小學奧數(shù)之方陣問題—例題習題及含答案

1、方陣問題知識導航學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫 方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。核心公式：一、實心方陣1 .方陣總人數(shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）=每邊數(shù)X每邊數(shù)2 .方陣最外層每邊人數(shù) =（方陣最外層總人數(shù)+4）1 +3 .方陣外一層每邊人數(shù)比內一層每邊人數(shù)多24 .去掉一行、一列的總人數(shù)=去掉的每邊人數(shù)X1 2-5、每層數(shù)=（每邊數(shù)-1） X4二、空心方陣1、外邊人數(shù)=總人數(shù)+ 4 +層數(shù)+層數(shù)2、總數(shù)=最外層人數(shù)2 -最內層人數(shù)2=（最外層每邊數(shù)-層數(shù)）X層數(shù)X4=（最外層數(shù)+最內層數(shù)）X層數(shù)+ 23

2、、內層數(shù)=外層數(shù)-84、每層數(shù)=（每邊數(shù)-1） X45、實心方陣的總人數(shù)是一個完全平方數(shù)，空心方陣的總人數(shù)是4的倍數(shù)。例1四年級同學參加廣播操比賽，要排列成每行8人，共8行方陣。排列這個方陣共需要多少名同學？解題分析 這是一道實心方陣問題， 求這個方陣里有多少名同學，就是求實心方陣中布點的總數(shù)。排列成每行8人點，共8行，就是有8個8點。求方陣里有多少名同學，就是求 8個8人是多少人？解：8X 8=64 （人）答：排列這個方陣，共需要 64名同學。例2有一堆棋子，剛好可以排成每邊6只的正方形。問棋子的總數(shù)是多少？最外層有多少只棋子？解題分析 依題意可以知道：每邊 6只棋子的正方形，就是棋子每 6

3、只1排，一共有6排的實心方陣。根據(jù)方陣問題應用題的解題規(guī)律，求實心方陣總數(shù)的數(shù)量關系，總人數(shù)=每邊人數(shù)X每邊人數(shù)，從而可以求出棋子的總數(shù)是多少只。而最外層棋子數(shù)則等于每邊棋子數(shù)減去1乘以行數(shù)4,即（6-1） X 4只。解：（1）棋子的總數(shù)是多少？6X6=36 （只）（2）最外層有多少只棋子？（6-1） X 4=20 （只）答：棋子的總數(shù)是 36只，最外層有20只棋子。例3.三年級一班參加運動會入場式，排成一個方陣，最外層一周的人數(shù)為 20人，問方陣最外層每邊的人數(shù)是多少企個方陣共有多少人？分析根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關系可知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)+ 4+1，可以求出這個方陣最外層每邊的人數(shù)，那么

4、這個方陣隊列的總人 數(shù)就可以求了。解：（1）方陣最外層每邊的人數(shù)：20 + 4+1=5+1=6（人（2）整個方陣共有學生人數(shù):6 X 6=36（人答:方陣最外層每邊的人數(shù)是6人,這個方陣共有36人。例4:學校學生排成一個方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學生多少人？解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關系可以知：每邊人數(shù) =四周人數(shù)+ 4+1,可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總人數(shù)就可以求了。方陣最外層每邊人數(shù)：60+4+1=16 （人）整個方陣共有學生人數(shù)：16X 16=256 （人）【鞏固1】某校五年級學生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60

5、人.問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學生多少人？解析：根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)+ 4+1,可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總人數(shù)就可以求了。解：方陣最外層每邊人數(shù)：60-1446 （人）整個方陣共有學生人數(shù)：16 X 16=256 （人）答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人?！眷柟?】晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？解析：方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。解法1:

6、最外邊一層棋子個數(shù)：（14-1） X 4=52 （個）第二層棋子個數(shù)：（14-2-1） X 4=44 （個）第三層棋子個數(shù)：（14-2X2-1） X 4=36 （個）.擺這個方陣共用棋子：52+44+36= 132 （個）解法2:還可以這樣想：中空方陣總個數(shù) =（每邊個數(shù)一層數(shù)）X層數(shù)X 砧行計算。（14-3） X 3X4=132 （個）答：擺這個方陣共需13外圍棋子。【鞏固3】一個正方形的隊列橫豎各減少一排共27人，求這個正方形隊列原來有多少人？解析：依據(jù)：去掉一行、一列的總人數(shù)=去掉的每邊人數(shù)X1可知每邊的人數(shù)是：（27 1） 2 14 （人）原人數(shù)是：14 14 196 （人）【鞏固4】

7、小紅用棋子擺成一個正方形實心方陣用棋子100枚，最外邊的一層共多少枚棋子？解析：這要用到方陣的公式逆運算，100必然是一個數(shù)的平方數(shù)因為10 10 100 （人），并且是實心的方陣，所以最外層有10人。例5 一堆棋子排成一個實心方陣，共有8行8歹U,如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？還剩下多少只棋子？解題分析排成方陣的棋子，無論排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，無論去掉哪一行和哪一列，總會有一只棋子被重復去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原來方陣中2行的棋子數(shù)少1只。另外，要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子的總數(shù)，然后減去去掉的棋子數(shù)

8、，就是剩下的棋子數(shù)。解：（1）去掉多少只棋子？8X2-1=15 （只）（2）還剩多少只棋子？8X 8-15=49 （只）答：要去掉15只棋子，還剩下49只棋子。例6育英小學四年級的同學排成一個實心方陣隊列，還剩下 5人，如果橫豎各增加一排，排成一個稍大的實心方陣，則缺少26人。育英小學四年級有多少人？解題分析 排成一個實心方陣隊列，還剩下5人，說明是多出5人，如果橫豎各增加一排后，缺少26人，說明橫豎各增加一排所需要的人數(shù)是5人與26人的和，那么（5+26）人相當原來方陣中兩排的人數(shù)多 1人，從（5+26）人中減去角上的1人，再除以2,就可求出原來方 陣中一排的人數(shù)。因此，可求出原來方陣中的人

9、數(shù)，然后加上剩下的5人，就可求出四年級的總人數(shù)是多少人。解：（1）原來方陣中每排有多少人？（5+26-1） +2=15 （人）（2）四年級共有多少人？15X 15+5=230 （人）答：育英小學四年級有 230人。例7:參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少 33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？解析：如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是 5,去一行、一列則一共要去 9人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總人數(shù)=去掉的每邊人數(shù)X1 2-. . . . 解：

10、方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。 ,原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33, 則去掉的一行（或一列）人數(shù)=（33 1） 2 17人方陣的總人數(shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總人數(shù)為17 17 289 （人）【鞏固】 參加軍訓的學生進行隊列表演，他們排成了一個七行七列的正方形隊列，如果去掉一行一列，請問：要去掉多少名學生？還剩下多少名學生？ABCDEFGH1JKLM凹0解析：如上圖表示的是一個 4行4列的實心正方形隊列，從圖中可以看出正方形隊列的特點：（1）正方形隊列每行、每列的人數(shù)相等，因此總人數(shù)=每行人數(shù)x每列人數(shù)。（2）去掉橫豎各一排時，有且只有1人是同時屬于被減去的一行和一列的，如圖中點 A所

11、示。因此去掉的總人數(shù)=原每行人數(shù)x1,2或去掉的總人數(shù)=減少后每行人數(shù)x1。2 +本題中所求，即去掉的人數(shù)=7M2T3 （人）或去掉的人數(shù)=（71） X 2+1 = 13 （人）還剩的人數(shù)=（7- 1） X （7 1） = 36 （人）或還剩的人數(shù)=7X 713= 49-13=36 （人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名學生，還剩下 36名學生。例8同學們排成一個三層的空心方陣。已知最內層每邊有6人，這個方陣共有多少人？解題分析 要求出這個方陣有多少人，就要先示出這個方陣最外層每邊多少。已知最內層每邊有6人，又知道這個空心方陣有3層，根據(jù)方陣問題應用題特點，可以求出這個方陣最外層每邊有6+

12、(3-1) X2人，即10人。又根據(jù)方陣問題應用題數(shù)量關系：空心陣總人數(shù)=(外邊人數(shù)-層數(shù))X層數(shù)X 4,即可求出這個方陣共有多少人。解：6+ (3-1) X 2-3 X3X 4=84 (人)答：這個方陣共有 84人。例9.明明用圍棋子擺成一個三層空心方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個,明明擺這個方陣最里層一周共有多少棋子？罷這個三層空心方陣共用了多少個棋子？分析：(1)方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少 2個知道最外面一層，每邊放15個，可以求出最 里層每邊的個數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。(2)根據(jù)最外層每邊放棋子的個數(shù)減去這個空心方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再乘以4,計算出這個空心方

13、陣共用棋子多少個。解：(1)最里層一周棋子的個數(shù)是：(15-2-2-1) X 4=40(冷(2)這個空心方陣共用的棋子數(shù)是：(15-3) X 3X 4=144(斤答:這個方陣最里層一周有40個棋子 擺這個空心方陣共用144個棋子。例10:解放軍戰(zhàn)士排成一個每邊 12人的中空方陣，共四層，求總人數(shù)？解法1:這樣想：把中空方陣的總人數(shù)，看作中實方陣總人數(shù)減去空心方陣人數(shù)。(1)中實方陣總人數(shù)：12X12=144 (人)(2)第四層每邊人數(shù)：12-2X (4-1) =6 (人)(3)空心方陣人數(shù)：(6-2) X ( 6-2) =16 (人)(4)中空方陣人數(shù)：144-16=128 (人)答：總人數(shù)是

14、128人。小結：中空方陣總人數(shù)=外邊人數(shù)X外邊人數(shù)-(內邊人數(shù)-2) X (內邊人數(shù)-2)解法2:這樣想：把中空方陣分成四個相等的長方形。(1)每個長方形的長=外邊人數(shù)-層數(shù)12-4=8 (人)(2)每個長方形的寬是層數(shù)：4人(3)總人數(shù)：8X4X4=128 (人)答：總人數(shù)是128人。小結：中空方陣總人數(shù)=(每邊人數(shù)-層數(shù))X層數(shù)X47面?！眷柟獭繉W校開展聯(lián)歡會，要在正方形操場四周插彩旗。四個角上都插一面，每邊插共要準備多少面旗子？ 解析：依據(jù)求外層個數(shù)的公式：（邊數(shù) -1） X4（7 1） 4 24 （面）例11 ： 一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每個小三

15、角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有 9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？解析：從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數(shù)為：9 2 1 17 （棵）。又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花：（17 1） 3 48 （棵）。.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上.再計算大三角形栽花棵數(shù)時已經計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為：9 2 7 （棵）解：大三角形三條邊上共栽花：（9 2 1 1） 3 48 （棵）中間畫斜線小三角形三條

16、邊上栽花：（9 2） 3 21 （棵）整個花壇共栽花：48 21 69 （棵）答：大三角形邊上共栽花 48棵，整個花壇共栽花6鯽。例12.玲玲家的花園中，有一個如下圖那樣 曲四個大小相同的小等邊三角形組成的一個大三角形花壇，玲玲在這個花壇上種了若干棵雞冠花，已知每個小三角形每邊上種雞冠花5棵，問大三角形的一周有雞冠花多少棵於玲一共種雞冠花多少棵 ？分析:(1)由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的，而在大三角形一條邊的中間那棵花，是兩條小三角形的邊所共用的，所以如果小三角形每邊種花5棵,那么大三角形每邊上種花的棵數(shù)就是5 X 2-1=9棵了，又由于大三角形三個頂點上的3棵花，都是大

17、三角形的兩條邊所共用的，所以大三角形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù)的和減去三個頂點上重復計算 的3棵花，即:9 X-3=24，就是大三角形一周種花的棵數(shù)。(2)三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和，等于里邊小三角形一周上種花的棵數(shù)，加上大三角 形一周種花的棵數(shù)，再減去重復計算的3棵花(因為里邊小三角形的三個頂點上的三棵花，也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。解:(1)大三角形一周上種花的棵數(shù)是：(51)國&3=24(棵)(2)小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是：(5-1) X 3=12(探(3)玲玲一共種雞冠花的棵數(shù)是：24+12-3=33(棵)答:大三角形一周種雞冠花24棵;玲玲

18、一共種雞冠花 33棵。例13有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問這個方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵？T陣中共有楊樹，柳樹各多少棵？分析:根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種，假設黑點表示楊樹，白點表示柳樹觀察圖(1)(2/管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數(shù)相等，即最外層楊，柳樹分別為(7-1) X 42=12(棵)。當柳樹種在方陣最外層的角上時，最內層的一棵是柳樹；當楊樹種在方陣最外層的角上時，最內層的一棵是楊樹，即在方陣中，楊樹和柳樹總數(shù)相差1棵。解：(1)最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為

19、：(7-1) X 4 + 2=12(踝(2)當楊樹種在最外層角上時，楊樹比柳樹多1棵：楊樹：(7 X 7+1) + 2=25( 棵柳樹:7 X25=24(棵)(3)當柳樹種在最外層角上時，柳樹比楊樹多1樹柳樹(7X7+1)+ 2=25()棵楊樹 7X7-25=24(棵)答:在圖(1)(2)兩種方法中，方陣最外層都有楊樹 12棵柳樹12棵方陣中總共有楊樹 25棵，柳樹 12棵，方陣中總共有楊樹 25棵柳樹24棵，或者有楊樹24棵，柳樹25棵。例14.小紅把平時節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則

20、小紅所有五分硬幣的總價值是多少？解一設正方形每邊 x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有N枚硬幣，根據(jù)公式可得方程組：N=4x 4N=3y-3N=60y-x=5,因為每枚硬幣5分，所以總價值3元。注釋 這里圍成的三角形和正方形都指的是空心的。解二1根據(jù)數(shù)字特性法：硬幣能圍成正三角形一硬幣的個數(shù)是3的倍數(shù)一硬幣的價值可以三等分一根據(jù)選項選擇Co例15.要在一塊邊長為48米的正方形地里種樹苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角各種一棵樹，問一共可種多少棵樹苗？（）解析1根據(jù)公式：棵數(shù) =總長+間隔+1。邊長為48米，每橫行相距3米，共有48+3+1=17行; 邊長為48米，每橫行相距6米，共有

21、 48+6+1=9歹U;可得：17 X 9=153 ,（棵共可種樹苗15琳。5個，這個【鞏固】同學們做早操，排成一個正方形的方陣，從前、后、左、右數(shù)，小明都是第 方陣共有多少人？解析：如圖，實心圓表示小明的位置，可以知道,解：每行每列數(shù):5 2 1 9 （人）這個隊列每行都是9人。共有：9 9 81 （人）練一練1 .某校少先隊員可以排成一個四層空心方陣如果最外層每邊有20個學生，問這個空心方陣最里邊一周有多少個學生挺個四層空心方陣共有多少個學生？2 .六一兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周圍，用204盆鮮花圍成了一個每邊三層的方陣求最外面一 層每邊有鮮花多少盆？3 .三年級（1）班的學生參加體操表演

22、，排成隊形正好是由每 7個人為一邊的6個三角形組成的一 個正六邊形，求正六邊形一周共有多少名學生？三（1）班參加體操表演的共有多少人？4 .現(xiàn)有松樹和柏樹以隔株相間的種法，種成9行9列的方陣，問這個方陣最外層有松樹和柏樹各多少棵 初陣中共有松樹柏樹各多少棵？練一練答案（1）（20-2X3-1） X 4=42（?。?0-40 X 4X 4=256（小（2）最外層每邊人數(shù)=總數(shù)+ 4+層數(shù) +層數(shù)204 + 4+ 3+3=20（席（3）7 X-6=36（人）7* 126*2-5=67（人）（4）最外層松柏各是：（9-1） X 4 + 2=16（牌共有松柏樹是 ：（9 X 9+1） +2=4

23、7;1（棵81-41=40（棵）答柏樹41棵，松樹40棵，或松樹41棵，柏樹40棵。例16:小明用圍棋子擺了一個五層中空方陣，一共用了 200枚棋子，請問：最外邊一層每邊有多少枚棋子？解析1:利用“相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差8”的特點，可知最外層共有棋子數(shù)：(200+8+8 X 2+8 X 3+8 X 4) + 556 (個)最外層每邊的棋子數(shù)：56 + 4+115=（個）解析2:如練習中的圖，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子數(shù)：200 + 50=（個）每一部分每排的棋子數(shù)：50 +10W個）最外層每邊的棋子數(shù)：10+ 5=15 （個）綜合列式為：200 + 4 + 5*15 （個）答

24、：最外邊一層每邊有 15枚棋子。【鞏固】游行隊伍中，手持鮮花的少先隊員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣，最外邊一層每邊12人，請問：彩車周圍的少先隊員共有多少人？解析1:請同學們自己畫一個圖，下圖是一個三層中空方陣的示意圖，不難發(fā)現(xiàn)，有如下特點：*«*.（1）外層每邊點的個數(shù)都比相鄰內層的每邊點的個數(shù)多2;（2）每相鄰兩層之間，點的總數(shù)相差8個。最外層隊員的總數(shù)：12 4 4 44 （人）三層共有隊員的總數(shù)：44 (44 8) (44 8 2) = 44 36 28=108 (人)解析2:如下圖可分成相等的四部分，每一部分的人數(shù):三層共有隊員數(shù)：27 X 408 （人）答：彩車周圍

25、的少先隊員共有108人。這個問題還有別的解法，請同學們自己試著做一下。例17.有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有 44人，則該方陣士兵的總人數(shù)是（）。A. 296 人 B. 308 人 C. 324人 D. 348 人答案1 B解一最外層 68人，中間一層44人，則最內層為44X 2-68=20人（成等差數(shù)列）。因此一 共有：68-208+ 1= 7 （層），總人數(shù)為 44 X 7 K08。解二中間一層共 44人，總人數(shù)是=44 X層數(shù)，曷4的倍數(shù)，結合選項直接鎖定Bo例18.有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層的人數(shù)共48人，最內層人數(shù)為 24人，則該方陣共有多少人

26、。A. 120 B. 144 C. 176 D. 194答案1 B解一設最外層每邊 x人，最內層每邊y人，根據(jù)公式：4x-4=484y-4=24 x=13y=7因此外層每邊13人,內部空心部分每邊 7-2= 5人，根據(jù)“逆向法思維”：共有 132-52=144人。解二總人數(shù)=（48+24） X層數(shù)+ 2= 36 X層數(shù)，是36的倍數(shù)，直接鎖定 B。解三根據(jù)公式：相鄰兩圈相差8,因此很容易得到這幾圈分別為48、40、32、24,直接加起來即可。例19.軍訓的學生進行隊列表演，排成了一個7行7列的正方形隊列，如果去掉一行一列， 要去掉多少人？還剩下多少人？分析與解：如下圖：方法一：去掉的一行一列的

27、人數(shù)為：7x2-1 = 13 （人）剩下的人數(shù)為：13= 36 （人）方法二：去掉后剩下的是 6行6列的正方形隊列，即 6x6 = 36 （人）去掉的人數(shù)為：7x7-6x6 = 13 （人） 例20.光明小學四年級原準備排成一個正方形隊列參加廣播操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉27人，問四年級原來準備多少人參加表演？分析與解：此題剛女?是例1的逆向題，根據(jù)正方形隊列的特點可知：原每行人數(shù)=（去掉一行一列的人數(shù) +1）+2即：原來每行人數(shù)是（27 +1” 2 = 14 （人）原來準備參加表演的人數(shù)：14M14 = 196 （人）答：四年級原準備196人參加表演。例21.參加

28、中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？分析如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等;最外層每邊人數(shù)是 5,去一行、一列則一共要去 9人，因而我們可以得到如下公式:去掉一行、一列的總人數(shù) =去掉的每邊人數(shù)X2 -1解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33,則去掉的一行（或一列）人數(shù)=（33+1） +2=17方陣的總人數(shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總人數(shù)為17 X 17=289（人例22.軍訓的學生進行隊列表演，排成了一個7行

29、7列的正方形隊列，如果去掉一行一列， 要去掉多少人？還剩下多少人？分析與解：如下圖：方法一：去掉的一行一列的人數(shù)為：2-1 = 13 （人）剩下的人數(shù)為：7x7-13=36 （人）方法二：去掉后剩下的是 6行6列的正方形隊列，即 6x5 = 36 （人）去掉的人數(shù)為：7x7-6x6 = 13 （人）例23.光明小學四年級原準備排成一個正方形隊列參加廣播操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉 27人，問四年級原來準備多少人參加表演？分析與解：此題剛女?是例1的逆向題，根據(jù)正方形隊列的特點可知：原每行人數(shù)=（去掉一行一列的人數(shù) +1）+2即：原來每行人數(shù)是:1'1（人）原來

30、準備參加表演的人數(shù)：14 x 14 = 196 （人）答：四年級原準備196人參加表演。例24.正方形舞廳四周均勻地裝彩燈，如果四個角都裝一盞，且每邊共裝彩燈多少盞？12盞，那么這個舞廳四周分析與解：如下圖:圖圖C2）方法一：從圖（1）可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應為:12K4-4 = 44 （盞）方法二：按圖（2）把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為：L =（盞）答：這個舞廳四周共裝彩燈 44盞。例25.游行隊伍中，手持鮮花的少先隊員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣。最外層每邊12人，問彩車周圍的少先隊員共有多少人？分析與解：方法一：這是一個只有3層的中空方陣，最外層每

31、邊有12人，最外層一共有= £ （人），第二層每邊少2人，即第二層每邊10人，第二層共有。-1）乂4 =克（人），比第層總數(shù)少8人，同理，第三層總數(shù)是 36-S=28 （人）三層共有隊員的總數(shù)：4+ 04-8）+（44-8x2） = 44 + 38 + 28 = 208 （人）方法二：如下圖，可把隊員分成人數(shù)相等的四部分，每一部分的人數(shù)：（12/*?=9乂3=27三層共有隊員數(shù)：27x4 = 108 （人）方法三：從12行12列的中實方陣中減去中間的空心方陣，就是隊員人數(shù):12x12- 6x6= 144-36 = 108 （人）例26.小明用圍棋子擺了一個五層的空心方陣，共用了 20

32、0個棋子，問最外邊一層每邊有多少個棋子？分析與解：方法一：利用相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差8的特點?？芍钔鈱庸灿衅遄訑?shù)：（2。0 + 區(qū)+川2+3乂3謾乂4）名5 = 55 （個）最外層每邊的棋子數(shù)：56十4+1 二 15 （個）方法二：如下圖，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子數(shù)為：2004=50 （個），每一部分每排的棋子數(shù)為：50+5=10 （個）最外層每邊的棋子數(shù)為：+（個）列綜合算式：2口0- 4 + 5 +1 = 15（個）答：最外層每邊有棋子15個。練習題：1 .運動員入場式要求排成一個 9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2歹U,要減少多少運動員？2 .學校為慶?！笆弧保?/p>

33、用盆花擺了一個中實方陣，最外一層有 36盆花。求這個方陣共有花多少盆？3 . 一個由圓片擺成的中實方陣，最外一層有12個圓片，把4個這樣的中實方陣拼成一個大的中實方陣，那么最外層應該有多少個圓片？4 .有一個用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個圓片，如果把內層的圓片取出來，在外層再擺一層，變成一個新的中空方陣，應再增加多少圓片？5 .解放軍進行排隊表演，組成一個外層有48人，內層有16人的多層中空方陣，這個方陣有幾層？ 一共有多少人？【練習題答案】1.運動員入場式要求排成一個 9行9列的正方形方陣，如果去掉 2行2歹U,要減少多少運動員？9 發(fā)9 二 81 （人）（9-2）"-

34、2） = 49（人）81-49 = 32 （人）答：要減少32名運動員。2 .學校為慶?！笆弧?，用盆花擺了一個中實方陣，最外一層有 36盆花。求這個方陣共有花多少盆？36T 4 + 1= 10 （盆）10x1。= 10口（盆）答：這個方B$共有花 100盆。3 . 一個由圓片擺成的中實方陣，最外一層有12個圓片，把4個這樣的中實方陣拼成一個大的中實方陣，那么最外層應該有多少個圓片？12 q 4 + 1 = 44 x 4 x 4 = 648J = 64（S-n = 28 小答：最外層應該有 28個圓片。4 .有一個用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個圓片，如果把內層的圓片取出來，在外層再

35、擺一層，變成一個新的中空方陣，應再增加多少圓片？（1S + 2-1）x4 = 68 （個）（16-2-1）x4=52 （個）&日一 52 二 16 （個）答：應再增加16個圓片。5 .解放軍進行排隊表演，組成一個外層有48人，內層有16人的多層中空方陣，這個方陣有幾層？ 一共有多少人？（43-10.8 + 1 = 5 （層）（43 + 10x5+2 = 160 （A）答：這個方陣有 5層，一共有160人。例27某小學四年級的同學排成一個四層空心方陣還多15人，如果在方陣的空心部分再增加一層又少21人。這個小學四年級的學生一共有多少人？解題分析 排成四層空心方陣多 15人，在方陣的空心部

36、分增加一層 21人，說明增加這一層的人數(shù)就是從外向內第五層的人數(shù)是（15+21）人，根據(jù)每相鄰兩層的人數(shù)相差8人，可分別求出每層人數(shù)，然后霜加，再加上多的 15人，就可求出四年級的總人數(shù)。解：（1）從外向內第五層有多少人？15+21=36 （人）（2）從外向內第四層有多少人？36+8=44 （人）（3）從外向內第三層有多少人？44+8=52 （人）（4）從外向內第二層有多少人？52+8=60 （人）（5）最外層有多少人？60+8=68 （人）（6）四年級一共有多少人？44+52+60+68+15=239 （人）答：四年級的學生一共有 239人。例28. 一些解放軍戰(zhàn)士組成一個長方陣，經一次隊列

37、變換后，增加了 6行，減少了 10列，恰組成一個方陣，一個人也不多，一個人也不少。則原長方形陣共有（）人。解析設該 正方形陣每邊x人，則原長方形陣為（x-6）行，（x+10）歹U。xA2= （x-6） （x+10）x=15,因此共有152=225 人，選擇 B。例29.有若干人，排成一個空心的四層方陣。現(xiàn)在調整陣形，把最外邊一層每邊人數(shù)減少16人,層數(shù)由原來的四層變成八層，則共有（）人。A.160 B.1296 C.640 D. 1936答案1 C解析1設調整前最外層每邊x人，調整后每邊y人，根據(jù)“逆向法思維”：x-y=16xA2- （x-8） A2=yA2- （y-16） A2 x=44y=

38、28因此：44A2-（448）A2=640 （人）o課后作業(yè)1、若干名同學排成中實方陣則多12人，若要將這個方陣改擺成縱橫兩個方向各增加1人的方陣則還差9人排滿，請問：原有學生多少人？解析：由于縱橫兩個方向各增加1人，因此不但將剩余12人擺上，而且還差 9人，說明一橫行與一豎行的人數(shù)總和是 12+ 9= 21人。又由于縱橫兩個方向各增加1人，因此只有1人同屬于橫行與縱行，在數(shù)每邊上的人數(shù)時，總被多數(shù)一次，因此可以用21人先加上被重復數(shù)過的 1人，再除以2,也就得到每邊人數(shù)。列式為（21 + 1） + 2=11人。求出每邊人數(shù)，就可求出假設排滿后的人數(shù)，列式為 11 X 11 21 人，用121

39、人減去差的9人就是原來人數(shù)，列式為 1219= 112人。也可以根據(jù)原來的方陣再加 上12,請你試一試。答：原有學生112人。2、有一隊士兵排成一個中實方陣，最外一層有100人，請問：方陣中一共有士兵多少人？解析：要想求出方陣中一共有多少士兵，就應先求出方陣的最外層每邊有多少人。已知方陣最 外一層有100人，用100 + 4=25人，每邊是不是25人呢？不是的，因為平均分成 4份后，還需 要再加上1,才正好是每邊上的人數(shù)，列式應該為100 + 4+1 = 26人。因此方陣中一共有 26X26=676 人。答：一共有676人。3、小剛用若干枚棋子擺成一個中實方陣，最外層每邊擺6枚，請問：要擺成這

40、樣一個中實方陣至少需要多少枚棋子？最外一層的棋子總數(shù)是多少？解析：如圖，最外一層每邊擺 6枚，根據(jù)方陣每行每列個數(shù)相等特點，因此一共有6X6=36枚棋子。最外一層每邊有 6枚，如果用6X4=24枚，就認為是最外一層棋子數(shù)的答案的話，那就錯了。因為正方形每個頂點上的棋子分屬于一行一列，這樣棋子在計算總數(shù)時就被多數(shù)了一次，這樣的頂點一共有 4個，需要把多數(shù)的減去，才能得到正確的結果。列式是6X44= 20枚。說明：這道題還可以這樣想：數(shù)每邊棋子時，可以按上圖先劃分成4個相等的塊，這樣每邊就有5枚了，因此用5X4=20枚，也可以得到正確答案。按照劃分塊的方法不同，至少還有兩種方法，請同學們試一試。4

41、、一隊學生站成20行20列方陣，如果去掉 4行4歹U,那么要減少多少人？解析1:把去掉4行4列轉化為一行一列的去掉，就可用例6的結論：去掉一行一列的總人數(shù)=原每行人數(shù)X1 2-反復利用4次這個公式，只要注意“原每行人數(shù)”的變化，即可列式為：去掉4行4列的總人數(shù)= 20X27+ (20 1) X 21+ (20 2) X 21+ (203) X 2-1= 40- 1=38-1+36-1+34- 1= 144 (人)解析2:我們還可以這樣想：原來是一個 7行7列的方陣，若去掉4行4列后，仍剩下一個小正方形方陣，因此去掉 4行4列的總人數(shù)=原正方形方陣每邊人數(shù)一4,即去掉的總人數(shù)= 20 X 20

42、2。一4) X (204)= 400-256= 144 (人)答：去掉4行4列，要減少144人。5、正方形舞廳四周均勻的裝彩燈，如果四個角都裝一盞且每邊裝12盞，那么這個舞廳四周共裝彩燈多少盞？解析(1):自己畫圖可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應為：4Tz4 4 (2):還可以把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為：(12- 1) X 4m4 (盞)答：這個舞廳四周共裝彩燈44 盞。6、“六一”兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周圍，用204盆鮮花圍成了一個每邊三層的方陣，請你求出最外面一層每邊有鮮花多少盆?解析：分析思路參見例6,最外層每邊人數(shù)=總數(shù)+ 4+層數(shù) +層數(shù)204 + 4+

43、 3+3=20（席答：最外面一層每邊有鮮花20 盆7、四年級一班參加運動會入場式，排成一個方陣，最外層一周的人數(shù)為20 人，請問：方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個方陣共有多少人?解析： 根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關系可知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)+ 4+1 ,可以求出這個方陣最外層每邊的人數(shù)，那么這個方陣隊列的總人數(shù)就可以求出來了。解：（1）方陣最外層每邊的人數(shù)：20+4+1=5+1=6 （人）（2）整個方陣共有學生人數(shù)：6X6=36 （人）答：方陣最外層每邊的人數(shù)是6 人，這個方陣共有36 人。8、明明用圍棋子擺成一個三層中空方陣，如果最外層每邊有圍棋子15 個，明明擺這個方陣最里層一周共有多少枚棋

44、子?擺這個三層空心方陣共用了多少枚棋子？解析： （ 1）方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2 個，知道最外面一層，每邊放15個，可以求出最里層每邊的個數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。（ 2）根據(jù)最外層每邊放棋子的個數(shù)減去這個中空方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再乘以4，計算出這個中空方陣共用棋子多少個。解：（1）最里層一周棋子的個數(shù)是：（15-2-2-1） X 4=40 （個）（2）這個空心方陣共用的棋子數(shù)是：（15-3） X 3X4=144 （個）答：這個方陣最里層一周有40 個棋子 ;擺這個中空方陣共用144個棋子。9、若干戰(zhàn)士排成一個四層中空方陣，只知道最外一層每邊有12 人，請你求出總人

45、數(shù)。解析： 我們可以采用先求出每層人數(shù)再求總人數(shù)的方法進行。解：由于最外層每邊有 12人，因此最外層一共有(121) X 4m4人，又根據(jù)方陣相鄰兩層， 外層比內層人數(shù)多 8的特點，因此第二層有448=36人，第三層有36 8=28人，第四層有28 8=20人。因此一共有 44+36+28+20 = 128人。還可以這樣想，把四層中空方陣劃分如例5的形狀，我們發(fā)現(xiàn)每個長方形可以看成四排戰(zhàn)士，每排有8人組成。因此一個長方形有8X4=32人，一共有4個長方形，32X4隹8人。當然還可以先把中空方陣看成中實方陣，然后再減去補上的小中實方陣人數(shù)，也可以求出一共有多少人，看成中實方陣后，最外一層每邊12

46、人，因此一共有12 X 12=144人。又因為在方陣中相鄰兩個正方形每邊人數(shù)相差2,因此第二層每邊有 12 2= 10人，第三層每邊有10-2=8人，第四層每邊有 8- 2=6人，第五層每邊有 6 2=4人。因此小的中實方陣有 4X4=16 人。144 16= 128人就表示一共有戰(zhàn)士的人數(shù)。答：一共有128人。10、有若干盆鮮花擺成一個中空方陣，最外層共擺48盆，最內層共擺24盆，請問：共擺了多少盆鮮花？解析：由于方陣中相鄰兩個正方形每邊相差8,因此第二層應擺鮮花 48-8= 40盆，第三層有花40- 8=32盆，第四層有花328= 24盆。這樣通過枚舉方法求出一共有四層花，及中間兩層花 的

47、總數(shù)。因此一共擺了 48+40+ 32+24= 144盆。答：一共擺了 144盆。11、有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問這個方陣最外一層有楊樹和柳樹 各多少棵 初陣中共有楊樹，柳樹各多少棵 解析：根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種，假設黑點表示楊樹，白點表示柳樹觀察圖(1) (2)不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數(shù)相等。即最外層楊，柳樹分別。口口口cooooecooooe圖（1）為（7-1） x 4+ 2=12 （棵）?？诳诳诳?口0口 口口圖當柳樹種在方陣最外層的角上時，最內

48、層的一棵是柳樹；當楊樹種在方陣最外層的角上時，最內層的一棵是楊樹，即在方陣中，楊樹和柳樹總數(shù)相差1棵。解：（1）最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為：（7-1） X 4+2=12 （棵）（2）當楊樹種在最外層角上時，楊樹比柳樹多1棵：楊樹：（7X7+1） + 2=25 （棵）柳樹：7X325=24 （棵）（3）當柳樹種在最外層角上時，柳樹比楊樹多1樹柳樹（7X7+1） + 2=25 （棵）楊樹 7X7-25=24 （棵）答：在兩種方法中，方B懦I外層都有楊樹12棵，柳樹12棵，方陣中總共有楊樹 25棵，柳24棵，或者有楊樹24棵，柳樹25棵。練習題：1.運動員入場式要求排成一個 9行9列的正方形方陣，如果去掉 2行2歹U,要減少多少運動員？9 發(fā)9