第七章 互換的定價(jià)及風(fēng)險(xiǎn)分析

1、Financial Engineering 授課人：王正文 講 師 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 郵箱：互換定價(jià)的原理：互換定價(jià)的原理： 互換可以分解為有限個(gè)有限個(gè)債券債券的組合，也可以分解成有限個(gè)有限個(gè)遠(yuǎn)期協(xié)議的組合。 根據(jù)這一思路就可以對(duì)互換進(jìn)行定價(jià)。 與互換相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)包括：與互換相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)包括： 信用風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。一、利率互換定價(jià)的基本原理一、利率互換定價(jià)的基本原理 考慮一個(gè)2005年9月1日生效的兩年期利率互換，名義本金為1億美元。甲銀行同意支付給乙公司年利率為2.8的利息，同時(shí)乙公司同意支付給甲銀行3個(gè)月期LIBOR的利息，利息每3個(gè)月交換一次。利率互換中甲銀行的現(xiàn)金流量表如表7-1所示

2、，其中（a）為不考慮名義本金，（b）為考慮名義本金的情況。一、利率互換定價(jià)的基本原理表7-1利率互換中甲銀行的現(xiàn)金流量表（百萬美元）（a）不考慮名義本金一、利率互換定價(jià)的基本原理表7-1利率互換中甲銀行的現(xiàn)金流量表（百萬美元）（b）考慮名義本金一、利率互換定價(jià)的基本原理我們可以從三個(gè)角度來理解表7-1（a）的利率互換：1. 該利率互換由列（4）的凈現(xiàn)金流序列組成，這是互換的本質(zhì)，即未來系列現(xiàn)金流的組合。一、利率互換定價(jià)的基本原理2. 如果對(duì)列（4）的現(xiàn)金流按列進(jìn)行拆分，該利率互換可以看作由列（2）和列（3）的現(xiàn)金流序列組成。假設(shè)在互換生效日與到期日增加1億美元的本金現(xiàn)金流，列（2）和列（3）轉(zhuǎn)

3、化為表7-1（b）的列（6）與列（7）。一、利率互換定價(jià)的基本原理對(duì)甲銀行而言，該利率互換事實(shí)上可以看作一個(gè)浮動(dòng)利率債券多頭與固定利率空頭頭寸的組合，這個(gè)利率互換的價(jià)值就是浮動(dòng)利率債券與固定利率債券價(jià)值的差。由于互換為零和游戲，對(duì)于乙公司來說，該利率互換的價(jià)值就是固定利率債券價(jià)值與浮動(dòng)利率債券價(jià)值的差。也就是說，利率互換可以通過分解成一個(gè)債券的多頭與另一個(gè)債券的空頭來定價(jià)。一、利率互換定價(jià)的基本原理3. 如果對(duì)列（4）的現(xiàn)金流按行進(jìn)行拆分，該利率互換可以看作由從行（I）至行（VIII）共8次的現(xiàn)金流序列組成。觀察各行，除了行（I）的現(xiàn)金流在互換簽訂時(shí)就已經(jīng)確定，其他各行的現(xiàn)金流都類似遠(yuǎn)期利率協(xié)

4、議（FRA）的現(xiàn)金流。很明顯，利率互換可以看成是一系列用固定利率交換浮動(dòng)利率的FRA的組合。只要我們知道組成利率互換的每筆FRA的價(jià)值，就計(jì)算出利率互換的價(jià)值。 一、利率互換定價(jià)的基本原理 利率互換既可以分解為債券組合、也可以分解為FRA的組合進(jìn)行定價(jià)。由于都是列（4）現(xiàn)金流的不同分解，這兩種定價(jià)結(jié)果必然是等價(jià)的。 一、利率互換定價(jià)的基本原理與遠(yuǎn)期合約相似，利率互換的定價(jià)有兩種情形：第一，在協(xié)議簽訂后的互換定價(jià)，是根據(jù)協(xié)議內(nèi)容與市場(chǎng)利率水平確定利率互換合約的價(jià)值。對(duì)于利率互換協(xié)議的持有者來說，該價(jià)值可能是正的，也可能是負(fù)的。 一、利率互換定價(jià)的基本原理第二，在協(xié)議簽訂時(shí)，一個(gè)公平的利率互換協(xié)議

5、應(yīng)使得雙方的互換價(jià)值相等。也就是說，協(xié)議簽訂時(shí)的互換定價(jià)，就是選擇一個(gè)使得互換的初始價(jià)值為零的固定利率。 二、協(xié)議簽訂后的利率互換定價(jià)（一）運(yùn)用債券組合給利率互換定價(jià)定義定義 ：互換合約中分解出的固定利率債券的價(jià)值。 ：互換合約中分解出的浮動(dòng)利率債券的價(jià)值。flBfixB二、協(xié)議簽訂后的利率互換定價(jià)對(duì)于互換多頭也就是固定利率的支付者來說，利率互換的價(jià)值就是反之，對(duì)于互換空頭也就是浮動(dòng)利率的支付者來說，利率互換的價(jià)值就是這里固定利率債券的定價(jià)公式為浮動(dòng)利率債券的定價(jià)公式則為 flfixVBB互換fixflVBB互換1i in nnr tr tfixiBkeAe1 1*()rtflBAk e二、協(xié)

6、議簽訂后的利率互換定價(jià) 1 1*()rtflBAk e 為什么是浮動(dòng)利率的定價(jià)公式是這樣的？第一、在浮動(dòng)利率債券新發(fā)行時(shí)，該債券的價(jià)值就應(yīng)該等于它的面值；第二、在任意時(shí)刻重新確定利率的時(shí)刻，付息之后的浮動(dòng)利率債券價(jià)值就等于新發(fā)行的同期限的浮動(dòng)利率債券面值，付息之前的浮動(dòng)利率債券價(jià)值就等于面值 加上應(yīng)付利息 ；A*k二、協(xié)議簽訂后的利率互換定價(jià) 1 1*()rtflBAk e第三、更加證券定價(jià)的一般原理，在不考慮流動(dòng)性因素的情況下，選定證券存續(xù)期內(nèi)的任一時(shí)點(diǎn)，證券的價(jià)值等于該時(shí)刻的證券價(jià)值加上現(xiàn)在到該時(shí)點(diǎn)之間現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值。二、協(xié)議簽訂后的利率互換定價(jià)假設(shè)在一筆利率互換協(xié)議中，某一金融機(jī)構(gòu)支付3

7、個(gè)月期的LIBOR，同時(shí)收取4.8的年利率（3個(gè)月計(jì)一次復(fù)利），名義本金為1億美元?；Q還有9個(gè)月的期限。目前3個(gè)月、6個(gè)月和9個(gè)月的LIBOR（連續(xù)復(fù)利）分別為4.8、5和5.1。上一次利息支付日的3個(gè)月LIBOR為4.6（3個(gè)月計(jì)一次復(fù)利）。試計(jì)算此筆利率互換對(duì)該金融機(jī)構(gòu)的價(jià)值。 二、協(xié)議簽訂后的利率互換定價(jià)答案：答案：在這個(gè)例子中 萬美元， 萬美元，因此 萬美元 萬美元因此，對(duì)于該金融機(jī)構(gòu)而言，此利率互換的價(jià)值為 9975.8259994.34518.52萬美元顯然對(duì)于該金融機(jī)構(gòu)的交易對(duì)手來說，此筆利率互換的價(jià)值為正，即18.25萬美元。 120k *115k 0.048 0.250.0

8、5 0.50.051 0.75120120101209975.825fixBeee0.048 0.2510000 1159994.345flBe二、協(xié)議簽訂后的利率互換定價(jià) （二）運(yùn)用遠(yuǎn)期利率協(xié)議給利率互換定價(jià)對(duì)于收取固定利息的交易方，F(xiàn)RA的定價(jià)公式為 因此，要運(yùn)用FRA給利率互換定價(jià)，只要知道利率期限結(jié)構(gòu)，從中估計(jì)出FRA對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)期利率與息差現(xiàn)值，即可得到每筆FRA的價(jià)值，加總就可以得到利率互換的價(jià)值。 *( *)( *)KFrTtrTTrTTAeAee二、協(xié)議簽訂后的利率互換定價(jià) 假設(shè)在一筆利率互換協(xié)議中，某一金融機(jī)構(gòu)支付3個(gè)月期的LIBOR，同時(shí)收取4.8的年利率（3個(gè)月年計(jì)一次復(fù)利）

9、，名義本金為1億美元?；Q還有9個(gè)月的期限。目前3個(gè)月、6個(gè)月和9個(gè)月的LIBOR（連續(xù)復(fù)利）分別為4.8、5和5.1。上一次利息支付日的3個(gè)月LIBOR為4.6（3個(gè)月計(jì)一次復(fù)利）。試計(jì)算此筆利率互換對(duì)該金融機(jī)構(gòu)的價(jià)值。 二、協(xié)議簽訂后的利率互換定價(jià)答案：答案：3個(gè)月計(jì)一次復(fù)利的個(gè)月計(jì)一次復(fù)利的4.8%與與4.6%對(duì)應(yīng)的連續(xù)復(fù)利利率對(duì)應(yīng)的連續(xù)復(fù)利利率分別為分別為表表7-2列示了具體的計(jì)算過程，表中的利率均為連續(xù)復(fù)列示了具體的計(jì)算過程，表中的利率均為連續(xù)復(fù)利。利。 4.8%4ln 14.77%44.6%4ln 14.57%4二、協(xié)議簽訂后的利率互換定價(jià)表7-2 運(yùn)用FRA組合給利率互換定價(jià)（萬

10、美元）二、協(xié)議簽訂后的利率互換定價(jià)顯然，這個(gè)結(jié)果與前面運(yùn)用債券組合定出的利率互換價(jià)值18.52萬美元是一致的，100美元的差異源于連續(xù)復(fù)利與普通復(fù)利之間轉(zhuǎn)換時(shí)的四舍五入。三、協(xié)議簽訂時(shí)的利率互換定價(jià) 假設(shè)在一筆2年期的利率互換協(xié)議中，某一金融機(jī)構(gòu)支付3個(gè)月期的LIBOR，同時(shí)每3個(gè)月收取固定利率（3個(gè)月計(jì)一次復(fù)利），名義本金為1億美元。目前3個(gè)月、6個(gè)月、9個(gè)月、12個(gè)月、15個(gè)月、18個(gè)月、21個(gè)月與2年的貼現(xiàn)率（連續(xù)復(fù)利）分別為4.8、5、5.1、5.2、5.15、5.3、5.3與5.4。第一次支付的浮動(dòng)利率即為當(dāng)前3個(gè)月期利率4.8（連續(xù)復(fù)利）。試確定此筆利率互換中合理的固定利率。 三、

11、協(xié)議簽訂時(shí)的利率互換定價(jià)答案：答案：利率互換中合理固定利率的選擇應(yīng)使得利利率互換中合理固定利率的選擇應(yīng)使得利率互換的價(jià)值為零，即率互換的價(jià)值為零，即 。在這個(gè)例子中， 萬美元，而使得 的k=543美元，即固定利率水平應(yīng)確定為5.43%（3個(gè)月計(jì)一次復(fù)利）。 flfixBB0.048 0.250.048 0.251000010000flBee0.048 0.250.05 0.50.051 0.750.052 10.0515 1.250.053 1.50.053 1.750.054 2100004444444410000fixkkkkkkkkBeeeeeeee萬美元一、貨幣互換定價(jià)的基本原理 與利

12、率互換類似，貨幣互換也可以分解為債券的組合或遠(yuǎn)期協(xié)議的組合，只是這里的債券組合不再是浮動(dòng)利率債券和固定利率債券的組合，而是一份外幣債券和一份本幣債券的組合，遠(yuǎn)期協(xié)議也不再是FRA，而是遠(yuǎn)期外匯協(xié)議。 二、運(yùn)用債券組合為貨幣互換定價(jià) 定義 ：貨幣互換的價(jià)值 。 ：用外幣表示的從互換中分解出來的外幣債券的價(jià)值 。 ：從互換中分解出來的本幣債券的價(jià)值 。 ：即期匯率（直接標(biāo)價(jià)法） 。那么對(duì)于收入本幣、付出外幣的那一方：對(duì)付出本幣、收入外幣的那一方：V互 換FBDB0S0DFVB SB 互 換0 FDVSB B互 換二、運(yùn)用債券組合為貨幣互換定價(jià)假設(shè)美元和日元的LIBOR利率的期限結(jié)構(gòu)是平的，在日本是

13、2而在美國(guó)是6（均為連續(xù)復(fù)利）。某一金融機(jī)構(gòu)在一筆貨幣互換中每年收入日元，利率為3（每年計(jì)一次復(fù)利），同時(shí)付出美元，利率為6.5（每年計(jì)一次復(fù)利）。兩種貨幣的本金分別為1000萬美元和120000萬日元。這筆互換還有3年的期限，每年交換一次利息，即期匯率為1美元110日元。如何確定該筆貨幣互換的價(jià)值？ 二、運(yùn)用債券組合為貨幣互換定價(jià)答案：答案：如果以美元為本幣，那么 萬美元 萬日元貨幣互換的價(jià)值為 萬美元如果該金融機(jī)構(gòu)是支付日元收入美元，則對(duì)于它來說，貨幣互換的價(jià)值為113.30萬美元。 0.06 10.06 20.06 3656510651008.427DBeee0.0210.02 20.0

14、2 336003600123600123389.7FBeee123389.71008.427113.30110三、運(yùn)用遠(yuǎn)期外匯協(xié)議組合為貨幣互換定價(jià)三、運(yùn)用遠(yuǎn)期外匯協(xié)議組合為貨幣互換定價(jià) 與利率互換類似，貨幣互換還可以分解成一系列遠(yuǎn)期合約的組合。貨幣互換中的每次支付都可以用一筆遠(yuǎn)期外匯協(xié)議的現(xiàn)金流來代替。因此只要能夠計(jì)算并加總貨幣互換中分解出來的每筆遠(yuǎn)期外匯協(xié)議的價(jià)值，就可得到相應(yīng)貨幣互換的價(jià)值。 三、運(yùn)用遠(yuǎn)期外匯協(xié)議組合為貨幣互換定價(jià)三、運(yùn)用遠(yuǎn)期外匯協(xié)議組合為貨幣互換定價(jià) 假設(shè)美元和日元LIBOR利率的期限結(jié)構(gòu)是平的，在日本是2而在美國(guó)是6（均為連續(xù)復(fù)利）。某一金融機(jī)構(gòu)在一筆貨幣互換中每年收

15、入日元，利率為3（每年計(jì)一次復(fù)利），同時(shí)付出美元，利率為6.5（每年計(jì)一次復(fù)利）。兩種貨幣的本金分別為1000萬美元和120000萬日元。這筆互換還有3年的期限，每年交換一次利息，即期匯率為1美元110日元。如何確定該筆貨幣互換的價(jià)值？ 三、運(yùn)用遠(yuǎn)期外匯協(xié)議組合為貨幣互換定價(jià)三、運(yùn)用遠(yuǎn)期外匯協(xié)議組合為貨幣互換定價(jià)答案：即期匯率為1美元110日元，或1日元0.009091美元。根據(jù) ，一年期、兩年期和三年期的遠(yuǎn)期匯率分別為 ()()fr rT tFSe0.04 10.009091e0.0094620.04 20.009091e0.0098480.04 30.009091e0.01025三、運(yùn)用遠(yuǎn)

16、期外匯協(xié)議組合為貨幣互換定價(jià)三、運(yùn)用遠(yuǎn)期外匯協(xié)議組合為貨幣互換定價(jià)與利息交換等價(jià)的三份遠(yuǎn)期合約的價(jià)值分別為與最終的本金交換等價(jià)的遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為所以這筆互換的價(jià)值為這顯然與運(yùn)用債券組合定價(jià)的結(jié)果是一致的。 0.06 13600 0.009462 6529.1355e萬美元0.06 23600 0.009848 6526.2058e萬美元0.06 33600 0.01025 6523.4712e萬美元0.06 3120000 0.01025 1000192.1093e萬美元192.1093 29.1355 26.2058 23.4712 113.30萬美元一、與互換相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)一、與互換相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn) 與互換相聯(lián)系的風(fēng)險(xiǎn)主要包括：信用風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn) 互換的信用風(fēng)險(xiǎn)互換的信用風(fēng)險(xiǎn) 由于互換是交易對(duì)手之間私下達(dá)成的場(chǎng)外協(xié)議，因此包含著信用風(fēng)險(xiǎn)，也就是交易對(duì)手違約的風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)利率或匯率等市場(chǎng)價(jià)格的變動(dòng)使得互換對(duì)交易者而言價(jià)值為正時(shí)，互換實(shí)際上是該交易者的一項(xiàng)資產(chǎn)，同時(shí)是協(xié)議另一方的負(fù)債，該交易者就面臨著協(xié)議另一方