高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)總結(jié)第四章-圓與方程

1、WOR/式第四章圓與方程知識點(diǎn)與習(xí)題 1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑 設(shè)M ( x,y )為。A上任意一點(diǎn)，則圓的集合可以寫作：P=訓(xùn)MA|=r圓的方程(1)x,圓心a,b ，半徑為r ;_ + 2、ai222222點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)(yb)r 的位置關(guān)系:一 十 一+(2)一般方程x022(xa)(yb)> 0022(xa)”<2，點(diǎn)在圓外；當(dāng)22(xa)( yb)=002，點(diǎn)在圓上(x+D/2)D )2yDxEyF22+(y+E/2) 2=(D2+E2-4F)/4 (2E4F02EF 2當(dāng)D40 時，方程表示圓

2、，此時圓心為2EF 2當(dāng)D40 時，表示一個點(diǎn)；2E2F當(dāng)D40 時，方程不表示任何圖形。122DEE,半彳空為rDE4F,222(3)求圓的方程的方法：+=(_)+(_)=(待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 需求出a,#, r;若利用F殳方程，濡要求由 D,二 鼻 u直接法：直接根據(jù)已知條件求生圓心坐標(biāo)以及半徑長航另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過圓心，以此來確定圓心的位置 3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況:(1)設(shè)直線l:AxByC0 ,圓C:xa2yb2r2、圓心Ca,b至"l的距離為AaB

3、bC則有drl耳1 C相離；drl與C相切;2B 2A(2)過圓外一點(diǎn)的切線：設(shè)點(diǎn)斜式方程,用圓心到該直線距離= 半徑，求解k,若求得兩個不同的解，帶入所設(shè)切線的方程即可;若求得兩，時，該直線一A相同的解，帶入切線方程，得到一條切線；接下來驗(yàn)證過該點(diǎn)的斜率不存在的直線定為另一條切線)(3)過 圓 上一點(diǎn)的切線 方程:？圓(x-a)+(y-b)=r回上一點(diǎn)為(x(此財(cái)"過此點(diǎn)的切線方程為專業(yè)資料整理(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r兩圓的位置關(guān)系判斷條件公切線 條數(shù)外離d > r 1+ r 24條外切d = r i+ r 23條相交 | r i-r2| Vd V

4、ri+ r 22條內(nèi)切 d = |ri- r2|1 條WOR幅式內(nèi)含dV |r i- r 2|0 條 4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差）,與圓心距（d）之間的大小比較來確定。Ci：xaybr , C2:xaybR 設(shè)圓1122兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差的絕對值）,與圓心距（d）之間的大小比較來確定。（即幾何法）222+D1x+E1y+F1=0圓 G: x注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線 5、.圓 G: x+y+D2x+E2y+F2=01： x2 +y聯(lián)立圓Ci的方程與圓C2的方程得到一個二元一次方程若兩圓相交，則該二元一次方程表示：圓C與

5、圓C2公共弦所在的直線方程；若兩圓相切，則該二元一次方程表示：圓C與圓C2的公切線的方程；若兩圓外離，則該二元一次方程表示的直線具有一個性質(zhì)：從直線上任意一點(diǎn)向兩個圓引切線, 得到的切線長相等（反之，亦成立） 6、已知一直線與圓相交，求弦的長度代數(shù)法：聯(lián)立圓與直線的方程求生交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長幾何法：半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形（勾股定理） 7、已知兩圓相交，求公共弦的長度代數(shù)法：聯(lián)立兩圓的方程求生交點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長幾何法：半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形（勾股定理） 8、圓系與圓系方程（1）圓系：具有某種共同屬性的圓的集合，稱為圓系。（2）圓系方程：

6、2+y2+D1x+E1y+F1=0圓 C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0圓C: x2222圓系方程：x+y+D1x+E1y+F1+入（x+y+D2x+E2y+F2）=0 （I）若圓C1與圓C2交于R、P2點(diǎn)，那么，方程（I）代表過 R、P2兩點(diǎn)的圓的方程。若圓C與圓C2交于P點(diǎn)（一個點(diǎn)），則方程（I）代表過P點(diǎn)的圓的方程。 9、直線與圓的方程的應(yīng)用用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三部曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù) 問題；專業(yè)資料整理第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論 10、空間直

7、角坐標(biāo)系1、點(diǎn)M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),x y z分另j是r q r在x y z軸上的坐標(biāo)2有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)3、空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M(x,y,z) , x 叫做點(diǎn)m的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)m的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。 11、空間兩點(diǎn)間的距離公式1、空間中任，且、P(x 1 ,y 1 ,z 1)到點(diǎn)P(x 2,y 2,z 2)之間的距離公式222= / + + PP( x x)(yy)( z z)2121212、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分

8、.在每小題給由的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)2+y2= 1和x2+y26x 8y+9= 0,那么這兩個圓的位置關(guān)系是 ()1 .已知兩圓的方程是 xA.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切解析：將圓x2 2+ 狂6x-j8y. 9= 0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x 3)2+ (y 4)2= 16.兩圓的圓心距0 32+。 42= 5，又r i+ r 2= 5,兩圓外切.答案：C2+ y2- 2x + 4y= 0截得的最長弦所在的直線方程為()2 .過點(diǎn)(2,1)的直線中，被圓 xA. 3x- y- 5= 0B. 3x+y7=0y+ 2x 11+ 22- 1= ，即 3x y 5 =0.C. x+3y

9、5=0D. x3y+1=0解析：依題意知，所求直線通過圓心(1 , 2),由直線的兩點(diǎn)式方程得答案：A22+ y2x=0相切，則a的值為()3 .若直線（1 + a）x + y+ 1 = 0與圓xA. 1, 1B. 2, 2C. 1D. 1解析：圓x2+ y2 2x= 0的圓心C(1,0),半徑為1 ,依題意得2+ y2- 2x= 0的圓心C(1,0),半徑為1 ,依題意得2| 1+ a+ 0+ 1|24 ,2= 1，即 |a + 2| (a+1 )蟲)2+11+ a平方整理得a = - 1.答案：Dy2+ y2= 10上一點(diǎn)M(2, 6)的切線方程是()4.經(jīng)過M x"A. x+6

10、y- 10= 0B.6x - 2y+ 10= 0C. x-6y+ 10= 0dJ2x + 6y- 10= 0解析：.點(diǎn)M(2, 6)在圓x 山2+ y2=10 上，kov 6 I)2，過點(diǎn)M的切線的斜率為k=6* ，3故切線方程為y-6=-6 ,(x 2),3即 2x + 6y- 10= 0.答案：D5.點(diǎn)M(3, 3,1)關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)是()A. ( 3,3 , 1)B . ( 3, 3, 1)C. (3,-3,- 1)D . (3,3,1) 廠解析：點(diǎn)M(3, -3,1)關(guān)于xOz平面的酒稱點(diǎn)是(3,3,1) v答案：D6.若點(diǎn) A方點(diǎn)B(1j,3)(關(guān)于x j叫稱的點(diǎn)，)點(diǎn)點(diǎn)D(

11、2,2,5)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，則|AC| =()A. 5B.13C. 10D.10解析：依題意得點(diǎn)A(1 , 2, 3) , C(2, 2, -5).股=-2-12+ 2+ 22+- 5+r-32=13.V答案：B22+ y= 1相交于P、7.若直線y=kx +Q兩點(diǎn),且/1與圓xPOQ= 120 (其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()C.3 或一3D.2 和一21解析：由題意知，圓心 O(0,0)到直線y= kx+ 1的距離為2112 =2,k = ± 3.1+ k答案：CWOR/式22228.與圓 Q: x+y+4x4y+7= 0和圓Q: x+y4x 10y+ 13= 0都相切的直

12、線條數(shù)是 ()A. 4B. 3C. 2D. 1解析：兩圓的方程配方得，Oi： (x + 2)2+ (y 2)2=1,2+ (y-5)2= 16,a (x - 2) :圓心 0( 22), O2(2,5)，率徑1=1,2=4,|O1O2| = 2+ 22+5 22= 5,+2=5.1+2 =5.，|OQ| =1+2,，兩圓外切，故有 3條公切線.答案：B2+ y2- 2x - 4y = 0平分，且與直線 x+ 2y = 0垂直，則直線l的方程是()9.直線l將圓xA. 2x- y= 0B. 2x-y- 2= 0C. x+2y3=0D. x2y+3= 0解析：依題意知，直線l過圓心(1,2),斜率

13、k=2,，l 的方程為 y- 2= 2(x 1),即 2x- y = 0.答案：A2+ y2- (4m + 2)x 2my+ 4m+ 4M 1 = 0的圓心在直線 x+ y- 4= 0上，那么圓的面積為 ()10.圓 xA. 9 7tB.兀C. 2兀D.由m的值而定解析：x2+ y2 (4 m + 2)x 2my+ 4m2 + 4m+ 1=0,. x (2m + 1)2+ (y m)2= m2.，圓心(2m+ 1, m),半徑= |m|.依題意知 2m+ 1 + m- 4= 0,，m= 1.圓的面積S=兀X1 2 =兀.答案：B2+ y2= 1上變動時，它與定點(diǎn)Q(3,0)的連結(jié)線段PQ的中點(diǎn)

14、的軌跡方程是()11.當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2= 4B. (x -3)2+ y2= 1A. (x + 3)2222+ 4y= 1D. (2x + 3) + 4y = 1C. (2x 3)解析：設(shè)P(xb y0 , Q(3,0),設(shè)線段PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x , y),xi + 3yi則 x = , y =22, xi= 2x 3, yi =2y.又點(diǎn)P(x i, yi)在圓x2+y2= 1 上，(2x 3)2+ 4y2= 1.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為(2x 3)1.2+4y2答案：C專業(yè)資料整理WOR幅式2與直纜=k(x - 2) + 4有兩個交點(diǎn),則遮 k的取值范矚12.曲於 1+4xlA.

15、(0 , ,58)12)B .('121 353C. ( D.(,3 41242解析：如圖所示，曲線y=1+4x J變麴2+（y -1）2=4（y >1）,直於k（x 2） + 4過定點(diǎn)（2,4）_ ,當(dāng)直栽與半圓相切時，有| - 2k+ 4- 1|5=2,解得 k = 12.2+ 1k-3當(dāng)直栽過點(diǎn)（一2,1）時，k= .45 3因此，k的取值范睡4.答案：D二、填空題（本大題其小題，每小題5分，滿分20分，把答案填在題中橫線上） 2+ y2= 1上的點(diǎn)到直線x+ 4y- 25= 0的距離最小值為.13 .圓 xr yj解析：圓心（0,0）到直綴+ 4y 25= 0的距離為，所

16、求的最小值湖.答案：414 .圓心為1,1）且與直線+ y= 4相切的圓的方程是解析：r =| 1 + 1 - 4|=2,所以圓的方程為(x 1)2+ (y 1)2= 2.2+ (y T)2 =2.2答案：（x -2+（y - 1）2=21）其圓心2+ y2+ 2ax 2ay= 0表示的圓，關(guān)于直線y=x對稱；關(guān)于直綠+y=0對稱;15 .方程x在x軸上，且過原點(diǎn)；其圓心在 y軸上，且過原點(diǎn)，其中敘述正確的是 解析：已知方程配方得，(x + a)2+(ya)2= 2a2(aw0),圓心衡好 a, a),它在直線+ y=0 上, 已知圓關(guān)于直線+ y=0對稱.段正確.答案：2+y2-6x- 2y

17、-15=。所截得的弦長等于 .16 .直線 + 2y = 0被曲線專業(yè)資料整理22解析：由 x+y 6x 2y15=0,22得(x 3) + (y 1) = 25.|3 + 產(chǎn)1| j圓心(3,1)到直線x+2y=0的距離d = =5/在弦心距、半徑、半弦長組成的直角三角形中，由5勾股定理得，弦長= 2X 25- 5= 45.答案：45三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫由必要的文字說明、證明過程或演算步驟2+ y2= 4的割線ABC17. (10 分)自 A(4,0)求弦BC中點(diǎn)P的軌跡方程.引圓x解：解法 1:連接 OP,則 OP，BC,設(shè) P(x, y),當(dāng) x+ 0 時，k

18、op- kAP= 1 ,即yy=-1,x .x 4即x2+ y2- 4x = 0 當(dāng)x = 0時，P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)是方程的解, BC中點(diǎn)P的軌跡方程為x2+ y2-4x= 0(在已知圓內(nèi)).解法2:由解法1知OP! AP,取OA中點(diǎn)M,則M(2,0) , |PM| =12|OA| = 2,由圓的定義知，P點(diǎn)軌跡方程是以M(2,0)為圓心，2為半徑的圓.故所求的軌跡方程為(x 2)2+ y2= 4(在已知圓內(nèi)).A, B兩點(diǎn),2+ y2- 2mx+ 4y+m2 1=0 與圓 N: x2+y2+2x + 2y 2= 0 相交于18. (12分)已知圓Ml: x且這兩點(diǎn)平分圓 N的圓周，求圓 M

19、的圓心坐標(biāo).解：由圓M與圓N的方程易知兩圓的圓心分別為M(一2), N(-1兩圓的方程相減得直線 AB的方程為2 1= 0.2(m + 1)x - 2y- m. A B兩點(diǎn)平分圓N的圓周，.AB為圓N的直徑，AB過點(diǎn)N( 1, 1),f 2(m+ 1) x ( 1) 2x ( 1) m 2-1=0,解得m= 1.故圓M的圓心M( 1, - 2).222219. (12分)已知圓Ci： x+ y- 3x- 3y+ 3= 0,圓 金：x+y2x2y=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及弦長.2+ y2 3x 3y+ 3= 0 的解,解：設(shè)兩圓的交點(diǎn)為 A(xi, yi) , B(X2, y2),則A

20、、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組x2+ y2- 2x- 2y= 0 x兩方程相減得：x + y 3= 0,.A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該方程，x+ y- 3= 0為所求.將圓C2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，22+ (y T)=2,(x 1)1圓心 C2(1,1),半徑 r = 2.|1 + 1 3| T圓心C2到直線AB的距離d= Y Yt=22 d2= 22- 1V|AB| = 2r廠=6.2即兩圓的公共弦長為 6.1. y2+ 2x-4y+ 3= 0,從圓C外一點(diǎn)P向圓引一條切線，切點(diǎn)為 M, O為坐標(biāo)20. (12分)已知圓C: x f V 原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|,求|PM|的最小值.2= |PC| 2

21、一 |MC|2.解：如圖：PM為圓C的切線，則 CML PM，qLpM餞直角三角形，笏,|PM|.I J jTJFV /設(shè) P(x , y) , C( 1,2) , |MC|=2.|PM|= |PO| ,x工2+y2= (x + 1)2+ (y -2)2-2,化簡得點(diǎn)P的軌跡方程為：2x-4y+ 3= 0.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原點(diǎn) O到直線2x- 4y+3=0的距離，代入點(diǎn)到直線的距離公式可求得|PM|最小值為35 .102+ (y 4)2=1,點(diǎn) A(1,0) , B(1,0)，點(diǎn) P是圓上動點(diǎn),求 d=|PA| 2+ |PB|221. (12 分)已知。C: (x 3)的最大、最小值及對應(yīng)的 P點(diǎn)坐標(biāo).解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x。，y。)，則2+ y2+ (x 2+ y2= 2(x 2+ y2) + 2.d= (x0+1)00000欲求d的最大、最小值，只需求 u