第四章 功和能

1、4-1 動能定理動能定理一一.能量及其物理意義能量及其物理意義 能量是描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的物理量，它是系統(tǒng)狀能量是描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的物理量，它是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數。態(tài)的單值函數。 物質的運動形式是多種多樣的，不同的運動形式又是可以物質的運動形式是多種多樣的，不同的運動形式又是可以互相轉化的，而且轉化時存在著一定的數量關系，這就是說，互相轉化的，而且轉化時存在著一定的數量關系，這就是說，一定量的某種運動形式的產生，總是以一定量的另一種運動形一定量的某種運動形式的產生，總是以一定量的另一種運動形式的消失為代價的。為了探求各種運動形式的相互轉化以及在式的消失為代價的。為了探求各種運動形式的相互轉化以及

2、在轉化中所存在的數量關系，引入轉化中所存在的數量關系，引入能量能量的概念，作為各種運動形的概念，作為各種運動形式的一般量度。式的一般量度。二二.功功 1.是系統(tǒng)能量變化的度量，是系統(tǒng)能量變化或是系統(tǒng)能量變化的度量，是系統(tǒng)能量變化或轉化轉化 的原因之一。的原因之一。功與系統(tǒng)所經歷的過程有關。功與系統(tǒng)所經歷的過程有關。第四章第四章 功和能功和能2.2.力學系統(tǒng)中的功力學系統(tǒng)中的功（1）恒力的功恒力的功rFr FcosA A（2）變力的功）變力的功rdFrdFd c co os sA A 功是標量：可正、可負可為零。功是標量：可正、可負可為零。引進元功的概念引進元功的概念FrdabL將變力將變力恒力

3、恒力將曲線運動將曲線運動直線運動直線運動思路思路F r（3）功的單位（）功的單位（SI）：）：牛頓牛頓米（米（NM），），稱為焦耳（稱為焦耳（J） 當質點同時受到幾個力當質點同時受到幾個力 的作用而沿路徑的作用而沿路徑L,由由a運動到運動到b時時，合力對質點做的功應為合力對質點做的功應為nF,F,F21rdFrdFrdFbanbaba 21合力的功等于各分力沿同一路徑所做的功的代數和合力的功等于各分力沿同一路徑所做的功的代數和rdFFFrdFbaban )(21ababA AnA AA AA A2 21 1 三三.動能定理動能定理定義：定義：2k21E:mv動能動能定理：動能定理：KaKbab

4、EEA1.推導：推導：FrdabLvbatbabatabrdamrdFrdFA由于由于vdtrd,dtdvat所以所以bavvbavdvmvdtdtdvmabA222121abmvmv 2.表述：合外力表述：合外力對物體所作的功等于物體動能的增量。對物體所作的功等于物體動能的增量。是牛頓第二定律的另一種是牛頓第二定律的另一種積分形式積分形式。1.由于位移和速度的相對性，功和動能也都有相對由于位移和速度的相對性，功和動能也都有相對性，它們的性，它們的數值依賴于參照系的選擇數值依賴于參照系的選擇。2.動能定理的形式與參照系的選擇無關（在慣性系動能定理的形式與參照系的選擇無關（在慣性系的范疇）。的范

5、疇）。3.動能定理適用于物體的任何過程，不管物體運動動能定理適用于物體的任何過程，不管物體運動狀態(tài)變化如何復雜，合外力對物體所作的功總決定狀態(tài)變化如何復雜，合外力對物體所作的功總決定于物體末始動能之差，與中間過程無關。于物體末始動能之差，與中間過程無關。3.說明：說明： 例：質量的物體沿軸無摩擦地運動例：質量的物體沿軸無摩擦地運動,設設=0時物體位于原點時物體位于原點,速度為零。試問速度為零。試問(1)物體在物體在F=3+4（）（）的作用下運動的作用下運動3米，物體的速度是多少米，物體的速度是多少? (2)若將力改為若將力改為F=3+4（），物體運動了（），物體運動了3秒，其速度又為多少？秒，

6、其速度又為多少？解：（解：（1）由動能定理）由動能定理23021)4x(3Amvdx v.33030)4030(dtt.mFdtv v(2)由動量定理由動量定理mvFdt 30解：（解：（1）（方法一）用動能定理：）（方法一）用動能定理：2383ttdtdxv力在最初力在最初2.0s內作的功為內作的功為)J(.mvmvAsts.t012|21|2102022 例例:一力作用在質量一力作用在質量 的質點上，質點位的質點上，質點位置與時間的關系為置與時間的關系為 ，求力在最，求力在最初初2.0s內作的功；內作的功；)(4332SItttxkg.m03（方法二）用功的定義：（方法二）用功的定義：23

7、83ttdtdxvtdtdva68則)dt38(2tttdx)( 012)383)(68(03A0202020J.dtttt.madx.)N53(jiF 例：設作用在質量為例：設作用在質量為2kg的質點上的力是的質點上的力是 。當質點從原點移到位矢為。當質點從原點移到位矢為 處時此力處時此力所作的功有多大？所作的功有多大？mjir)32( 解：由功的定義解：由功的定義bardFabA得得)()53(A2,-30,0abjdyidxji)53(3200,dydx 2030953Jdydx 例例: 一質量為一質量為m , 總長為總長為 的均勻鏈條有的均勻鏈條有4/5放在桌面放在桌面上，另上，另1/

8、5下垂，如圖所示下垂，如圖所示 。設鏈條與桌面之間的滑動。設鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數為摩擦系數為 ,今以力今以力 水平向左緩慢拉動鏈條，求將水平向左緩慢拉動鏈條，求將它全部拉到桌面上，拉力作多少功？它全部拉到桌面上，拉力作多少功？F解：用功的定義求解，解：用功的定義求解， 取坐標如圖，取坐標如圖，l)xl (mglmgxFlmgdxmgxlmgFdxAllllF) 19(50) 1(5454xoFxxl 4-2 4-2 保守力保守力 成對力作功成對力作功 勢能勢能一一. 保守力和非保守力保守力和非保守力1.保守力保守力：力沿任意閉合路徑作功為零，或者說，：力沿任意閉合路徑作功為零，或者說，

9、作功作功的大小只與物體的始末位置有關，而與所經歷的路徑的大小只與物體的始末位置有關，而與所經歷的路徑無關，稱之為保守力無關，稱之為保守力。例如：重力、彈性力、萬有引力。例如：重力、彈性力、萬有引力。2.非保守力：非保守力：力作功與路徑有關的力。例如：摩擦力。力作功與路徑有關的力。例如：摩擦力。二。二。保守力的功保守力的功1.重力的功重力的功)()(cosbabababahhmgdhmgdsmgrdgmA結論：結論：重力作功僅與初末位置有關。若物體從某一位置重力作功僅與初末位置有關。若物體從某一位置出發(fā)經任意路徑回到原位置，則重力作功為零。出發(fā)經任意路徑回到原位置，則重力作功為零。acbbhah

10、GdsdyOY2.彈性力的功彈性力的功 當物體由到，當物體由到，彈性力作功為彈性力作功為rdFAbaabbadrFbaxxdx-kx0212122xkxkxba結論結論：彈簧的彈性力作功只與物體的始末位置有關，：彈簧的彈性力作功只與物體的始末位置有關，與具體的路徑無關；若從某一位置出發(fā)，經任意壓與具體的路徑無關；若從某一位置出發(fā)，經任意壓縮或拉伸再回到原位置，彈性力作功為零縮或拉伸再回到原位置，彈性力作功為零.0rdF彈ooaxbxxab3.萬有引力的功萬有引力的功dscosrMmG0dscosF 引rdFdA引drrMmGAbarrab20）（rrMmGa110結論結論：萬有引力的功只與物體

11、的始末位置有關，而與所：萬有引力的功只與物體的始末位置有關，而與所經歷的路徑無關，若沿任一閉合路徑繞行一周，引力作經歷的路徑無關，若沿任一閉合路徑繞行一周，引力作功必為零功必為零.0rdF引重力、彈力、萬有引力均為保守力重力、彈力、萬有引力均為保守力drdscos 其中abMarbrr引Fmrd drr dr三三. 成對力的功成對力的功質點質點 對對 的作用力的作用力 和和 對對 的作用力的作用力 ，是一，是一對作用力與反作用力。對作用力與反作用力。 2m1m1f1m2m2f21ff2121222212221121rdfrrdfrdfrdfrdfrdfdAdAdA結論：結論：作用力與反作用力所

12、作的總功不一定為零，且僅決定作用力與反作用力所作的總功不一定為零，且僅決定于于質點間的相對位移質點間的相對位移，而與參照系的選擇無關，而與參照系的選擇無關。例如重力作例如重力作功。功。2rd2m1rd1r2r2A1B2B1A21r1f2f1m四四 . 物體系的勢能物體系的勢能1. 勢能勢能 對重力、彈簧的彈性力和萬有引力等保守力，它們對重力、彈簧的彈性力和萬有引力等保守力，它們作的功與路徑無關，只取決于物體間始末相對位置，作的功與路徑無關，只取決于物體間始末相對位置， 即即存在著一個由它們的相對位置決定的狀態(tài)函數。相應于存在著一個由它們的相對位置決定的狀態(tài)函數。相應于某兩個狀態(tài)量的差就給出質點

13、由位置某兩個狀態(tài)量的差就給出質點由位置a到位置到位置b保守力所保守力所做的功。這個函數叫系統(tǒng)的勢能函數，簡稱做的功。這個函數叫系統(tǒng)的勢能函數，簡稱勢能。勢能。其中其中 為勢能零點，為勢能零點， 為保守力為保守力0PF定義：定義：為由為由P到到 路徑上的位移路徑上的位移rd0P（1）重力勢能）重力勢能取地面為勢能零點，坐標軸向上為正，取地面為勢能零點，坐標軸向上為正，重力勢能重力勢能 為為y0hmgh)dy(mgmgdrrdgmEhhhP000（2）彈性勢能）彈性勢能取彈簧的自然長度處為彈性勢取彈簧的自然長度處為彈性勢能零點，彈性勢能為能零點，彈性勢能為200021kx)dx(kxkxdrrdF

14、ExxxP思考：若取思考：若取 處為彈性勢能零點，則彈性勢能的表示處為彈性勢能零點，則彈性勢能的表示式為什么？式為什么？0 x答：答：2022121000kxkx)dx(kxkxdrrdFExxxxxxP0 x（3）萬有引力勢能）萬有引力勢能選選 遠處為勢能零點，萬有引力勢能為遠處為勢能零點，萬有引力勢能為rMmGdrcosrMmGrdFErrP020180萬r萬F2. 說明說明（1）勢能是空間位置的函數）勢能是空間位置的函數（2）勢能是屬于相互作用著的質點或物體所）勢能是屬于相互作用著的質點或物體所組成的體系的（稱物體系或系統(tǒng)）組成的體系的（稱物體系或系統(tǒng)）（3）系統(tǒng)的勢能值是相對的，取決于

15、零勢能點）系統(tǒng)的勢能值是相對的，取決于零勢能點的選取的選取3.保守力的功保守力的功21212121120000PPPPPPEErdFrdFrdFrdFrdFA證明：證明：保守力作功就等于始、末狀態(tài)勢能之差（勢能增量保守力作功就等于始、末狀態(tài)勢能之差（勢能增量的負值）。的負值）。 4-3 4-3 功能原理功能原理一。質點系的動能定理一。質點系的動能定理210121111211121211111vmvmsdfsdF:mbaba對兩兩 式相加得式相加得1.定理內容定理內容：系統(tǒng)的：系統(tǒng)的外力外力和和內力內力作功的總和等于系統(tǒng)動能的增量。作功的總和等于系統(tǒng)動能的增量。2.推導：推導：220222222

16、122221212211vmvmsdfsdF:mbaba對1m2m12f21f1a2a1b2b1F2F二二. 功能原理功能原理1.原理內容：原理內容：系統(tǒng)由狀態(tài)系統(tǒng)由狀態(tài)1變化到狀態(tài)變化到狀態(tài)2時，系統(tǒng)的時，系統(tǒng)的外力外力和和非保守內力非保守內力作功之和等于系統(tǒng)機械能的增量。作功之和等于系統(tǒng)機械能的增量。2.推導：推導：PKEEAA非保內外PKEEE令令-機械能機械能KEAAAAA非保內保內外內外PEA保內 4-4 4-4 機械能守恒定律機械能守恒定律 能量守恒定律能量守恒定律 一一. 機械能守恒定律機械能守恒定律 如果一個系統(tǒng)只有保守內力作功，非保守內力和如果一個系統(tǒng)只有保守內力作功，非保守

17、內力和一切外力都不作功，或者它們的總功為零，則系統(tǒng)內一切外力都不作功，或者它們的總功為零，則系統(tǒng)內各物體的動能和勢能可以互相轉換，但總的機械能保各物體的動能和勢能可以互相轉換，但總的機械能保持不變。持不變。0非保內外AA0E 常量pKEE即：即：條件：條件：* 機械能守恒是指系統(tǒng)運動過程的每一瞬間均有機機械能守恒是指系統(tǒng)運動過程的每一瞬間均有機械能不變。械能不變。二二. 能量守恒定律能量守恒定律一個不受一個不受外界作用外界作用的系統(tǒng)叫的系統(tǒng)叫孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)（封閉系統(tǒng)）（封閉系統(tǒng)）大量實驗證明大量實驗證明: 一個一個孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)經歷任何變化時，該系統(tǒng)的所有能量的總經歷任何變化時，該系統(tǒng)的所

18、有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另一種形式，或和是不變的，能量只能從一種形式變化為另一種形式，或從系統(tǒng)內一個物體傳給另一個物體。從系統(tǒng)內一個物體傳給另一個物體。 例例 如圖，為求物體下落如圖，為求物體下落H高度的速度大小，請寫高度的速度大小，請寫出不同體系下的功能關系式。出不同體系下的功能關系式。解解 （1）選）選 M繩繩+m 為研究系統(tǒng)為研究系統(tǒng) 外力：重力、摩擦力、支持力、外力：重力、摩擦力、支持力、 彈性力；彈性力；由動能定理得：由動能定理得：02120v )mM(dxKxMgHmgHH內力：張力（合功為內力：張力（合功為0）。）。Mm(2) 選選 M繩繩+K 為研究系統(tǒng)為

19、研究系統(tǒng)外力：重力、支持力、外力：重力、支持力、 摩擦力、拉力；摩擦力、拉力；功能原理：功能原理：0212122KHvmMMgHmgH內力：張力、彈性力。內力：張力、彈性力。Mm(3) 選選 M+繩繩+K+地球地球+桌面桌面 為研究系統(tǒng)為研究系統(tǒng) 外力：無；外力：無； 功能原理：功能原理：mgHKHvmMHMg222121 內力：張力、彈性力、重力、內力：張力、彈性力、重力、 摩擦力、支持力、拉力。摩擦力、支持力、拉力。Mm例例: 一均勻鐵鏈長度為一均勻鐵鏈長度為 l ，放在放在一光滑梯形臺上，梯形的下底角一光滑梯形臺上，梯形的下底角為為 ，當，當x=0時，時，v=0，求鐵鏈在求鐵鏈在任意位置

20、的速率。任意位置的速率。 xox解：取鐵鏈、梯形臺、地球為系統(tǒng)，機械能守恒。解：取鐵鏈、梯形臺、地球為系統(tǒng)，機械能守恒。取梯形臺上底面為重力勢能零點，設鐵鏈線密度為取梯形臺上底面為重力勢能零點，設鐵鏈線密度為singxEP221由機械能守恒：由機械能守恒：0212122singxlv解得：解得：lsingxv 4-5 4-5 對稱性與守恒定律對稱性與守恒定律 一、對稱性一、對稱性1.對稱性的定義對稱性的定義：（由德國大數學家魏爾首先提出。）：（由德國大數學家魏爾首先提出。）若系統(tǒng)的狀態(tài)在某種變換（或操作）下具有不變性，則若系統(tǒng)的狀態(tài)在某種變換（或操作）下具有不變性，則稱系統(tǒng)對該變換是對稱的。稱

21、系統(tǒng)對該變換是對稱的。最常見的對稱操作是最常見的對稱操作是時空操作時空操作空間操作：平移、轉動、鏡象反射、空間反演等；空間操作：平移、轉動、鏡象反射、空間反演等； 時間操作：時間平移、時間反演（時間操作：時間平移、時間反演（）等。）等。2.物理規(guī)律的對稱性物理規(guī)律的對稱性：經一定的操作后，物理規(guī)律：經一定的操作后，物理規(guī)律的形式保持不變。的形式保持不變。3.對稱破缺對稱破缺：某種變換下的對稱性若被破壞，稱：某種變換下的對稱性若被破壞，稱為對稱破缺。為對稱破缺。研究自然現象中所顯現的各種對稱性，研究它們產研究自然現象中所顯現的各種對稱性，研究它們產生和破缺的演化規(guī)律，是人們認識自然規(guī)律的一個生和

22、破缺的演化規(guī)律，是人們認識自然規(guī)律的一個重要方面。重要方面。二、對稱性與守恒定律二、對稱性與守恒定律1.內特爾定理內特爾定理：如果運動規(guī)律在某一不明顯依賴于時間：如果運動規(guī)律在某一不明顯依賴于時間的變換下具有不變性，必相應存在一個守恒定律。的變換下具有不變性，必相應存在一個守恒定律。由時間平移不變性（時間平移對稱性）由時間平移不變性（時間平移對稱性）能量守恒定律能量守恒定律由空間平移不變性（空間平移對稱性）由空間平移不變性（空間平移對稱性）動動量守恒定律量守恒定律由空間轉動不變性（空間各向同性）由空間轉動不變性（空間各向同性）角動量守恒定律角動量守恒定律4.討論：討論：（1）與對稱性相應的一些

23、守恒定律常常被看作是最）與對稱性相應的一些守恒定律常常被看作是最基本的自然界定律，它們以確實的可靠性和極大的基本的自然界定律，它們以確實的可靠性和極大的普遍性預言哪些過程是容許的而哪些過程是禁戒的。普遍性預言哪些過程是容許的而哪些過程是禁戒的。（2）守恒定律是關于變化過程的規(guī)律。不究過程細）守恒定律是關于變化過程的規(guī)律。不究過程細節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結論，這是各個守恒定律的節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結論，這是各個守恒定律的特點和優(yōu)點。特點和優(yōu)點。（3）物理學家對一待研究的物理過程，總是首先用）物理學家對一待研究的物理過程，總是首先用已知的守恒定律出發(fā)來研究其特點，這是因為很多已知的守恒定律出發(fā)來研究其特點，這是因為很多過程