山西省2022屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題

1、 山西省2022屆高三一模試題理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 2 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A. -iB. -1C. 0或-1D. 0或-i3. 設(shè)，則的最大值是（ ）A. 1B. C. D. 24. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體各個表面中面積的最大值是（ ）A B. C. D. 5. 已知命題，；命題，在定義域上是增函數(shù).則下列命題中的真命題是（ ）A. B. C. D. 6. 展開式中的常數(shù)項是（ ）A. B. C. D. 7

2、. 設(shè)，則、的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 8. “三分損益法”是古代中國制定音律時所用的生律法三分損益包含“三分損一”“三分益一”取一段弦，“三分損一”即均分弦為三段，舍一留二，便得到弦“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到弦以宮為第一個音，依次按照損益的順序，得到四個音，這五個音的音高從低到高依次是宮、商、角、微、羽，合稱“五音”.已知聲音的音高與弦長是成反比的，那么所得四音生成的順序是（ ）A. 微、商、羽、角B. 微、羽、商、角C. 商、角、微、羽D. 角、羽、商、徵9. 已知數(shù)列的前n項和，將該數(shù)列排成一個數(shù)陣（如圖），其中第n行有個數(shù)，則該數(shù)陣第9行從左向右第8個數(shù)是

3、（ ）A. 263B. 1052C. 528D. 105110. 過雙曲線的右焦點F作漸近線的垂線，垂足為點A，交y軸于點B，若，則C的離心率是（ ）A B. C. D. 11. 如圖，在中，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（ ）A. B. C. D. 12. 已知函數(shù)在上恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 曲線yxex1在點(0，1)處的切線方程是_.14. 將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次,若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為b,c,則方程有實根的概率為_.15. 已知數(shù)列中，

4、數(shù)列的前n項和為.若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是_.16. 已知橢圓的焦點為，點P為橢圓上任意一點，過作的外角平分線所在直線的垂線，垂足為點Q.拋物線上有一點M，它在x軸上的射影為點H，則的最小值是_.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17. 如圖，圓內(nèi)接四邊形中，.（1）求；（2）求面積的最大值.18. 在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形是矩形，四邊形為梯形，.（1）證明：平面；（2）設(shè)，求二面角的余弦值.19. 在平面直角坐標(biāo)系x

5、Oy中，橢圓C：的離心率，且過點，A，B分別是C的左、右頂點（1）求C的方程；（2）已知過點的直線交C于M，N兩點（異于點A，B），試證直線MA與直線NB的交點在定直線上20. 已知函數(shù)（1）當(dāng)時，證明：在定義域上是增函數(shù)；（2）記是導(dǎo)函數(shù)，若在內(nèi)沒有極值點，求a的取值范圍（參考數(shù)據(jù)：，）21. 甲、乙兩名選手爭奪一場乒乓球比賽冠軍.比賽采取三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時比賽結(jié)束，且該選手奪得冠軍.根據(jù)兩人以往對戰(zhàn)的經(jīng)歷，甲、乙在一局比賽中獲勝的概率分別為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立.（1）求甲奪得冠軍的概率；（2）比賽開始前，工作人員買來一盒新球，共有6個.新球在一局比賽中使用后成為“

6、舊球”，“舊球”再在一局比賽中使用后成為“廢球”.每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，如果這顆球成為廢球，則直接丟棄，否則裁判員將其放回盒中.記甲、乙決出冠軍后，盒內(nèi)新球的數(shù)量為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 22. 在極坐標(biāo)系中，O為極點，直線與以點為圓心，且過點的圓相交于A，B兩點（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）若，求 選修4-5：不等式選講 23. 已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求不

7、等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范圍山西省2022屆高三一模試題理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【1題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求集合，運用集合間的運算直接求解.【詳解】，所以，故選：A2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A. -iB. -1C. 0或-1D. 0或-i【2題答案】【答案】D【解析】【分析】設(shè)出，得到方程組，求出，進(jìn)而求出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，所以，解得：或，故或0故選：D3. 設(shè)，則的最大值是（ ）A. 1B. C.

8、 D. 2【3題答案】【答案】D【解析】【分析】利用平面向量求模公式得到關(guān)系式，從而求出最大值.【詳解】，則，當(dāng)時，取得最大值，且最大值為2故選：D4. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體各個表面中面積的最大值是（ ）A. B. C. D. 【4題答案】【答案】C【解析】【分析】由該幾何體的三視圖可知該幾何體為三棱錐，如圖畫出該幾何體，分別求出該幾何體各個表面的面積，即可得出答案.【詳解】解：由該幾何體的三視圖可知該幾何體為三棱錐，如圖畫出該幾何體，為全等的三角形，且，則，所以該幾何體各個表面中面積的最大值是.故選：C.5. 已知命題，；命題，在定義域上

9、是增函數(shù).則下列命題中的真命題是（ ）A. B. C. D. 【5題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)命題的真假，可判斷 的真假，再根據(jù) “或且非”命題真假的判斷方法，可得答案.【詳解】設(shè) ，故為增函數(shù)，則，故命題，為真命題，則為假命題，因為 ，故命題，在定義域上是增函數(shù)為真命題，為假命題，所以為真命題，為假命題，為假命題，為真命題，則為假命題，故選：A6. 展開式中的常數(shù)項是（ ）A. B. C. D. 【6題答案】【答案】B【解析】【分析】求出展開式通項，令的指數(shù)等于0，從而可得出答案.【詳解】解：展開式的通項為，令，則，所以展開式中的常數(shù)項是.故選：B.7. 設(shè)，則、的大小關(guān)系是（ ）

10、A. B. C. D. 【7題答案】【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得到、的大小關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，則，即，即，所以，因為，故，即，即，因此，.故選：D.8. “三分損益法”是古代中國制定音律時所用的生律法三分損益包含“三分損一”“三分益一”取一段弦，“三分損一”即均分弦為三段，舍一留二，便得到弦“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到弦以宮為第一個音，依次按照損益的順序，得到四個音，這五個音的音高從低到高依次是宮、商、角、微、羽，合稱“五音”.已知聲音的音高與弦長是成反比

11、的，那么所得四音生成的順序是（ ）A. 微、商、羽、角B. 微、羽、商、角C. 商、角、微、羽D. 角、羽、商、徵【8題答案】【答案】A【解析】【分析】設(shè)宮的弦長為，根據(jù)生律法按順序?qū)懗龊罄m(xù)四音的弦長，再由題設(shè)音高與弦長的反比關(guān)系判斷五音生成順序，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，若宮的弦長為，則其它四音對應(yīng)弦長依次為、，因為聲音的音高與弦長是成反比，則四音的音高關(guān)系為，又音高從低到高依次是宮、商、角、微、羽，所以五音生成順序為宮、微、商、羽、角.故選：A9. 已知數(shù)列的前n項和，將該數(shù)列排成一個數(shù)陣（如圖），其中第n行有個數(shù)，則該數(shù)陣第9行從左向右第8個數(shù)是（ ）A. 263B. 1052C. 5

12、28D. 1051【9題答案】【答案】D【解析】【分析】利用，求出，將該數(shù)列按第行有個數(shù)排成一個數(shù)陣，由該數(shù)陣前8行有255項，得到該數(shù)陣第9行從左向右第8個數(shù)字為，由此能求出結(jié)果【詳解】數(shù)列的前項和為，時，時，上式成立，將該數(shù)列按第行有個數(shù)排成一個數(shù)陣，該數(shù)陣前8行有：項，該數(shù)陣第9行從左向右第8個數(shù)字為,故選：D10. 過雙曲線的右焦點F作漸近線的垂線，垂足為點A，交y軸于點B，若，則C的離心率是（ ）A. B. C. D. 【10題答案】【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得右焦點，漸近線方程，利用，求出的坐標(biāo)，代入漸近線上，化簡整理，由離心率公式，即可得出結(jié)論【詳解】由題意知

13、雙曲線右焦點，取漸近線，可得直線的方程為，令，解得，,， 即 ,，即，又在漸近線上，解得,該雙曲線的離心率故選：11. 如圖，在中，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（ ）A. B. C. D. 【11題答案】【答案】B【解析】【分析】依題意可得平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由已知可得的外接圓的圓心在的中點，設(shè)外接球的球心為，半徑為，則，即可得到方程，求出，即可求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計算可得；【詳解】解：依題意，平面，所以平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、，依題意為直角三角形，所以的外接圓的圓心在的中點，設(shè)外接球的球心為，

14、半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的體積；故選：B12. 已知函數(shù)在上恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【12題答案】【答案】C【解析】【分析】先由零點個數(shù)求出，再用整體法得到不等式組，求出的取值范圍.【詳解】，其中，解得：，則，要想保證函數(shù)在恰有三個零點，滿足，令，解得：；或要滿足，令，解得：；經(jīng)檢驗，滿足題意，其他情況均不滿足條件，綜上：的取值范圍是.故選：C【點睛】三角函數(shù)相關(guān)的零點問題，需要利用整體思想，數(shù)形結(jié)合等進(jìn)行解決，通常要考慮最小正周期，確定的范圍，本題中就要根據(jù)零點個數(shù)，先得到，從而求出，再進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

15、13. 曲線yxex1在點(0，1)處的切線方程是_.【13題答案】【答案】【解析】【詳解】yexxex(x1)ex，y|x01，所求切線方程為xy10.故答案為xy1014. 將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次,若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為b,c,則方程有實根的概率為_.【14題答案】【答案】【解析】【分析】列出所有情況，計算滿足的情況，得到答案.【詳解】一枚骰子拋擲兩次,其基本事件總數(shù)為36,方程有實根的條件為.b123456使的基本事件個數(shù)012466由此可見,使方程有實根的基本事件個數(shù)為，于是方根有實根的概率為.故答案為：【點睛】本題考查了古典概率，意在考查學(xué)生的計算能力.15. 已知數(shù)列中，數(shù)列

16、的前n項和為.若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是_.【15題答案】【答案】【解析】【分析】先根據(jù)累積法求得，再用裂項相消法求得，最后根據(jù)不等式恒成立可求解.【詳解】由得，則有，化簡得，即，所以，所以，所以不等式恒成立，則有.故答案為：16. 已知橢圓的焦點為，點P為橢圓上任意一點，過作的外角平分線所在直線的垂線，垂足為點Q.拋物線上有一點M，它在x軸上的射影為點H，則的最小值是_.【16題答案】【答案】【解析】【分析】如圖所示，延長交于點，連接，求出點的軌跡方程為，證明，即得解.【詳解】解：如圖所示，延長交于點，連接.因為的外角平分線是,且,所以, 因為,所以,因為,所以點的軌跡

17、為以點為圓心2為半徑的圓，所以點的軌跡方程為.由題得拋物線的焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.所以,所以因為.所以.所以的最小值是.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17. 如圖，圓內(nèi)接四邊形中，.（1）求；（2）求面積的最大值.【1718題答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求邊；（2）先求出角D，利用余弦定理和基本不等式得到的最大值，進(jìn)而求出面積的最大值【小問1詳解】在中，由正弦定理得，即.所以.【小問2詳解】因為四邊形內(nèi)接于圓

18、，故.設(shè)，在中，由余弦定理得：.因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以所以面積的最大值是.18. 在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形是矩形，四邊形為梯形，.（1）證明：平面；（2）設(shè)，求二面角的余弦值.【1819題答案】【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）取中點E，連接，則可得四邊形為平行四邊形，從則，由線面平行的判定可得平面，再由已知條件可得四邊形為平行四邊形，則，然后由線面平行的判定得平面，再利用面面平行的判定得平面平面，最后由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由已知可得，兩兩垂直，所以以D為原點，分別以，所在真線為x，y，z軸.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

19、量求解.【小問1詳解】證明：取中點E，連接，.則，四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.由，則四邊形為平行四邊形，所以，.又，所以，.所以四邊形為平行四邊形.所以.又平面，平面，所以平面.因為，平面，平面.所以平面平面.因為平面，所以平面【小問2詳解】連接.因為平面平面，平面，所以平面.因為，所以，所以，所以，因為，所以.所以以D為原點，分別以，所在真線為x，y，z軸.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，所以，.平面一個法向量為，設(shè)平面的法向量為.則，即令，得.，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.19. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的離心率，且過點，A，B分別

20、是C的左、右頂點（1）求C的方程；（2）已知過點的直線交C于M，N兩點（異于點A，B），試證直線MA與直線NB的交點在定直線上【1920題答案】【答案】（1）； （2）證明見解析.【解析】【分析】(1)將點的坐標(biāo)代入橢圓方程得出關(guān)于a、b的方程，結(jié)合離心率列出方程組，解方程組即可；(2)設(shè)過點G的直線方程為、，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)直線的點斜式方程求出直線AM與BN的方程，兩式相除，化簡計算可得直線AM與BN的交點的橫坐標(biāo)為4，即可證明.【小問1詳解】由題意知，化簡得，解得，故橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)過點G直線方程為，消去x，得，設(shè)，則，所以又，得，所以直線AM的方程為，

21、直線BN的方程為，兩式相除，得，即，又，即，解得，即直線AM與BN的交點的橫坐標(biāo)為4，所以直線AM與BN的交點在定直線上.20. 已知函數(shù)（1）當(dāng)時，證明：在定義域上是增函數(shù)；（2）記是的導(dǎo)函數(shù)，若在內(nèi)沒有極值點，求a的取值范圍（參考數(shù)據(jù)：，）【2021題答案】【答案】（1）證明見解析； （2）.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)得且，再應(yīng)用基本不等式求，結(jié)合，可確定的符號，即證結(jié)論.（2）對求導(dǎo)得且，將問題轉(zhuǎn)化為或在上恒成立，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而求區(qū)間值域，即可求a的取值范圍【小問1詳解】由題設(shè)，且定義域為，因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，所以，時有，故在上是增函數(shù).【小問2詳解

22、】由題設(shè)，則且定義域為，因為在內(nèi)沒有極值點，即或，所以或上恒成立，令，則，當(dāng)時；當(dāng)時，令則，所以在上遞增，而，所以在上，故在上遞增，而，綜上，在上，即，所以，在上，即單調(diào)遞增，則，故或，即a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，對求導(dǎo)后，將問題轉(zhuǎn)化為或在上恒成立，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求值域.21. 甲、乙兩名選手爭奪一場乒乓球比賽的冠軍.比賽采取三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時比賽結(jié)束，且該選手奪得冠軍.根據(jù)兩人以往對戰(zhàn)的經(jīng)歷，甲、乙在一局比賽中獲勝的概率分別為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立.（1）求甲奪得冠軍的概率；（2）比賽開始前，工作人員買來一盒新球，共有6個.新球在一局

23、比賽中使用后成為“舊球”，“舊球”再在一局比賽中使用后成為“廢球”.每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，如果這顆球成為廢球，則直接丟棄，否則裁判員將其放回盒中.記甲、乙決出冠軍后，盒內(nèi)新球的數(shù)量為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【2122題答案】【答案】（1） （2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）記事件“甲在第i局比賽中獲勝”，事件“甲在第i局比賽中未勝”.，記事件“甲奪得冠軍”，分析事件A包含的情況，直接求概率；（2）X的可能取值：3，4，5.分析比賽過程，分別求概率，寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】記事件“甲在第i局比賽中獲勝”，事件“甲在第i局比賽中未勝”.顯然，.記事件“甲奪得冠軍”，則.【小問2詳解】設(shè)甲乙決出冠軍共進(jìn)行了Y局比