同角三角函數(shù)基本關系式

1、121.1.任意角的三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)的定義1.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式復習與回顧復習與回顧:),(,那么交點的終邊與單位圓的是一個任意角設yxP_;cot)4(_;tan)3(_;cos)2(_;sin) 1 (yxyyxx叫余切函數(shù)，注意：yxcot3 sin cos tan cotRR,2|ZkkR 且且,|ZkkR 且且2.2.三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)的定義域1.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式4xyo sin tan cosxyo xyo cot3.3.三角函數(shù)值的符號三角函數(shù)值的符號xyo全正全正s

2、in cottancos 記憶記憶: :一全二正弦，一全二正弦， 三切四余弦三切四余弦1.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式506 4 3 2 23 2的弧度數(shù)的弧度數(shù)角角 的度數(shù)的度數(shù)角角 030456090180270360 sin cos tan cot010存在存在不不21233332123333222211100存在存在不不1 00存在存在不不01存在存在不不01 0存在存在不不04.4.特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值1.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式引例引例已知：已知：sin 0.8，填空：，填空：cos _哈哈

3、哈哈我換了個馬甲！我換了個馬甲！小樣！別以為你小樣！別以為你換了個馬甲我就換了個馬甲我就認不出你了！認不出你了！0.60.6復習：三角函數(shù)的符號復習：三角函數(shù)的符號已知：已知：sin 0.8，填空：，填空：cos _0.60.6xyOsin、csc上正下負 xyOcos、sec右正左負xyOtan、cot奇正偶負 已知：已知：sin 0.8，填空：，填空：cos _在初中，我們學過以下三個三角公式：在初中，我們學過以下三個三角公式：22sincos1sintancostancot1在初中，公式中的角為銳角！對任意角這些公式是否成立？0.60.6還需重新證明！還需重新證明！9計算下列各式的值計算

4、下列各式的值: :.65cot65tan. 4;45cot45tan. 3;30cos30sin. 2;90cos90sin. 12222 問題探究問題探究( (一一) )1.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式?:有有同同樣樣的的結結果果嗎嗎會會改改為為一一般般角角如如果果把把上上面面具具體體的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)問問題題 1cossin22 ?可可以以證證明明嗎嗎?如如何何證證明明嗎嗎?是是否否可可以以是是任任意意角角嗎嗎角角 . 1cottan 稱為平方關系稱為平方關系稱為倒數(shù)關系稱為倒數(shù)關系注注: :上面兩種關系直接可上面兩種關系直接可以用三角函數(shù)定義得到以用三角函數(shù)

5、定義得到. .10問題探究問題探究( (二二) )1.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式?tan,cos,sin:系系三者之間是否有什么關三者之間是否有什么關函數(shù)的定義探索函數(shù)的定義探索請同學們繼續(xù)根據(jù)三角請同學們繼續(xù)根據(jù)三角 tancossin xy?,上上式式都都成成立立呢呢是是否否可可以以是是任任意意角角時時角角 .tancossin,)(2成立成立時時當當 Zkk tancossin 稱為商數(shù)關系稱為商數(shù)關系sintancosyyrxxr 平方關系和商數(shù)關系平方關系和商數(shù)關系sin2 cos2 (sin)2 (cos)2yrxry2 2 x2 2 r2 2

6、，sin2 cos2 1R22rxyP(x，y)xyOrsincostanyrxryx；cotxy121.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式1cossin22 . 1cottan 稱為平方關系稱為平方關系稱為倒數(shù)關系稱為倒數(shù)關系 tancossin 稱為商數(shù)關系稱為商數(shù)關系關于三種關系式關于三種關系式1.“同角”的概念與角的表達形式無關.; 13cos3sin:22 如如; 12cot2tan .23tan23cos23sin 2.三種關系式(公式)都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立.,cottancossin. 3知一求三關系式可以利用上三種基本的對于同一個角 、同

7、角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式平方關系：平方關系：22sincos1 ，sintancos，tancot1 ，商數(shù)關系：商數(shù)關系：倒數(shù)關系：倒數(shù)關系：學習數(shù)學公學習數(shù)學公式需要做好式需要做好哪幾件事？哪幾件事？第一件事：第一件事：記住它！記住它！學習數(shù)學公式需要做好哪幾件事？學習數(shù)學公式需要做好哪幾件事？v記住它?。ㄍㄟ^分析式子的結構來記憶）記住它?。ㄍㄟ^分析式子的結構來記憶）v明確公式成立的條件明確公式成立的條件（何時（何時“不必疑不必疑”？）？）公式成立的條件公式成立的條件平方關系：平方關系：22sincos1 ，sintancos，tancot1 ，商數(shù)關系：商數(shù)關系：倒

8、數(shù)關系：倒數(shù)關系：R(Z)2kk(Z)2kk兩邊都有意義約定：約定：（詳見課本（詳見課本第第24頁倒數(shù)頁倒數(shù)第第5行）行）學習數(shù)學公式需要做好哪幾件事？學習數(shù)學公式需要做好哪幾件事？v記住它?。ㄍㄟ^分析式子的結構來記憶）記住它?。ㄍㄟ^分析式子的結構來記憶）v明確公式成立的條件（何時明確公式成立的條件（何時“不必疑不必疑”？）？）v熟悉公式的變形熟悉公式的變形（換馬甲）（換馬甲）游戲：判斷對錯游戲：判斷對錯v1v2v3v4v5v62cos1sinsincostancoscotsin221tan+1cossin2 cos2 122sin 27 +cos 631 cos(30 )sin(30 ) c

9、ot(30 )xxx 2727學習數(shù)學公式需要做好哪幾件事？學習數(shù)學公式需要做好哪幾件事？v記住它?。ㄍㄟ^分析式子的結構來記憶）記住它?。ㄍㄟ^分析式子的結構來記憶）v明確公式成立的條件（何時明確公式成立的條件（何時“不必疑不必疑”？）？）v熟悉公式的變形（換馬甲）熟悉公式的變形（換馬甲）v熟悉公式的一些典型應用熟悉公式的一些典型應用v熟悉應用公式時的易錯點熟悉應用公式時的易錯點公式運用三類題型公式運用三類題型v已知一個角的一個三角函數(shù)值，求這個角的已知一個角的一個三角函數(shù)值，求這個角的其它幾個三角函數(shù)值。其它幾個三角函數(shù)值。第一類題型第一類題型公式運用之一公式運用之一已知一個角的一個三角函數(shù)值

10、，求已知一個角的一個三角函數(shù)值，求這個這個角的其它幾個三角函數(shù)值。角的其它幾個三角函數(shù)值。sincostan例題（一）例題（一）例例1已知：已知：sin 0.8，且，且 為第三象限角，為第三象限角，求：求：cos，tan ，cot 的值的值. .解：解： 為第三象限角，為第三象限角， cos 0 ，于是，于是例題（二）例題（二）例例2已知：已知：cos m，且且m (0，1，求，求tan 22sin1cos1m從而從而2sin1tancosmm當當 為第四象限角時為第四象限角時， 同理可得：同理可得： 21tanmm 不打草稿，你能否不打草稿，你能否找出其中的錯誤？找出其中的錯誤？sintan

11、cos公式運用之一公式運用之一已知一個角的一個三角函數(shù)值，求已知一個角的一個三角函數(shù)值，求這個這個角的其它幾個三角函數(shù)值。角的其它幾個三角函數(shù)值。sincostan22sincos1?例題（二）例題（二）例例3已知：已知：tan 0，用，用 tan 表示表示 sin. .解：解：sinsin1錯在哪里？錯在哪里？22sinsincos2tantan122222sintansincoscostan1sinsincos1coscos正難則反！正難則反！29練習練習已知：已知：tan 2，填空：，填空：（1）（2）（3）sincos_sin3cos227sin_23cos分子分母同除以cos 2 2

12、sin2 2cos2 333sin_sin3cos4sin sin (sin2 cos2 )230公式運用三類題型l三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡第二類題型第二類題型31一、化簡 所謂化簡，就是使表達式經(jīng)過某種變形(如切化弦)，使結果盡可能的簡單，能求值的一定要求值。32例4：化簡1tancossin解：原式=coscoscossincossin1cossincossin33練習：練習：)sin1)(sin1 (化簡， 22cos)tan1 ( 34例5：440sin12化簡解：原式=()80cos80cos80cos80sin180360sin122235練習：化簡化簡 500cos122

13、sin1公式運用三類題型公式運用三類題型v三角恒等式的證明三角恒等式的證明第二類題型第二類題型37三角恒等式的證明三角恒等式的證明:l從一邊證到另一邊:有繁到簡l作差:l從兩邊證都等于同一值38)(cossin1sin1cos:7三三角角恒恒等等式式的的證證明明求求證證例例 2sin1)sin1(cos)sin1)(sin1()sin1(cos:0sin11sin0cos1 左左邊邊于于是是，所所以以，知知：由由證證明明右右邊邊 cossin1cos)sin1(cos222 (1sin)(1sin)1sin方方 法法 ：2coscoscos1sin0,cos0,cos1sin.1sincos且

14、且所所 以以 : :1.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式39能力訓練能力訓練224.:sintancoscot2sincostancot推推倒倒出出成成立立 cossin1cossin)cos(sincossincossin2cossincossin2sincoscoscossinsin:222224422 左邊左邊證明證明 cossin1cossincossinsincoscossin22 右邊右邊所以，原式成立所以，原式成立. .1.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式40例例6：證明：證明1sin2cossin) 1 (2442

15、222sintansintan) 2 (cossin1sin1cos)3(41證法一：因為cossin1sin1cos0cos)sin1 (coscoscos)sin1 ()sin1 (coscossin1sin1cos222所以42證法二：因為22cossin1)sin1)(sin1 (cossin1sin1cos, 0cos, 0sin-1所以由原題可知43證法三：證法三：右邊原式左邊cossin1cos)sin1 (cossin1)sin1 (coscos)sin1 (cossin1cos0sin1 , 0cos22244小小 結結 證明恒等式的過程實質(zhì)上就是分析、轉(zhuǎn)化和消證明恒等式的過

16、程實質(zhì)上就是分析、轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時常用的去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時常用的方法一般有以下三種：方法一般有以下三種：.,)1(簡簡的的原原則則證證明明時時一一般般遵遵循循由由繁繁到到它它等等于于另另一一邊邊證證明明從從等等式式的的一一邊邊開開始始依依據(jù)據(jù)相相等等關關系系的的傳傳遞遞性性.,)2(于于同同一一個個式式子子右右兩兩邊邊等等證證明明左左等等于于同同量量的的兩兩個個量量相相等等依依據(jù)據(jù)、.,:.,:.)3(成成立立知知可可成成立立因因為為只只要要證證要要證證分分析析法法成成立立知知由由此此可可等等價價與與再再證證成成立立先先證證綜綜合合法法的的方方

17、法法這這種種方方法法對對應應著著兩兩具具體體從從而而推推出出原原式式成成立立式式子子成成立立證證明明與與原原式式等等價價的的另另一一依依據(jù)據(jù)價價轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化思思想想badcdcbababadcdc 45423sin,cos,55tan.mmmm( (1 1) )已已知知是是第第四四象象限限角角求求的的值值)(53cos,54sin,0是是第第四四象象限限角角不不合合與與時時當當 m.512tan,135cos,1312sin,8 時時當當m思考題思考題. 80, 0)8(:,1)53()524(1cossin2222 mmmmmmmm或或則則整整理理得得化化簡簡 解：解：注意挖掘隱含的條件注意挖掘

18、隱含的條件: :22sincos11.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式46.tan1coscot1sin).(cossin0)13(2:2的的值值求求的的兩兩個個根根分分別別是是已已知知方方程程例例 Rm、mxx能力檢測能力檢測提示提示: :先化簡后求值先化簡后求值. .213: 答案答案1.2.21.2.2同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式47小小 結結 證明恒等式的過程實質(zhì)上就是分析、轉(zhuǎn)化和消證明恒等式的過程實質(zhì)上就是分析、轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時常用的去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時常用的方法一般有以下三種：方法一般有以下三種：.,)1(簡簡的的原原則則證證明明時時一一般般遵遵循循由由繁繁到到它它等等于于另另一一邊邊證證明明從從等等式式的的一一邊邊開開始始依依據(jù)據(jù)相相等等關關系