高一數(shù)學必修三2.3.1 變量間的相關關系

1、2.3.1-2小明小明,你數(shù)學成績不太好你數(shù)學成績不太好,物理怎么樣物理怎么樣?也不太好啊也不太好啊.學不好數(shù)學學不好數(shù)學,物理物理也是學不好的也是學不好的?.哲學原理哲學原理：世界是一個普遍聯(lián)系的整體，：世界是一個普遍聯(lián)系的整體，任何事物都與任何事物都與周圍周圍其它事物相聯(lián)系。其它事物相聯(lián)系。 數(shù)學地理解世界你認為老師的說法對嗎你認為老師的說法對嗎?事實上事實上,我們在考察數(shù)學成績對物理成績影響的同時我們在考察數(shù)學成績對物理成績影響的同時,還還必須考慮到其他的因素必須考慮到其他的因素:愛好愛好,努力努力程度程度 如果單純從數(shù)學對物理的影響來考慮如果單純從數(shù)學對物理的影響來考慮,就是考慮這兩者

2、之就是考慮這兩者之間的間的相關關系相關關系我們在生活中我們在生活中,碰到很多相關關系的問題碰到很多相關關系的問題:物理成績物理成績數(shù)學數(shù)學成績成績學習學習興趣興趣花費花費時間時間其他其他因素因素商品銷售收入商品銷售收入廣廣告支出經(jīng)費告支出經(jīng)費?糧食產(chǎn)量糧食產(chǎn)量施施肥量肥量?人體脂肪含量人體脂肪含量年年齡齡? 1商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關系。商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關系。商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間有著密切的聯(lián)系，商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間有著密切的聯(lián)系，但商品收入不僅與廣告支出多少有關，還與但商品收入不僅與廣告支出多少有關，還與商品質(zhì)商品質(zhì)量量、居民收入居民收入等因素有關

3、。等因素有關。 在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食產(chǎn)量就越高。在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食產(chǎn)量就越高。但是，施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素，但是，施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素，因為糧食產(chǎn)量還要受到因為糧食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量土壤質(zhì)量、降雨量降雨量、田田間管理水平等間管理水平等因素的影響。因素的影響。2糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關系。糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關系。 在一定年齡段內(nèi)，隨著年齡的增長，人體內(nèi)在一定年齡段內(nèi)，隨著年齡的增長，人體內(nèi)的脂肪含量會增加，但人體內(nèi)的脂肪含量還的脂肪含量會增加，但人體內(nèi)的脂肪含量還與與飲食習慣飲食習慣、體育鍛煉體育鍛煉等有關，可能還與個等有關，可能還與個人的先

4、天體質(zhì)有關。人的先天體質(zhì)有關。3人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關系。人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關系。以上種種問題中的以上種種問題中的兩個變量之間兩個變量之間的的相關關系相關關系,我我們都可以根據(jù)自己的生活們都可以根據(jù)自己的生活,學習經(jīng)驗作出相應的學習經(jīng)驗作出相應的判斷判斷,“規(guī)律是經(jīng)驗的總結規(guī)律是經(jīng)驗的總結”,不管你多有經(jīng)驗不管你多有經(jīng)驗,只只憑經(jīng)驗辦事憑經(jīng)驗辦事,還是很容易出錯的還是很容易出錯的,因此在因此在尋找變尋找變量間的量間的相關關系時相關關系時,我們需要一些更為科學的方我們需要一些更為科學的方法來說明問題法來說明問題.在尋找變量間的相關關系時在尋找變量間的相關關系時,統(tǒng)計統(tǒng)計同樣發(fā)揮了非

5、常重同樣發(fā)揮了非常重要的作用要的作用,我們是通過收集大量的數(shù)據(jù)我們是通過收集大量的數(shù)據(jù),對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的基礎上計分析的基礎上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,才能對它們之間的才能對它們之間的關系作出判關系作出判斷斷.1 1、兩個變量之間的相關關系、兩個變量之間的相關關系 兩個變量間存在著某種關系，帶兩個變量間存在著某種關系，帶有不確定性有不確定性( (隨機性），隨機性），不能用函數(shù)不能用函數(shù)關系精確關系精確地表達出來，我們說這兩個地表達出來，我們說這兩個變量具有變量具有相關關系相關關系. .相關關系相關關系當自變量取值一定當自變量取值一定,因變量的因變量的取值帶有一定的取值帶有一

6、定的隨機性隨機性（ 非確定性關系非確定性關系)函數(shù)關系函數(shù)關系-函數(shù)關系指的是自變量和因函數(shù)關系指的是自變量和因變量之間的關系是變量之間的關系是相互唯一確定相互唯一確定的的.注：相關關系和函數(shù)關系的異同點注：相關關系和函數(shù)關系的異同點相同點相同點：兩者均是指兩個變量間的關系：兩者均是指兩個變量間的關系不同點不同點：函數(shù)關系是一種確定關系，：函數(shù)關系是一種確定關系， 相關關系是一種非確定的關系。相關關系是一種非確定的關系。對相關關系的理解對相關關系的理解1：下列兩變量中具有相關關系的是（：下列兩變量中具有相關關系的是（ ）A角度和它的余弦值角度和它的余弦值 B正方形的邊長和面積正方形的邊長和面積

7、C成人的身高和視力成人的身高和視力 D 身高和體重身高和體重D練習：練習：【問題問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關系在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)脂肪含量的樣本平均數(shù). .年齡年齡 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年齡年齡 53535454565657575858606061

8、61脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6根據(jù)上述數(shù)據(jù)，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關系有怎樣的關系？思考思考1 1：對對某一個人某一個人來說，來說，他的體內(nèi)脂肪含他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如，但是如果把很果把很多個多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的的規(guī)律性規(guī)律性. .觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？隨著年齡的增加，

9、人體脂肪含量怎樣變化？年齡年齡 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年齡年齡 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6思考思考2 2：為了確定年齡和人體脂肪含量之間的為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關系，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，更明確的關系，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的

10、關系有一個通過作圖可以對兩個變量之間的關系有一個直觀的印象直觀的印象. .以以x x軸表示年齡，軸表示年齡，y y軸表示脂肪含軸表示脂肪含量，量，你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應的圖形嗎？的圖形嗎？ 年齡年齡 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年齡年齡 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35

11、.235.2 34.634.6思考思考3 3：上圖叫做上圖叫做散點圖散點圖，你能描述一下散，你能描述一下散點圖的含義嗎？點圖的含義嗎？ 在平面直角坐標系中，表示具有相關關系在平面直角坐標系中，表示具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖. . 散點圖散點圖3).3).如果所有的樣本點都落在某一如果所有的樣本點都落在某一直線附近直線附近，變量之間就有變量之間就有線性相關關系線性相關關系 . .1).1).如果所有的樣本點都落在某一如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上函數(shù)曲線上, ,就用該函數(shù)來描述變量之間的關系，即變量之就用該函數(shù)來描述變量之間的關系，

12、即變量之間具有間具有函數(shù)關系函數(shù)關系2).2).如果所有的樣本點都落在某一如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近函數(shù)曲線附近, ,變量之間就有變量之間就有相關關系相關關系。說明說明散點圖散點圖：用來判斷兩個變量是否具有相關關系用來判斷兩個變量是否具有相關關系.觀察散點圖的大致趨勢，觀察散點圖的大致趨勢， 兩個變量的兩個變量的散點圖散點圖中中點的分布的位置是點的分布的位置是從左下角到右上角從左下角到右上角的區(qū)域，的區(qū)域，我們稱這種相關關系為我們稱這種相關關系為正相關。正相關。思考思考4 4：如果兩個變量成如果兩個變量成負相關負相關，從整體上看這兩，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？其散點圖有什

13、么特點？個變量的變化趨勢如何？其散點圖有什么特點？ 散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域. .思考思考5 5：你能列舉一些生活中的變量成正你能列舉一些生活中的變量成正相關或負相關的實例嗎相關或負相關的實例嗎? ? 如高原含氧量與海拔高度如高原含氧量與海拔高度的相關關系，海平面以上，的相關關系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越少。少。 作出散點圖發(fā)現(xiàn)，它們散作出散點圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從左上角到右下角的區(qū)布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重和汽域內(nèi)。又如汽車的載重和汽車每消耗車每消耗1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，

14、稱它們成平均路程，稱它們成負相關負相關.O2.下列關系屬于負相關關系的是（下列關系屬于負相關關系的是（ ）A.父母的身高與子女的身高父母的身高與子女的身高B.農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥的關系農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥的關系C.吸煙與健康的關系吸煙與健康的關系D.數(shù)學成績與物理成績的關系數(shù)學成績與物理成績的關系C C練習：練習：如果散點圖中點的分布如果散點圖中點的分布從從整體整體上看上看大致在一條直大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關線性相關關系關系，這條直線就叫做，這條直線就叫做回歸直線回歸直線。 這條回歸直線的方程這條回歸直線的方程，簡稱為，簡稱為回歸方程回歸

15、方程。三、回歸直線三、回歸直線 1.如果所有的如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，變，變量之間具有量之間具有函數(shù)函數(shù)關系關系2.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近曲線附近，變量之間就有變量之間就有相關關系相關關系3.如果所有的樣本點都落在如果所有的樣本點都落在某一直線附近某一直線附近，變量，變量之間就有線性相關關系之間就有線性相關關系 只有散點圖中的點呈條狀集中在只有散點圖中的點呈條狀集中在某一直線某一直線周圍的時候，才可以說兩個變量之間具有線性周圍的時候，才可以說兩個變量之間具有線性關系，才有兩個變量的正線性相關和負線性相關系，才

16、有兩個變量的正線性相關和負線性相關的概念，才可以用回歸直線來描述兩個變量關的概念，才可以用回歸直線來描述兩個變量之間的關系之間的關系整體上最接近整體上最接近 采用測量的方法：先畫一條直線，測采用測量的方法：先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然后移動直線，到達一量出各點到它的距離，然后移動直線，到達一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。斜率和截距，就得到回歸方程。四、如何具體的求出這個回歸方程呢？四、如何具體的求出這個回歸方程呢？ 在圖中選取兩點畫直線，使得直線在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。兩側(cè)的點

17、的個數(shù)基本相同。脂肪010203040020406080脂肪三、如何具體的求出這個回歸方程呢？三、如何具體的求出這個回歸方程呢？ 在散點圖中多取幾組點，確定幾條直線的在散點圖中多取幾組點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。脂肪010203040020406080脂肪三、如何具體的求出這個回歸方程呢？三、如何具體的求出這個回歸方程呢？上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強，上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強，我們回到回歸直線的我們回到回歸直線

18、的定義定義。求回歸方程的關鍵是如何用求回歸方程的關鍵是如何用數(shù)學的方法數(shù)學的方法來刻畫來刻畫“從整體上看，各點與直線的偏差最小從整體上看，各點與直線的偏差最小”。如果如果散點圖中點散點圖中點的分布的分布從從整體整體上看上看大致在一條直線附近，大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系線性相關關系，這條直線，這條直線就叫做就叫做回歸直線回歸直線。思考思考6 6：對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù)：對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù)：(x(x1 1，y y1 1) )，(x(x2 2，y y2 2) )，(x(xn n，y yn n) )，設其回歸，設其回歸方

19、方程為程為 可可以用哪些數(shù)量關系來刻畫以用哪些數(shù)量關系來刻畫各樣本點與回歸直線的接近程度？各樣本點與回歸直線的接近程度？ 回歸直線回歸直線 實際上實際上,求回歸直線的關鍵是求回歸直線的關鍵是如何用數(shù)學的方如何用數(shù)學的方法來刻畫法來刻畫“從整體上看從整體上看,各點到此直線的距離最各點到此直線的距離最小小”.這樣的方法叫做最小二乘法這樣的方法叫做最小二乘法.人們經(jīng)過長期的實踐與研究，已經(jīng)找到了人們經(jīng)過長期的實踐與研究，已經(jīng)找到了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式計算回歸方程的斜率與截距的一般公式:xbyaxnxyxnxxxyyxxbniiniiiniiniiiy,)()(1221121以上公式的推

20、導較復雜，故不作推導，但它的原理較為簡單：即各點到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法最小二乘法。思考思考7 7：利用利用計算器或計算機計算器或計算機可求得年齡和可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為 ，由此我們可以根據(jù)，由此我們可以根據(jù)一個一個人的年人的年齡預測其體內(nèi)脂肪含量的百分齡預測其體內(nèi)脂肪含量的百分比的比的回歸值回歸值. .若某人若某人6565歲，則其體內(nèi)脂肪含歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比量的百分比約約為多少？為多少？0. 5770. 448yx=-37.1（0.57765-0.448= 37.1）若某人若某人6565歲，可預測他體

21、內(nèi)脂肪含量在歲，可預測他體內(nèi)脂肪含量在37.137.1（0.5770.57765-0.448= 37.165-0.448= 37.1）附近的）附近的可能性比較可能性比較大大。 但但不能不能說他體內(nèi)脂肪含量說他體內(nèi)脂肪含量一定一定是是37.137.1原因原因：線性回歸方程中的：線性回歸方程中的截距截距和和斜率斜率都是通過樣都是通過樣本本估計的估計的，存在隨機誤差，存在隨機誤差，這種誤差可以導致預這種誤差可以導致預測結果的測結果的偏差偏差，即使截距斜率沒有誤差，也不可，即使截距斜率沒有誤差，也不可能百分百地保證對應于能百分百地保證對應于x x，預報值，預報值Y Y能等于實際值能等于實際值y y例例

22、3 3：有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究：有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表：的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表：1 1、畫出散點圖；、畫出散點圖；2 2、從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲、從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關系的一般規(guī)律；銷售杯數(shù)之間關系的一般規(guī)律；3 3、求回歸方程；、求回歸方程；4 4、如果某天的氣溫是、如果某天的氣溫是2 2攝氏度，攝氏度，預測這天賣出的熱飲杯數(shù)。預測這天賣出的熱飲杯數(shù)。圖3-1050100150200-2002040熱飲杯數(shù)1、散點圖、散點

23、圖2 2、從圖、從圖3-13-1看到，各點散布在從看到，各點散布在從左上角到由下角左上角到由下角的的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負相關負相關，即即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少。氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少。3 3、從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直、從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此線的附近，因此利用公式求出回歸方程的系數(shù)利用公式求出回歸方程的系數(shù)。 Y= -2.352x+147.767Y= -2.352x+147.7674 4、當、當x=2x=2時，時，Y=143.063 Y=143.063 因此，某天的氣溫為因此

24、，某天的氣溫為2 2攝氏度時，這天攝氏度時，這天大約可以賣出大約可以賣出143143杯熱飲杯熱飲。小結小結1.1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進行：下列步驟進行：第一步，列表計算平均數(shù)第一步，列表計算平均數(shù) , xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 , 1122211()(),()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，計算第三步，計算 第四步，寫出回歸方程第四步，寫出回歸方程 總結總結基礎知識框圖表解基礎知識框圖表解變量間關系變量間關系函數(shù)關系函數(shù)關系相關關系相關關系 散點圖散點圖線形回歸

25、線形回歸線形回歸方程線形回歸方程1 1、相關關系、相關關系 （1 1）概念：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一）概念：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫相關關系。定隨機性的兩個變量之間的關系叫相關關系。 （2 2）相關關系與函數(shù)關系的異同點。）相關關系與函數(shù)關系的異同點。 相同點：兩者均是指兩個變量間的關系。相同點：兩者均是指兩個變量間的關系。 不同點：函數(shù)關系是一種確定關系，是一種因果系；不同點：函數(shù)關系是一種確定關系，是一種因果系；相關關系是一種非確定的關系，也不一定是因果關系（但相關關系是一種非確定的關系，也不一定是因果關系（但可能是伴隨關系）?？赡苁前殡S關系）。 （3 3）相關關系的分析方向。）相關關系的分析方向。 在收集在收集大量數(shù)據(jù)的基礎上，利用統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大量數(shù)據(jù)的基礎上，利用統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，對它們的關系作出判斷。對它們的關系作出判斷。2、兩個變量的線性相關、兩個變量的線性相關 （1 1）回歸分析）回歸分析 對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析回歸分析。通俗