材料力學(xué)彎曲變形

1、第第 七七 章章彎曲變形彎曲變形7.2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程7.3 7.3 用積分法求撓度和轉(zhuǎn)角用積分法求撓度和轉(zhuǎn)角7.4 7.4 用疊加法求撓度和轉(zhuǎn)角用疊加法求撓度和轉(zhuǎn)角第七章第七章 彎曲變形彎曲變形 7.5 7.5 梁的剛度計(jì)算梁的剛度計(jì)算7.1 7.1 概述概述7.6 7.6 簡(jiǎn)單超靜定梁簡(jiǎn)單超靜定梁7.7 7.7 梁的彎曲應(yīng)變能梁的彎曲應(yīng)變能7.8 7.8 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施7-1 7-1 概述概述 若變形過(guò)大，會(huì)引起較大的振動(dòng)，破壞起吊工若變形過(guò)大，會(huì)引起較大的振動(dòng)，破壞起吊工作的平穩(wěn)性。作的平穩(wěn)性。一、工程中的彎曲變形問(wèn)題一、工程中的彎曲變形問(wèn)

2、題若變形過(guò)大，不若變形過(guò)大，不僅會(huì)影響齒輪的僅會(huì)影響齒輪的嚙合和軸承的配嚙合和軸承的配合，使傳動(dòng)不平合，使傳動(dòng)不平穩(wěn)，磨損加快，穩(wěn)，磨損加快，而且還會(huì)嚴(yán)重地而且還會(huì)嚴(yán)重地影響加工精度。影響加工精度。 又如，車床主軸：又如，車床主軸： 又如，如圖所示輪軸：又如，如圖所示輪軸： 若輪軸的變形過(guò)大，會(huì)使輪子不能正常嚙合，影響工若輪軸的變形過(guò)大，會(huì)使輪子不能正常嚙合，影響工作的平穩(wěn)性等。作的平穩(wěn)性等。 但有時(shí)又有相反要求，要求構(gòu)件有適當(dāng)變形，才能但有時(shí)又有相反要求，要求構(gòu)件有適當(dāng)變形，才能符合使用要求。符合使用要求。如汽車疊板彈簧，要求產(chǎn)生較大變形，才能在車輛如汽車疊板彈簧，要求產(chǎn)生較大變形，才能在車

3、輛行駛時(shí)發(fā)揮緩沖減振作用符合使用要求。行駛時(shí)發(fā)揮緩沖減振作用符合使用要求。此外，彎曲變形的計(jì)算還經(jīng)常應(yīng)用于超靜定系統(tǒng)的此外，彎曲變形的計(jì)算還經(jīng)常應(yīng)用于超靜定系統(tǒng)的求解。求解。二、彎曲變形的量度撓度和轉(zhuǎn)角二、彎曲變形的量度撓度和轉(zhuǎn)角FAB 原為直線的軸線原為直線的軸線AB彎曲彎曲成光滑而連續(xù)的曲線，成光滑而連續(xù)的曲線， 該曲線稱為該梁的撓曲線。該曲線稱為該梁的撓曲線。 在平面彎曲的情況下，撓曲線是位于載荷平面內(nèi)的在平面彎曲的情況下，撓曲線是位于載荷平面內(nèi)的平面曲線。平面曲線。 豎直位移豎直位移 w 稱為撓度，取向上為正。稱為撓度，取向上為正。xw xfw 橫截面的轉(zhuǎn)角，和撓曲線在該截面形心處的切

4、線與橫截面的轉(zhuǎn)角，和撓曲線在該截面形心處的切線與x 軸的夾角相等。軸的夾角相等。 xwddtan小變形：小變形： tan xfwxwdd FABwx撓曲線方程：撓曲線方程：CC任意截面形心任意截面形心CC三位移：三位移：水平位移水平位移x，豎直位移豎直位移w角位移角位移，忽略忽略 = w角位移角位移 稱為轉(zhuǎn)角，稱為轉(zhuǎn)角，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎Ｄ鏁r(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。EIxMx)()(1xwO23222dd1dd)(1xwxwx22ddxwEIxMxw)(dd 220M0 w0M0 w7.2 7.2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程前一章已得到：前一章已得到：EIM1純彎曲梁純彎曲梁橫力彎曲梁（近似）

5、橫力彎曲梁（近似）任意曲線曲率任意曲線曲率)(xMwEI 或或EIxMxw)(dd22則有則有ACB 例例7-2-1 畫出下列梁的撓曲線大致形狀。畫出下列梁的撓曲線大致形狀。AmmCBLL解解: : 建立坐標(biāo)系并建立坐標(biāo)系并作彎矩圖作彎矩圖wx)(xMwEI AB段段: :0 0 wM， w上凸上凸BC段段: :0 0 wM，同時(shí)同時(shí)B處須滿足連續(xù)光滑條件，處須滿足連續(xù)光滑條件，即曲線與直線在即曲線與直線在B點(diǎn)相切。點(diǎn)相切。邊界條件邊界條件: :0 0CCw， w=0=0mMACB 例例7-2-2 等截面直梁，其撓曲線等截面直梁，其撓曲線 ，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為l，確定梁的載荷、支撐情況。，確定梁的

6、載荷、支撐情況。EIFxw3lPl6Pl6F6故可確定其為懸臂梁。故可確定其為懸臂梁。解解: : 作彎矩圖、剪力圖作彎矩圖、剪力圖)(xMwEI FxxM6)(FxxMxFs6d)(d)(0d)(d)(xxFxqsF6F6Fl6M6FFs+ 0 0wx，EIFlwlx3 ，邊界邊界條件條件0 0wx，CxxMEIwd)( 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程DCxxxxMEIw d d)( 撓度方程撓度方程C、D 為積分常數(shù)；由邊界條件和連續(xù)性條件確定。為積分常數(shù)；由邊界條件和連續(xù)性條件確定。邊界條件邊界條件: : 固定端：固定端：w0 0；0 0；鉸支座：鉸支座：w0 0；彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)：彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)：0

7、 0。連續(xù)性條件連續(xù)性條件: : 撓曲線上任意點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角只有一個(gè)撓曲線上任意點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角只有一個(gè)值。值。EIxMwxw)(dd22 7-3 7-3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形)(xMwEI EI為常量為常量EI為常量為常量lABq 例例7-3-1 用積分法求撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定絕對(duì)用積分法求撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定絕對(duì)值最大的轉(zhuǎn)角和最大的撓度。設(shè)值最大的轉(zhuǎn)角和最大的撓度。設(shè)EIEI為常量。為常量。解解：(1) (1) 求支反力，列求支反力，列彎矩方程彎矩方程(2) (2) 建立撓曲線近似微分方程，并積分建立撓曲線近似微分方程，并積分DCxxqxqlEIw4324- 12

8、(3) (3) 利用邊界條件確定積分常數(shù)利用邊界條件確定積分常數(shù)0 :0wx0 D0 :wlx24 3qlCxwlxxqxqlxM0 22)(2lxxqxqlwEI 0 222,6432CxqxqlwEIxqlRRBA21 由對(duì)稱性知由對(duì)稱性知RBRA3234624xlxlEIqw323224xlxlEIqxwEIqllxx24 : 03BAmax或EIqlwlxl3845 0; :242max(5) (5) 求最大值求最大值 (4) (4) 求轉(zhuǎn)角方程、撓度方程求轉(zhuǎn)角方程、撓度方程lABqxw彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)：彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)：0 0。邊界條件：邊界條件：0 :0wx0 :2lx0 :wlx

9、0 :2lx或或lxxqxqlwEI 0 222 例例7-3-2 用積分法求用積分法求C截面的轉(zhuǎn)角和撓度，截面的轉(zhuǎn)角和撓度，EI為常量。為常量。alABFC解解：(1) (1) 分段分段寫彎矩方程寫彎矩方程 , lFaRllaFRBA(2) (2) 分段建立撓曲線近似微分方程，并積分分段建立撓曲線近似微分方程，并積分axFxMCA0 1：段段RARBalxaaxllaFFxMAB )( )(2：段段113112162DxCxFEIwCxFwEI223322222)(6)(6)(2)(2DxCaxllaFxFEIwCaxllaFxFwEIwxFxwEI 1ax 0 )()(2axllaFFxwE

10、I alxa ABFCalwx(3) (3) 確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)21 :wwax21 :wwax(1) 0 , 0 : 21wwax時(shí)時(shí)邊界條件邊界條件: :連續(xù)性條件連續(xù)性條件: :(3) , 2121DDCC),32(621alFaCClaFaDD3221(4) (4) C截面的撓度和轉(zhuǎn)角截面的撓度和轉(zhuǎn)角laEIFawwalEIFawwxC3 , 326 :021C122212)(2)(22CaallaFaFCFa2233113)(6)(66DaCaallaFaFDaCFa113112162DxCxFEIwCxFwEI223322222)(6)(6)(2)(2DxCaxllaFxFE

11、IwCaxllaFxFwEIAC段：段：AB段：段：(2) 0 : 2walx時(shí)時(shí)（1）（）（2）（）（3）疊加原理：當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，梁的某一參量疊加原理：當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，梁的某一參量（反力、內(nèi)力、應(yīng)力、變形）等于每個(gè)載荷（反力、內(nèi)力、應(yīng)力、變形）等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起的該參量的代數(shù)和。單獨(dú)作用時(shí)所引起的該參量的代數(shù)和。疊加法：應(yīng)用疊加原理計(jì)算梁的某一參量的方法。疊加法：應(yīng)用疊加原理計(jì)算梁的某一參量的方法。 前提條件：小變形，材料服從虎克定律。前提條件：小變形，材料服從虎克定律。, dd22FFMxwEI, dd22qqMxwEIMxwEI22dd222222dddd

12、ddxwEIxwEIMMMxwEIqFqF22ddxwwEIqF* * 表表7-17-17-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形=+ 例例7-4-1 用疊加法求用疊加法求C點(diǎn)撓度。點(diǎn)撓度。解：解： 簡(jiǎn)單載荷引起的變形簡(jiǎn)單載荷引起的變形EIFaEIaFwFC648)2(33EIqaEIaqwqC245384)2(544 疊加疊加)6245(34EIFaEIqawC表表7.17.1第第7 7欄欄表表7.17.1第第9 9欄欄FqaaACBFaaACBqaaACB 例例7-4-2 用疊加法求用疊加法求C點(diǎn)撓度。點(diǎn)撓度。解解: :積分法積分法EIxllxlFwPC48)(43)()(d(2

13、2dxxllqdxxqFd)(2)(d0 xlEIxllxlqd24)(43()(2220PCqCwwdEIqlxlEIxllxlqll240d24)(43()(45 .02220表表7.17.1第第8 8欄欄q0l/2ABCl/2 例例7-4-3 用疊加法求用疊加法求C截面的轉(zhuǎn)角和撓度。截面的轉(zhuǎn)角和撓度。alABFC解解：(1) (1) 假設(shè)假設(shè)CA段為剛性，研究段為剛性，研究簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁AB的變形所引起的的變形所引起的C截面截面的轉(zhuǎn)角和撓度的轉(zhuǎn)角和撓度xwFFaEIFalA3,31EIFalACEIlFaawCC3211ABCFAC(2) (2) 假設(shè)假設(shè)AB段為剛性，段為剛性，外伸段外伸

14、段CA看作懸臂梁：看作懸臂梁：,222EIFaCEIFawC332表表7.17.1第第2 2欄欄表表7.17.1第第5 5欄欄(3) (3) 疊加法求疊加法求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角截面的撓度和轉(zhuǎn)角, 32621alEIFaCCClaEIFawwwCCC3221 例例7-4-4 等截面剛架等截面剛架A端的水平位移端的水平位移xA 和豎直位移和豎直位移yA。abEICEIPAB剛化剛化ABABPC2Ay剛化剛化BCPCABABC1Ax1AyPaP等價(jià)等價(jià)等價(jià)等價(jià)PAB解解：(1) (1) 剛化剛化AB段：段：(2) (2) 剛化剛化BC段：段：剛化剛化AB: : 21EIbpaayBA剛化剛化BC:

15、: 332EIpawyAA 2221EIpabxxxAAA(3) (3) 疊加：疊加： 221EIPabwxBA02Ax2AyABC1Ax1AyPaPPAB 3 3221abEIpayyyAAA*逐段剛化法逐段剛化法2aABq 例例7-4-5 用疊加法求中點(diǎn)用疊加法求中點(diǎn)C撓度和梁端截面撓度和梁端截面B的轉(zhuǎn)角。的轉(zhuǎn)角。CDE2lEIqalBR22解：解： C為對(duì)稱點(diǎn)，故為對(duì)稱點(diǎn)，故C截面的轉(zhuǎn)角為截面的轉(zhuǎn)角為0 0。表表7.1第第2欄欄在在RB作用下：作用下：EIqalwBR33EIqaEqBq63表表7.1第第4欄欄在在 q 作用下：作用下：EIlqaEIqaalEIqaEIqaalwwBqE

16、qBq624 683434Eq Bq qaRB qaRA BEqCBEqaRB ClqBEaqaRB C一、剛度條件：一、剛度條件： wwmax max疊加：疊加：laalEIqawwwwBqBRBC2334824 2236alEIqaBqBRB2 2 設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面1 1 剛度校核剛度校核3 3 確定許可載荷確定許可載荷 2aABqCDE2llqBEaqaRB CqaRB 7-5 7-5 梁的剛度計(jì)算梁的剛度計(jì)算或或AAwwBBCABDF2=2kNABF1=1kNDC 例例7-5-1 一空心圓桿，內(nèi)外徑：一空心圓桿，內(nèi)外徑：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C點(diǎn)的點(diǎn)的w/L=0

17、.0001，B點(diǎn)的點(diǎn)的 =0.001弧度弧度，試試核此桿的剛度核此桿的剛度。+EIaLFawBC162111EILFB16211解：解：查表求簡(jiǎn)單載荷變形查表求簡(jiǎn)單載荷變形EIaLFB322)(3222aLEIaFwC)(3162221aLEIaFEIaLFwCEIaLFEILFB316221 疊加疊加=L=0.4ma=0.1mC0.2mABF1=1kNDF2=2kNm1019. 5)(31662221aLEIaFEIaLFwC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaFEILFB48124444m1018810)4080(6414. 3)(6

18、4 dDI 001.010423.04max 4536max101103 .1104001019.5LwLw校核剛度校核剛度剛度條件滿足。剛度條件滿足。一、基本概念一、基本概念2 2 超靜定問(wèn)題：?jiǎn)渭円揽快o力平衡方程不能確定出全超靜定問(wèn)題：?jiǎn)渭円揽快o力平衡方程不能確定出全部未知力（支反力、內(nèi)力）的問(wèn)題。部未知力（支反力、內(nèi)力）的問(wèn)題。1 1 靜定問(wèn)題：?jiǎn)渭円揽快o力平衡方程能夠確定全部未知靜定問(wèn)題：?jiǎn)渭円揽快o力平衡方程能夠確定全部未知力（支反力、內(nèi)力）的問(wèn)題。力（支反力、內(nèi)力）的問(wèn)題。 3 3 超靜定次數(shù)超靜定次數(shù) n ：n = = 未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)FBA7-6

19、7-6 簡(jiǎn)單超靜定梁簡(jiǎn)單超靜定梁BFAC1 1 靜定結(jié)構(gòu)除荷載外，其他因素如溫度改變、支座靜定結(jié)構(gòu)除荷載外，其他因素如溫度改變、支座移動(dòng)、制造誤差、材料收縮等都不引起內(nèi)力，即移動(dòng)、制造誤差、材料收縮等都不引起內(nèi)力，即靜定結(jié)構(gòu)無(wú)裝配應(yīng)力、無(wú)溫度應(yīng)力等；而超靜定靜定結(jié)構(gòu)無(wú)裝配應(yīng)力、無(wú)溫度應(yīng)力等；而超靜定結(jié)構(gòu)中，任何因素都可能引起內(nèi)力。結(jié)構(gòu)中，任何因素都可能引起內(nèi)力。2 2 靜定結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸無(wú)關(guān)，而靜定結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸無(wú)關(guān)，而超靜定結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸有關(guān)。超靜定結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸有關(guān)。二、二、 超靜定結(jié)構(gòu)的特性超靜定結(jié)構(gòu)的特性3 3 超靜定結(jié)構(gòu)

20、的剛度比相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)要大。超靜定結(jié)構(gòu)的剛度比相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)要大。4 4 超靜定結(jié)構(gòu)在多余聯(lián)系破壞后，仍然能維持幾何不超靜定結(jié)構(gòu)在多余聯(lián)系破壞后，仍然能維持幾何不變性，而靜定結(jié)構(gòu)在任一聯(lián)系破壞后就變成了幾何變性，而靜定結(jié)構(gòu)在任一聯(lián)系破壞后就變成了幾何可變體系?？勺凅w系。 求解彎曲超靜定問(wèn)題時(shí)，首先要選擇原超靜定結(jié)構(gòu)求解彎曲超靜定問(wèn)題時(shí)，首先要選擇原超靜定結(jié)構(gòu)的靜定基，得其相當(dāng)系統(tǒng)。的靜定基，得其相當(dāng)系統(tǒng)。=RBAB0BBRBqBwwwq0lABEI 例例7-7-1 求支座求支座B的反力。的反力。（2 2）變形協(xié)調(diào)方程：）變形協(xié)調(diào)方程：解：解：(1) (1) 確定靜定基，得確定靜定基，得原結(jié)構(gòu)的

21、相當(dāng)系統(tǒng)：原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：+ ABq0(3)(3)物理方程物理方程(4)(4)補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程EIlRwEIqlwBBRBqB3 ;83403834EIlREIqlB83qlRBABEIRBq0變形比較法變形比較法(2(2）變形協(xié)調(diào)方程：）變形協(xié)調(diào)方程：解：解：(1)(1)確定靜定基，得原確定靜定基，得原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：BCBRBqBlwwwB 例例7-7-2 求求BC桿的內(nèi)力桿的內(nèi)力。=A AB BR RB B=A AB BR RB B+ += =q q 0 0L LA AB BC CEIlBCBCEAl=q q 0 0L LA AB BR R B BEI 等價(jià)等價(jià)q q

22、0 0A AB B+q0(3)(3)物理方程物理方程(4)(4)補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程)(3 ; )( 834EIlRwEIqlwBBRBqBEAlREIlREIqlBCBB3834)3(834EIlAlIqlRBCBEAlRlBCBBCBCBRBqBlwwwB=q q 0 0L LA AB BR R B BEI 等價(jià)等價(jià)q q 0 0L LA AB BC CEIlBCBCEAl=A AB BR RB B=A AB BR RB Bq q 0 0A AB B+q0+ += = 例例7-7-3 如圖所示雙梁系統(tǒng)，彈簧剛度如圖所示雙梁系統(tǒng)，彈簧剛度K，上下梁的抗，上下梁的抗彎剛度均為彎剛度均為EI，求，求

23、（1）彈簧受力大小彈簧受力大小，（，（2）當(dāng)當(dāng)P/(q0l) =?=?時(shí)彈簧不受力。時(shí)彈簧不受力。0qPl/2l/2l/2l/2解：解：(1)(1)確定靜定基，得原確定靜定基，得原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：0qF上梁上梁PF下梁下梁+KFwwCCEIFlEIlqwC483845340EIlFpwC48)(3KFEIlqEIlFP384548)2(403KEIlKEIlPlqF241384)85(330（5 5）令）令F=0，(2)(2)變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：(3)(3)物理方程物理方程(4)(4)補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程PF下梁下梁0qF上梁上梁CC得得P/q0l=5/8 例例7-7-4

24、7-7-4 兩端固定梁，求內(nèi)力。兩端固定梁，求內(nèi)力。 BACFabl二次超靜定結(jié)構(gòu)二次超靜定結(jié)構(gòu)ABFC2m1m0 , 0 BA (2) (2) 變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：解：解：(1)(1)確定靜定基，得原確定靜定基，得原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)：EIlmlEIblFabEIlmA66321EIlmlEIblFabEIlmB36621(3) (3) 物理方程物理方程(4)(4)補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程 063621lblFablmlm066321lblFablmlmBACabl 222221lbFamlFabmABFC2m1m(5)(5)疊加法求內(nèi)力疊加法求內(nèi)力ABC 22lFab 22lbFa 223 blaba llFabMFEIxM)(1 dxMdWdU )(21dxEIxMdU2)(2 ldxEIxMU2)( 2一一、 彎曲應(yīng)變能：彎曲應(yīng)變能：應(yīng)變能等于外力功。不計(jì)剪切應(yīng)變能應(yīng)變能等于外力功。不計(jì)剪切應(yīng)變能xKdd1 曲率曲率M(x)OO dO 曲率曲率中心中心