矩陣論—Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 陳建華陳建華矩矩 陣陣 論論機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.3 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 一、一、 - 矩陣矩陣二、二、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 三、三、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)單應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用設(shè)設(shè) P 是一個(gè)數(shù)域，是一個(gè)數(shù)域， 是一個(gè)文字，作多項(xiàng)式環(huán)是一個(gè)文字，作多項(xiàng)式環(huán)P . 一個(gè)矩陣，如果它的元素是一個(gè)矩陣，如果它的元素是 的多項(xiàng)式，即的多項(xiàng)式，即P 的元素的元素, ,就稱為就稱為 - - 矩陣矩陣. .討論討論 - 矩陣的一些性質(zhì)，并用這些性質(zhì)來證明上矩陣的一些性質(zhì)，并用這些性質(zhì)來證明上關(guān)于若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的主要定理關(guān)于

2、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的主要定理. .因?yàn)閿?shù)域因?yàn)閿?shù)域 P 中的數(shù)也是中的數(shù)也是 P 的元素，所以在的元素，所以在 - 矩陣中也包括以數(shù)為元素的矩陣矩陣中也包括以數(shù)為元素的矩陣. .一、一、 - 矩陣矩陣矩陣稱為矩陣稱為數(shù)字矩陣數(shù)字矩陣. .以下用以下用 A( )， B( )， 等等 表示表示 -矩陣矩陣 . .我們知道，我們知道， P 中的元素可以作加、減、乘中的元素可以作加、減、乘三種運(yùn)算三種運(yùn)算, , 并且它們與數(shù)的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律并且它們與數(shù)的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律. .而矩陣加法與乘法的定義只是用到其中元素的加法而矩陣加法與乘法的定義只是用到其中元素的加法與乘法，因此，我們可以同樣定義與乘法

3、，因此，我們可以同樣定義 - 矩陣的加法矩陣的加法與乘法與乘法, , 它們與數(shù)字矩陣的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律它們與數(shù)字矩陣的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律. .把以數(shù)域把以數(shù)域 P 中的數(shù)為元素的中的數(shù)為元素的行列式的定義也只用到其中元素的加法與乘法行列式的定義也只用到其中元素的加法與乘法, ,因此因此, ,同樣可以定義一個(gè)同樣可以定義一個(gè) n n 的的 - 矩陣的行列式矩陣的行列式. .一般地，一般地， - 矩陣的行列式是矩陣的行列式是 的一個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè)多項(xiàng)式, ,它與它與數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質(zhì)數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質(zhì). .例如例如, , 對(duì)于對(duì)于 - 矩陣的行列式，矩陣乘積的行列式矩陣的行

4、列式，矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積，等于行列式的乘積， 這一結(jié)論，顯然是對(duì)的這一結(jié)論，顯然是對(duì)的. .既然有行列式，也就有既然有行列式，也就有 - - 矩陣的子式的概念矩陣的子式的概念. .利用這個(gè)概念，我們有利用這個(gè)概念，我們有秩秩和和可逆矩陣可逆矩陣等。等。 如果如果 - 矩陣矩陣 A( ) 中有一個(gè)中有一個(gè) r ( r 1 )級(jí)子式不為零，而所有級(jí)子式不為零，而所有全為零，則稱全為零，則稱 A( ) 的秩為的秩為 r .零矩陣的秩規(guī)定為零。零矩陣的秩規(guī)定為零?？赡婢仃嚳赡婢仃?一個(gè)一個(gè) n n 的的 - 矩陣矩陣 A( ) 稱為可逆稱為可逆的，如果有一個(gè)的，如果有一個(gè) n n 的的

5、- 矩陣矩陣 使使A( ) B( ) = B( ) A( ) = E ,這里這里 E 是是 n 級(jí)單位矩陣級(jí)單位矩陣. 適合適合 (1) 的矩陣的矩陣 B( ) (它它是唯一的是唯一的) 稱為稱為 A( ) 的逆矩陣，記為的逆矩陣，記為 A-1( ) . 定理定理 1 1 一個(gè)一個(gè) n n 的的 - 矩陣矩陣 A( ) 是可逆的是可逆的 充分必要條件是行列式充分必要條件是行列式 | A( ) | 是一個(gè)非零數(shù)是一個(gè)非零數(shù). .先證先證. .設(shè)設(shè)d = | A( ) |是一個(gè)非零的數(shù)是一個(gè)非零的數(shù). . A*( ) 是是 A( ) 的伴隨矩陣，它也的伴隨矩陣，它也是一個(gè)是一個(gè) - 矩陣矩陣 ，而

6、，而*11( )( )( ) ( ),AAAAEdd 因此，因此， A( ) 可逆可逆. .再證再證. . 設(shè)設(shè) A( ) 可逆，則有可逆，則有A( ) B( ) = B( ) A( ) = E ,上式兩邊取行列式，得上式兩邊取行列式，得| A( ) | | B( ) | =|E | = 1 .因?yàn)橐驗(yàn)?| A( ) | 與與 | B( ) | 都是都是 的多項(xiàng)式，所以由它的多項(xiàng)式，所以由它們的乘積是們的乘積是 1 可以推知，它們都是零次多項(xiàng)式，可以推知，它們都是零次多項(xiàng)式，也就是非零的數(shù)也就是非零的數(shù) . . 求下列求下列 - 矩陣的秩矩陣的秩22221121(1)1211;322 2222

7、11(2)21.1秩為3秩為2 下列下列 - 矩陣中，哪些是可逆的？若可矩陣中，哪些是可逆的？若可逆求其逆矩陣逆求其逆矩陣. .2221( )=2111A 22-122- +1( ) = -+ -2+1-101A 定義定義 下面的三種變換叫做下面的三種變換叫做 - 矩陣的初等矩陣的初等變換：變換：(1) (1) 矩陣的兩行矩陣的兩行( (列列) )互換位置；互換位置；(2) (2) 矩陣的某一行矩陣的某一行( (列列) )乘以非零常數(shù)乘以非零常數(shù) c ；(3)(3) 矩陣的某一行矩陣的某一行( (列列) )加另一行加另一行( (列列) )的的 ( )倍，倍， ( ) 是一個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)多項(xiàng)式.

8、 .和數(shù)字矩陣的初等變換一樣，可以引進(jìn)初等矩陣和數(shù)字矩陣的初等變換一樣，可以引進(jìn)初等矩陣. .2. - 矩陣的矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形三種初等變換對(duì)應(yīng)三個(gè)三種初等變換對(duì)應(yīng)三個(gè)11( )( , ( )11P i j i 行行 j 行行 i 列列 j 列列101( , )101P i j i 行行 j 行行 i 列列 j 列列1( ( )1P i cc i 行行 i 列列同樣地，對(duì)一個(gè)同樣地，對(duì)一個(gè) s n 的的 - 矩陣矩陣 A( ) 作一次作一次初等行變換就相當(dāng)于在初等行變換就相當(dāng)于在 A( ) 的左邊乘上相應(yīng)的的左邊乘上相應(yīng)的 s s 初等矩陣；初等矩陣；對(duì)對(duì) A( ) 作一次作一次初等

9、列變換就相當(dāng)于在初等列變換就相當(dāng)于在 A( ) 的右邊乘上相應(yīng)的的右邊乘上相應(yīng)的 n n 的初等矩陣的初等矩陣.初等矩陣都是可逆的，并且有初等矩陣都是可逆的，并且有P( i , j ) -1 = P( i , j ) ,P( i(c) ) -1 = P( i( c -1 ) ) ,P( i , j ( ) ) -1 = P( i , j (- ) ) .由此得出初等變換具有可逆性：由此得出初等變換具有可逆性：設(shè)設(shè) - 矩陣矩陣 A( ) 用用初等變換變成初等變換變成 B( )，這相當(dāng)于對(duì)，這相當(dāng)于對(duì) A( ) 左乘或右乘左乘或右乘 一個(gè)初等矩陣一個(gè)初等矩陣. 再用此初等矩陣的逆矩陣來乘再用此初

10、等矩陣的逆矩陣來乘 B( )就就變回變回 A( ) ，而這逆矩陣仍是初等矩陣，因而由，而這逆矩陣仍是初等矩陣，因而由B( )可用初等變換變回可用初等變換變回 A( ) . 我們還可以看出在第我們還可以看出在第二種初等變換中，規(guī)定只能乘以一個(gè)非零常數(shù)，這二種初等變換中，規(guī)定只能乘以一個(gè)非零常數(shù)，這也是為了使也是為了使 P( i(c) ) 可逆的緣故可逆的緣故. - 矩陣的矩陣的等價(jià)等價(jià)定義定義 - 矩陣矩陣 A( ) 稱為與稱為與 B( ) 等價(jià)，等價(jià)，可以經(jīng)過一系列初等變換將可以經(jīng)過一系列初等變換將 A( ) 化為化為 B( ) .等價(jià)的性質(zhì)等價(jià)的性質(zhì): :等價(jià)是等價(jià)是 - 矩陣之間的一種等價(jià)

11、關(guān)系。矩陣之間的一種等價(jià)關(guān)系。如果如果 - 矩陣等價(jià)的條件：矩陣等價(jià)的條件：矩陣矩陣 A( ) 與與 B( ) 等價(jià)的充分必要條件是有一等價(jià)的充分必要條件是有一系列初等矩陣系列初等矩陣 P1 , P2 , , Pl , Q1 , Q2 , , Qs 使使A( ) = P1 P2 Pl B( )Q1Q2 Qs . - 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形本段主要是證明任意一個(gè)本段主要是證明任意一個(gè) - 矩陣矩陣可以經(jīng)過可以經(jīng)過初等變換化為初等變換化為SmithSmith標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形. .引理引理設(shè)設(shè) - 矩陣矩陣A( ) 的左上角元素的左上角元素 a11( ) 0，并且并且 A( ) 中至少有一個(gè)元素不能被

12、它除盡，那么中至少有一個(gè)元素不能被它除盡，那么一定可以找到一個(gè)與一定可以找到一個(gè)與 A( ) 等價(jià)的矩陣等價(jià)的矩陣 B( ) ，它的它的左上角元素也不為零左上角元素也不為零, ,但是次數(shù)比但是次數(shù)比 a11( ) 的次數(shù)低的次數(shù)低. .根據(jù)根據(jù) A( ) 中不能被中不能被 a11( ) 除盡的元素除盡的元素所在的位置，分三種情況來討論：所在的位置，分三種情況來討論： 若若 A( ) 的第一列中有一個(gè)元素的第一列中有一個(gè)元素 ai1( ) 不能不能被被 a11( ) 除盡，則有除盡，則有 ai1( ) = a11( ) q( ) + r ( ) ,其中余式其中余式 r ( ) 0，且次數(shù)比，且次

13、數(shù)比 a11( ) 的次數(shù)低的次數(shù)低.對(duì)對(duì) A( ) 作初等行變換作初等行變換. 把把 A( ) 的第的第 i 行減去行減去第第 1 行的行的 q( ) 倍，得：倍，得：111( )( )( )iaAa 11( )( )ar 再將此矩陣的第再將此矩陣的第 1 行與第行與第 i 行互換，得：行互換，得：11( )( ).( )rBa ( )A B( ) 左上角元素左上角元素 r ( ) 符合引理的要求，故符合引理的要求，故 B( ) 即為所求的矩陣即為所求的矩陣. 在在 A( ) 的第一行中有一個(gè)元素的第一行中有一個(gè)元素 a1i ( ) 不能不能被被 a11( ) 除盡，這種情況的證明與除盡，這

14、種情況的證明與 1) 類似，但是類似，但是對(duì)對(duì) A( ) 進(jìn)行的是初等列變換進(jìn)行的是初等列變換. A( ) 的第一行與第一列中的元素都可以被的第一行與第一列中的元素都可以被a11( ) 除盡，但除盡，但 A( ) 中有另一個(gè)元素中有另一個(gè)元素 aij ( ) ( i 1,j 1 ) 不能被不能被 a11( ) 除盡除盡.設(shè)設(shè)ai 1 ( ) = a11( ) ( ) .對(duì)對(duì) A( ) 作下述初等行變換：作下述初等行變換：1111( )( )( )( )( )jiijaaAaa 1111( )( )0( )( ) ( )jijjaaaa 1111( )( ) (1( )( )0( )( ) (

15、)ijjijjaaaaa = A1( ) .矩陣矩陣 A1( ) 的第一行中，有一個(gè)元素的第一行中，有一個(gè)元素ai j ( ) +( 1 - ( ) ) a1j ( )不能被左上角元素不能被左上角元素 a11( ) 除盡，這就化為已經(jīng)證除盡，這就化為已經(jīng)證明了的情況明了的情況 2) .定理定理2 2 任意一個(gè)非零的任意一個(gè)非零的 s n 的的 - 矩陣矩陣A( ) 都等價(jià)于下列形式的矩陣都等價(jià)于下列形式的矩陣12( )( ).( )00rddd 其中其中 r 1 , di( ) ( i = 1, 2, , r-1 ) 是首項(xiàng)系數(shù)為是首項(xiàng)系數(shù)為 1的的多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式，且di( ) | di+1

16、( ) ( i = 1, 2, , r-1 ) .經(jīng)過行列調(diào)動(dòng)之后，可以使得經(jīng)過行列調(diào)動(dòng)之后，可以使得 A( ) 的的 左上角元素左上角元素 a11( ) 0，如果，如果 a11( ) 不能除盡不能除盡 A( ) 的全部元素，的全部元素， 由由可以找到與可以找到與 A( ) 等價(jià)的等價(jià)的B1( ) ，它的左上角元素，它的左上角元素 b1( ) 0，并且次數(shù)比，并且次數(shù)比a11( ) 低低. 如果如果 b1( ) 還不能除盡還不能除盡 B1( ) 的全部元素的全部元素,由引理，又可以找到與由引理，又可以找到與 B1( ) 等價(jià)的等價(jià)的 B2( ) ，它的，它的左上角元素左上角元素 b2( ) 0

17、，并且次數(shù)比，并且次數(shù)比 b1( ) 低低.如此如此下去，將得到一系列彼此等價(jià)的下去，將得到一系列彼此等價(jià)的 - 矩陣矩陣 A( ) ,B1( ) , B2( ) , . 它們的左上角元素皆不為零，而它們的左上角元素皆不為零，而且次數(shù)越來越低且次數(shù)越來越低. 但次數(shù)是非負(fù)整數(shù)，不可能無止但次數(shù)是非負(fù)整數(shù)，不可能無止境地降低境地降低. 因此在有限步以后，我們將終止于一個(gè)因此在有限步以后，我們將終止于一個(gè) - 矩陣矩陣 Bs ( ) ，它的左上角元素，它的左上角元素 bs( ) 0，而且，而且可以除盡可以除盡 Bs ( ) 的全部元素的全部元素 bij( ) ，bij ( ) = bs( ) qi

18、j ( ) ，對(duì)對(duì) Bs ( ) 作初等變換：作初等變換：即即11( )( )( )( )sjsibbBb 1()000()0sbA 在右下角的在右下角的 - 矩陣矩陣 A1 ( ) 中，全部元素都是可以中，全部元素都是可以被被 bs( ) 除盡的除盡的, 因?yàn)樗鼈兌际且驗(yàn)樗鼈兌际?Bs( ) 中元素的組合中元素的組合.如果如果 A1( ) O，則對(duì)于，則對(duì)于A1( ) 可以重復(fù)上述過可以重復(fù)上述過程，進(jìn)而把矩陣化成程，進(jìn)而把矩陣化成122( )000( )0,00( )00ddA 其中其中 d1( ) 與與 d2( ) 都是首項(xiàng)系數(shù)為都是首項(xiàng)系數(shù)為 1 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式( d1( ) 與與

19、bs( ) 只差一個(gè)常數(shù)倍數(shù)只差一個(gè)常數(shù)倍數(shù))，而且，而且 d1( ) | d2( ) ，d2( ) 能除盡能除盡 A2( ) 的全部元素的全部元素.如此下去，如此下去，A( ) 最后就化成了所要求的形式最后就化成了所要求的形式. 最后化成的這個(gè)矩陣稱為最后化成的這個(gè)矩陣稱為 A( ) 的的. 用初等變換把下列用初等變換把下列 - 矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形. .32423232222211 210000.00 在上一段，我們討論了在上一段，我們討論了 - 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其主要結(jié)論是：任何主要結(jié)論是：任何 - 矩陣都能化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣都能化成標(biāo)準(zhǔn)形. .但是但是矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是否

20、唯一呢？矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是否唯一呢？答案是肯定的答案是肯定的. . 為了證為了證明唯一性，要引入明唯一性，要引入矩陣的行列式因子矩陣的行列式因子的概念的概念. .3.3.行列式因子與不變因子行列式因子與不變因子不變因子不變因子設(shè)設(shè) - 矩陣矩陣 A( ) 的秩為的秩為 r ，對(duì)于正整對(duì)于正整數(shù)數(shù) k，1 k r ， A( ) 中必有非零的中必有非零的 k 級(jí)子式級(jí)子式.A( )中全部中全部 k 級(jí)子式的首項(xiàng)系數(shù)為級(jí)子式的首項(xiàng)系數(shù)為 1 的最大公因式的最大公因式Dk( ) 稱為稱為 A( ) 的的 k 級(jí)級(jí)行列式因子行列式因子. .由定義可知，對(duì)于秩為由定義可知，對(duì)于秩為 r 的的 - 矩陣，行列式

21、矩陣，行列式因子一共有因子一共有 r 個(gè)個(gè).行列式因子的意義就在于，它在行列式因子的意義就在于，它在初等變換下是不變的初等變換下是不變的. .定理定理3 3 等價(jià)的等價(jià)的 - 矩陣具有相同的秩與相同矩陣具有相同的秩與相同的各級(jí)的各級(jí)行列式因子行列式因子. .我們只要證明，我們只要證明， - 矩陣經(jīng)過一次初等矩陣經(jīng)過一次初等行變換，秩與行列式因子是不變的行變換，秩與行列式因子是不變的.設(shè)設(shè) - 矩陣矩陣 A( ) 經(jīng)過一次初等行變換變成經(jīng)過一次初等行變換變成 B( ) , f( ) 與與 g( ) 分別是分別是 A( ) 與與 B( ) 的的 k 級(jí)行列式因子級(jí)行列式因子.我們證明我們證明 f(

22、 ) = g( ) . 下面分三種情形討論下面分三種情形討論. A( ) 經(jīng)初等行變換經(jīng)初等行變換 (1) 變成變成 B( ) . 這時(shí)這時(shí) B( ) 的每個(gè)的每個(gè) k 級(jí)子式或者等于級(jí)子式或者等于 A( ) 的某個(gè)的某個(gè) k 級(jí)子式級(jí)子式, 者與者與 A( ) 的某一個(gè)的某一個(gè) k 級(jí)子式反號(hào)級(jí)子式反號(hào), 因此因此 f( ) 是是B( ) 的的 k 級(jí)子式的公因式，從而級(jí)子式的公因式，從而 f( ) | g( ) . A( ) 經(jīng)初等行變換經(jīng)初等行變換 (2) 變成變成 B( ) . 這時(shí)這時(shí) B( ) 的每個(gè)的每個(gè) k 級(jí)子式或者等于級(jí)子式或者等于 A( ) 的某個(gè)的某個(gè) k 級(jí)子式級(jí)子式

23、, 者等于者等于 A( ) 的某一個(gè)的某一個(gè) k 級(jí)子的級(jí)子的 c 倍倍 , 因此因此 f ( ) 是是B( ) 的的 k 級(jí)子式的公因式，從而級(jí)子式的公因式，從而 f( ) | g( ) .或或或或 A( ) 經(jīng)初等行變換經(jīng)初等行變換 (3) 變成變成 B( ) . 這時(shí)這時(shí) B( ) 中那些包含中那些包含 i 行與行與 j 行的行的 k 級(jí)子式和那些不包含級(jí)子式和那些不包含i 行行的的 k 級(jí)子式都等于級(jí)子式都等于 A( ) 中對(duì)應(yīng)的中對(duì)應(yīng)的 k 級(jí)子式；級(jí)子式；B( )中中那些包含那些包含 i 行但不包含行但不包含 j 行的行的 k 級(jí)子式，按級(jí)子式，按 i 行分行分成兩部分，而等于成兩

24、部分，而等于 A( ) 的一個(gè)的一個(gè) k 級(jí)子式與另一個(gè)級(jí)子式與另一個(gè)k 級(jí)子式的級(jí)子式的 ( ) 倍的和，也就是倍的和，也就是 A( ) 的兩個(gè)的兩個(gè) k級(jí)子式的組合級(jí)子式的組合.因此因此 f ( ) 是是 B( ) 的的 k 級(jí)子式的公級(jí)子式的公因式，從而因式，從而 f( ) | g( ) .對(duì)于列變換，可以完全一樣地討論對(duì)于列變換，可以完全一樣地討論.總之，如總之，如果果 A( ) 經(jīng)一次初等變換變成經(jīng)一次初等變換變成 B( ) ，那么，那么f( ) | g( ) .但由于初等變換是可逆的，但由于初等變換是可逆的， B( ) 也可以經(jīng)一次初也可以經(jīng)一次初等變換變成等變換變成 A( ) .

25、由上討論，同樣應(yīng)有由上討論，同樣應(yīng)有 g( ) | f( ) .于是于是 f( ) = g( ) .當(dāng)當(dāng) A( ) 的全部的全部 k 級(jí)子式為零時(shí)，級(jí)子式為零時(shí)，B( ) 的全部的全部k 級(jí)子式也就為零；級(jí)子式也就為零； 反之亦然反之亦然.因此，因此， A( ) 與與 B( ) 既有相同的各級(jí)行列式因既有相同的各級(jí)行列式因子，又有相同的秩子，又有相同的秩.標(biāo)準(zhǔn)形的行列式因子標(biāo)準(zhǔn)形的行列式因子設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形為設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形為12( )( )(1)( )00rddd 其中其中 d1( ) , d2( ) , , dr( ) 是首項(xiàng)系數(shù)為是首項(xiàng)系數(shù)為1 1的多項(xiàng)的多項(xiàng)式，且式，且 di ( ) | di+1 (

26、 ) ( i = 1, 2, , r-1 ) . 不難證明不難證明, ,在這種形式的矩陣中，如果一個(gè)在這種形式的矩陣中，如果一個(gè) k 級(jí)子式包含的行級(jí)子式包含的行與列的標(biāo)號(hào)不完全相同，那么這個(gè)與列的標(biāo)號(hào)不完全相同，那么這個(gè) k 級(jí)子式一定為級(jí)子式一定為零零. . 因此，為了計(jì)算因此，為了計(jì)算 k 級(jí)行列式因子，只要看由級(jí)行列式因子，只要看由i1 , i2 , , ik 行與行與 i1 , i2 , , ik 列列 (1 i1 i2 ik r)組成的組成的 k 級(jí)子式就行了級(jí)子式就行了，12( )( )( ).kiiiddd 而這個(gè)而這個(gè)k 級(jí)子式等于級(jí)子式等于顯然，這種顯然，這種 k 級(jí)子式的

27、最大公因式就是級(jí)子式的最大公因式就是12( )( )( ).kddd - 矩陣矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的. .設(shè)設(shè)(1)(1)是是 A( ) 的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形. . 由于由于A( ) 與與 (1) 等價(jià)，它們有相同的秩與相同的行列式因子，等價(jià)，它們有相同的秩與相同的行列式因子，因此因此， A( ) 的秩就是標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元的秩就是標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元素的個(gè)數(shù)素的個(gè)數(shù) r ;A( ) 的的 k 級(jí)行列式因子就是級(jí)行列式因子就是11( )( ) ( )( ) (1,2, ).(2)kkDdddkr 于是于是112211( )( ),( )( ),( )( )( ).( )rr

28、rdDDdDDdD (3)這說明這說明 A( ) 的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形 (1) 的主對(duì)角線上的元素是被的主對(duì)角線上的元素是被A( ) 的行列式因子所唯一確定的，所以的行列式因子所唯一確定的，所以 A( ) 的標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的準(zhǔn)形是唯一的. . 標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元素標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元素d1( ) , d2( ) , , dr( )稱為稱為 - 矩陣矩陣 A( ) 的的不變因子不變因子. .定理定理5 5 兩個(gè)兩個(gè) - 矩陣等價(jià)的充分必要條件是矩陣等價(jià)的充分必要條件是 它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子不變因子. .等式（等式（2

29、）與（）與（3）給出了）給出了 - 矩陣的行矩陣的行列式因子與不變因子之間的關(guān)系列式因子與不變因子之間的關(guān)系. .這個(gè)關(guān)系式說明這個(gè)關(guān)系式說明行列式因子與不變因子是相互確定的行列式因子與不變因子是相互確定的. . 因此，說兩因此，說兩個(gè)矩陣有相同的各級(jí)行列式因子，就等于說它們有個(gè)矩陣有相同的各級(jí)行列式因子，就等于說它們有相同的各級(jí)不變因子相同的各級(jí)不變因子. .必要性已由定理必要性已由定理3證明。證明。充分性是很明顯的充分性是很明顯的. . 因?yàn)槿粢驗(yàn)槿?- 矩陣矩陣A( )與與B( ) 有相同的不變因子，則有相同的不變因子，則 A( ) 與與 B( ) 和同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)和同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)，因而它

30、們也等價(jià)形等價(jià)，因而它們也等價(jià). . 試求下列矩陣的不變因子試求下列矩陣的不變因子: :222222(1)1(1)10;2(1)1 2121210000( )=1,( )= ,( )=00ddd 11000110(2).00110001 1-10001-10=.001-10001A41234411000110=1,=(1)0011000(1)dddd 現(xiàn)在我們假定討論中的數(shù)域是復(fù)數(shù)域現(xiàn)在我們假定討論中的數(shù)域是復(fù)數(shù)域C.上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似不變量上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似不變量. .為了得到若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，再引入初等因子。為了得到若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，再引入初等因子。把矩陣把矩陣 A

31、 ( (或線性變換或線性變換A ) )的每個(gè)次數(shù)大于零的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，的不變因子分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪所有這些一次因式方冪( (相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算算) ) 稱為矩陣稱為矩陣 A (或線性變換或線性變換 A )的的初等因子初等因子. .4. 4. 初等因子初等因子 設(shè)設(shè)1212級(jí)矩陣的不變因子是級(jí)矩陣的不變因子是( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 . 1, 1, , 1 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 ( + 1 ) ,9 個(gè)個(gè)按定義，它的初等因子有按定義

32、，它的初等因子有 7 個(gè)，即個(gè)，即( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) , ( - i )2 , ( + i )2 .其中其中 ( - 1 )2 出現(xiàn)三次出現(xiàn)三次， + 1 出現(xiàn)二次出現(xiàn)二次. .首先，假設(shè)首先，假設(shè) n 級(jí)矩陣級(jí)矩陣 A 的不變因子的不變因子d1( ) , d2( ) , , dn( )為已知為已知. . 將將 di( ) (i =1, 2, , n) 分解成互不相同分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：的一次因式方冪的乘積：11121212221211221212( )()()(),( )()()(),( )()

33、()(),rrnnnrkkkrkkkrkkknrddd 則其中對(duì)應(yīng)于則其中對(duì)應(yīng)于 kij 1 的那些方冪的那些方冪()(1)ijkjijk就是就是 A 的全部初等因子的全部初等因子. . 我們注意到不變因子有我們注意到不變因子有一個(gè)除盡一個(gè)的性質(zhì)，即一個(gè)除盡一個(gè)的性質(zhì)，即 di( ) | di+1( ) (i =1, 2, , n - 1) ,從而從而1,()|()(1,2,1;1,2, ).ijijkkjjinjr 因此在因此在 d1( ) , d2( ) , , dn( ) 的分解式中，屬于同的分解式中，屬于同一個(gè)一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即一個(gè)一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即

34、k1j k2j knj (j = 1, 2, , r) .這說明，同一個(gè)一次因式的方冪作成的初等因子中這說明，同一個(gè)一次因式的方冪作成的初等因子中方次最高的必定出現(xiàn)在方次最高的必定出現(xiàn)在 dn( ) 的分解式中，方次次的分解式中，方次次高的必定出現(xiàn)在高的必定出現(xiàn)在 dn-1( ) 的分解式中的分解式中. .如此順推下如此順推下去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的. .上面的分析給了我們一個(gè)如何從初等因子和矩上面的分析給了我們一個(gè)如何從初等因子和矩陣的級(jí)數(shù)唯一地作出

35、不變因子的方法陣的級(jí)數(shù)唯一地作出不變因子的方法. . 設(shè)一個(gè)設(shè)一個(gè) n 級(jí)級(jí)矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將同一個(gè)一次因式同一個(gè)一次因式 ( - j) (j = 1, 2, , r) 的方冪的的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這些初等因子的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這些初等因子的個(gè)數(shù)不足個(gè)數(shù)不足 n 時(shí)，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的時(shí)，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的 1 1，使得，使得湊成湊成 n 個(gè)個(gè). . 設(shè)所得排列為設(shè)所得排列為1,1(),(),()(1,2, ) .njnjjkkkjjjjr 于是令于是令1212( )()()()(1,

36、2, ) ,iiirkkkirdin 則則 d1( ) , d2( ) , , dn( ) 就是就是 A 的不變因子的不變因子. .這也說明了這樣一個(gè)事實(shí)：如果兩個(gè)同級(jí)的數(shù)這也說明了這樣一個(gè)事實(shí)：如果兩個(gè)同級(jí)的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似因子，因而它們相似. . 反之，如果兩個(gè)矩陣相似，反之，如果兩個(gè)矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子等因子. .綜上所述，即得：綜上所述，即得：定理定理8 8 兩個(gè)同級(jí)復(fù)數(shù)矩陣相似的充分必要條是它們兩個(gè)同級(jí)復(fù)數(shù)矩陣相似

37、的充分必要條是它們有相同的初等因子有相同的初等因子. .初等因子的求法初等因子的求法初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量. .但是初等因子的求法與不變因子的求法比較，反而但是初等因子的求法與不變因子的求法比較，反而方便一些方便一些. .在介紹直接求初等因子的方法之前，先來說明在介紹直接求初等因子的方法之前，先來說明關(guān)于多項(xiàng)式的最大公因式的一個(gè)性質(zhì)關(guān)于多項(xiàng)式的最大公因式的一個(gè)性質(zhì)：如果多項(xiàng)式如果多項(xiàng)式 f1( )， f2( ) 都與都與 g1( )， g2( ) 互素，則互素，則(f1( )g1( ) , f2( )g2( )=(f1( ) , f2( )

38、 (g1( ) , g2( ).事實(shí)上，令事實(shí)上，令( f1( )g1( ) , f2( )g2( ) = d( ) ,( f1( ) , f2( ) = d1( ) ,( g1( ) , g2( ) = d2( ) .顯然，顯然，d1( ) | d( ) , d2( ) | d( ) .由于由于 ( f1( ) , g1( ) = 1 , 故故 ( d1( ) , d2( ) ) = 1，因而因而d1( ) d2( ) | d( ) .另一方面，由于另一方面，由于 d( ) | f1( ) g1( ) ,可令可令d( ) = f ( ) g ( ) ,其中其中 f ( ) | f1( ) ,

39、 g( ) | g1( ) . 由于由于 ( f1( ) , g2( ) = 1 ,故故 ( f ( ) , g2( ) = 1 . 由由 f ( ) | f2( ) g2( ) 又得又得 f ( ) | f2( )，因而因而 f ( ) | d1( ) .同理同理 g( ) | d2( ) . 所以所以d( ) | d1( ) d2( ) .于是于是d( ) = d1( ) d2( ) .引理引理 設(shè)設(shè)11222112( )( )0( ),0( )( )( )( )0( ),0( )( )fgAfgfgBfg 如果多項(xiàng)式如果多項(xiàng)式 f1( )， f2( ) 都與都與 g1( )， g2( )

40、 互素，互素，則則 A( ) 和和 B( ) 等價(jià)等價(jià).下面的定理給了我們一個(gè)求初等因子的方法，下面的定理給了我們一個(gè)求初等因子的方法，它不必事先知道不變因子它不必事先知道不變因子. .定理定理9 9 首先用初等變換化特征矩陣首先用初等變換化特征矩陣 E - A 為對(duì)角形式，然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不為對(duì)角形式，然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，相同的一次因式方冪的乘積，式的方冪式的方冪( (相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算) )就是就是的全的全部初等因子部初等因子. .則所有這些一次因則所有這些一次因設(shè)設(shè) E - A 已用初等變換化為對(duì)角形已用初等變

41、換化為對(duì)角形12( )( )( ),( )nhhDh 其中每個(gè)其中每個(gè) hi( ) 的最高項(xiàng)系數(shù)都為的最高項(xiàng)系數(shù)都為 1 . 將將 hi( ) 分分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：解成互不相同的一次因式方冪的乘積：1212( )()()()(1,2, ) ,iiirkkkirhin 我們現(xiàn)在要證明的是，對(duì)于每個(gè)相同的一次我們現(xiàn)在要證明的是，對(duì)于每個(gè)相同的一次因式的方冪因式的方冪12(),(),()(1,2, )jjnjkkkjjjjr 在在 D( ) 的主對(duì)角線上按遞升冪次排列后，得到的的主對(duì)角線上按遞升冪次排列后，得到的新對(duì)角矩陣新對(duì)角矩陣 D ( ) 與與 D( ) 等價(jià)等價(jià). . 此時(shí)

42、此時(shí) D ( ) 就是就是 E - A 的標(biāo)準(zhǔn)形而且所有不為的標(biāo)準(zhǔn)形而且所有不為 1 1 的的()ijkj 就就是是 A 的全部初等因子的全部初等因子. .為方便起見，先對(duì)為方便起見，先對(duì) - 1 的方冪進(jìn)行討論的方冪進(jìn)行討論. .令令2323( )()()()(1,2, ),iiirkkkirgin 于是于是11( )()( ) ,1,2,ikiihgin 而且每個(gè)而且每個(gè)11()ik 都與都與 gj( ) (j = 1, 2, , n) 互互素素. . 如果有相鄰的一對(duì)指數(shù)如果有相鄰的一對(duì)指數(shù) ki1 ki+1,1 , 則在則在 D( )中將中將11()ik 與與1,11()ik 對(duì)調(diào)位置

43、，而對(duì)調(diào)位置，而其余因式保持不動(dòng)其余因式保持不動(dòng). . 根據(jù)根據(jù)11,1111()( )00()( )iikikigg 與與1,11111()( )00()( )iikikigg 等價(jià)等價(jià). .從而從而 D( ) 與對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣111,1111111111()( )()( )( )()( )()( )iinkkikiknggDgg 等價(jià)等價(jià). .然后對(duì)然后對(duì) D1( ) 作如上的討論作如上的討論. .如此繼續(xù)進(jìn)行如此繼續(xù)進(jìn)行直到對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素所含直到對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素所含 - 1 的方冪是的方冪是按遞升冪次排列為止按遞升冪次排列為止. . 依次對(duì)依次對(duì) - 2 , , - r

44、 作作同樣處理，最后便得到與同樣處理，最后便得到與 D( ) 等價(jià)的對(duì)角矩陣等價(jià)的對(duì)角矩陣D ( ) ，它的主對(duì)角線上所含每個(gè)相同的一次因式它的主對(duì)角線上所含每個(gè)相同的一次因式的方冪，都是按遞升冪次排列的的方冪，都是按遞升冪次排列的. . 已知已知 - 矩陣矩陣 A( ) 的初等因子，秩的初等因子，秩 r 與與階數(shù)階數(shù) n ，求求 A( ) 的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形. .233232(1)2,(2) ,(2) ,2 ,(2) ;4,4;(2)1,(1) ,(1) ,2,(2) ;3,5 .rnrn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2332,(2) ,(2) ,2 ,(2) 把把 A( ) 的初等因子

45、的初等因子323(2) ,(2) ,2 , 1(2) ,2 ,1,1令令1223334( )1,( )2,( )(2) (2),( )(2) (2).dddd 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則則 d1( ) , d2( ) , d3( ) , d4( ) 是是 A( ) 的不變因子的不變因子. . 以以 A( ) 的標(biāo)準(zhǔn)形為的標(biāo)準(zhǔn)形為23312.(2) (2)(2) (2) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 把把 A( ) 的初等因子的初等因子按降冪排成如下兩行，每行按降冪排成如下兩行，每行 3 3 個(gè)因子個(gè)因子( (因因 A( ) 的秩的秩令令2321,(1) ,(1) ,2,(2)

46、等于等于 3 ) :322(1) ,(1) ,1(2) ,2 ,1122323( )1,( )(1) (2),( )(1) (2).ddd 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則則 d1( ) , d2( ) , d3( ) 是是 A( ) 的不變因子的不變因子. . 所以所以A( ) 的標(biāo)準(zhǔn)形為的標(biāo)準(zhǔn)形為2321(1) (2).(1) (2)00 求下列矩陣的不變因子，行列式因子與求下列矩陣的不變因子，行列式因子與初等因子初等因子4 25213(1)= 6 49 ;(2)= 639 .5 37426AB 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 把把 E - A 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形4256495

47、37EA 2100010.00(1) 所以不變因子為所以不變因子為21,1,(1), 行列式因子為行列式因子為21,1,(1), 初等因子為初等因子為2,1. 把把 E - B 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形213639426EB 10000.00(11) 所以不變因子為所以不變因子為1,(11) , 行列式因子為行列式因子為21,(11), 初等因子為初等因子為,11. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在定理標(biāo)準(zhǔn)形的存在定理任何方陣任何方陣A均可通過某一相似變換化為如下均可通過某一相似變換化為如下Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：標(biāo)準(zhǔn)形：1122()()(

48、)ssJJJJ10()10iiiiiJ12,s 其中其中 稱為稱為Jordan塊矩陣。塊矩陣。為為A的特征值，可以是多重的的特征值，可以是多重的。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明：說明：（1） 2 2階以上階以上Jordan塊矩陣一定不能對(duì)角化；塊矩陣一定不能對(duì)角化；2()iiJ（ ）i中的特征值全為中的特征值全為，但是對(duì)于不同的，但是對(duì)于不同的i 和和jij有可能有可能，即多重特征值可能對(duì)應(yīng)多個(gè)，即多重特征值可能對(duì)應(yīng)多個(gè)JordanJordan塊矩陣。塊矩陣。 （4）Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，這種唯一性是指：各標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，這種唯一性是指：各Jordan塊矩陣的階數(shù)和對(duì)應(yīng)的特征

49、值是唯一的，但是各塊矩陣的階數(shù)和對(duì)應(yīng)的特征值是唯一的，但是各Jordan塊矩塊矩陣的位置可以變化。陣的位置可以變化。 （3）對(duì)于特征值對(duì)于特征值()iiJi，的階數(shù)整除它的代數(shù)重?cái)?shù)。的階數(shù)整除它的代數(shù)重?cái)?shù)。（5）Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中各標(biāo)準(zhǔn)形中各Jordan塊矩陣的階數(shù)均為塊矩陣的階數(shù)均為1時(shí)，即為時(shí)，即為對(duì)角形矩陣。對(duì)角形矩陣。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Jordan 矩陣可以作為相似標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣可以作為相似標(biāo)準(zhǔn)形。惟一性：惟一性：Jordan 子塊的集合惟一。子塊的集合惟一。A相似于相似于BJA相似于相似于JB 元素的結(jié)構(gòu)元素的結(jié)構(gòu) JordanJordan矩陣是上三角矩陣矩陣是上三

50、角矩陣 對(duì)角矩陣是對(duì)角矩陣是Jordan Jordan 矩陣矩陣機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法標(biāo)準(zhǔn)形的求法方法一 特征向量法P 9-10注：注：1.1.屬于某一個(gè)特征值的屬于某一個(gè)特征值的若當(dāng)塊個(gè)數(shù)由它若當(dāng)塊個(gè)數(shù)由它的幾何維數(shù)確定。的幾何維數(shù)確定。2.2.該方法只適用于階數(shù)較低的矩陣該方法只適用于階數(shù)較低的矩陣機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7 7 求下列矩陣的求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)形。-10131-1(1)=120 ;(2)= -202.-403-113AB 1231=1,=2. （ ）1110= 010002J1 1的幾何維數(shù)是的幾

51、何維數(shù)是1 1，故它對(duì)應(yīng)一個(gè)若當(dāng)塊。，故它對(duì)應(yīng)一個(gè)若當(dāng)塊。1232=2 .（ ）2 2的幾何維數(shù)是的幾何維數(shù)是2 2，故它對(duì)應(yīng)兩個(gè)若當(dāng)塊。，故它對(duì)應(yīng)兩個(gè)若當(dāng)塊。2210= 020002J機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法二 初等因子法( )=|AfIA1212smmms， ，（1 1）求出特征多項(xiàng)式）求出特征多項(xiàng)式的初等因子組，設(shè)為的初等因子組，設(shè)為（2 2）寫出各）寫出各Jordan塊矩陣（一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)一個(gè)塊矩陣（一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)一個(gè)Jordan塊矩陣）塊矩陣） 1010iiiiniiiiinnJ（3 3）合成）合成Jordan矩陣：矩陣：1200sJJJJ4 25213(1)=

52、6 49 ;(2)= 639 .5 37426AB 例例8 8 求下列矩陣的求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)形。由例由例6 A初等因子為：初等因子為：2,1. B初等因子為：初等因子為：,11. 1010= 000001J2000= 00000-11J機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法三 行列式因子法（1）求求E-A 的各階行列式因子的各階行列式因子 iD 1iiiDdD（2）求求E-A 的各階不變因子的各階不變因子 （3）求求E-A 的初等因子，確定的初等因子，確定Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)形。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9 9 求下列矩陣的求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)

53、形。標(biāo)準(zhǔn)形。210110120011114101010310000040100013A 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 210110120011114101()010310000040100013IA第1-4行與第1、2、4、5列交叉的元素形成的四階子式為 21111201(2)(34)11100131機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 210110120011114101()010310000040100013IA第1、2、3、5行與1、3、4、5列交叉的元素形成的四階子式為220111001(4)14100004 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 210110120011114101

54、()010310000040100013IA4( )1D123( )( )( )1DDD這兩個(gè)子式的公因式為這兩個(gè)子式的公因式為1 1，故，故 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 210110120011114101()010310000040100013IA第1-5行與第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五階子式為22101012011(2)(4)114010101000040 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 210110120011114101()010310000040100013IA第1、2、3、5、6行與第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五階子式為321110120114(

55、2)111010131010013機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)5( )(2)D336( )(2) (4)D1234( )( )( )( )1dddd5( )(2)d236( )(2) (4)d其它五階子式均含其它五階子式均含因式，故因式，故 特征值行列式為特征值行列式為 ，從而，從而有有初等因子組為(2)2(2)3(4)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 相應(yīng)的Jordan塊為 22102410041004Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為200000021000002000000410000041000004機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形的變換與應(yīng)用的變換與應(yīng)用1. Jordon標(biāo)準(zhǔn)形變換矩陣的求法標(biāo)準(zhǔn)形變換矩陣的求法 目