條曲線。而兔子能否活下來(lái)，還是一個(gè)需要經(jīng)過(guò)具體較復(fù)雜計(jì)算的問(wèn)題。 §1.3數(shù)值方法求解初始時(shí)刻(t=0)兔子位于原點(diǎn)(0,

5、0)，餓狼位于(100,0)；兔子以常速度v0沿y軸跑，餓狼在t時(shí)刻的位置為(x,y)，其速度為v1=2v0；餓狼在追兔子過(guò)程中一直向著兔子的方向，則：餓狼在t時(shí)刻其追趕曲線的切線方程為Y-y=(dy/dx)*(X-x)=(dy/dt)/(dx/dt)*(X-x)其中(X,Y)為切線上動(dòng)點(diǎn)。又餓狼在追兔子過(guò)程中一直向著兔子的方向，則t時(shí)刻兔子(0,v0t)在切線上，所以v0t-y=(dy/dt)/(dx/dt)*(0-x)從而餓狼追趕軌跡由下方程組確定(dx/dt)*( v0t-y)= (dy/dt)*(-x) (1)(dx/dt)2+(dy/dt)2=v12 (2)由(1)有(dy/dx)*

6、(-x)= v0t-y，兩邊對(duì)t求導(dǎo)并化簡(jiǎn)(d2y/dx2)* (dx/dt) *(-x)= v0 (3)由(2)有 (dx/dt)21+(dy/dt)/(dx/dt)2=v12即dx/dt=-v1/1+(dy/dx)21/2 (注這里去負(fù)號(hào)，是由這個(gè)追趕曲線上圖，決定的)代入(3)，并把v1=2v0代入并化簡(jiǎn)得(d2y/dx2)*x=1+(dy/dx)21/2/2 (4)這是一個(gè)二階微分方程，它滿(mǎn)足初始條件y(100)=0令p= dy/dx，這dp/dx= d2y/dx2，這(4)化為(dp/dx)*x=1+p21/2/2，可分離變量求得lnp+1+p21/2/2=0.5*lnx+c又p(1

7、00)=0，所以c=-ln10，從而p+1+p21/2/2=x1/2/10這p=( x1/2/10-10/x1/2)/2即dy/dx=( x1/2/10-10/x1/2)/2，從而y=(x-300)*x1/2/30+c，又y(100)=0則y=(x-300)*x1/2/30+200/3令x=0，得y(0)=200/3>60故兔子沒(méi)有有危險(xiǎn)§1.4解析方法求解（matlab創(chuàng)新求解）在本題題目中給出了參考的matlab的方程式【注】常微分方程高階初值問(wèn)題的MATLAB庫(kù)函數(shù)為：ode45。語(yǔ)法為：t,Y =ode45(odefun,tspan,y0)例如函數(shù)： function

8、dy = rigid(t,y)dy = zeros(3,1); % a column vectordy(1) = y(2) * y(3);dy(2) = -y(1) * y(3);dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);設(shè)置選項(xiàng)：options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4 1e-4 1e-5);求解得：t,Y = ode45(rigid,0 12,0 1 1,options);畫(huà)出解函數(shù)曲線圖形：plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:

9、,3),'.')但是我們決定不用題目中給的函數(shù)，而是采用另一個(gè)函數(shù)：r = dsolve('eq1,eq2,.', 'cond1,cond2,.', 'v')，這個(gè)函數(shù)的作用是把常微分方程（無(wú)論是一階還是高階）轉(zhuǎn)化成不帶有求導(dǎo)的一般性方程，但是一般情況下經(jīng)過(guò)這種函數(shù)轉(zhuǎn)化之后，得到的方程式比較復(fù)雜，但是如果把已知條件也帶進(jìn)dsolve函數(shù)中，得到的函數(shù)就會(huì)比較簡(jiǎn)單。另外還要注意的一點(diǎn)就是在matlab中的Dy，D2y都默認(rèn)為是對(duì)t的求導(dǎo)，所以在用desolve函數(shù)的時(shí)候，要把所有的x換成t，然后還要借助y=subs（y,t,x）函數(shù)

10、，把求得的函數(shù)式的自變量改為x。下面開(kāi)始分析問(wèn)題模型。由§1.3中的(4)方程(d2y/dx2)*x=1+(dy/dx)21/2/2，并且有已知條件：y（100）=0；dy/dx（100）=0。故編寫(xiě)的matlab程序如下：>>y=desolve(t*D2y=sqrt(1+Dy2)/2,y(100)=0Dy(100)=0);y=subs(y,t,x)；得到y(tǒng)=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3在餓狼的運(yùn)動(dòng)曲線上取點(diǎn)x=25，并借助matlab：>> y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3,x=25,y得到y(tǒng)=20.833，并且求

11、得切線在（25，20.833）點(diǎn)的斜率為-3/4,故求得餓狼運(yùn)動(dòng)曲線在點(diǎn)（25，20.833）處的切線方程： z=0.75*(25-x)+20.833。在matlab環(huán)境下運(yùn)行得到函數(shù)y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3，然后再編輯elang.m文件：x=linspace(0,100,500);y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3;z=0.75*(25-x)+20.833;plot(0,y,'y',x,y,'r',x,z,'c')在matlab環(huán)境下調(diào)用elang.m文件>>elang得到如下圖：由題意知，野兔的巢穴在點(diǎn)（0，60）處，由圖中可以看出，在野兔到達(dá)自己的巢穴點(diǎn)(0,60)時(shí)，餓狼的運(yùn)動(dòng)曲線與y軸還沒(méi)有交點(diǎn)，即餓狼還沒(méi)有追上兔子，所以，由此可以回答課題提出的問(wèn)題：野兔可以安全回到巢穴。§1.5 模型的優(yōu)點(diǎn)與改進(jìn)優(yōu)點(diǎn)：本模型適用范圍較廣，追擊問(wèn)題中可以較多應(yīng)用，在輔助軟件的求解下，結(jié)果很容