---可約的充要條件

1、目錄后頁返回1 1前頁 定理4.5.4 -可約的充要條件 定理4.5.2 -本原多項式性質(zhì) 定理4.5.3 -高斯引理4.54.5 唯一分解整環(huán)上的多項式環(huán)唯一分解整環(huán)上的多項式環(huán) 一、本原多項式及其性質(zhì)一、本原多項式及其性質(zhì) 定理4.5.1 -中心定理 定義4.5.1 -本原多項式 例1 例2 二、定理二、定理4.5.14.5.1的證明的證明 定理3.3.4 -商環(huán)的性質(zhì) 定理4.5.5目錄后頁返回2 2前頁 本節(jié)中, 我們總假定是 惟一分解整環(huán), 是 DFD的商域. 這一節(jié)的主要目的是證明: 定理定理4.5.1 惟一分解整環(huán)上的多項式環(huán)還是惟 一分解整環(huán). 目錄后頁返回3 3前頁一、本原多

2、項式及其性質(zhì)一、本原多項式及其性質(zhì) 定義定義4.5.1 設(shè) 101( )nnnf xa xa xa為 上的多項式, 如果 , 則稱 D01gcd(,)1na aa( )f x為 上的一個本原多項式本原多項式(primitive polynomial) D式. 例例1 是 上的一個本原多項 32( )235f xxxZ 例例2 是 上 432( )3(1 i)(2i)x4f xxxxiZ的一個本原多項式. 目錄后頁返回4 4前頁 下面給出本原多項式的性質(zhì). 定理定理4.5.2 設(shè) 是 的商域 上的任一非零 ( )f xDF多項式. (1) 存在 及本原多項式 , 使 rF( ) g xD x .

3、 特別, 如果 , 則 . ( )( )f xrg x( ) f xD xrD (2) 如果另有 及本原多項式 使 1rF1( )g x , 則 是 的單位. 11( )( )f xrg x11r rD 證證 (1) 存在非零元 使 . 設(shè) cD( ) cf xD x目錄后頁返回5 5前頁101( )nnncf xa xa xa令 ， ， 01gcd(,)naa aa1iiba a則 且 ibD011gcd(, ,)nb bb101( )nnng xb xb xb令 則 為本原多項式, 并且如果取 , ( )g x1rc a則 rF目錄后頁返回6 6前頁且 ( )( )f xrg x 又當(dāng)時

4、, 如果取 , 則 . ( ) f xD x1c raD (2)設(shè) ，且 11111( ,),( ,)ddrc dD rc dDcc1010( ),0,nnng xa xa xa a11010( ),0.nnng xb xb xb b則 . 于是 111( )( )c dg xcd g x101111 01 11gcd(,)gcd(,)nnc da c dac dacd b cd bcd b目錄后頁返回7 7前頁所以 101101gcd(,)gcd(, ,)nnc da aacdb bb而 01gcd(,)1,na aa01gcd(, ,)1nb bb所以 . 從而 為 的單位. 11c dc

5、d1111c dr rdcD 定理定理4.5.3(高斯引理)本原多項式的乘積還是 本原多項式 證證 設(shè) 目錄后頁返回8 8前頁2012( ),nnf xaa xa xa x2012( )mmg xbb xb xb x分別是 次與 次的本原多項式. 令 mn2012( )( ) ( ),m nm nh xf x g xcc xc xcx其中， ,0,1,ks ts t kca b kmn 這里, 當(dāng) 或 時, 規(guī)定 及 . sntm0sa 0tb 假定 不是本原的, ( )h x則存在 的不可約元(也 D目錄后頁返回9 9前頁p是素元 ), 使 . |(0,1,)kp c kmn已知 0101g

6、cd(,)1,gcd(, ,)1nna aab bb設(shè) 01,na aa及 中最先一個不能被 整除的元素分別為 01, ,mb bbp 與 , 則 kalb01111110 .k lk lk lklklklk lca bababa babab 因為 ,而 |(0,1),|(0,1,1)ijp a ikp bjl， |,|klpap b所以 . |k lpc這與 的選取矛盾. p這就證明了 為本原多項式. ( )h x目錄后頁返回1010前頁 定理定理4.5.4設(shè) 為本原多項式. 則 ( ) f xD x 在 中可約的充分必要條件 是在 中 ( )f x D x( )f x F x可約. 證證必

7、要性是顯然的, 下面證充分性. 設(shè) 在 上可分解為兩個次數(shù)較低的多項式 ( )f xF的乘積 ( )( ) ( ), ( ), ( ) f xg x h xg x h xF x其中 . 令 0deg ( ),deg ( )deg( )g xh xf x目錄后頁返回1111前頁11( )( ),g xrg x2 1( )( ),h xr h x其中， ， 為本原多項式, . 則 1( )g x1( )h x12,r rF1 211( )( ) ( )f xrr g x h x 因 ， 都是本原多項式, 1( )g x1( )h x所以 11( ) ( )g x h x也是本原多項式. 又 是本原

8、多項式, 所以 ( )f x 為 中單位. 從而 1 2rruD11( )( )( ( )f xug xh x為 在 中的分解. ( )f x D x目錄后頁返回1212前頁 定理定理4.5.5設(shè) 為 上的不可約多項式, 則 ( )p xD 或者是 的不可約元或者是 上的本原不可約( )p xDD多項式. 證證 (1) 如果 . ( )p xaD則因 在 中不可 a D x約, 從而 在 上必不可約. aD (2) 如果 . ( )p xD則因 不可約, 故 必 ( )p x( )p x是本原多項式. 從而 為 上本原不可約多項式. ( )p xD目錄后頁返回1313前頁二、定理二、定理4.5

9、.1的證明的證明 最后我們來給出定理4.5.1的證明由定理4.3.7及其證明可知, 我們只需證明: (1) 的每個非零非單位的元素都可分解為 D x不可約元的乘積(這樣就能保證真因子鏈的有限); (2) 的每個不可約元都是素元. D x 證證(1) 設(shè) 是 中的一個非零非單位的 ( )f x D x多項式. 則存在非零元 及本原多多項式 aD目錄后頁返回1414前頁 , 使 . 令 ( ) g xD x( )( )f xag x （當(dāng) 不是單位時）， 12tad dda（當(dāng) 時） 12( )( )( )( )sg xp x pxp xdeg ( )0g x 其中 為 的不可約元, (1,2,

10、)id itD 為 上的不可約多項式 ( )(1,2, )ip x isF（由4.4例， 是惟一分解整環(huán)，所以 在 F x( )g x 上可分解成不可約多項式之積） F令 ( )( ) 1,2,iiip xrq xis目錄后頁返回1515前頁其中 , 為 上的本原多項式, irF( )(1,2, )iq x isD則 為 上的本原不可約多項式, 且 ( )iq xD1 212( )()( )( )( ).ssg xrrr q x qxq x 因為 , 都是本原的, ( )g x( )iq x所以 為 1 2surrr 的單位. 由此得 D1212( )()( )( )( )tsg xud dd

11、 q x qxq x為 在 上的一個不可約元分解. ( )f xD (2) 設(shè)非零多項式 , 為 ( ), ( ) f x g xD x( )p x目錄后頁返回1616前頁 的不可約元, 且 D x( )|( ) ( ).p xf x g x 如果 , 則 不可約, 下證它是素元. ( )p xpDp 由已知, 存在 , 使 ( ) h xD x( )( ) ( )ph xf x g x令 , , , 1( )( )h xch x1( )( )f xaf x1( )( )g xbg x其中 , 為 上本原多項式. , ,a b cD111( ),( ),( )f x g x h xD目錄后頁返

12、回1717前頁則由 111( )( )( )pch xabf x g x知 為 中的單位, 11p c abD所以 . 從而 , abpc|p ab于是 或 . 從而必有 |p a|p b或 . |( )p f x|( )p g x 如果 為 上本原不可約多項式, ( )p xD則 在 ( )p xF上不可約, 所以是 上的一個素多項式. 又在 上, FF也有 目錄后頁返回1818前頁( )|( ) ( )p xf x g x所以必有 或 . ( )|( )p xf x( )|( )p xg x不妨設(shè) , ( )|( )p xf x則存在 , 使 ( ) h xF x( ) ( )( )p x h xf x則有 , 及本原多項式 , , 使 rFaD1( )h x1( )f x11( )( ),( )( )h xrh xf xaf x于是由 11( ) ( )( )rp x h xa