電磁場與電磁波四版之電磁場基本規(guī)律

1、12 2.1 電荷守恒定律電荷守恒定律2.2 真空中靜電場的基本規(guī)律真空中靜電場的基本規(guī)律2.3 真空中恒定磁場的基本規(guī)律真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4 媒質的電磁特性媒質的電磁特性2.5 電磁感應定律和位移電流電磁感應定律和位移電流2.6 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組2.7 電磁場的邊界條件電磁場的邊界條件本章討論內容本章知識脈絡本章知識脈絡電磁場的源：電荷、電流（電磁場的源：電荷、電流（2.12.1）主線：亥姆霍茲定理主線：亥姆霍茲定理靜靜態(tài)態(tài)場場靜電場的散靜電場的散度和旋度度和旋度靜磁場的散靜磁場的散度和旋度度和旋度真空中（真空中（2.22.2）介質中（介質中（2.42.4）真空中（真空

2、中（2.32.3）介質中（介質中（2.42.4）時變場時變場（麥克斯韋方程組）（麥克斯韋方程組）(2.5,2.6)(2.5,2.6)時變場的散度和旋度時變場的散度和旋度邊界條件邊界條件(2.7)(2.7)42.1 電荷守恒定律電荷守恒定律本節(jié)討論的內容本節(jié)討論的內容：電荷模型、電流模型、電荷守恒定：電荷模型、電流模型、電荷守恒定律律基本物理量：源；場基本物理量：源；場電荷電荷電流電流電場電場磁場磁場（運動）（運動） 源：電荷源：電荷 ，電流電流),(trq),(trI5 電荷是物質基本元素之一電荷是物質基本元素之一 1897年英國年英國湯姆遜湯姆遜在實驗中發(fā)現(xiàn)了電子在實驗中發(fā)現(xiàn)了電子 1907

3、 1913年間，美國年間，美國密立根密立根通過油滴實驗，通過油滴實驗， 精確測定電子電荷的量值為精確測定電子電荷的量值為 e =1.602 177 3310-19 (單位：單位：C )2.1.1 電荷與電荷密度電荷與電荷密度61. 電荷體密度電荷體密度VrqVrqrVd)(d)(lim)(0VVrqd)(單位：單位：C/m3 (庫庫/米米3 )總電荷總電荷q 與密度的關系：與密度的關系： 電荷存在的形式（四種）：電荷存在的形式（四種）： 點電荷、體分布點電荷、體分布電荷、電荷、面分布電荷、線分布電荷面分布電荷、線分布電荷qVyxzorV72. 電荷面密度電荷面密度單位單位: C/m2 (庫庫/

4、米米2) 如果已知某空間曲面如果已知某空間曲面S 上的電荷上的電荷面密度，則該曲面上的總電荷面密度，則該曲面上的總電荷q 為為SsSrqd)(SrqSrqrSSd)(d)(lim)(0yxzorqSS83. 電荷線密度電荷線密度lrqlrqrlld)(d)()(lim0 如果已知某空間曲線上的電荷線如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電荷密度，則該曲線上的總電荷q 為為 Cllrqd)(單位單位: C / m (庫庫/米米)yxzorql9點電荷的電荷密度表示點電荷的電荷密度表示)()(rrqr4. 點電荷點電荷yxzorq102.1.2 電流與電流密度電流與電流密度說明說明：電流

5、通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為電流通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為 恒定電流恒定電流，用，用I 表示。表示。單位: A （安）電流方向: : 正電荷的流動方向0lim ()ddtiqtqt 電流電流 電荷的定向運動110dlimdnnSiiJeeSS 單位單位：A / m2 （安（安/米米2） 。 電流存在的形式（三種）： 體電流體電流、面電流面電流和和線電流線電流1. 體電流體電流 流過體積內任意曲面流過體積內任意曲面S 的電流為的電流為體電流密度矢量體電流密度矢量JneS正電荷運動的方向正電荷運動的方向SJiSd體電流與體電荷的關系?122. 面電流面電流面電流密度矢量面

6、電流密度矢量d 0tenelSJ0h0dlimdSttliiJeell 單位：A/m （安/米） 。通過面上任意橫截線的電流為正電荷運動的方向正電荷運動的方向mdSliJel面電流與面電荷的關系?體電流與面電流的關系?mnleee其中：133. 線電流線電流I單位: A （安）電流與線電荷的關系?電流與電荷的關系?體電流是以面為單位傳播，面電流是以線為單位傳播，線電流是以點為傳播142.1.3 電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律電荷守恒定律:電流連續(xù)性方程積分形式微分形式流出閉曲面流出閉曲面S 的電流等的電流等于體積于體積V 內單位時間所內單位時間所減少的

7、電荷量減少的電荷量恒定電流的連續(xù)性方程0t恒定電流是無散場，電流恒定電流是無散場，電流線是連續(xù)的閉合曲線，既線是連續(xù)的閉合曲線，既無起點也無終點無起點也無終點電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。VSVttqSJddddddtJ0dSSJ、0 J電荷守恒定律電荷守恒定律:電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。15針對思考問題的知識擴充針對思考問題的知識擴充前述電流連續(xù)性方程的特點： 面分布：tJ電荷守恒定律電荷守恒定律 電荷：體電荷 電流：體電流新問題： 如果電荷為面電荷，電流是面電流，電流連續(xù)方程如何？ 如果電荷為線電荷，電流為線電流，電流連續(xù)方程又如何？答案： 線分布：( )( , )

8、ldI ll tdlt sssJt 162.2 真空中靜電場的基本規(guī)律真空中靜電場的基本規(guī)律1. 庫侖庫侖（Coulomb）定律定律(1785年) 2.2.1 庫侖定律與電場強度庫侖定律與電場強度靜電場靜電場：由靜止電荷產生的電場。重要特征重要特征：對位于電場中的電荷有電場力作用。真空中靜止點電荷 q1 對 q2 的作用力:yxzo1r1q2r12R12F2q121212122301201244Rq qq q RFeRR17 電場力服從疊加定理()iiRrr 真空中的N個點電荷 （分別位于 ）對點電荷 （位于 ）的作用力為12Nqqq、 、 、q12Nrrr、 、 、rqq1q2q3q4q5q

9、6q731104iNNiiqq qiiiqq RFFR182. 電場強度電場強度000( )( )limqF rE rq30( )4qRE rR如果電荷是連續(xù)分布呢？如果電荷是連續(xù)分布呢？ 根據上述定義，真空中靜止點電荷q 激發(fā)的電場為()Rrr 描述電場分布的基本物理量 電場強度矢量E0q試驗正電荷 yxzorqrREM19小體積元中的電荷產生的電場小體積元中的電荷產生的電場( )rVyxzoriVrM)(rS面密度為 的面分布電荷的電場強度)(rl線密度為 的線分布電荷的電場強度體密度為 的體分布電荷產生的電場強度)(riiiiiRRVrrE304)()(301( )d4Vr RVR30(

10、 )1( )d4SSr RE rSR30( )1( )d4lCr RE rlR203. 幾種典型電荷分布的電場強度幾種典型電荷分布的電場強度120210(coscos)4(sinsin)4llzEErrr- 02lE 22 3 20(0,0, )2()lza zEzaz+（無限長）（有限長）lyxzoMa均勻帶電圓環(huán)均勻帶電圓環(huán)l1zM2均勻帶電直線段均勻帶電直線段均勻帶電直線段的電場強度：均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場強度：215330013()( )2cossin44rp r rpPE reerrr pqlrr電偶極矩Er+q電偶極子電偶極子zolq電偶極子的場圖電偶極子的場圖等位線等位線電場線

11、電場線 電偶極子是由相距很近、帶等值異號的兩個點電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠區(qū)電場強度為 電偶極子的電場強度：22 例例 2.2.1 計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強度。度。（P41）222 3/200( )dd4()bzSae zeE rz P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSadE2200dcossin)d0 xye(ee22 3/222 1/222 1/200d11( )2()2()()bSSzzazzzzazb E ree由于30( )1( )d4SSr RE rSRd d d Sd d d Szr

12、e z(0,0, )Pzre Rrr場點：源點： 解：2200dcossin)d0 xye(ee由于232.2.2 靜電場的散度與旋度靜電場的散度與旋度 01( ) dSSE rSq內靜電場的散度（微分形式）1. 靜電場的散度與高斯定律靜電場的散度與高斯定律靜電場的通量高斯定律（積分形式）( )0E r結論結論： 靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑無關 靜電場是發(fā)散場, 始于正電荷,并止于負電荷靜電場的旋度（微分形式）2. 靜電場的旋度靜電場的旋度靜電場的環(huán)流（積分形式）0d)(ClrE0)()(rrE24從靜電場規(guī)律的認識到分析解決問題的方法從靜電場規(guī)律的認識到分析解決問題的方法 電

13、荷是產生電場的一種源規(guī)規(guī) 律律 已知電荷分布，求電場分布疊加原理，進行直接求和/積分運算方方 法法 電荷是產生電場的散度源 已知電場分布，求電荷分布進行微分運算0)()(rrE 已知電荷分布，求其產生的電場 求解微分方程30( )1( )d4SSr RE rSR01( ) dSSE rSq內 電場的通量比例于電荷量 已知電場分布，求其通量 進行積分運算 已知電荷，求其產生的電場 求解積分方程從從靜電場靜電場規(guī)律規(guī)律的認識的認識到到分析解決問題的分析解決問題的方法方法 253. 利用高斯定律簡捷計算電場強度的條件利用高斯定律簡捷計算電場強度的條件簡捷計算條件：簡捷計算條件： 可以提到積分號可以提

14、到積分號以外，使積分方程簡化為代數(shù)方程以外，使積分方程簡化為代數(shù)方程 球對稱分布球對稱分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等均勻帶電球體帶電球殼帶電球殼多層同心球殼01( ) dSSE rSq內( )E r什么情況下，什么情況下， 可以提到積分號以外？可以提到積分號以外？( )E r在在S上均勻分布時！或積分結果已知時！上均勻分布時！或積分結果已知時！( )E r什么問題，具有這種特性呢？什么問題，具有這種特性呢？ 具有對稱性的問題具有對稱性的問題! !26 無限大平面電荷無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。：如無限大的均勻帶電平面

15、、平板等。 軸對稱分布軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。( (a a) )( (b b) )27 例例2.2.2 求真空中均勻帶電球體產生的電場。已知球體半徑求真空中均勻帶電球體產生的電場。已知球體半徑為為a ，電，電 荷密度為荷密度為 0 。 解解：（1）球外某點的場強球外某點的場強0300341daqSES（2）求球體內一點的場強VSEVSd1d00ar0rrEa20303raE3302343414raqEr003rE （r a 時）22 3/23()zaz2200223/2223/20( )d 4()2()zzIaIae a

16、B zezaza2200d( cossin)d0 xyeee由于 ，所以 為什么P點的磁場只有z分量？ 在圓環(huán)的中心點上，即z = 0： 何處磁感應強度最大？352.3.2 恒定磁場的散度和旋度恒定磁場的散度和旋度 )()(0rJrB0( ) dCB rlI1.1. 恒定場的散度（微分形式）磁通連續(xù)性原理（積分形式）結 論： 恒定磁場是無散的有旋場，是非保守場 電流是磁場的旋渦源 磁感應線是無起點和終點的閉合曲線恒定磁場的旋度（微分形式）2. 安培環(huán)路定理（積分形式）0d)(SSrB0)(rB36從恒定磁場規(guī)律的認識到分析解決問題的方法從恒定磁場規(guī)律的認識到分析解決問題的方法 從從恒定磁場恒定

17、磁場規(guī)律規(guī)律的認識的認識到到分析解決問題的分析解決問題的方法方法 電流是產生磁場的一種源規(guī)規(guī) 律律 已知電流分布，求磁場分布疊加原理，進行直接求和/積分運算方方 法法 電流是產生磁場的渦旋源 已知磁場分布，求電流分布進行微分運算 已知電流分布，求其產生的磁場 求解微分方程 磁場的環(huán)流比例于電流 已知磁場分布，求其環(huán)流 進行積分運算 已知電流，求其產生的磁場 求解積分方程03d( )4I lRB rR)()(0rJrB0( ) dCB rlI37 解解：建立一個最好的坐標系，如圖。：建立一個最好的坐標系，如圖。 根據對稱性，作出只有根據對稱性，作出只有x x信賴的積分環(huán)路，信賴的積分環(huán)路， 則環(huán)

18、路積分為：則環(huán)路積分為：00000202SySyJexBJex條件：問題具有對稱性，從而積分方程可化為代數(shù)方程求解！條件：問題具有對稱性，從而積分方程可化為代數(shù)方程求解！3. 利用安培環(huán)路定理簡便求解磁感應強度利用安培環(huán)路定理簡便求解磁感應強度C 例例2.3.2 求電流面密度為求電流面密度為 的的 無限大電流薄板產生的磁感應強度。無限大電流薄板產生的磁感應強度。0SzSJe JlJlBlBlBSC0021d則則 ： ( )( )B rB x其中，其中， 12BBB38 解解: :( )( )B re B應用安培環(huán)路定理，得應用安培環(huán)路定理，得21022IBa例例2.3.3 求載流無限長同軸電纜

19、產生的磁感應強度。求載流無限長同軸電纜產生的磁感應強度。( 1) 0a22122IIIaa取安培環(huán)路取安培環(huán)路 ，交鏈的電流為，交鏈的電流為()aabc0122IBea選用圓柱坐標系選用圓柱坐標系，則39(3) bc應用安培環(huán)路定律，得應用安培環(huán)路定律，得220322()2I cBcb(4) c (2) ab202 BI222232222bcIIIIcbcb40I 2203222IcBecb022IBe40B 40習習 題題2.16; 2.24; 2.252.16; 2.24; 2.25；2.26; 2.26; 2.29; 2.29; 41空間存在非真空的介質時：電荷產生的靜電場會怎樣？電流產

20、生磁場會怎樣？42空間存在非真空的介質時：電荷產生的靜電場會怎樣？電流產生磁場會怎樣？432.4 媒質的電磁特性媒質的電磁特性 1. 電介質的極化現(xiàn)象電介質的極化現(xiàn)象1 1）在外加電場作用下，電介質會產生極化現(xiàn)象： 無極分子發(fā)生為位移極化 有極分子發(fā)生取向極化2 2）極化程度的大小，由介質內電偶極矩的多少決定2.4.1 電介質的極化電介質的極化 電位移矢量電位移矢量無極分子無極分子有極分子有極分子無外加電場無外加電場 媒質對電磁場的響應可分為三種情況：極化極化、磁化磁化和傳導傳導。 描述媒質電磁特性的參數(shù)為： 介電常數(shù)介電常數(shù)、磁導率磁導率和電導率電導率。無極分子無極分子有極分子有極分子有外加

21、電場有外加電場E 結 論442. 極化強度矢量極化強度矢量 定義：單位體積內受極分子電偶極矩的和，即2( /)c m0limiivpPv 無極分子無極分子有極分子有極分子有外加電場有外加電場E451 1）介質沒有外場作用時 對于無極分子：討 論0P 0ip 0P 0iip 對于有極分子：2 2）介質在外場作用下Pnp0ip iipNp且12ppp其中，n 為單位體積內受極分子數(shù)無極分子無極分子有極分子有極分子無外加電場無外加電場EpnPipp461 1） 極化強度的大小與介質材料有關2 2） 極化強度的大小也與外加電場強度 有關 介質極化后，將在空間中產生額外的電場 介質內外空間中的總電場 為

22、實驗發(fā)現(xiàn)：對于線性、各向同性介質， 與 成正比，即結結 論論epEEEPe0PE e(0)其中，稱為介質的極化率 eEEpEE475330013()( )2cossin44rp r rpPE reerrr pqlrr電偶極矩Er+q電偶極子電偶極子zolq電偶極子的場圖電偶極子的場圖等位線等位線電場線電場線 電偶極子的電場強度：48 介質極化后，其介質極化后，其內部內部可能出現(xiàn)凈余的電荷，可能出現(xiàn)凈余的電荷， 即產生極化體電荷即產生極化體電荷極化現(xiàn)象的進一步討論極化現(xiàn)象的進一步討論 介質極化后，介質介質極化后，介質分界面上分界面上也可能出現(xiàn)凈余的電荷，也可能出現(xiàn)凈余的電荷， 即產生極化面電荷即

23、產生極化面電荷PqsPqE S49極化體電荷的計算極化體電荷的計算PPVsqq 所以，所以，dPSqPSPPE SPSdV計算原理計算原理：PdsdsqqN因為，因為，極化面電荷的計算極化面電荷的計算nSPP enedSSPdPdsqPS在介質分界面上：在介質分界面上：nPdsqP e dS所以，所以，因為，因為，d cosdnp SPSqndVd cosqnl SdVP V503. 電位移矢量電位移矢量 介質中的高斯定理介質中的高斯定理01d()fpsSESqq內0fpE問題：空間中有介質存在時，其中可能存在的極化電荷會產生 額外的電場，而影響總電場分布。那么計算總場時， 有必要事先計算出極

24、化電荷產生的電場嗎？0fEP0()fEPPED0引入電位移矢量:fD則有 單位：C/m2 任意閉合曲面電位移矢任意閉合曲面電位移矢量量 D 的通量等于該曲面的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和包含自由電荷的代數(shù)和 dfsSDSq內其積分形式為 51結 論d( ) d0fSCDSqE rl（積分形式） 0fDE（微分形式）， 空間中存在介質時，靜電場的問題可用如下基本方程描述求解問題的過程可采用如下途徑：fqDEP, ,pq, ,52均勻和非均勻介質各向同性和各向異性介質時變和時不變介質線性和非線性介質確定性和隨機介質色散和非色散介質4. 介質的分類與本構關系介質的分類與本構關系EPe0分類:本

25、構關系:0e0r(1)DEEE 相對介電常數(shù)（無量綱）介電常數(shù)DE53空間存在非真空的介質時：電荷產生的靜電場會怎樣！電流產生磁場會怎樣？54空間存在非真空的介質時：電荷產生的靜電場會怎樣？電流產生磁場會怎樣？552.4.2 磁介質的磁化磁介質的磁化 磁場強度磁場強度1. 介質的磁化現(xiàn)象介質的磁化現(xiàn)象無外加磁場無外加磁場外加磁場外加磁場Bmpi S 1）在外磁場作用下，介質分子磁矩定向排列，從而產生磁化現(xiàn)象( (顯示出磁性)。2 2）磁化程度的大小，由介質內分子磁矩的多少決定磁矩的定義 結 論mpi S mmpq l562. 磁化強度矢量磁化強度矢量 定義：介質單位體積內分子磁矩的和，即(/)

26、A m0limmiivpMv B571 1）介質無外磁場作用時討 論0M 0miip2 2）介質在外磁場作用下mMnp mimipNp12mmmppp其中，n 為單位體積內的分子數(shù)BmMnp無外加磁場無外加磁場mpi S 581 1） 磁化強度的大小與介質材料有關2 2） 磁化強度的大小也與外加場 的強度有關 介質磁化后，將在空間中產生額外的磁場 介質內外空間中的總磁場 為實驗發(fā)現(xiàn)：對于線性、各向同性介質， 與 成正比，即結結 論論emBBB mMH M m(0;0;0)其中，稱為介質的磁化率 eB B mB H 592022 3 2022 3 2(0,0, )2() =2 ()zmIaBze

27、azpaz 載流圓環(huán)軸線上的磁感應強度：IyxzoMa載流圓環(huán)60 介質磁化后，其介質磁化后，其內部內部可能出現(xiàn)凈余的電流分布，可能出現(xiàn)凈余的電流分布， 即產生磁化體電流即產生磁化體電流磁化現(xiàn)象的進一步討論磁化現(xiàn)象的進一步討論 介質磁化后，介質介質磁化后，介質分界面上分界面上也可能出現(xiàn)凈余的電流分布，也可能出現(xiàn)凈余的電流分布， 即產生磁化面電流即產生磁化面電流BCdldlmpSMSJneMldMJMSJ61磁化體電流密度的計算磁化體電流密度的計算MMSCII所以，所以，dMCIMl 計算原理計算原理：MdCdCIiN因為，因為，磁化面電流磁化面電流密度密度的計算的計算nSMJMe 在介質分界面

28、上：在介質分界面上：MtdCIM dl所以，所以，因為，因為，coscosmnp dlMdlM dl indVcosni SdlBCdldlmpSMJMMdCIM dl SMtJM62問題：空間中有介質存在時，其中可能存在的磁化電流會產生 額外的磁場，而影響總磁場分布。那么計算總場時， 有必要事先計算出磁化電流產生的磁場嗎？引入磁場強度 :則有 其積分形式為 4. 磁場強度磁場強度 介質中安培環(huán)路定理介質中安培環(huán)路定理 0M()BJJSMCSJJlBd)(d00()BJM 0()BMJ MBH0( ) d( ) dCSH rlJ rS)()(rJrH)(0MHB, 即63結 論空間中存在介質時

29、，恒定磁場的問題可用如下基本方程描述求解問題的過程可采用如下途徑：J H B M , ,MJ , ,0)()()(rBrJrH0d)(d)(d)(SSCSrBSrJlrH（積分形式） （微分形式）64. 磁介質的分類與本構關系介質的分類與本構關系分類:本構關系:相對磁導率（無量綱）磁導率順磁質抗磁質鐵磁質1r1r1rHMm0m0(1)rBHHH 磁化率(無量綱)BH 水：0.999990.99999空氣：1.00000041.0000004 鐵：4000400065空間存在非真空的介質時：電荷產生的靜電場會怎樣？電流產生磁場會怎樣!66IHlHC2d磁場強度磁場強度02I He磁化強度磁化強度

30、00020Iaa eBMH磁感應強度磁感應強度0022IaIa eBeHMB 例例2.4.1 有一磁導率為 ，半徑為a 的無限長導磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流 I，圓柱外是空氣（0 ），試求圓柱內外的 、 和 的分布。 解解 磁場為平行平面場, ,且具有軸對稱性，應用安培環(huán)路定律，得672.4.3 媒質的傳導特性媒質的傳導特性EJ晶格晶格帶電粒子帶電粒子 導電媒質中存在自由電荷。有外加電場作用下，自由電荷的運動產生電流。 電導率：歐姆定律：S/m（西/米）68習習 題題2.15; 2.182.15; 2.18；2.21; 2.22; 2.21; 2.22; 2.232.23； 692.5

31、電磁感應定律和位移電流電磁感應定律和位移電流2.5.1 電磁感應定律電磁感應定律1820年奧斯特：發(fā)現(xiàn)電流的磁效應年奧斯特：發(fā)現(xiàn)電流的磁效應1881年年法拉第：電磁感應定律法拉第：電磁感應定律 電磁感應定律電磁感應定律 揭示時變磁場產生電場。 位移電流位移電流 揭示時變電場產生磁場。 重要結論重要結論： 在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一 的電磁場。70inddt 1. 法拉第電磁感應定律的表述法拉第電磁感應定律的表述 SSBd n B C S dl indddSBSt 71dininCEl 變化磁場是產生電場的變化磁場是產生電場的源源 感應電場是有旋場感應電場是有旋場因而：因而：dd

32、ddinCSElBSt 對感應電場的認識對感應電場的認識：由于：由于：72相應的微分形式為相應的微分形式為(1) 回路不變，磁場隨時間變化回路不變，磁場隨時間變化ddddSSBBSSttd0cCEl 電場的源有兩種：電荷：磁場（電場的源有兩種：電荷：磁場（隨時間變化隨時間變化） incEEE2. 引起回路中磁通變化的幾種情況引起回路中磁通變化的幾種情況ddddCSElBSt BEt ddCSBE lSt 73稱為動生電動勢，這就是發(fā)電機工作原理。稱為動生電動勢，這就是發(fā)電機工作原理。( 2 ) 導體回路在恒定磁場中運動導體回路在恒定磁場中運動d() dinCCElvBl( 3 ) 回路在時變磁

33、場中運動回路在時變磁場中運動d() ddinCCSBElvBlSt74 （1） ，矩形回路靜止；0cos()zBe Btxbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)均勻磁場中的矩形環(huán)LvBin00dcos()dsin()zzSSBSe Bte SabBttt （3） ，且矩形回路上的可滑動導體L以勻速 運動。vevx)cos(0tBeBz 解解：(1) 均勻磁場 隨時間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內的感應電動勢是由磁場變化產生的，故B 例例 2.5.1 長為長為 a、寬為、寬為 b 的矩形環(huán)中有均勻磁場的矩形環(huán)中有均勻磁場 垂直穿過，垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內的感應電動勢。如圖所示

34、。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內的感應電動勢。B （2） ，矩形回路的寬邊b = 常數(shù)，但其長邊因可滑動導體L以勻速 運動而隨時間增大；0BeBzxve v75 ( 3 ) 矩形回路中的感應電動勢是由磁場變化以及可滑動導體 L在磁場中運動產生的，故得00() d()dinxzyCCvBle v e BelvB b 00sin()cos()vt bBtvbBt ( 2 ) 均勻磁場 為恒定磁場，而回路上的可滑動導體以勻速運動，因而回路內的感應電動勢全部是由導體 L 在磁場中運動產生的，故得B或in00ddd()ddSBSbB vtbB vtt 00d() dcos()dcos()dinSCzzxz

35、ySCBSvBlte BteSe ve Btelt 76 （1）線圈靜止時的感應電動勢； 解解: （1）線圈靜止時，感應電動勢是由時變磁場引起，故）線圈靜止時，感應電動勢是由時變磁場引起，故 （2）線圈以角速度 繞 x 軸旋轉時的感應電動勢。ab 例例 2.5.2 在時變磁場在時變磁場 中，放置有一個中，放置有一個 的的矩形線圈。初始時刻，線圈平面的法向單位矢量矩形線圈。初始時刻，線圈平面的法向單位矢量 與與 成成角，如角，如圖所示。試求：圖所示。試求： 0sin()yBe BtneyeddincBElSt 0sin()dynSe BteSt 0cos()cos dSBtS 0cos()cos

36、B abt xyzabB時變磁場中的矩形線圈時變磁場中的矩形線圈ne77 假定 時 ，則在時刻 t 時， 與y 軸的夾角 ，故0t 0net 方法一：利用式 計算indddSBSt in0000dddddsin()dsin()cos()ddd 1sin(2)cos(2)d2SynSBSte BteSabBttttB abtB abtt （2）線圈繞 x 軸旋轉時， 的指向將隨時間變化。線圈內的感應電動勢可以用兩種方法計算。ne780sin()sinB abt0022000cos()cossin()sincos ()sin ()cos(2)inab BtB abtB abtBabtB abt 上

37、式右端第一項與( 1 )相同，第二項xyzabB時變磁場中的矩形線圈時變磁場中的矩形線圈ne12 234 方法二：利用式() ddincSBvBlSt計算。102304() d()sind2()sind2nyxcnyxbvBlee Bt exbee Bt ex792.5.2 位移電流位移電流0JJt 靜態(tài)情況：靜態(tài)情況：0EtBEJH?H0t時變情況：時變情況：0tBEt ?EBt 801. 全電流定律全電流定律而由而由JH非時變情況下，電荷分布隨時間變化，由電流連續(xù)性方程有非時變情況下，電荷分布隨時間變化，由電流連續(xù)性方程有 )(DtJ發(fā)生矛盾發(fā)生矛盾在時變的情況下不適用在時變的情況下不適用

38、 解決辦法：解決辦法： 對安培環(huán)路定理進行修正對安培環(huán)路定理進行修正由由 D0)(HJ0)(tDJ0tJ將將 修正為：修正為： JHtDJH矛盾解決矛盾解決時變電場會激發(fā)磁場81全電流定律：全電流定律：tDJH 微分形式StDJlHCsd)(d 積分形式積分形式 全電流定律揭示不僅傳導電流激發(fā)磁場，變化的電場也可全電流定律揭示不僅傳導電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關系。關系。82dtDJ2. 位移電流密度位移電流密度q 電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產生磁場，故稱“位移電流”。注注

39、：在絕緣介質中，無傳導電流，但有位移電流。 在理想導體中，無位移電流，但有傳導電流。 在一般介質中，既有傳導電流，又有位移電流。q 位移電流只表示電場的變化率，與傳導電流不同，它不產生熱效應。q 位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關重要的一步，它揭示了時變電場產生磁場這一重要的物理概念。dJ832.6 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組微分形式微分形式0fftt DHJBEBD1. 1. Maxwell方程組方程組 電磁場的電磁場的基本方程基本方程d() dddd0dfCSCSSfSVDHlJStBElStBSDS dV tJdSdqdtJS積分形式積分形式842. 媒質的本構關系媒質的本構關系

40、 EDHBEJ)(0)()()(EHHtEEtEH代入麥克斯韋方程組中，有代入麥克斯韋方程組中，有0/EHEtHEtHE 限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質）（均勻媒質）各向同性線性媒質的本構關系為85變壓器的工作原理變壓器的工作原理MaxwellMaxwell方程揭示的電磁規(guī)律與在實際生活中的應用方程揭示的電磁規(guī)律與在實際生活中的應用86發(fā)電機的工作原理發(fā)電機的工作原理87人們尋找磁荷的實驗設計原型人們尋找磁荷的實驗設計原型88隨時間變化的電場和磁場互為激發(fā)源，在空間中以波的形式傳播隨時間變化的電場和磁場互為激發(fā)源，在空間中以波的形式傳播tDHtBE,無線電磁波的傳播機理無線電磁波的傳播機理8

41、9物物理理基基礎礎庫侖定律庫侖定律電場強度電場強度與真空中與真空中的靜電場的靜電場安培定律安培定律法拉第電法拉第電磁感應磁感應位移電流位移電流假說假說電位移矢電位移矢量與介質量與介質中靜電場中靜電場磁感應強磁感應強度與真空度與真空中靜磁場中靜磁場磁場強度磁場強度與介質中與介質中的靜磁場的靜磁場高斯定理高斯定理磁通連續(xù)磁通連續(xù)感應定律感應定律全電流定律全電流定律麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組邊界條件邊界條件90 2.7 電磁場的邊界條件電磁場的邊界條件 什么是電磁場的邊界條件什么是電磁場的邊界條件? ? 為什么要研究邊界條件為什么要研究邊界條件? ?ne媒質媒質1 1媒質媒質2 2 如何討論邊界條

42、件如何討論邊界條件? ? 實際電磁場問題都是在一定的物理空間內發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質組成的。邊界條件就是不同媒質的分界面上的電磁場矢量滿足的關系，是在不同媒質分界面上電磁場的基本屬性。物理物理：由于在分界面兩側介質的特性參 數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側也發(fā) 生突變。麥克斯韋方程組的微分 形式在分界面沒有意義，必 須對邊界上電磁現(xiàn)象單獨描述。數(shù)學數(shù)學：麥克斯韋方程組是微分方程組，其 解是不確定的（非限定的），邊界 條件起定解的作用。 麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質的分界面上仍然適用，由此可導出電磁場矢量在不同媒質分界面上的邊界條件。91SVSCSCSdVSDSBStBlEStDJl

43、Hd0dddd)(d2.7.1 邊界條件一般表達式邊界條件一般表達式SnnnSnDDeBBeEEeJHHe)(0)(0)()(21212121ne媒質媒質1 1媒質媒質2 2 分界面上的電荷面密度分界面上的電荷面密度 分界面上的電流面密度分界面上的電流面密度92 邊界條件的推證邊界條件的推證 （1 1） 電磁場量的法向邊界條件令h 0，則由S1D2Dne媒質媒質1 1媒質媒質2 2hPSdSDSq12n()SDDeSS即n12()SeDD同理 ，由d0SBS 在兩種媒質的交界面上任取一點P，作一個包圍點P 的扁平圓柱曲面S，如圖表示。n12()0eBB1n2nBB或1n2nSDD或93（2）電

44、磁場量的切向邊界條件12()SHHlJN l 在介質分界面兩側，選取如圖所示的小環(huán)路，令h 0，則由l1H2Hne媒質媒質1 1媒質媒質2 2Nhd() dCSDHlJSt故得故得n12()SeHHJnlNel n12()eHHN l1t2tSHHJ或或n12()0eEE同理得同理得1t2tEE或或1212n()() ()HHlHHNel 941.1.兩種理想介質分界面兩種理想介質分界面上的邊界條件上的邊界條件n12n12n12n12()0()0()0()0eeeeDDBBEEHH2.7.2 兩種常見的情況兩種常見的情況 在兩種理想介質分在兩種理想介質分界面上，在自然狀態(tài)下界面上，在自然狀態(tài)下

45、沒有電荷和電流分布，沒有電荷和電流分布，即即JS0、S0，故，故 的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)D 的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)B 的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)E 的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)Hne媒質媒質1 1媒質媒質2 2 、 的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)DBne媒質媒質1 1媒質媒質2 2 、 的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)EH952. 理想導體表面上的邊界條件理想導體表面上的邊界條件nnnn00SSeDeBeEeHJ 理想導體表面上的邊界條件理想導體表面上的邊界條件 設媒質設媒質2為理想導體，則為理想導體，則E2、D2、H2、B2均為零，故均為零，故 理想導體理想導體：電導率為無限大的導電

46、媒質：電導率為無限大的導電媒質 特征特征：電磁場在理想導體內恒為零：電磁場在理想導體內恒為零理想導體理想導體DSJH理想導體表面上的電荷密度等于理想導體表面上的電荷密度等于 的法向分量的法向分量D理想導體表面上理想導體表面上 的法向分量為的法向分量為0 0B理想導體表面上理想導體表面上 的切向分量為的切向分量為0 0E理想導體表面上的電流密度等于理想導體表面上的電流密度等于 的切向分量的切向分量H96 例例 2.5.3 海水的電導率為海水的電導率為4S/m，相對介電常數(shù)為，相對介電常數(shù)為81，求頻率為，求頻率為1MHz時，位移電流振幅與傳導電流振幅的比值。時，位移電流振幅與傳導電流振幅的比值。

47、 解解：設電場隨時間作正弦變化，表示為設電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為則位移電流密度為其振幅值為其振幅值為傳導電流的振幅值為傳導電流的振幅值為故故mcosxEe Etd0rmsin()xDJeEtt 3dm0rmm4.5 10JEE cmmm4JEE3dmcm1.125 10JJ97 例例 2.5.4 自由空間的磁場強度為式中的 k 為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強度。mcos()(A/m)xHe Htkzdm2m()cos()sin()(A/m )xyzxxxyyyDJHeeee HtxyzHeeHtkzzze kHtkz m000m011dsin()dcos()(V/m)y

48、yDDEte kHtkzttkeHtkz 解解 自由空間的傳導電流密度為0，故由式 , 得DHt98 例例 2.5.5 銅的電導率銅的電導率 、相對介電常數(shù)、相對介電常數(shù) 。設銅中的傳導電流密度為設銅中的傳導電流密度為 。試證明：在無線電。試證明：在無線電頻率范圍內，銅中的位移電流與傳導電流相比是可以忽略的。頻率范圍內，銅中的位移電流與傳導電流相比是可以忽略的。75.8 10 S/mr12mcos() A/mxJe Jtdr0r0mr0mcos()sin()xxDEJe EteEtttt dmr0mJE 而傳導電流密度的振幅值為mmJE即使f = 30300 GHz，從上面的關系式看出比值Jd

49、m/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。 解解：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為1213dmr0mm7mmm21 8.854 109.58 105.8 10JEfEfJEE 99 例例 2.6.1 正弦交流電壓源 連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。(1) (1) 證明電容器兩極板間的位移電流與連接導線中的傳導電流相等；(2)(2)求導線附近距離連接導線為r 處的磁場強度。cmmddsin()ddcos()uiCCUtttC Ut=msin()UtDEd 解解：( 1 ) 導線中的傳導電流為忽略邊緣效應時，間距為d 的兩平行板之間的電場為E = u / d

50、，則 msinuUtCPricu平行板電容器與交平行板電容器與交流電壓源相接流電壓源相接100d2cHlrH與閉合線鉸鏈的只有導線中的傳導電流 ，故得cmcos()iC Utm2cos()rHC Ut ( 2 ) 以 r 為半徑作閉合曲線C，由于連接導線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故mdd0mcddcos()cos()SSUDiJSSt SC Utitd式中的S0為極板的面積，而0SCd為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為mcos()2C UHe Hetr101 例例 2.6.2 在無源在無源 的電介質的電介質 中，若已知中，若已知電場強度矢量電場強度矢量 ，式中的，式中的E

51、0為振幅、為振幅、為角為角頻率、頻率、k為相位常數(shù)。試確定為相位常數(shù)。試確定k與與 之間所滿足的關系，之間所滿足的關系，并求出與并求出與 相應的其他場矢量。相應的其他場矢量。(00)J、(0)mcos() V/mxEe EtkzE 解解： 是電磁場的場矢量，應滿足麥克斯韋方程組。因此，利是電磁場的場矢量，應滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定用麥克斯韋方程組可以確定 k 與與 之間所滿足的之間所滿足的關系，以及與關系，以及與 相應的其相應的其他他場矢量。場矢量。EEmmcos()sin()xyyyEeeEtkze kEtkzzz mcos()ykEBetkz對時間 t 積分，得

52、()xyzxxBEeeee Etxyz 102BH=DE2msin()xyzyxxxyzeeeHk EHeetkzxyzzHHH msin()xxxDDeeEtkztt DHt由22k mcos()ykEHetkzmcos()xDeEtkz以上各個場矢量都應滿足麥克斯韋方程，將以上得到的 H 和 D代入式103 例例2.7.1 z 0 區(qū)域的媒質參數(shù)為區(qū)域的媒質參數(shù)為 。若媒質。若媒質1中的電場中的電場強度為強度為101010、202025200、881( , )60cos(15 105 )20cos(15 105 )V/mxE z tetztz82( , )cos(15 1050 )V/mx

53、Ez te Atz媒質2 2中的電場強度為（1）試確定常數(shù)A的值;（2）求磁場強度 和 ； （3 3）驗證 和 滿足邊界條件。),(1tzH),(2tzH),(1tzH),(2tzH 解解: :（1）這是兩種電介質的分界面，在分界面z = 0處，有881(0, )60cos(15 10 )20cos(15 10 )xEtett880cos(15 10 )V/mxet82(0, )cos(15 10 )V/mxEte At104利用兩種電介質分界面上電場強度的切向分量連續(xù)的邊界條件1111111xyEHEetz 8801300sin(15 105 ) 100sin(15 105 )yetztz

54、78781012( , )2 10cos(15 105 )10cos(15 105 )A/m3yH z tetztz80V/mA 得到將上式對時間 t 積分，得 （2）由 ，有111HEt ), 0(), 0(21tEtE10578204( , )10cos(15 105 )A/m3yHz tetz78781078012(0, )2 10cos(15 10 )10cos(15 10 )3410cos(15 10 )A/m3yyHtettet78204(0, )10cos(15 10 )A/m3yHtet可見，在z = 0處，磁場強度的切向分量是連續(xù)的，因為在分界面上（z = 0）不存在面電流。

55、 （3）z = 0時222HEt 同樣，由 ，得106試問關于1區(qū)中的 和 能求得出嗎？1E1D 解解 根據邊界條件，只能求得邊界面z0 處的 和 。1D1E由 ，有0)(21EEen11101125(3)(2 )(5 )0zxxyyzzxyzzyxxyee Ee Ee EeyexezeEye Ex則得xEyEyx5,211V/m)3(522zezeyeEzyx1區(qū)區(qū)2區(qū)區(qū)xyz電介質與自由空間的電介質與自由空間的分界面分界面O105 例例 2.7.2 如圖所示，如圖所示，1區(qū)的媒質參數(shù)為區(qū)的媒質參數(shù)為 、 、 2區(qū)的媒質參數(shù)為區(qū)的媒質參數(shù)為 。若已知自由空間的電。若已知自由空間的電場強度為場強度為202020、10,10107又由 ，有n12()0eDD0(0222111zzzyyxxz